Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых (граничных) задач в классах аналитических функций и различных их обобщений является важнейшей областью современного комплексного анализа.
Благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова, Э.И. Зверовича, Р.С. Исаханова, Д.А. Квеселава, Г.С. Литвинчука, Г.Ф. Манджавидзе, Л.Г. Михайлова, С.Г. Михлина, Н.И. Мусхелишвили, Л.И. Чибриковой и многих других известных математиков теория линейных краевых задач в классах аналитических функций приняла, в основном, завершенный вид.
Однако для решения ряда прикладных задач, сводящихся к уже подробно исследованным краевым задачам, классической теории последних оказывается недостаточно. Возникает необходимость в расширении классических предположений, касающихся классов заданных и искомых функций, классов рассматриваемых контуров и других параметров задачи. В соответствии с возникающими потребностями исследования ведутся в следующих направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широких классов заданных и искомых функций, для более широких классов контуров; рассматриваются задачи со сдвигом, а также задачи, содержащие производные искомой функции и граничные значения функции, комплексно сопряженной с искомой.
В частности, как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Германия, Китай, КНДР, Украина, Черногория и др.) интенсивно изучаются краевые задачи для различных обобщений аналитических функций (таких как, например, полианалитические и метааналитические функции). Значительный вклад в развитие данного направления внесли А.В. Бицадзе, И.Н. Векуа, В.А. Габринович, М.П. Ганин, Ф.Д. Гахов, В.И. Жегалов, К.М. Расулов, B.C. Рогожин, Р.С. Сакс, И.А. Соколов, Н.Т. Хоп, М. Canak, В. Damjanovich, C.R. Shoe и другие известные математики.
Представленная работа относится к этому направлению математического анализа и посвящена исследованию четырехэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций, т.е. в классах функций F{z), являющихся решениями дифференциального уравнения
d2F(z) dF(z) пл
OZ OZ
д if д . д^
+ / дх ду
ГДЄ Я" п
oz 2
дифференциальный оператор Коши-Римана, а
коэффициенты ак (к = О,1) - произвольные комплексные постоянные.
Пусть Т+ - конечная односвязная область на плоскости комплексного переменного z = x+iy, ограниченная простым замкнутым гладким контуром
L, а Т~ =С\(т+ vjL), где С - расширенная комплексная плоскость. В работе рассматриваются следующие краевые задачи. Задача GR41.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции F(z) = \F+(z),F~(z)} класса M2(T±)r\H(l)(L), исчезающие на бесконечности и
удовлетворяющие на L следующим краевым условиям:
4(0-^ + 42(0-^ = ^0-^ + ^(0-^ + ^(0, (2)
дх дх дх дх
A2l(t)—^ + A22(t)—^ = G2l(t)—^ + G22(t)—^ + g2(t), (3)
ay ay ay ay
где Ащ{(), Gq(t), gk(t) (A: = 1,2; 7 = 1,2) - заданные на L функции,
удовлетворяющие условию Гёлъдера. Задача GR42.
Требуется найти все кусочно метааналитические функции F(z) = \f+{z), F~(z)) класса М2(Г±)пЯ(1)(1), исчезающие на бесконечности и
удовлетворяющие на L следующим краевым условиям:
Au(t)F+(t) + Au(t)F+(t) = Gu(t)F-(t) + Gu(t)F-(t) + gl(t), (4)
4i(0^^+42(0—^ = g21(0—^+g22(0—^+^(0, (5)
on, on, дп dn
где дІдп+ (д/дп_) - производная по внутренней (внешней) нормали к L, а Л/(0? Gkj(f), gk(f) ( = l>2^ 7=1,2) - заданные на L функции, удовлетворяющие условию Гёлъдера.
Отметим, что при выполнении на контуре L условий An(t) = A2l(t) = \ и Аи (t) = А22 (t) = Gu (t) = G22 (t) = 0 сформулированные выше краевые задачи GR41 и GR42 в классах полианалитических функций были впервые поставлены в известной монографии Ф.Д. Гахова1 и в случае, когда L = {t . \t\ = 1}, были
решены И.А. Соколовым в 60-х годах XX столетия при помощи хорошо известного в математической физике метода решения краевых задач в областях с аналитическими границами. В случае произвольных конечносвязных областей с гладкими границами (при выполнении указанных выше условий) краевые задачи GR4l и GR42 в классах полианалитических
функций были подробно исследованы в монографии К.М. Расулова .
Впервые краевые задачи GR4l и GR42 без дополнительных условий
An(t) = A2l(t) = l и An(t) = A22(t) = Gn(t) = G22(t) = 0 были сформулированы К.М. Расуловым в качестве естественных обобщений краевых задач типа Римана в классах полианалитических функций.
В диссертационной работе Ю.А. Медведева указанные задачи были исследованы в классах кусочно бианалитических функций как в случае круговых областей, так и в случае произвольных односвязных областей с гладкими границами.
В настоящей работе краевые задачи GR41 и GR42 исследуются в классе
кусочно метааналитических функций с линией скачков L = \t . \t\ = 1).
В силу существенного отличия качественных свойств метааналитических функций от свойств бианалитических функций при
1 Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М: Наука, 1977. - 640 с.
2Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их приложения. - Смоленск: СГПУ, 1998. - 343 с.
Медведев Ю.А. Четырехэлементные краевые задачи типа Римана для бианалитических функций: дис. ... канд. физ.-мат. наук: 01.01.01 / Медведев Юрий Анатольевич. -Смоленск, 2007. - 115 с.
исследовании краевых задач GR4l и GR42 в классах метааналитических
функций возникает необходимость разработки совершенно новых подходов к решению сформулированных выше задач и использования дополнительного математического аппарата, в частности, аналитической теории дифференциальных уравнений. Поэтому разработка методов решения краевых задач GR4l и GR42 в классах метааналитических функций является на сегодняшний день актуальной проблемой.
Целью настоящей работы является разработка общих методов решения краевых задач GR41 и GR42 в классах кусочно метааналитических функций,
построение теории их разрешимости и выявление частных случаев данных задач, допускающих решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Методика исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теория сингулярных интегральных уравнений и уравнений типа Фредгольма второго рода, аналитическая теория дифференциальных уравнений. Кроме того, существенным образом используется теория скалярных и матричных краевых задач Римана в классах аналитических функций.
Научная новизна. В диссертации впервые разработаны методы решения четырёхэлементных краевых задач типа Римана в классах метааналитических функций в круге, исследованы картины разрешимости и установлены условия нётеровости рассматриваемых задач. Выделены частные случаи, когда рассматриваемые задачи допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Основные положения, выносимые на защиту:
1) методы решения краевых задач GR41 и GR42 в классах кусочно
метааналитических функций первого и второго типов в случае круговых областей;
2) необходимые и достаточные условия разрешимости указанных задач,
условия нётеровости рассматриваемых задач;
3) определение частных случаев, в которых задачи GR41 и GR42 допускают решение в замкнутой форме (в квадратурах).
Практическая значимость результатов. Работа носит теоретический характер. Предложенные в работе методы исследования и полученные результаты могут быть применены при решении многоэлементных краевых задач в классах метааналитических функций, отличных от изученных (например, краевых задач со сдвигом).
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка использованной литературы, содержащего 85 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 1.2) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 128 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них 5 работ выполнено совместно с научным руководителем. Работы [7], [8] опубликованы в научных журналах из Перечня ВАК.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [2], [3], [6], [7], [8] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежат научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2007-2009 г.г.), на научной конференции «Современные методы теории функций и смежные проблемы» Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2009 г.), на Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи
комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель - профессор КМ. Расулов).
