Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Вспомогательные сведения и обзор литературы 23
1.1. Вспомогательные сведения 23
1.2. Краткий обзор литературы по краевым задачам для полианалитических и метааналитических функций 25
ГЛАВА II. Видоизмененные краевые задачи типа неймана и типа рикье для метааналитических функций в круге 28
2.1. Постановка видоизмененной краевой задачи типа Неймана 28
2.2. Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге 29
2.3. Постановка видоизмененной краевой задачи типа Рикье 52
2.4. Решение видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге 53
ГЛАВА III. Видоизмененные краевые задачи типа неймана и типа рикье для метааналитических в круге функций в исключительном случае 72
3.1. Постановка видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье для метааналитических в круге функций в исключительном случае. 72
3.2. Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических в круге функций в исключительном случае 73
3.3. О решении задачи R 81
Заключение 93
Список использованной литературы 94
- Краткий обзор литературы по краевым задачам для полианалитических и метааналитических функций
- Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге
- Решение видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге
- Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических в круге функций в исключительном случае
Введение к работе
Актуальность темы. Важнейшей областью в современном комплексном анализе является теория граничных (краевых) задач для аналитических функций и различных их обобщений.
В настоящее время теория линейных краевых задач в классах аналитических функций комплексного переменного, благодаря фундаментальным работам А.В. Бицадзе, Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, Ф.Д. Гахова, Э.И. Зверовича, Г.С. Литвинчука, С.Г. Михлина, Н.И. Мусхелишвили, Б.В. Хведелидзе, Л.И. Чибриковой и многих других известных математиков, приняла уже, в основном, завершенный вид.
Кроме того, в последнее время в России и за ее пределами наблюдается устойчивый интерес к различного рода граничным задачам в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного (полианалитических, метааналитических, F-моногенных и др.). Это связано с тем, что к решению задач такого вида сводятся многие проблемы плоской теории упругости, теории бесконечно малых изгибаний поверхностей положительной кривизны и многих других разделов математической физики.
Определение 1. Функция F(z)-U(x,y) + iV(x,y) называется метааналити-ческой1 в области Т плоскости комплексного переменного z = x+iy, если она имеет в Т непрерывные частные производные (по х и у) до второго порядка включительно (т.е. F(z) є Сг(Т)) и удовлетворяет там уравнению
^i+aid-m+aoF(z)-o, о)
dz 9z
где d/dz = (д/дх + ід/ду)/2 - дифференциальный оператор Коши-Римана, а а0, а, - некоторые комплексные постоянные.
Важно отметить, что основной цикл работ, посвященных решению краевых задач в классах полианалитических и метааналитических функций, был выполнен в течение последних тридцати лет математиками различных стран (СССР, ФРГ, Югославия и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для метааналитических функций внесли А.В. Бицадзе, В.А. Габринович, В.И. Жегалов, В.В. Показеев, К.М. Расулов, И.А. Соколов, C.R. Shoe и др.
Особенностью работ всех вышеперечисленных авторов является то, что в них рассматриваются, в основном, классические краевые задачи, т.е. задачи, в которых число независимых краевых условий совпадало с порядком полианалитичности или метааналитичности искомых функций.
Однако, исследования А.В. Бицадзе, Н.Е. Товмасяна и их последователей показали, что важное прикладное значение имеют неклассические краевые задачи, в которых полианалитическую или метааналитическую функцию необходимо найти лишь, например, по одному краевому условию. В связи с этим стала актуальной проблема разработки методов решения неклассических краевых задач в классах метааналитических функций комплексного переменного.
Расулов К.М. Краевые задачи для полианалитических функций и некоторые их прило-
жения. - Смоленск: Изд-во СГПУ. - 1998. - 344 с.
РОС. НАЦИОНАЛl и Ы
БИБЛИОТЕКА
С-Петербург .
Данная диссертация посвящена исследованию неклассических краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций в круге.
Пусть Т+ ={z:|z|
Требуется найти все метааналитические функции F*(z) класса М2(Т+)Г\Нт(Ь), удовлетворяющие на L следующему краевому условию:
?^M + G(tyF4t) = g{t), teL, (2)
где д/дп+ -производная по внутренней нормали к L, G(t), g(t) -заданные на L функции класса H(L).
Требуется найти все метааналитические функции F*(z) класса М2(Т*) П Hm(L), удовлетворяющие на L следующему краевому условию:
AF+(0 +0(0^40 = g(4 (3)
где G(t), g(t) -заданные на L функции класса H(L), А = д2/дх2 +д2/ду2 -оператор Лапласа.
Отметим, что к задаче (2), в частности, сводится классическая задача Неймана в классе метааналитических функций, состоящая в нахождении метааналитических в области в Т* функций F*{z), удовлетворяющих на L краевым условиям:
F4t) = *о(0, 8F+(t)/dn+ = ft(0, (4)
где gdf), gj(t) - заданные на I функции класса #(). Поэтому при G(t) * 0, / є Z, задачу (2) называем видоизмененной задачей типа Неймана для метааналитических функций или короче - задачей N.
Также важно отметить, что к задаче (3), в частности, сводится так называемая задача Рикье для метааналитических функций, состоящая в отыскании метааналитических в Ґ функций F*(z), удовлетворяющих на I краевым условиям:
F+(t) = gM^4t) = gM (5)
где gd(t), gj(t) - заданные на L функции класса #(). Поэтому сформулированную выше задачу (3) назовем видоизмененной задачей типа Рикье для метааналитических функций или короче - задачей R.
Поскольку задачи TV и Л до сих пор оставались неисследованными в классах метааналитических функций, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.
Объект и предмет исследования. Объектом исследования являются краевые
задачи типа Неймана (задача N) и типа Рикье (задача R) в классе метааналитических функций в круге, а предметом исследования - методы решения этих задач, а также условия их разрешимости.
Цель работы. Разработка общих методов решения видоизмененных краевых задач типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций, построение теории их разрешимости и установление условий нетеровости этих задач.
Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, аналитическая теория дифференциальных уравнений, теория краевых задач типа Римана для аналитических функций.
Научная новизна. В диссертации впервые исследуются неклассические краевые задачи типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций. Разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены условия их разрешимости.
Теоретическая значимость заключается в том, что в диссертации исследуются видоизмененные краевые задачи типа Неймана и типа Рикье для метааналитических функций в вырожденном, нормальном и исключительном случаях. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровости рассматриваемых задач.
Практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Однако рассматриваемые в работе краевые задачи и различные их обобщения представляют самостоятельный научный интерес и могут найти приложения в тех областях, где используются краевые задачи для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, например, в теории упругости и теории фильтрации.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов, а также на спецкурсах и лабораторных занятиях для математиков и физиков прикладных групп.
Достоверность результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами.
На защиту выносятся следующие научные положения:
-
методы решения задач N и R для метааналитических в круге функций в нормальном случае (т. е. при G(t) Ф 0, t є L);
-
установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач NnR для метааналитических функций в круге в нормальном случае;
-
методы решения задач N и R в некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае (т. е. когда G(t) обращается в нуль или бесконечность в отдельных точках контура);
-
получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R в исключительном случае.
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [1]-[6] постановки задач и
методика исследования картин разрешимости принадлежат научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003 г.), на научной конференции «ГЕРЦЕНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2004» (Санкт-Петербург, 2004 г.), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005 г.), на II и IV международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001 г., 2003 г.), на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям при Белорусском государственном университете (руководитель - профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» (руководитель - профессор К.М. Расулов).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них, как уже отмечалось, работы [1] - [6] выполнены совместно с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.1) (или теорема 2.1) означает первую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 101 страницу, подготовленную с использованием текстового процессора MS WORD.
Краткий обзор литературы по краевым задачам для полианалитических и метааналитических функций
Пусть Т+ = {z:\z\ \), функции Gx(t), g(t) в точках Pj,(xk удовлетворяют условию Гелъдера вместе со своими производными порядков соответственно pj + 2,mk + 2, а в остальных точках контура Gx(t), g(t)єЯ(2)(І); характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень. Тогда решение задачи (0.38) сводится к решению скалярной задачи Римана (0.39) в исключительном случае. Кроме того, если%ъх - р 0, то задача (0.38) разрешима тогда и только тогда, когда выполняются два условия вида (0.40), и ее общее решение, задаваемое формулой (0.41), линейно зависит не более чем от 2(хъ\-р + У) произвольных действительных постоянных. Если же Хъ\ Р 0 то для разрешимости задачи N необходимо и достаточно разрешимость задачи (0.39) и выполнение условий (0.40), причем в этом случае задача N будет иметь единственное решение. Раздел 3.3 посвящен задаче R в исключительном случае: дается метод ее решения и исследуется картина ее разрешимости. При этом рассматривается случай, когда характеристическое уравнение дифференциального уравнения (0.1) имеет один (двукратный) корень Л0.
Устанавливается, что задачу R также можно свести к решению скалярной задачи Римана в исключительном случае: где кусочно-аналитическая функция Ф(г) = ф+(г), Ф (г) определенным образом связана с аналитическими компонентами искомой метааналитической функции, a G2(t), g2(t) - заданные функции класса H(L), причем G2(t) 0 на/,, здесь а,,а2,...,а и Д,/?2,...,Д, -некоторые точки контура L, а тк и р. — целые положительные числа. Пусть Хъг =Ind G2{t), тогда, в случае разрешимости задачи (0.42), решая задачу R методом, описанным в разделе 2.4, также рассматриваем два подслучая: 1) Я0 = 0; 2) Д0 Ф 0. Тогда будем иметь: Таким образом, получаем следующие основные результаты. Теорема 3.2. ПустьЛ0=0, функции Gx(t), g(t) в точках PpOLk удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно pj +\,mk+\, а в остальных точках контура Gx{t), g(t)eHw(L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42). Кроме того, если Xi2 -р 0, то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда выполняются условия вида (0.31а), (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2{хъг +1 р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг Р то для разрешимости задачи R в исключителыюм случае к условиям (0.31а) и (0.316) добавляются условия разрешимости задачи (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение. Теорема 3.3. Пусть AQ Ф 0, функции Gx{t), g(t) в точках j3j,ak удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно pj+\,mk+l, а в остальных точках контура Gx(t), g(t)eH (L). Тогда решение задачи R в исключительном случае сводится к решению скалярной задачи Римана (0.42) и дифференциального уравнения (0.33). Кроме того, если Хз2 Р- то задача R в исключительном случае разрешима тогда и только тогда, когда дифференциальное уравнение (0.33) разрешимо в круге Т ={z:\z\ \) и выполняется условие (0.316), и ее общее решение линейно зависит не более чем от 2(%32 + Р) произвольных действительных постоянных. Если же Хъг Р то для разрешимости задачи R к указанным в случае Хъг Р- условиям также нужно добавить условия разрешимости задачи Римана (0.42), причем в этом случае задача R будет иметь единственное решение. Основные положения диссертации, выносимые на защиту. На защиту выносятся следующие результаты: - методы решения задач NnR для метааналитических в круге функций в случае G(t)ФО, t eL (нормальный случай); - установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач N и R для метааналитических функций в круге в нормальном случае; - методы решения задач NURB некоторых классах метааналитических функций в исключительном случае; - получение необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач NURB исключительном случае. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [59] - [64], [70] - [71] и докладывались на шестой Казанской международной летней школе-конференции (Казань, 2003), на научной конференции «ГЕРЦЕНОВСКИЕ ЧТЕНИЯ - 2004» (Санкт-Петербург, 2004), на Воронежской зимней математической школе «Современные методы теории функций и смежные проблемы» (Воронеж, 2005), на II и IV международных научных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2001, 2003), на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам и интегральным уравнениям при Белорусском государственном университете (руководитель - профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» (руководитель - профессор К.М. Расулов). Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (2.4) (или теорема 2.4) означает четвертую формулу (теорему) во второй главе. Общий объем работы составляет 101 страницу, подготовленную с использованием текстового процессора MS WORD. Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю К.М. Расулову за постановку задач и внимание, оказанное при выполнении данной работы.
Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических функций в круге
Обычно, функции #?o(z), +(z) называют аналитическими компонентами метааналитической функции F+(z). Определение 1.2. Будем говорить, что метааналитическая в области Т+ функция F+(z) вида (1.4) или (1.5) принадлежит классу М2(Т+)Г)Н \Ь), если ее аналитические компоненты q l(z) и q \(z) непрерывно продолжаются на контур L вместе со своими производными первого порядка —— и , причем так, что граничные значения функции q l{z) и (p\{z) и указанных их производных удовлетворяют на L условию Гельдера. Очевидно, что метааналитические функции являются естественным обобщением бианалитических функций, так как при ак = 0 (к=0, /), решения уравнения (1.2) образуют класс бианалитических функций (см. также [3], [89]). Далее, пусть в некоторой области Т комплексной плоскости С рассматривается линейный эллиптический дифференциальный оператор Qu, а Ви - заданный на границе Г области Т линейный оператор. Тогда, следуя условной классификации, принятой, например, в [8], [57], краевую задачу вида будем называть нетеровой, если она нормально разрешима по Хаусдорфу и число линейно независимых решений соответствующей однородной задачи (# = 0), а также число условий разрешимости неоднородной задачи (д О) являются конечными.
Первой работой, относящейся к краевым задачам для бианалитических функций, была статья B.C. Рогожина [68], в которой исследовалась краевая задача типа Гильберта в случае окружности.
Вскоре после этого были опубликованы работы М.П. Ганина [18], [19], где впервые были сформулированы основные краевые задачи типа Гильберта в классах полианалитических функций. В конце 60-х годов XX века была опубликована серия работ И.А. Соколова [73]-[75], в которой впервые были поставлены и подробно исследованы краевые задачи типа Римана для полианалитических функций. Основной результат, полученный И.А. Соколовым относительно исследованных им задач, состоит в том, что в общем случае решения этих задач сводятся к последовательному решению п обычных задач Римана относительно неизвестных кусочно-аналитических функций.
Этот результат, а также результат М.П. Ганина относительно исследованных им задач типа Гильберта, есть следствие того, что изученные ими задачи относятся к так называемым задачам треугольного вида (см. [57], с. 16). Решению краевой задачи Рикье, а также первой и второй основных задач типа Гильберта в классах бианалитических и метааналитических функций посвящены многочисленные оригинальные работы (см. [12], [20], [24], [57], [72] и др.), поскольку они находят различные приложения при решении многих проблем математической физики и механики сплошной среды. Также можно отметить, что в классе бианалитических функций (то есть функции, являющихся решениями уравнения — - . = 0) видоизмененная краевая задача типа Неймана была исследована в работе [26] (см. также [8], [27]). Наиболее интенсивно теория классических краевых задач типа Дирихле, Гильберта, Неймана, Римана, Карлемана, Маркушевича и многих других в классах аналитических функций и их обобщений стала развиваться в течение последних тридцати лет как в странах СНГ, так и в других странах (ФРГ, Китай, Югославия, КНДР). Важным вкладом в это направление являются работы В. Е. Балабаева[4], [5], В.А. Габриновича [15] - [17], В.И. Жегалова [24], [25], СВ. Левинского [37], В.Г. Монахова [43], К.М. Расулова [51] - [58], И.А. Соколова [73] [75], Н.Т. Хопа [85], [86] и др. Однако, отметим, что все вышеуказанные работы были посвящены, в основном, классическим краевым задачам, решение которых по сути сводилось к последовательному решению нескольких краевых задач относительно аналитических компонент искомых полианалитических или метааналитических функций. Также изучению классических краевых задач общего вида для бианалитических и метааналитических функций посвящены работы Н.Г. Анищенковой [1], И.Б. Болотина [10] и Б.Ф. Фатулаева [65], [66], [78] - [83]. Выводы. Из всего вышесказанного следует, что до настоящего времени видоизмененные краевые задачи типа Неймана (0.2) и типа Рикье (0.3) в классах метааналитических функций никем не исследованы. Поэтому на сегодняшний день разработка методов решения видоизмененных (неклассических) краевых задач типа Неймана и типа Рикье в классах метааналитических функций является актуальной проблемой.
Решение видоизмененной краевой задачи типа Рикье для метааналитических функций в круге
Таким образом, для решения задачи R необходимо найти все аналитические в Т+ решения (p\{z) линейного неоднородного дифференциального уравнения (2.65), непрерывно продолжаемые на контур L, причем так, что граничные значения этих решений и их производных — —- удовлетворяют на L условию Гельдера. к Будем искать аналитические в круге Т+ решения уравнения (2.65) методом степенных рядов (см., например, [21], [31]), то есть функцию (р\ (z) будем искать в виде степенного ряда: где ап - некоторые комплексные числа. При этом важно заметить, что функция Q{z), определяемая по формуле (2.65а), является, вообще говоря, мероморфной в круге Т+ с единственным полюсом z = 0 не выше второго порядка. Следовательно, функцию Q(z) можно представить в виде следующего ряда Лорана: где bs - некоторые комплексные числа. Учитывая (2.66) и (2.67), из (2.65) имеем: Очевидно, что (2.68) равносильно следующей системе уравнений: Решая систему (2.69) относительно коэффициентов as, получим будет аналитическим в круге Г+ = {z: \z\ 1} решением дифференциального уравнения (2.65), если ряд в правой части (2.71) сходится в этом круге. Замечание 2.13. Поскольку решения исходной краевой задачи R должны принадлежать классу M2(T+)nH(l)(L), то для того, чтобы аналитическая в Т+ ={z: \z\ 1} функция q\ (z), определяемая формулой (2.71), была аналитической компонентой искомого решения краевой задачи R, нужно еще выполнение следующих условий: (1-г)1- где Мк - конечные постоянные. Как известно (см., например, [22], с. 397), согласно теореме Харди и Литтльвуда, условия (2.72) являются необходимыми и достаточными, для того чтобы аналитическая в круге Т+ ={z: \z\ 1} функция qi[ (z) и ее d(p\(z) производная dz были непрерывными в замкнутом круге Т+ ={z: \z\ 1} и на окружности L = {t: \t\ = 1} удовлетворяли условию Гельдера. Замечание 2.14. В дальнейшем, ради удобства, будем говорить, что дифференциальное уравнение (2.65) разрешимо в круге Т+ ={z: \z\ 1}, если оно имеет аналитические в этом круге решения, удовлетворяющие условиям (2.72). В противном случае его будем называть неразрешимым в круге Т+ ={z: \z\ 1}. Замечание 2.15. Как видно из формул (2.52а), (2.65а), (2.71) , при Х\ в решение дифференциального уравнения (2.65) может линейно входить не более m = 2(Х\ +1) произвольных действительных постоянных. Предположим, что уже найдены все аналитические в круге Т+ ={z: \z\ 1} решения (p\{z) дифференциального уравнения (2.65), удовлетворяющие условиям (2.72). Тогда аналитическую компоненту q o(z) искомой метааналитической функции F+(z) можно найти по формуле (2.64). Далее, подставив в формулу (1.4) вместо q\ (z) и (р (z) их значения, задаваемые по формулам (2.71), (2.64) и удовлетворяющие условиям «симметрии» ( ), решение искомой задачи R в рассматриваемом случае получим по формуле: Теорема 2.4. Пусть 7(/), g(r)єЯ(,)(Z), G(t) 0, teL и уравнение (1.3) имеет один {двукратный) корень Л$ Ф 0. 7Ъгда решение задачи R сводится к последовательному решению обычной скалярной задачи Римана (2.52) и дифференциального уравнения (2.65), причем в случае Х\- ее общее решение, задаваемое формулой (2.73), линейно зависит не более чем от 2х\ + 2 произвольных действительных постоянных. Кроме того, если ;, 0, то для разрешимости задачи R необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное уравнение (2.65) было разрешимым в круге Т+ ={z: г 1} и выполнялось условие (2.59); если лее %х Ъ,то для разрешимости задачи R необходимо и достаточно выполнение условий (2.526), (2.59) и разрешимость в круге Т+ = {z: z 1} дифференциального уравнения (2.65). Проиллюстрируем полученные в данном разделе результаты на конкретном примере.
Решение видоизмененной краевой задачи типа Неймана для метааналитических в круге функций в исключительном случае
Итак, для решения задачи R необходимо найти все аналитические в Т+ решения Pi(z) линейного неоднородного дифференциального уравнения (3.54), непрерывно продолжаемые на контур L, причем так, что граничные значения этих решений удовлетворяют на L условию Гельдера вместе со своими производными первого порядка.
Как и в разделе 2.4 будем искать аналитические в круге Т+ решения уравнения (3.54) методом степенных рядов, то есть, представив функцию Q(z) в виде следующего ряда Лорана: где bs - некоторые комплексные числа, функцию фх(г) будем искать в виде степенного ряда: где оп — некоторые комплексные числа. Тогда получаем: Следовательно, Таким образом, функция вида будет аналитическим в круге Т+ ={z: \z\ 1} решением дифференциального уравнения (3.54), если этот ряд сходится в этом круге. Замечание 3.7. Поскольку решения исходной краевой задачи (3.2) должны принадлежать классу M2(T+)nH l\L), то для того чтобы аналитическая в Г+ = {z: \z\ 1} функция (р\ {), определяемая формулой (3.56), была аналитической компонентой искомого решения краевой задачи (3.2), нужно еще выполнение следующих условий (см. также замечание 2.13): где Л/л — конечные постоянные. Кроме того, здесь разрешимость дифференциального уравнения (3.54) в круге Т+ понимается так же, как в замечании 2.14. Замечание 3.8. Как видно из формул (3.47а), (3.476), (3.54а), (3.56) , при Х + 2-р 0 в решение дифференциального уравнения (2.65) может линейно входить не более // = 2( -/7 + 3) произвольных действительных постоянных. Предположим, что дифференциального уравнения (3.54) разрешимо в круге Т+ и уже найдены все аналитические в круге Т+ решения (p\(z) этого уравнения. Тогда аналитическую компоненту (р${г) искомой метааналитической функции F+(z) можно найти по формуле (3.52). Далее, подставив в формулу (1.4) вместо рх (z) и g?Q (z) их значения, задаваемые по формулам (3.56) и (3.52) и удовлетворяющие условиям «симметрии» ( ), решение искомой задачи (3.2) в рассматриваемом случае получим по формуле: Итак, справедливо следующее утверждение. Теорема 3.3. Пусть L = {t:t = l}, XQ 0, функции G t), g{t) в точках Pi, 6 удовлетворяют условию Гельдера вместе со своими производными порядков соответственно p. +1,/7+1, а в остальных точках контура Gx{t), g(t)e #(1)(L). Тогда решение задачи (3.2) сводится к последовательному решению задачи Римана в исключительном случае (3.47) и дифференциального уравнения (3.54), причем в случае %- р + 2 0 ее общее решение, задаваемое формулой (3.58), линейно зависит не более чем от 2(%- р + 3) произвольных действительных постоянных. Кроме того, если х + 2 0, то для разрешимости задачи (3.2) необходимо и достаточно, чтобы дифференциальное уравнение (3.54) было разрешимым в круге Т+ ={z:\z\ 1} и выполнялось условие (3.53); если же % — р + 2 0, то для разрешимости задачи (3.2) необходимо и достаточно выполнение условий (3.47г), (3.53) и разрешимость в круге Т ={z:\z\ \) дифференциального уравнения (3.54), причем в этом случае задача (3.2) будет иметь единственное решение.
