Введение к работе
Диссертационная работа посвящена решению экстремальных задач для целых функций экспоненциального типа: о минимуме норм /і и 1^ целых функций с фиксированным значением в нуле; дискретному варианту теоремы М. Г. Крейна о наилучшем приближении целыми функциями в Li.
Актуальность темы. Задача о минимуме нормы /і целой функции экспоненциального типа с фиксированным значением в нуле тесно связана с важными экстремальными задачами теории функций и теории приближений — задачей СВ. Конягина для периодических функций с малым носителем и задачей о наилучшей константе Джексона-Никольского в неравенстве между нормами L^ и Li тригонометрических полиномов и целых функций. Экстремальная задача Конягина была поставлена в связи с приложениями к аналитической теории чисел.
Дискретный вариант теоремы Крейна для целых функций экспоненциального типа, как и сама теорема Крейна являются аналогами задачи А. А. Маркова о наилучшем приближении функции в Li на отрезке алгебраическими полиномами. Приложениями этих теорем в теории приближений является приближение в Li полиномами и целыми функциями классов сверток.
Рассматриваемые задачи могут быть использованы в цифровой обработке сигналов для представления и восстановления дискретных сигналов с ограниченным спектром.
Цель работы. Целью работы является решение двух задач: о минимуме норм 1\ и /qo целых функций экспоненциального типа ^ 2nh для рационального h < 1/2; нахождение величины наилучшего приближения в /i(Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ 2ттН.
Методика исследований. Применяются методы теории функций действительного и комплексного переменного, теории приближений, гармонического анализа.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем.
Предложен метод решения задачи о минимуме норм її ш 1^ целых функций экспоненциального типа ^ 2ттН для заданных небольших рациональных чисел h < 1/2.
Найден критерий наилучшего приближения в /i(Z) четной функции целыми функциями экспоненциального типа ^ 2ттН с рациональным h. Получен дискретный аналог условия С.-Надя на приближаемую функцию, когда критерий выполняется.
Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.
Публикации. Основные результаты опубликованы в 1 статье в центральной печати (журнал «Математические заметки») [23], в 2 статьях в журнале «Известия ТулГУ. Серия Математика. Механика. Информатика» [20, 22] и 1 статье в журнале «Известия ТулГУ. Серия Естественные науки» [27], входящих в перечень ВАК РФ ведущих научных журиалов и изданий. Три из них написаны в соавторстве с Д. В. Горбачевым, которому принадлежат гипотезы о виде экстремальных функций.
Также опубликованы 2 работы в Трудах Международных конференций [28, 26] и 4 тезиса докладов Международных конференций [19, 21, 24, 25].
Апробация работы. Результаты работы докладывались на 3 Международных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» в г. Туле (2005-2007), 2 Международных школах СБ. Стечкина по теории функций в г. Алексин Тульской обл. (2007) и г. Миасс Челябинской обл. (2008), на научном семинаре под руководством профессора С. А. Теляковского в МИ им. В. А. Стеклова РАН (2008).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Глава 1 содержит 9 параграфов, глава 2 разбита на 4 параграфа. Общий объем работы — 79 страниц. Библиография содержит 35 наименований.
