Введение к работе
Актуальность темы. Теория краевых задач для аналитических функций и различных их обобщений в настоящее время является одним из интенсивно развивающихся разделов теории функций комплексного переменного. Устойчивый интерес многих ученых к исследованию различных вопросов этого раздела математики обусловлен, прежде всего, наличием большого числа практических приложений и тесными связями с другими математическими теориями. Еще в начале XX века Г.В. Колосовым [9] было обнаружено, что эффективным средством для решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции, т.е. решения обобщенного уравнения Коши-Римана:
-2 -'> (1)
д 1
ГДЄ ^== о
dz 2
f д д^ — + / — дх ду j
дифференциальный оператор Коши-Римана.
Следует отметить, что, благодаря фундаментальным работам И.Н. Векуа [2], Н.П. Векуа [3], Ф.Д. Гахова [5], Э.И. Зверовича [8], Г.С. Литвинчука [10], Н.И. Мусхелишвили [12] и многих других математиков, классическая теория линейных краевых задач в классах аналитических функций на сегодняшний день представляет собой хорошо систематизированную отрасль знаний. Однако при решении многих вновь возникающих прикладных задач, сводящихся к уже хорошо исследованным краевым задачам, классической теории оказывается недостаточно. Поэтому при постановке краевых задач возникает необходимость в расширении классических предположений о классах заданных и искомых функций, о границах рассматриваемых областей и о других параметрах задачи.
Российскими и зарубежными авторами в последние два-три десятилетия опубликовано значительное количество оригинальных работ в области краевых задач комплексного анализа, исследования в которых ведутся в различных направлениях: обобщаются полученные ранее результаты для более широкого класса контуров; рассматриваются различные задачи, содержащие граничные
значения функций, комплексно сопряженных с искомой; исследуются краевые
задачи в классах функций, являющихся обобщениями аналитических функций
комплексного переменного (бианалитические, полианалитические,
метааналитические функции). Существенный вклад в развитие данного направления внесли А.В. Бицадзе [1], И.Н. Векуа [2], М.П. Ганин [4], Ф.Д. Гахов [5], В.И. Жегалов [6], А.А. Закарян [7], КМ. Расулов [13], B.C. Рогожин [14], И.А. Соколов [15], Н.Т. Хоп [16], Н. Begehr [17] и другие известные математики.
В дальнейшем мы будем придерживаться приводимой ниже условной классификации краевых задач, принятой в монографии КМ. Расулова [13].
Краевую задачу для решений дифференциального уравнения второго порядка (например, уравнения (1)) будем называть классической, если в ней требуется найти решения этого уравнения по двум независимым краевым условиям; если же требуется найти решения дифференциального уравнения второго порядка лишь по одному краевому условию, то такую краевую задачу назовем неклассической.
Среди классических краевых задач для бианалитических функций (т.е. решений уравнения (1)) наиболее часто встречающимися в математической литературе и приложениях являются следующие две задачи типа Гильберта: в конечной односвязной области Т+, ограниченной простым замкнутым гладким контуром у, требуется найти бианалитическую функцию F(z) = U(x,y) + iV(x,y), удовлетворяющую на у следующим краевым условиям:
Задача ГК1.
Rz{hJJ)F+(t)} = qQ(t),
ъШ)!ЩЩ = чМ (2)
дп+
Задача ГК2.
JRe{/UQF+ (Q} = q0(t),
[}&№) AF+(t)} = qi(t),
д2 д2 д
где F+(t) = lim F(z), А = —- +—- - оператор Лапласа, - производная по
z^t(=-r дх ду дп+
внутренней нормали к у, a hk(t), qk(t) (k = 0,1) - заданные функции точек контура у, удовлетворяющие условию Гёлъдера вместе со своими производными до
второго порядка включительно (т.е. hk(t), qk(t)GH(2)(y)), причём hk(t)^0 на у.
Впервые задачи вида (2) и (3) в классах бианалитических (полианалитических) функций были изучены в начале второй половины прошлого столетия в работах B.C. Рогожина [14] и М.П. Ганина [4].
Большой вклад в развитие теории классических краевых задач для бианалитических функций и их различных обобщений внесли К.М. Расулов [13], И.А. Соколов [15], Н. Begehr [17] и др.
Начало систематическому исследованию неклассических краевых задач для уравнения (1) было положено в работе А.В. Бицадзе [1].
В дальнейшем изучение неклассических краевых задач для бианалитических (полианалитических) функций велось в работах А.А. Закаряна [7], К.М. Расулова [13], Н.Т. Хопа [16] и др. К числу наиболее часто встречающихся в математической литературе неклассических задач в классах бианалитических функций можно отнести следующие две задачи.
Требуется найти бианалитическую в области Т+ функцию F(z) = U(x,y) + iV(x,y), удовлетворяющую на контуре у одному из следующих краевых условий:
Задача Гт.
af+(0+g(o^4o = s(0; (4)
Задача ГМ2.
dF+ (t)
дп+
где F+(t) = lim F(z), А = —- +—- - оператор Лапласа, - производная по
z^t(z-r дх ду дп+
внутренней нормали к у, a G(t), g(t) - заданные функции точек контура у, удовлетворяющие условию Гёлъдера вместе со своими производными первого порядка, причём G(t) ^0, t є у.
Естественным обобщением классических краевых задач (2), (3) и неклассических краевых задач (4), (5) являются аналогичные краевые задачи в классах метааналитических в области Т+ функций, т.е. для функций, являющихся регулярными в области Т+ решениями дифференциального
уравнения вида
d2F(z) dF(z) ,„
-2 +al—^ + a0F(z) = 0, (6)
dz oz
где ax, a0 - комплексные постоянные.
Известно, что если Л0 и Лг - корни характеристического уравнения
Л2 + ахЛ + а0 = О, (7)
то общее решение уравнения (6) в области Т+ можно задавать в виде
F{z) = {(p+0{z) + z-(p+l{z)\e^\ если 4,=4, (8)
F{z) = (pl{z)-e^+(p+l{z)-e^\ если Я0фЯх, (9)
где (pi (z), $ (z) - произвольные аналитические в Т+ функции. В частном случае, когда ах = а0 = 0, решения уравнения (6), очевидно, образуют класс
бианалитических в Т+ функций.
Следует отметить, что исследованию классических и неклассических краевых задач в классах метааналитических функций посвящены работы В.И. Жегалова [6], А.А. Закаряна [7], К.М. Расулова [13], Wang Yu-feng [18] и многих других математиков.
В работе Ю.С. Малеина [11] было установлено, что основные качественные свойства метааналитических функций (внутренние и граничные теоремы единственности и др.) остаются справедливыми и для более общих классов функций; в частности, для класса функций комплексного переменного F{z), представимых в области Т+ в виде
F{z) = (cpl{z) + z-cp+l{z))-e^\ zsT\ (10)
F{z) = cpl{z)e^-z+cp+l{z)-e^\ zsT\ (11)
где ері (z), срх+ (z) - произвольные аналитические (голоморфные) в Т+ функции, а A0(z), 4(z) - заданные функции, аналитические в области Г+, для которых вронскиан
^(z)z e\{z)z
L4>(z)z e\(z)z j-
(12)
A0(z)eUz)z Xx{z)ek(z)z
системы функций eMz>z, eMz}z не обращается тождественно в нуль в Т+.
Всюду в дальнейшем, функцию F(z), представимую в области Т+ в виде (10), мы называем обобщенной метааналитической функцией первого типа. Аналогично, функцию F(z), представимую в области Т+ в виде (И) и для которой вронскиан (12) не обращается тождественно в нуль в Г+, будем называть обобщенной метааналитической функцией второго типа.
Насколько нам известно, задачи ГК1, ГК2, Гт и Гт до сих пор оставались не исследованными в классах обобщенных метааналитических функций. Поэтому разработка методов решения краевых задач ГК1, ГК2, Гт, Гт для обобщенных метааналитических функций, а также исследование картин их разрешимости является на сегодняшний день актуальной проблемой теории краевых задач комплексного анализа.
Целью настоящей работы является разработка общих методов решения и установление картин разрешимости основных классических краевых задач типа Гильберта Гкі и ГК2, а также неклассических краевых задач типа Гильберта Гт и rN2 в классах обобщенных метааналитических функций в единичном круге Г ={z:\z\<\).
Методика исследования. В работе использованы методы теории функций комплексного переменного, теории интегральных уравнений (Фредгольма I и II рода), аналитическая теория дифференциальных уравнений. Также существенным образом задействована теория скалярных и матричных задач (типа Римана, типа Гильберта) в классах аналитических функций.
Научная новизна. В диссертации впервые разработаны методы решения классических и неклассических краевых задач типа Гильберта в классах обобщенных метааналитических функций в круге, найдены необходимые и достаточные условия их разрешимости, установлено наличие или отсутствие
нётеревости, построены примеры, иллюстрирующие общие методы решения указанных задач.
Основные положения, выносимые на защиту:
методы решения классических краевых задач типа Гильберта ГК1 и ГК2 в классах обобщенных метааналитических функций в круге;
построение картин разрешимости краевых задач ГК1 и ГК2 , а также выявление условий, при которых эти задачи являются нетеровыми;
методы решения неклассических краевых задач типа Гильберта Гт и rN2 в классах обобщенных метааналитических функций в круге;
необходимые и достаточные условия разрешимости краевых задач Гт и Гт.
Практическая значимость результатов. Диссертация носит теоретический характер. Результаты данного исследования могут быть использованы в научных коллективах, занимающихся исследованием краевых задач в классах аналитических функций и их различных обобщений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов для студентов и аспирантов Смоленского, Белорусского, Новосибирского, Казанского и др. университетов.
Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 93 наименования. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Общий объем работы составляет 126 страниц.
Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них работы [3], [5], [6] опубликованы в рецензируемых научных журналах из перечня ВАК.
Личный вклад соискателя. В совместных работах [1]-[6] постановка задач принадлежит научному руководителю профессору К.М. Расулову, все выкладки и обоснование результатов принадлежат соискателю.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на Девятой международной Казанской летней научной школе-конференции «Теория функций, её приложения и смежные вопросы» (Казань, 2009 г.), на 8-й, 9-й и 10-й международных конференциях «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2007-2010 г.г.), на международной конференции
«Герценовские чтения - 2010» (Санкт-Петербург, 2010 г.), а также неоднократно на научно-исследовательском семинаре «Краевые задачи комплексного анализа и их приложения» в Смоленском государственном университете (руководитель -профессор К.М. Расулов, Смоленск, 2006-2011 гг.).
