Введение к работе
Актуальность темы. Среди наиболее важных задач теории приближения особое место занимают экстремальные задачи, связанные с наилучшим приближением аналитических в круге функций комплексными полиномами. К настоящему времени аппроксимационные и структурные свойства аналитических в круге функций хорошо изучены. В то же время для аналитических функций многие экстремальные задачи до сих нор остаются нерешенными. К их числу относится задача о точном вычислении значений поперечников классов аналитических функций в наиболее известных функциональных пространствах.
В 193G г. А.Н.Колмогоров дал определение поперечника множеств в линейном нормированном пространстве и предложил рассматривать в качестве аппарата приближения всевозможные линейные мноїчюбразин фиксированной размерности. Получаемые при этом величины называются поперечниками но Колмогорову.
Диссертационная работа посвящена вычислению колмогоровских поперечников классов аналитических функций, принадлежащих пространству Харди, определяемых модулями непрерывности высших порядков. Отметим, что вопросы, связанные с точным вычислением поперечников классов функций, в определение которых существенную роль играют модули непрерывности или модули гладкости, ранее рассматривались в работах В.М.Тихомирова, Л.В.Тайкова, Н.Айнуллоева, С.Б.Вакарчука, М.Ш.Шабозова. Результаты, полученные в диссертации, дополняют и продолжают исследования указанных авторов в этом направлении.
Цель работы. 1) В пространстве Харди Нр, 1 < р < 2, получигь точные неравенства, связывающие наилучшие приближения аналитических функций полиномами с интегралами, содержащими модули непрерывности высших порядков граничных значений производных г - го порядка.
2) Вычислить точные значения поперечников л о Колмогорову классов
С. Петербург
2МЧРК -
аналитических функций, определяемые модулями непрерывности высших порядков граничных значений производных.
Метод исследования. В работе используется разработанный В.М.Тихомировым метод оценки снизу поперечников компактов в нормированных пространствах.
Научная новизна исследований.
Найдены новые точные неравенства между наилучшими приближениями аналитических в единичном круге функций полиномами и модулями непрерывности высших порядков производных в пространстве Харди Нр, 1 < р < 2;
найдены т очные константы в неравенствах типа Джексона для классов аналитических функций принадлежащих Hpi 1 < р < 2;
вычислены точные значения поперечников по Колмогорову некоторых классов аналитических функций определяемых модулями непрерывности высших порядков в пространстве Иг.
Практическая ценность. Все результаты являются новыми. Они имеют как теоретическое, так и прикладное значение. Результаты первой главы могут быть использованы при решении экстремальных задач теории приближения аналитических функций в пространствах Бергмана, Гварадзе и др., а результаты второй главы могут быть использованы при подсчете є -энтропии компактных классов аналитических в единичном круге функций.
Апробация работы. Результаты диссертации обсуждались на семинарах но теории приближения функций в ХоГУ им.М Назаршоева (Хорог, 1998 - 2003 гг.); на семинаре по теории функций в ТГНУ (Душанбе, 1998 - 2000 гг.): на научно-теоретической конференции посвященной 10-летню ХоГУ им.М.Назаршоева (Хорог, 26-28 октября 2002 г.); на междунар конференции но дифференциальным и интегральным уравнениям с сингулярными коэффициентами (Душанбе. 25-29 октября 2003 г.).
Публикации. Основные результаты диссертации онуг> и кочаны и работах [1 - 5j, список которых приведен в конце автореферата
Структура и объем работы. Диссертация изложена на 74 принтах машинописного текста и состоит из введения, двух глав и описка цитирован ной литературы из 40 наименований.
