Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Экстремальные задачи, связанные с обобщенной выпуклостью и почти выпуклостью функций 15
1.1. Критерий почти выпуклости заданного порядка регулярных функций в круге 15
1.2. Нижняя оценка arg{(z2 -c)f'{z2)l{zx -c)/'(zi)} на классах S и К{Р) 20
1.3. Границы почти выпуклости и выпуклости заданного порядка классов S и К(Р) вточке 27
ГЛАВА 2. Уклонение образов гладких кривых при однолистных кон формных отображениях 35
2.1. Формула для вычисления величины уклонения 35
2.2. Об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях 38
2.3. Экстремальные значения уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях 42
ГЛАВА 3. Геометрические свойства и интегральные преобразования регулярных функций 49
3.1. Свойство звездообразности и интегральные преобразования регулярных функций 49
3.2. Достаточные условия выпуклости и почти выпуклости интегральногооператора Бернарди 64
3.3. Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций 71
Заключение 78
Список литературы 80
Список работ, опубликонных по теме диссертации 88
- Нижняя оценка arg{(z2 -c)f'{z2)l{zx -c)/'(zi)} на классах S и К{Р)
- Об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях
- Экстремальные значения уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях
- Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций
Введение к работе
Геометрическая теория функций комплексного переменного является в настоящее время интенсивно развивающейся областью математического анализа, в которой изучаются регулярные или мероморфные функции, определяемые какими-либо геометрическими свойствами, а также различные геометрические и экстремальные свойства тех или иных классов функций.
В геометрической теории аналитических функций комплексного переменного важное место занимают вопросы, связанные с исследованием функционалов, непосредственно характеризующих искажения кривых и областей при соответствующих конформных отображениях (см. [1-5; 9; 12; 13; 16; 17; 23-25; 28; 30-33; 36-41; 45-53; 60; 63; 88; 90]), с изучением устойчивости и изменения геометрических свойств аналитических функций при интегральных преобразованиях (см. [35; 42-44; 54; 64; 82; 84; 85]). Особенно актуальными являются эти вопросы для однолистных функций в круге, т.е. функций, принимающих в различных точках круга различные значения, которые реализуют конформные отображения и находят широкое применение во многих разделах математики и механики.
Настоящая работа посвящена изучению геометрических и экстремальных свойств регулярных функций в круге. Основными направлениями исследований в работе являются: изучение геометрических свойств образов кругов со смещенным центром при конформных отображениях, осуществляемых регулярными однолистными функциями в единичном круге, определение экстремальных значений уклонения образов гладких кривых при конформных отображениях, осуществляемых регулярными выпуклыми функциями в единичном круге, исследование вопроса об изменении геометрических свойств регулярных функций при интегральных преобразованиях. Все эти направления касаются указанных выше вопросов, этим обуславливается актуальность проводимых исследований.
Дадим обзор содержания диссертации с параллельным кратким обзо ром некоторых известных результатов, непосредственно связанных с рассматриваемым в ней кругом вопросов.
В дальнейшем: Е(с, р) = {z :\z - с\ р}, Е=Е(0,1); R - класс регулярных в круге Ефункций f(z) с f {z) = 0 в Е; S - класс однолистных функций f(z) є R, нормированных условиями /(0) = 0, f (0) = U S° класс функций f{z) є S таких, что
Чі+/Ш о г€і?; о)
S - класс функций f(z) є S таких, что
zf (z) Re - 0,ze; (2)
S- класс функций f(z) є S таких, что Re f (z) 0 в круге E.
Область G называется выпуклой, если любые две точки G можно соединить прямолинейным отрезком, лежащим в G, и называется звездообразной относительно точки и 0 є G, если любую точку G можно соединить с w0 прямолинейным отрезком, лежащим в G.
Условия (1) и (2) есть необходимые и достаточные условия для того, чтобы функция w = f(z) отображала круг Е соответственно на выпуклую и звездообразную относительно точки w = 0 область. В связи с этим функции класса S0 называются выпуклыми, а функции класса S - звездообразными функциями в круге Е. Функции класса S по предложению В.А.Зморовича называются функциями с ограниченным вращением в круге Е.
Свойства выпуклых и звездообразных функций в круге Е к настоящему времени наиболее изучены в теории однолистных функций. Систематическое изучение экстремальных свойств функций с ограниченным вращением в круге Е начато В.А.Зморовичем [19; 21]. Ряд свойств этих функций указан И.М.Гальпериным [14], Т.Мак-Грегором [65] и другими авторами.
М.Робертсон [80] ввел понятие порядка выпуклости для f(z) є S° и по рядка звездообразности для f{z) S , заменив условие выпуклости (1) на условие Ч1+Л?} /?,2ЄІГ (3) где /?, О Р 1, - порядок выпуклости f(z), а условие звездообразности (2) на условие Re T(z) /00 где Р, 0 /? 1, - порядок звездообразности f{z). Функции, выпуклые порядка /3 в Е и звездообразные порядка /3 в , образуют подклассы классов 5го и , которые обозначаются S°(p) и S (/3). Через S(J3) обозначается подкласс функций из S с ограниченным вращением порядка /3 в Е, т.е. функции /(z) єS таких, что Re/ (z) /?, ZG, 0 /? 1.
Регулярная в круге Е(с, р) функция w = f(z), отображающая круг Е(с, р) на область G, называется выпуклой в Е(с, р), если G - выпуклая область, и называется звездообразной в Е(с, р), если G - звездообразная область относительно точки w0 = f(c). Аналитически выпуклость функции f(z) в Е(с, р) выражается неравенством [4]
а звездообразность - неравенством [5]
/00-Де) Принимая это во внимание и следуя М.Робертсону [80], мы называем регулярную в круге Е(с,р) функцию /О), f (c) 0, выпуклой порядка р, 0 Р 1 ,в круге Е(с, р), если KeL pnu\ fl,zeE(c,p), и называем звездообразной порядка /? в круге Е(с, р), если Re {z-c)f {z) j3,zeE(c,p). /00-Де) По определению В.Каплана [59], функция f{z) е R, удовлетворяющая в Е условию Re (4) с некоторой (зависящей от f(z)) выпуклой функцией g(z) в Е, называется почти выпуклой или близкой к выпуклой (см. [11, с.583]). Почти выпуклые функции являлись предметом исследования многих работ (например, [8; 18; 29; 73-77]) и их понятие обобщено в разных направлениях (см. [26; 34; 55; 56; 62; 72; 85; 86; 89]). В частности, введены в рассмотрение функции, почти выпуклые определенного порядка.
Известно (например, [56]), что функция f(z) є R, нормированная условиями /(0) = 0, f (0) = 1, называется почти выпуклой порядка /?, 0 /? 1, в Е, если существуют такие выпуклая функция g(z)eS° и комплексная постоянная є, є = 1, что в Е
arg
/Зтг
Множество всех таких функций обозначаем через К{@). Ясно, что К(0) = S°, К(ї) = К - класс почти выпуклых функций в Е. Классы K(fi), 0 /3 1, состоят из однолистных функций в Е [59] и являются специальными подклассами функций, введенных в [32].
Регулярную в круге Е(с,р) функцию f(z), f (c) 0, называем, по определению, почти выпуклой порядка (5, 0 р 1, в круге Е(с, р), лежащем в Е, если существует выпуклая в Е(с,р) функция g(z) такая, что в Е(с,р) arg« (5) Центральное место в исследованиях класса S и его подклассов занимают результаты, касающиеся величин, непосредственно характеризующих искажение отображаемой области. Весьма наглядно выясняют степень искажения однолистного отображения так называемые границы выпуклости, звездообразности, почти выпуклости и т.д. Они показывают какие из кругов Е(с,г)аЕ при однолистном отображении круга Е любой функцией класса S (или некоторого его подкласса) переходят в области того или иного геометрического типа.
Первая глава диссертации посвящена определению границ заданного порядка выпуклости и почти выпуклости классов S и K(J3) в произвольной точке сєЕ. Р.Неванлинна [70] нашел, что всякий круг z г при 0 r 2-v3= 0.268... отображается любой функцией класса S на выпуклую область. Число нельзя заменить большим. Оно называется границей выпуклости для класса S [15, с.165-166]. И.А.Александров [3] (см. также [4; 7, с. 163-164; 6, с.58; 11, с.565]) доказал, что всякий круг Е(с,г), лежащий в Е, при 0 г г (с) = 2-л/3+ с 2 любой функцией f(z) є S отображается на выпуклую область. Позднее из других соображений этот результат получен Б.Н.Рахмановым [37] и Л.М.Бер [13]. Число г (с), которое нельзя увеличить без дополнительных ограничений, названо И.А.Александровым границей выпуклости класса S в точке с.
Ставшие уже классическими, результаты Р.Неванлинны и И.А.Александрова послужили стимулом для отыскания границы почти выпуклости класса S. Впоследствии, Я.Кшиж [60] и П.И.Сижук [38] определили наибольшие радиусы кругов с центром в нуле, в которых каждая функция класса S почти выпукла и почти выпукла порядка /3.
Наряду с исследованием границ выпуклости и почти выпуклости всего класса S проводились- исследования по определению границ выпуклости и почти выпуклости его подкласса K(jB). В частности, Х.Поммеренке [74] на шел, что круг \z\ \ + Р- ip + рг, но не всегда больший круг, отображается любой функцией класса К(Р) на выпуклую область. В.И.Кан [27] установил, что круг \z-c\ \ + Р л]ір + р2 + \с\2, но не всегда больший круг, отображается любой функцией классаК(Р) на выпуклую область. Д.В.Прохоров и Н.Б.Рахманов [36] определили границу (радиус) почти выпуклости класса К(Р).
Следуя И.А.Александрову, мы называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка /? класса S в точке сєЕ точную верхнюю границу гр{с) (гр(с)) радиусов кругов Е(с,г) с Е, в каждом из которых любая функция из класса S является выпуклой (почти выпуклой) порядка р.
Аналогично, называем границей выпуклости (почти выпуклости) порядка а класса К(Р) в точке сеЕ точную верхнюю границу а(с,/?) (га (с, Р)) радиусов кругов Е{с, г)а Е, в каждом из которых любая функция из класса К(Р) является выпуклой (почти выпуклой) порядка а. В § 1.1 устанавливается критерий почти выпуклости порядка /? в круге Е(с,р) функций f(z)eR. В частности, при с = 0 и р = \ получаются соответствующие результаты работ [59; 77; 79].
В §1.2 находятся точные нижние оценки функционала 2LXg{{z2-c)f {z2)l(zl-c)f {zi)} на классах S и К(Р) при любых zk =c + reiVk, k = \,2, 0 pt рг 2л:, r+1 z 1. При c = 0 получается результат из работы [38] для функций f(z) є S.
В §1.3 с помощью результатов предыдущих параграфов определяется граница почти выпуклости порядка р класса S в произвольной точке се Е и граница почти выпуклости порядка а класса К(Р) в точке с; находятся границы выпуклости заданного порядка классов S и К(р) в точке с.
Соответствующие результаты работ [3; 13; 27; 36-38; 60; 70; 74] получаются в частных случаях.
Во второй главе рассматривается вопрос об уклонении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями классов S и S°.
Как известно (см. введение в библиографию в [50]) уклонением А плоской кривой u = u(t), v = v(t), t - параметр, (6) в некоторой ее точке М называется тангенс угла 8, образованного предельным положением прямой MN и нормалью к кривой в точке М, где N - середина хорды кривой, параллельной касательной в точке М, когда хорда стремится к М. Угол 8 называется углом уклонения, а предельное положение прямой MN - осью уклонения или аффинной нормалью к кривой. Величина уклонения А измеряет асимметрию кривой относительно нормали, проходящей через точку М, и является наряду с кривизной важной характеристикой кривой в окрестности точки М.
Вопрос об изменении кривизны линий уровня (образов концентрических окружностей z = г) при однолистных конформных отображениях рассматривался в целом ряде работ (например, в [10; 20; 30; 47; 48; 51]). В некоторых классах однолистных функций он решен полностью. В.В.Черников и С.А.Копанев [50] положили начало исследованию экстремальных свойств уклонения линий уровня при однолистных конформных отображениях. В.В.Черниковым [49; 50] (см. также [6, с.205-216]) дано полное решение задачи об экстремальных уклонениях линий уровня в классе S, а С.А.Копаневым [50] (см. также [6, с.216]) - в классе S0. Впоследствии, П.И.Сижуком и А.А.Бутенко [39] эта задача решена в двух подклассах класса S0. С.М.Югай [52] получено решение задачи об экстремальных уклонениях образов окружностей со смещенным центром вдоль вещественного диаметра круга Е при конформных отображениях, реализуемых всеми функциями класса S0 и р -симметричными функциями из S°. Поведение функций класса S на окружностях с центрами, не совпадающими с началом рассматривалось в работах [88; 90].
В §2.1 выводится формула для вычисления величины уклонения в произвольной точке образа достаточно гладкой кривой при конформном отображении w = f(z) є S. Указанные в работах [50; 52] формулы для уклонения образов окружностей содержатся в нашей формуле.
В §2.2 рассматривается общая задача об изменении уклонения образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса S.
В §2.3 приводится полное решение задачи об экстремальных значениях уклонения образов достаточно гладких кривых при отображении круга Е функциями класса S0. В частных случаях получаются соответствующие результаты работ [50; 52].
В третьей главе рассматривается вопрос об изменении геометрических свойств регулярных функций под действием на них интегральных операторов. Исследованию этого вопроса в теории однолистных функций посвящен большой цикл работ (см. обзор в [1], [2] и введение в [44]). Р.Либера [64] доказал, что оператор L(f) = F(z) Л )f{t)dt (7) zo сохраняет принадлежность функций классам S , S0 и К. С.Бернарди [54] доказал такое же утверждение относительно оператора B(f) = F(z) )rlf(t)dt (8) z о при каждом комплексном v, Re v 0. П.Мокану, М.Рид и Д.Рипеану [69] уточнили результат Р.Либеры о звездообразности оператора L(f). Они нашли порядок звездообразности L(f) в классе S , который определяется как наибольшее число (3 = J3[L(S )] такое, что L(S ) с S (/?). Р.Сингх и С.Сингх [84], распространяя результаты Р.Либеры на более широкие классы функций, доказали, что если функция f(z) = z + ... из класса R удовлетворяет в Е условию (3) при /? = -1/2, тогда представимая интегралом Либеры (7) функция F(z) принадлежит классу S°, а если для f{z) существует функция g(z), удовлетворяющая условию 1 ( )/ 2 такая, что имеет место неравенство (4), то функция F(z) принадлежит классу К. Они также доказали, что F(z)отображает круг z 4--ЛЗна выпуклую область, если f(z) є S. Н.Сохи [87] показал, что при v 1 утверждение С.Бернарди о звездообразности и выпуклости функции F(z) в (8) имеет место при более слабых условиях для f(z): F(z) є S , если f(z) = z + ...eR и f(z) 2v и F(z) =S°,ecnm f(z) = z + ...eRu I / (г) J lv Ст.Рушевей [82], обобщая результаты Р.Либеры и С.Бернарди об устойчивости свойства звездообразности регулярных функций относительно интегральных операторов (7) и (8), доказал, что если функция f(z)eS , а 0 и Re v 0, тогда функция v + a F(z) = \tv fa(t)dt \/а = Z + . (9) также принадлежит классу S , т.е. оператор R(f) = F{z) в (9) сохраняет свойство звездообразности регулярных функций. Позднее С.Миллер, П.Мокану и М.Рид [68] доказали, что оператор M(f) = F(z), где F{z) = v + a + y \tv+ -xfa(t)dt -iV(«+r) = z + . (10) при а 0,у 0 и v + y 0 отображает S в S . В.А.Зморович [19] высказал предположение, что каждая функция с ограниченным вращением в Е является звездообразной в Е. Я.Кшиж [61] привел пример функции с ограниченным вращением в Е, не являющейся звездообразной в Е.
С.Сингх и Р.Сингх [85] доказали, что высказанное В.А.Зморовичем предположение имеет место в подклассе функций с ограниченным вращением, на который интегральный оператор Бернарди (8) при -1 v 0 отображает весь класс S функций с ограниченным вращением в круг Е.
В многочисленных работах отечественных и зарубежных математиков изучались геометрические свойства регулярных функций в зависимости от коэффициентов их разложений в ряд Тейлора. Источником многих таких исследований явился результат Р.Ремака [78] (см. также работу [57] А.Гудмана) о том, что функция f{z) = z + a2z +... + anzn +... из R звездообразна в Е, если со л=2
В связи с тем, что в основном все приведенные результаты получены методом, который опирается на лемму Жака [58] или ее уточнение, данное С.Миллером и П.Мокану [66], представляет интерес задача: исчерпать возможности этого метода в решении рассмотренных в работах [68, 82, 84, 85, 87] вопросов о геометрических свойствах функций (8) - (10) и на этом пути уточнить и распространить на другие классы регулярных функций результаты указанных работ. Эта задача является главной среди задач, рассматриваемых в третьей главе.
В § 3.1 устанавливается достаточное условие звездообразности интегрального оператора (10) при комплексном параметре у; дается оценка порядка звездообразности оператора (9) в классе S и для ряда значений параметров определяется порядок звездообразности оператора (10) на классе (/?); находится наибольший радиус круга Е{с, г), в котором функция f(z)
в (9) звездообразна порядка /?, если F(z) є (/?). Соответствующие результаты работ [68; 82] уточняются и обобщаются. Результат работы [69] получается в частном случае.
В § 3.2 обосновываются достаточные условия выпуклости и почти выпуклости заданного порядка в круге Е(с, р) отнормированного интегрального оператора Бернарди (8); находится оценка порядка выпуклости оператора
Бернарди на классе S0; выводится коэффициентное условие выпуклости заданного порядка в круге Е(с, р) отнормированного оператора Бернарди. Соответствующий результат работы [87] получается в частном случае, а работы [84] - в частном случае и при ослабленном условии на функцию g(z).
В § 3.3 получается условие, которому должна удовлетворять функция f(z), чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством ограниченного вращения в круге Е; дается оценка порядка ограниченного вращения оператора (8) на классе S; находится наибольший радиус круга \z\ г, в котором f(z) в (8) является функцией с ограниченным вращением порядка
Р, если F(z) є S (]3); устанавливается условие, более слабое, чем в [85], которому должна удовлетворять производная функции f(z) в (8), чтобы интегральный оператор (8) при -1 v О отображал S в S .
Нижняя оценка arg{(z2 -c)f'{z2)l{zx -c)/'(zi)} на классах S и К{Р)
Доказательство. Пусть z, = с + гет - произвольно фиксированная точка из круга Е и z2 = с + re l p,+r), О у 2п. Выполним отображение круга Е самого на себя. При этом точка z, перейдет в начало координат, а точка z2 - в точку Пусть f(z) є S и Тогда функция принадлежит классу S. Поэтому по теореме вращения в классе S (см., например, [7], с. 184; [15], с. И4) имеем аргументом понимается значение, определяемое равенством По формулам (1.26) и (1.27) находим ПС), так что (2,-с)/ (22) .(2,-0)/-(2,) Положив (1-1612 )rtg(y / 2) - 2r I с I sin(arg с - ),) = запишем равенства z2-c arg (z,-c)(l-z,z2) функций где F() є 5 и доставляет знак равенства в (1.28). Найдем при фиксированном а , О а 1 , нижнюю границу значений функции у/{а, у) в интервале (-оо,оо). На основании равенства что при фиксированном а, 0 а 1, функция у/2{а,у) имеет единственную точку экстремума у0, в которой у/2 {а, у) принимает наименьшее значение (у0 то же, что в теореме). Далее с помощью равенства приходим к выводу, что при фиксированном а функция ц/х {а, у) монотонно убывает на интервале (-сю,с»), если 0 а 1 / 2, и имеет единственную точку экстремума в которой у/, (а, у) принимает наименьшее значение, если 1/2 а 1. Отметим, что обе точки у0 и д принадлежат интервалу (-V2a2-l,V2a2-l) , если V578 а \ , и не принадлежат ему, если 1/2 а л/578. Следовательно, где w.(a,co) = \imi//.(a,y) = 0. Отсюда и из (1.32) получаем требуемые оценки (1.17)-(1.19). Простые вычисления показывают, что нижняя грань в (1.34) при 1/2 а 1 достигается для функций (1.33) в точках z, , z2 , I z, - с H z2 - с = r = (1 - л/і-а2 +а2 с2) / а , аргументы которых связаны соот ношением a 1/2 значение inf ш(а,у) не достигается функциями класса -00 } 00 S , но в этом случае для функций (1.33) и точек z, , z2 таких, что \zl-c\=\z2-c\=r = (\- \-a2+a2\c\2)/a, -zlz2Y выполняется равенство limy/(а, у) = inf у/{а,у). Теорема доказана. у—»00 -00 Д» оО Теорема 1.2 при с = 0 содержит соответствующий результат в [38]. Теорема 1.3. При любых zk=c + гёп, к = 1,2, 0 q x (р2 2ж; г+ \ с 1, для f(z) є К{Р) справедлива оценка a = 2r/(l + r2— с2); иод arg{(z2 -c)f\z2}l(zx -c)f {zx)} понимается ветвь, определяемая равенством (1.23). Оценка (1.35) точная, но не достигается функциями класса К(Р). Существует функция f(z)eK(P), для которой в неравенстве (1.36) имеет место знак равенства при некоторых Доказательство.
Применим схему рассуждений, использованную в доказательстве теоремы 1.2. Пусть z, =c + rei Px- произвольно фиксированная точка из круга Е и z2 =c + rei( Pl+r),0 у 2тг. Отобразим круг Е на себя с помощью функции (1.24). При этом точка zx перейдет в начало координат, а точка zz- в точку 0, указанную в (1.25). Пусть f(z)z.K{f3)vi z{)определяется формулой (1.26). Тогда задаваемая формулой (1.27) функция F(z) принадлежит классу K(J3). Поэтому для нее по теореме вращения в классе К(/3) [56] в точке "„ имеем где под аргументом понимается значение, определяемое равенством получаем равенство (1.29), которое вместе с неравенством (1.38) приводит к оценке где значения аргументов стремятся к нулю при z2— zx. Знак равенства в (1.39) имеет место только для функции равенства в (1.38). Простые вычисления дают: приняв обозначения (1.22) и (1.30), приходим к равенствам (1.31), учитывая которые запишем неравенство (1.39) в виде где Найдем при фиксированных /?є[о,і]и ає(0,і) нижнюю границу значений функции у/(а,р,у) в интервале (-оо,оо). Имеем так что ду/Іду 0 при - оо у оо, если 0 а 1/(1 + /?), и при - оо у ух, где если 1/(і + /?) я 1; ді///ду 0 при у, _у оо, если 1/(1 + /?) а 1. Следовательно, определяемая формулой (1.41) функция у/{а,Р,у) при фиксированных /? и а как функция от у монотонно убывает на интервале (-оо,со), если 0 а 1/(1 + /?), и имеет единственную точку минимума, равную ух, если 1 /(і + 0) а 1. Таким образом, где (а,Дсо) = Нт (а,у?, ) = 0. - » Из (1.41) и (1.42) путём несложных вычислений получаем требуемые оценки (1.35), (1.36). Утверждение теоремы о точности этих оценок следует из того, что нижняя грань в (1.42) при l/(l + /3) а 1 достигается для функции (1.40) в точках 2, и z2 таких, что [{Zl-c){\-zxz2y В (1.42) при 0 a l/(l + /?) inf y/(a,j3,y) не достигается функциями класса К{(3), но в этом случае для функции (1.40) и точек zx,z2:z, -с = \z2 -c\-r, arg z -c = larcctgy, [Or.-cXl- yj выполняется равенство linw (я,/?, ») = inf ц/{а,/3,у). Теорема доказана. - оо - а у а Замечание. Известно [56], что знак равенства в (1.38) имеет место для функции ґл , Л г\х р Г 1 + е Х к(р) -1 i-C при подходящем выборе 8 и С, Дадим приложение результатов предыдущих параграфов к решению задач о границах почти выпуклости заданного порядка классов S иК({3)в произвольной точке сєЕ. Найдем границы выпуклости заданного порядка классов S пК(/3) в точке с. Теорема 1.4. Граница почти выпуклости порядка /3 класса S в точке сеЕ есть число
Об изменении уклонения образов гладких кривых при однолистных конформных отображениях
В.В.Черниковым в работах [49], [50] получено полное решение задач об экстремальных значениях уклонения линий уровня и их ортогональных траекторий (относительно начала координат) в классе S. Рассмотрим общую задачу об изменении образов достаточно гладких кривых при конформных отображениях, реализуемых функциями класса S. Положим Теорема 2.1. В классе S уклонение A(f,z0) при \v\ 2q не ограничено снизу, если [л 0; не ограничено сверху, если ju 0; не ограничено снизу и сверху, если ju = 0. Доказательство. Известно [50], что если функция пробегает весь кл,z0) = (\/4)ctgj3, так что (/ o)- -00 ПРИ /?-»я--0, Д/,г0)-»+со при /?-»+0. Если 0 v 2#, то из (2.13) видим, что A(f,zQ)- -co при /? — ;г-arcsin(W2#), A{f,z0)- +oo при /? -» arcsin(W 2#). Теорема доказана. Заметим, что если / = {z = te,ip,0 t !} - радиус круга Е, то ju = 0 и v \ 2q . Значит, согласно теореме 2.1 в классе S уклонение ортогональных траекторий к линиям уровня является неограниченным снизу и сверху. Это обстоятельство было установлено ранее В.В.Черниковым [50]. Функционал (2.2) зависит от трех комплексных параметров z 0, z", z . Поэтому получить точные конечные экстремальные значения A(f,z0) в классе S, по-видимому, затруднительно. Укажем неточные оценки A(f,z0). Теорема 2.2. В классе S для уклонения A(f,z0) при \v\ 2q имеют место оценки представляющих области значений функционалов z0f"(z0)/f (z0) и {f,z0} = fm(zQ)/f (z0)-(3/2)(f"(z0)/f (z0))2 на классе 5 при фиксированном 20 є Е \ {0}, получим в классе S точные оценки Прилагая оценки (2.15) и (2.16) к формуле (2.2), приходим к требуемым оценкам (2.14). Теорема доказана. В этом параграфе приводится полное решение задачи об экстремальных значениях функционала A(f,z0) в классе S0, содержащееся в следующих двух теоремах, в которых сохранены обозначения (2.6). Теорема 2.3. В классе S0 уклонение A(f,z0) кривых уf = f(y) при \ у \ q (у Ф О, если ju = ±(q2 - У2)) не ограничено снизу, если fi q2 -у2, и не ограничено сверху, если ju У2 - q2. Доказательство. Рассмотрим в классе S0 функции Для упрощения вычислений перейдем к новым параметрам /, и у2, связанными с параметрами вх и в2 соотношениями со(вк) = а + Ъёп (к = 1,2), где и запишем формулу (2.17) в виде ( 8 = arg(z /z0)) из которого находим: A(f,z0)- +оо при Я— Я2 =(\ + v/-yJ2q2 v2)/2 , если ju v2 -q2, а также при Я - Я2 +0, когда Я 0, и при Я -» Я2 -0, когда Я 0, если ju = v2 -q2. Теорема доказана. Теорема 2.4. 5 классе S0 для уклонения A(f,zQ) кривых уf = f(y) справедливы точные оценки Доказательство. Ограничимся исследованием экстремальных асс S, то при фиксированном z0 = ге, р класс S пробегает и функция где (2.9) l-znz
При помощи формул (2.8), (2.9) выразим уклонение (2.2) через коэффициенты с2 и съ разложения (2.7). Логарифмическим дифференцированием производной функции (2.8) находим которые вместе с принятыми обозначениями (2.6) позволяют записать формулу (2.2) в искомом виде Возьмем функцию принадлежащую классу S при любых вещественных в и t, -1 f 1. Для нее с2 где /5 = 6 + arg(z / z0) и можно считать, что /? є [0,2л-). Пусть к 2q. Выбрав в (2.12) /? = л 12, получим Откуда, устремив t к vl2q , видим, что (/,z0)-»-oo при // 0 и (/,z0)-» +00 при ju 0. Если ju = 0, тогда из (2.12) при ґ = 1 имеем Если v = 0, то при sin/?=() из (2.13) находим A(f,z0) = (\/4)ctgj3, так что (/ o)- -00 ПРИ /?-»я--0, Д/,г0)-»+со при /?-»+0. Если 0 v 2#, то из (2.13) видим, что A(f,zQ)- -co при /? — ;г-arcsin(W2#), A{f,z0)- +oo при /? -» arcsin(W 2#). Теорема доказана. Заметим, что если / = {z = te,ip,0 t !} - радиус круга Е, то ju = 0 и v \ 2q . Значит, согласно теореме 2.1 в классе S уклонение ортогональных траекторий к линиям уровня является неограниченным снизу и сверху. Это обстоятельство было установлено ранее В.В.Черниковым [50]. Функционал (2.2) зависит от трех комплексных параметров z 0, z", z . Поэтому получить точные конечные экстремальные значения A(f,z0) в классе S, по-видимому, затруднительно. Укажем неточные оценки A(f,z0). Теорема 2.2. В классе S для уклонения A(f,z0) при \v\ 2q имеют место оценки представляющих области значений функционалов z0f"(z0)/f (z0) и {f,z0} = fm(zQ)/f (z0)-(3/2)(f"(z0)/f (z0))2 на классе 5 при фиксированном 20 є Е \ {0}, получим в классе S точные оценки Прилагая оценки (2.15) и (2.16) к формуле (2.2), приходим к требуемым оценкам (2.14). Теорема доказана. В этом параграфе приводится полное решение задачи об экстремальных значениях функционала A(f,z0) в классе S0, содержащееся в следующих двух теоремах, в которых сохранены обозначения (2.6). Теорема 2.3. В классе S0 уклонение A(f,z0) кривых уf = f(y) при \ у \ q (у Ф О, если ju = ±(q2 - У2)) не ограничено снизу, если fi q2 -у2, и не ограничено сверху, если ju У2 - q2. Доказательство. Рассмотрим в классе S0 функции Для упрощения вычислений перейдем к новым параметрам /, и у2, связанными с параметрами вх и в2 соотношениями со(вк) = а + Ъёп (к = 1,2), где и запишем формулу (2.17) в виде ( 8 = arg(z /z0)) из которого находим: A(f,z0)- +оо при Я— Я2 =(\ + v/-yJ2q2 v2)/2 , если ju v2 -q2, а также при Я - Я2 +0, когда Я 0, и при Я -» Я2 -0, когда Я 0, если ju = v2 -q2. Теорема доказана. Теорема 2.4. 5 классе S0 для уклонения A(f,zQ) кривых уf = f(y) справедливы точные оценки Доказательство. Ограничимся исследованием экстремальных значений A(f,z0) при тех значениях параметров /л , v и q, которые не охватываются теоремой 2.3. Пусть f(z) є 5, тогда функция f i?) регулярна в круге Е, р(0) = 1 и Re p(z) 0, z єЕ. Множество таких функций обозначим через Р. Нетрудно убедиться, что с помощью формулы (2.22) устанавливается взаимно-однозначное соответствие между классами Р и S. Выразим A(f,z0) через p(zQ) и p\zQ). По формуле (2.22) находим что вместе с равенством Подставляя выражения (2.23) и (2.24) в формулу (2.2) с учетом принятых обозначений (2.6), получим
Экстремальные значения уклонения образов гладких кривых при однолистных выпуклых отображениях
В этом параграфе рассматривается восходящий к работам [82] и [68] вопрос о звездообразности функций (9) и (10). При этом существенно используются результаты из работ [58], [83], [81], которые ниже приводятся в качестве лемм. Лемма 1. Если функция (o(z) регулярна в круге \ z г 1, а (о) = 0 и тогда Лемма 2. Пусть P(z), Р(0) = 1, -регулярная функция с положительной вещественной частью в круге Е, s — вещественное неотрицательное число и t - комплексное число такое, что t + s 0. Тогда A=\t\ +s +4 + 2, B = A -\s I , и r(s,t) не может быть заметно большим числом. Лемма 1 есть известная лемма Жака [58] (см. также [66]), а лемма 2 является следствием одного результата в [83]. Следующая лемма относится к дифференциальной подчиненности регулярных функций. Напомним (см., например, [15], с.356-357), что регулярная в Е функция P{z) называется подчиненной регулярной функции q(z) в Е и это записывается в виде P(z)- q(z)y если q{z) однолистна в Е, P(o) = q(o)uP(E)czq(E). Лемма 3. Пусть 0 /? 1, s 0, v max{(l-2j3)s-l-fls}. Тогда дифференциальное уравнение обладает регулярным и однолистным в Е решением q(z), q(o) = l, и для регулярных в Е функций P{z), Р(р) = 1, удовлетворяющих дифференциальной подчиненности справедлива точная оценка ReP(z) q(-r) при каждом z, z = г 1. Эта лемма является простым следствием теорем 1 и 2 в [81]. Следующая теорема показывает, что в упомянутых во введении результатах работ [82] и [68] требование звездообразности f(z) можно ослабить, причем в интеграле (10) при комплексном v. тогда определяемая формулой (10) функция F{z) принадлежит классу S . Доказательство. Функция регулярна в круге Е (как сумма степенного ряда, сходящегося в Е) и /,(о) 0. Убедимся, что /,(z) 0 в Е. Допустим, что /,(z) = 0 в некоторой точке z є\{о}. Тогда в окрестности U(z) точки z функция /j(z) пред-ставима в виде /2(Х) регулярная функция в U( ), причем f2(z) Ф 0. Отсюда и из (3.4) получим откуда где z, = (l-/)z, 0 и настолько мало, что zt GU(Z). Согласно этому равенству /О,) что противоречит неравенству (3.2) при z = zt. Значит, fx{z)Ф О в \
Следовательно, функция регулярна в Е и F, (о) Ф О. Пусть Я = sup {г: Fx (z) Ф 0, z г 1}. Тогда функция регулярна в круге z І? и Р(о) = 1. Докажем, что ReP(z) 0 в круге z R. Из (3.4) и (3.5) имеем Дифференцируя это равенство no z находим \а Далее логарифмическим дифференцирование с учетом, что ReP(z0) = minReP(z) = 0. Тогда для регулярной в круге z / функции (3.10) будет иметь место равенство u)(z0)=maxu)(z)j и применением леммы 1 к которое противоречит неравенству (3.2) при z = z0 єЕ. Значит ReP(z) 0 в круге z \ R. Теперь на основании формулы (3.6) имеем при а 0 неравенство с помощью которого нетрудно показать, что Fx (z) 0 на окружности z = R . В самом деле, согласно равенству (3.8) функция Fx(z) может иметь в Е только простые нули. Поэтому, если F, (z,) = О, z, = R, то в некоторой окрестности U (z,) точки z, функция Fx (z) представима в виде функция, регулярная в U (zx), F2 Откуда находим, что при z = (1 - f)z, и достаточно малом t 0. Но это противоречит (3.13). Таким образом, F, (z) 0 в круге Е и в нем Отсюда и из представления функции F(z), задаваемой формулой (10), в виде 54 F(z) = z[Fx(z)f =z + ... выводим неравенство F(z) означающее, что функция F(z) принадлежит классу S . Теорема доказана. Замечание. Приведенный во введении результат из работы [68] получен в ней из более общего утверждения, обоснованного с помощью следующего предложения. Лемма А. Пусть и, v - комплексные переменные, и = их + iu2, v = v, + iv2, и пусть Ч (и, v) - комплексно-значная функция, удовлетворяющая условиям: Если P{z)-\ + Pxz +... есть регулярная в Е функция такая, что (P(z),zP (z))eD и Re(P(z),zP (z)) 0 для всех гєЕ, тогда ReP(z) 0 в Е. Применение этой леммы вместо леммы Жака (леммы 1) в доказательстве теоремы 3.1 дает тот же результат. Чтобы убедиться в этом, достаточно проверить, что функция где а задано формулой (3.3), удовлетворяет условиям леммы А в области D = [C\{-и 1(а + у}]хС. Легко видеть, что функция Ч!(и, v) непрерывна в D, Ч/(Щ = о + а 0и когда v, -(1 + u\)/2, так что ввиду определения а. Следовательно, функция Ч у) удовлетворяет условиям (а) - (с) леммы А. Кроме того, заданная формулой (3.6) функция P(z) согласно (3.2) и (3.9) удовлетворяет условиям: (P(Z),ZP (Z))GD и Re4/(P(z),zP (z)) 0, ZGE. Поэтому в предположении, что функция P(z) регулярна в Е в силу леммы А имеем неравенство ReP(z) 0 в Е, которое нами в доказательстве теоремы 3.1 обосновывалось с помощью леммы Жака с одновременным доказательством регулярности P(z) в Е. Отметим, что нами исчерпаны все возможности леммы Жака в решении рассматриваемой задачи, а стало быть, и леммы А, что не сделано в работе [68]. Распространим на произвольный круг содержащийся в теореме 3.1 результат. Доказательство. Отобразим круг Е(с,р) на круг и 1 с помощью функции w = {z - с)1 р и рассмотрим регулярную в круге w 1 функцию Выполним в интеграле замену переменной ґ на С, по формуле t = ( — c)/p и примем во внимание (3.15). В результате получим равенство логарифмическое дифференцирование которого дает Это вместе с (3.18) влечет неравенство функция F(z) звездообразна в Е(с,р) [5]. Докажем теперь утверждение следствия о выпуклости F(z). Так как функция F(z) звездообразна в Е(с,р), то она регулярна и регулярна в Е(с,р) и, стало быть, функция , ч t (z-c)F. (z) , ч л aFx(z) регулярна и имеет положительную вещественную часть в Е(с,р), Написав формулу (3.21) в виде
Свойство ограниченного вращения и интегральное преобразование Бернарди регулярных функций
В настоящем параграфе находится достаточное условие для того, чтобы интегральный оператор Бернарди (8) обладал свойством ограниченного вращения и исследуется вопрос об изменении свойства ограниченного вращения регулярных функций при интегральном преобразовании (8). Доказательство. Запишем формулу (8) в виде равенства (3.42) и продифференцируем его по z последовательно два раза. В результате получим что вместе с неравенством (3.60) дает Функция P{z) регулярна в круге E. Покажем, что ReP(z) 0 в Е. Заметим, что ReP(z) 0 в окрестности точки z = 0, поскольку Р(о) = 1. Предположим, что в некоторой точке z0eE, z01= r0 0, имеет место равенство ReP(z0) = 0, причем ReP(z) 0 в круге r0, т.е. minReP(z) = ReP(z0) = 0. Тогда применением леммы 1 к функции co(z), за \А=г0 данной формулой (3.10) получим равенство (3.11), в силу которого будем иметь откуда что противоречит неравенству (3.63) при z = z0eE. Следовательно ReP(z) 0 в Е и, значит, ReF (z) 0 в Е. Утверждение 1) доказано. Для указанных в теорем/? // в круге Е. Справедливость утверждения 2) установлена. Теорема доказана. Следствие 3.5. Если функция f(z) = а0 + ах (z - с) +..., ах О, регулярна в круге Е(с,р), Rev -1 и тогда F(z) в (3.46) есть функция с ограниченным вращением в круге Е{с,р). Доказательство. Ввиду (3.66) функция g{w) в (3.16) удовлетворяет условию Поэтому в силу утверждения 1) теоремы 3.8 заданная формулой (3.47) функция G(w) удовлетворяет условию Но согласно (3.16), (3.46) и (3.47) справедливо равенство так что KQF (Z) 0 В Е(с,р), т.е. F{z) - функция с ограниченным вращением в Е(с, р). Следствие доказано. Приведем результат, обратный утверждению 2) теоремы 3.8. Теорема 3.9. Если функция F(z)eS(/3) и v — комплексное число, v -\, тогда f(z) в (8) является функцией с ограниченным вращением порядка /3 в круге \z\ r{v), где и r(v) нельзя заменить большим числом. Доказательство. Так как F(z) є S{/3), то функция регулярна в Е, Р{о) = 1 и ReP(z) 0в. Поэтому согласно лемме 2 в круге z r(y), но не всегда в большем круге. Приняв к этому во внимание равенство вытекающее из (8) и (3.68), получаем утверждение теоремы. Следствие 3.6. Если F(z) есть функция с ограниченным вращением порядка /3 в круге Е{с,р), v - комплексное число, уф—\, тогда f(z) в (3.46) является функцией с ограниченным вращением порядка /3 в круге z - с\ pr{v), где г (у) — то же, что в теореме 3.9, но не всегда в большем круге. Доказательство. Ввиду существующей между функцией F(z) = a0 + a,(z — с) + ... в (3.46) и функцией G(z), заданной формулами (3.47), (3.16), связи неравенство влечет неравенство ReG (w) /a„w l, которое вместе с теоремой 3.9 приводит к неравенству Отсюда и из (3.16) имеем утверждение следствия.
Следующая теорема показывает е F(z) и /л образуем регулярную в круге Е функцию На основании формулы (8) получим равенство (3.62), которое запишем в виде // + (l-//)Rej#(z) + - zq\z)i 0, гєЕ, (3.65) поскольку f{z) є S. Опираясь на неравенство (3.65) нетрудно убедиться, что Reg(z) 0 в Е. В Самом деле, в окрестности точки z = 0 это неравенство выполняется, ибо q{o) = 1. Если же в некоторой точке z0 є Е, z01= г0 0, minq(z) = Req(z0) = 0, \А=г0 тогда, применив лемму 1 к функции q{z) + \ получим z0q (z0) = k(l + lm2q(z0)),k -\/2, и будем иметь что ввиду (3.61) противоречит неравенству (3.65) при z = z0eE. Значит, Reg(z) 0 в Е, что вместе с (3.64) влечет в Е неравенство ReF (z) //, показывающее, что F(z) есть функция с ограниченным вращением порядка /? // в круге Е. Справедливость утверждения 2) установлена. Теорема доказана. Следствие 3.5. Если функция f(z) = а0 + ах (z - с) +..., ах О, регулярна в круге Е(с,р), Rev -1 и тогда F(z) в (3.46) есть функция с ограниченным вращением в круге Е{с,р). Доказательство. Ввиду (3.66) функция g{w) в (3.16) удовлетворяет условию Поэтому в силу утверждения 1) теоремы 3.8 заданная формулой (3.47) функция G(w) удовлетворяет условию Но согласно (3.16), (3.46) и (3.47) справедливо равенство так что KQF (Z) 0 В Е(с,р), т.е. F{z) - функция с ограниченным вращением в Е(с, р). Следствие доказано. Приведем результат, обратный утверждению 2) теоремы 3.8. Теорема 3.9. Если функция F(z)eS(/3) и v — комплексное число, v -\, тогда f(z) в (8) является функцией с ограниченным вращением порядка /3 в круге \z\ r{v), где и r(v) нельзя заменить большим числом. Доказательство. Так как F(z) є S{/3), то функция регулярна в Е, Р{о) = 1 и ReP(z) 0в. Поэтому согласно лемме 2 в круге z r(y), но не всегда в большем круге. Приняв к этому во внимание равенство вытекающее из (8) и (3.68), получаем утверждение теоремы. Следствие 3.6. Если F(z) есть функция с ограниченным вращением порядка /3 в круге Е{с,р), v - комплексное число, уф—\, тогда f(z) в (3.46) является функцией с ограниченным вращением порядка /3 в круге z - с\ pr{v), где г (у) — то же, что в теореме 3.9, но не всегда в большем круге. Доказательство. Ввиду существующей между функцией F(z) = a0 + a,(z — с) + ... в (3.46) и функцией G(z), заданной формулами (3.47), (3.16), связи неравенство влечет неравенство ReG (w) /a„w l, которое вместе с теоремой 3.9 приводит к неравенству Отсюда и из (3.16) имеем утверждение следствия. Следующая теорема показывает, что установленный в работе [85] результат о звездообразности интегрального оператора Бернарди (8) имеет место при более слабом ограничении на производную функции f(z). Теорема ЗЛО. Если функция f{z) = z + ...eR, -l v 0 и Тогда определяемая формулой (8) функция F{z) принадлежит классу S .
