Введение к работе
Актуальность темы. Важнейшей областью современного комплексного анализа является теория краевых (граничных) задач для аналитических функций и различньж их обобщений.
В настоящее время теория линейных граничных задач в классах аналитических функций комплексного переменного благодаря фундаментальным работам Б.В. Боярского, И.Н. Векуа, Н.П. Векуа, ФД Гахова, Э.И. Зверовича, Г.С. Литвинчука, С.Г. Мих'лнна, Н.И. Мусхелишвили, Б.В. Хведелидзе, Л.II. ЧибрикивоП и многих других известных математиков, в основном, приняла уже завершенный вид.
В то же время, за последние годы как в России, так и за ее пределами (Беларусь, Китай, КНДР, Украина, ФРГ, Югославия и др.) интенсивно изучаются различные краевые задачи в классах функций более общих, чем класс аналитических функций комплексного переменного.
Одним из естественных обобщений аналитических функций комплексного переменного являются бианалитические функции.
Определение 1. Функция F(z) = U(x,у) + iV(x, у) называется бианалитической в области D комплексного переменного z = і + гу, если она в D имеет непрерывные частные производные по х и по у до второго порядка включительно (т.е. F(z) Є C2(D)) и удовлетворяет там уравнению
^=0, (1,
д?
д I (д .д\
тр = - I д- + i-zr- ] - дифференциальный оператор Коши-1'ішана.
Действительная и мнимая части бианалитической в области В функции F(z) = U{x,y) + iV{x,y) являются бигармоническими в этой области, т.е.
АгЩх, j/) = 0 и AV(z,») = 0,
л з2 а2 тт і
г Д = ?— + 7Г^опеРатоР Лапласа . ах2 оу2
Важно отметить, что впервые бианалитические функции зародились в математической теории упругости благодаря основополагающим работам Г.В. Колосова2 и Н.И. Мусхелишвили3. В частности, Г.В. Колосовым было обнаружено, что эффективным средством решения задач плоской теории упругости могут служить бианалитические функции.
Основной цикл работ, посвященных изучению краевых задач для бианалитических функций, был выполнен в течение трех последних десятилетий XX века математиками различньж стран (СССР, ФРГ, Югославии и др.). Большой вклад в развитие теории краевых задач для бианалитических функций внесли А.В. Бицадзе, В А Габринович, М.П. Ганин, ФД. Гахов, В.И. Жегалов, Э.И. Зверович, КМ. Расулов. B.C. Рогожин. ИА Соколов, Н.Т. Хоп, Б. Дамьянович и другие.
Известно, что краевые задачи для бианалитических функций в зависимости от условий, налагаемых на искомые функции, делятся на три грулиы:
1 Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - М.:Наука, 1977.
'Колосов Г.В. Применение комплексной переменной в теории упругости. - М.-Л.: ОНТИ, 1935. -
224 с. і ..
'Мусхелишвили Н.И. Некоторые оснинные аалачи мичеьаЯО&ДОАЩИММЛЬНАЯ М-: Наука,
1966.-707 с. I БИБЛИОТЕКА
з оаЯ»?3^>У
непрерывные задачи - от искомых функций требуется непрерывность вплоть до границы-,
кусочно-непрерывные задачи - допустимо нарушение непрерывности искомых функций лишь в конечном числе точек границы;
3) разрывные задачи -все остальные.
В настоящее время в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, теория краевых задач для бианалитических функций приобрела практически завершенный вид4. Однако, в случае разрывных коэффициентов и областей, границами которых являются разомкнутые кривые, основные краевые задачи в классах бианалитических функций до настоящего времени оставались не исследованными.
К таким задачам относятся следующие две классические краевые задачи типа Римана.
Пусть L - произвольный гладкий (замкнутый или разомкнутый) контур в плоскости комплексного переменного г = х + iy, уравнение которого имеет вид: t = х(з) + iy(s), 0 < s < I, где s - натуральный параметр.
Требуется найти все кусочно-бианалитические фуніЩа)) слиниейскачков L, исчезающиена бесконечности иудовлетворяющиепрІЕ L следующимкраевымусло-виям:
Задача I.
«ga.aw«ga+llW. и
F4t)~Ga{t)F-{t) + g0{t), (4)
9F4t)_r(.,dF'(t)
__ = Gl(i)___+J?lWi (5)
где —— I —— I - производная по внутренней (внешней) нормали к контуру L; Gk{t),
дп+ gk{t) (k = 0,1,2) - заданные на контуре L функции.
Отметим, что впервые граничные задачи вида I и II в случае непрерывных коэффициентов и областей, границами которых являются гладкие замкнутые кривые, были поставлены Ф. Д. Гаховым в его известной монографии "Краевые задачи" как одни из основных краевых задач для бианалитических функций.
В случае, когда контур L состоит из конечного числа попарно непересекающихся простых гладких замкнутых кривых и непрерывных коэффициентов, задачи I и II были подробно исследованы в работах К. М. Расулова4.
В дальнейшем задачи I и II будем называть первой и второй основными краевыми задачами типа Римана в классах бианалитических функций или, для краткости, задачами Л1і2 и йз,2 соответственно.
4Расулар.К.М.'Краевые задачи дліг полианалитических функций и некоторые их приложения.
Смоленск, 1998. Л »1 ;.'.:'.< і >
«і
Поскольку задачи Ді,г и Дз,2 до сих пор оставались не исследованными в случае разрывных коэффициентов и разомкнутых контуров, то разработка методов их решения на сегодняшний день является актуальной проблемой.
Цель работы. Разработка методов решения кусочно-непрерывных краевых (граничных) задач типа Римана (задач Ді.з и Дг.з) в классах бианалитических функций в случае областей, границами которых являются окружность, дуга окружности, прямая и объединение конечного числа отрезков, лежащих на одной прямой, построение теории их разрешимости, исследование их на нетеровость.
Методика исследования. В диссертации используются методы комплексного анализа, теория скалярной краевой задачи Римана с разрывными коэффициентами для аналитических функций комплексного переменного.
Научная новизна. В диссертации впервые исследуются краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций с разрывными коэффициентами в случае круга и полуплоскости, а также в случае, когда границей области является дуга окружности и совокупность отрезков, лежащих на одной прямой. Разработаны методы решения рассматриваемых задач, установлены условия их разрешимости.
Теоретическая значимость заключается в том, что в диссертации исследуются основные кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функций. Установлены необходимые и достаточные условия разрешимости и нетеровости рассматриваемых задач.
Практическая значимость. Рассматриваемые в работе краевые задачи и различные их обобщения представляют самостоятельный научныП интерес и могут нап-ти приложения в тех областях, где используютсп краевые задачи для аналитических функций комплексного переменного и их обобщений, например, в теории упругости и теории фильтрации.
Рекомендации по использованию. Результаты диссертации могут быть использованы в учебном процессе при чтении специальных курсов для студентов, магистров и аспирантов, а также на спецкурсах и лабораторных занятиях для математиков и физиков прикладных групп.
Достоверность результатов обеспечена математической строгостью изложения основных результатов диссертации в виде теорем с подробными доказательствами.
На защиту выносятся следующие положения:
1. Методы решения задач Ді,г и Д^ с разрывными коэффициент амн в случае кр> га
и полуплоскости;
Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач Ді,2 и Дг.з с разрывными коэффициентами в случае круга и полуплоскости;
Методы решения задач Ді,з и Дг,2 в случае полуокружности и в плоскости со щелями;
Установление необходимых и достаточных условий разрешимости и нетеровости задач i?i,2 и Дг.г в случае полуокружности и в плоскости со щелями;
Личный вклад соискателя. Диссертация является самостоятельным научным исследованием соискателя. В совместных работах [4], [7] постановки задач и методика исследования картин разрешимости принадлежат научному руководителю. Все выкладки в обосновании результатов принадлежат автору диссертации.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на международной конференции "Системы компьютерной математики и их приложения" (Смоленск, 2003 г.), на 12-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2004 г.), на научной конференции Терце-новские чтения" (Санкт-Петербург, 2004 г.), научном семинаре кафедры математического анализа Брянского государственного университета (руководитель - Шамоян ФА, Брянск, 2004 г.), на Минском городском семинаре по математическому анализу и его приложениям (руководитель - профессор Э.И. Зверович) и неоднократно на научно-исследовательском семинаре по краевым задачам комплексного анализа и их приложениям при Смоленском государственном педагогическом университете (руководитель - профессор К.М. Расулов).
Публикации. По теме диссертации опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата. Из них, как уже отмечалось, работы [4], [7] выполнены совместно с научным руководителем.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, содержащего 76 наименований. Нумерация формул сквозная в каждой главе. Например, (1.2) (или теорема 12) означает вторую формулу (теорему) в первой главе. Общий объем работы составляет 106 страниц, подготовленных с использованием издательской системы LATEX.
