Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
1. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ МАССЫ И БАЗИСЫ 15
I.I.. Пространство 3-p(R;p) 15
1.2,. Пространство Xf(R ) 29
2. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ОДНОМЕРНОЙ ЗАДАЧИ РИМАНА 40
2.I. Случай вещественной оси 40
2.2 Задача Римана на гладком замкнутом контуре в пространстве 59
2.3 Корректная постановка задачи на окружности 65
2.4 Случай произвольного замкнутого контура 81
3. КОРРЕКТНАЯ ПОСТАНОВКА ДВУМЕРНОЙ ГРАНИЧНОЙ ЗАДАЧИ. 84
3.1 Решение двумерных элементарных задач 84
3.2 Корректная постановка одной двумерной задачи. 93
ПРИЛОЖЕНИЕ.
Составленные из коэффициентов Фурье функций с разрывом почти периодического типа 102
ЛИТЕРАТУРА 108
Введение к работе
Пусть І - замкнутый простой гладкий ориентированный контур, разбивающий расширенную комплексную плоскость на два открытых множества Fr и Fr , для каждого из которых Г является границей. Через Fp обозначим множество, которое находится слева от контура Г . В дальнейшем ради простоты будем предполагать, что точка 2 = 0 Fr+ и z = ©о р
Основной результат при решении задачи /I/ состоит в том, что при Ш L Orcj a()Jр -0 задача разрешима при любой правой части, а её решение зависит от произвольных комплексных постоянных; при & 0 задача всегда имеет единственное решение в случае её разрешимости, а условиями разрешимости являются I&I условий ортогональности правой части некоторым элементам сопряженного пространства.
Зависимость числа решений от приращения аргумента функции a(t) отчетливо подтвердилась в работах Н.В.Говорова [7] , [8j; [9] , его учеников [з] , [48] , [49] и последователей [бо] , [бі] , [45] , [і] , появившихся в печати, начиная с 1964 года, в которых была рассмотрена краевая задача Римана на луче или прямой с бесконечным индексом. В этой задаче приращение am alt) при о 5 ходе контура Г равно і ©о . Она была исследована при различном асимптотическом поведении функции o.rqa(t), При этом основное свойство задачи Д/ состоит в том, что в случае "плюс-бесконечного" индекса однородная задача имеет бесконечное множество линейно независимых решений, а неоднородная разрешима при любой правой части. В случае же "минус-бесконечного" индекса однородная задача имеет единственное решение, а неоднородная разрешима лишь при выполнении бесконечного числа условий ортогональности правой части. Фактически при этом изучалась задача Римана с коэффициентом ИЬ) , имеющим на бесконечности специальный разрыв второго рода, и её решение разыскивалось в классе ограниченных функций.
В 1968 году И.Ц.Гохбергом и И.А.Фельдманом [її] был рассмотрен интегрально-разностный оператор Винера-Хопфа..Значение этой работы состоит в том, что в ней впервые в теории интегральных уравнений типа свертки появились вопросы, связанные с бесконечным индексом /см. также[бб]/. Оказалось, что указанный оператор Винера-Хопфа является односторонне обратимым в 1-р(о,©о) , но его ядро или коядро зависят, вообще говоря, от подпространства Lp[o,6J . это явление связано с тем, что символ оператора имеет в бесконечно удаленной точке разрыв второго родавида exp(ifa)/6 R/, который этими авторами был назван почти-периодическим. Вслед за этим И.Ц.Гохбергом и А.А.Семенцулом [12], [47] был: рассмотрен в пространстве lJT}k) сингулярный интегральный оператор с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов, построена для него теория односторонней обратимости. Эти результаты были дополнены в работах В.Б.Дыбина и С.М.Грудского [25], [іб], [іб] описанием ядра и образа указанного оператора и конструкциями обратных операторов. В этих работах, а также в диссертации С.М.Грудского [17] были установлены новые связи теории сингулярных интегральных уравнений с бесконечным индексом с крутом идей М.М.Джрбашяна-Б.Я.Левина, относящихся к проблемам комплексной интерполяции и базисов в различных классах аналитических функций в пространствах нр, Lp , Ер . В частности, оказалось, что описание ядер и коядер сингулярных интег ральных операторов с коэффициентами, имеющими разрывы почти-периодического типа, может быть дано в терминах специального класса 3L(G!,p) целых функций экспоненциального типа б , принадлежащих на вещественной оси пространству Lp(R о4). Это пространство связано с известными классами Бернштейна Б и Винера-Пэли W2 и систематически изучалось во многих работах / см., например, [36], [20] , [22] , [2l] , [43] /.
Ф.Д.Берковичем и Е.М.Конышковой [з] была рассмотрена краевая задача Римана с коэффициентом вида хр(ібх) в классе ограниченных функций. В том же пространстве на замкнутом контуре С.М.Грудским j_I8J был исследован общий случай задачи /I/ с коэффициентом, имещим конечное число почти-периодических разрывов. Отметим также работы [58j, [44], в которых построена Ф теория сингулярных интегральных операторов а [_р(Г, к.) с так называемыми полу-почти-периодическими разрывами у их коэффициентов. Мы не останавливаемся здесь на целом классе исследований задачи /I/, имеющей бесконечное число решений или условий разрешимости из-за особенностей контура Г / бесконечное число компонент, спиралеобразные точки и т.д. /. Наконец заметим, что проблема бесконечности решений и условий разрешимости особенно часто возникает в многомерных ситуациях. Одним из первых на это обратил внимание В.А.Ка-кичев [зо], [зі], [32].
Принимая во внимание приложения и традиции теории дифференциальных уравнений, отметим, что для задачи /І/ в описанной выше ситуации является актуальным вопрос о её корректной постановке. Под корректной постановкой краевой задачи обычно понимается такая её постановка, когда задача безусловно и однозначно разрешима, а её решение устойчиво по отношению к малым изменениям исходных данных. На этот вопрос обратил внимание ещё Ф.Д.Гахов/[б], с.138-139 /. Устойчивость по отношению к изменению коэффициентов краевого условия непосредственно вытекает из того, что: I/ решение задачи даётся в явном виде через интеграл типа Коши, 2/ интеграл типа Коши есть оператор ограниченный и, следовательно, при малых изменениях плотности / в классе l-L / получает малые приращения. Таким образом, в неисключительных случаях краевая задача Римана устойчива." / Здесь подразумевается случай краевой задачи с конечным индексом /. В зависимости от величины индекса может нарушаться либо однозначность, либо разрешимость задачи. В случае 9Є 0 решение содержит произвольные постоянные, поэтому для достижения однозначности на решение накладываются дополнительные условия, а. именно требуется, чтобы решение неоднородной задачи Римана /I/ удовлетворяло оЕ условиям, при которых оно и его производные в произвольно выбранных точках принимают наперед заданные значения. ПриЖ 0, чтобы получить корректную задачу, т.е. безусловно разрешимую, "возможно два пути: I/ ввести в свободный член краевого условия некоторые произвольные элементы, 2/ расширить класс решений, считая допустимыми в некоторых точках полярные особенности" / [б], сЛ39 /. Более сложный вопрос об устойчивости задачи /I/ по отношению к возмущению контура исследовал І.А.Чи-кин [58.1,
Особое значение вопрос корректной постановки имеет для задач с бесконечным индексом. Одновременно ясно, что он не может разрешаться так просто, как в случае конечного индекса, поскольку он связан с общими проблемами теории единственности аналитических функций и проблемами распределения их значений.
Пусть С - линейный ограниченный непрерывно обратимый справа оператор в банаховом пространстве А и atmterCsoo, система элементов [&\ 7 является базисом в КегС . Тогда существует еди-нственный элемент подпространства КегС , на котором система функционалов {QKWJZ» являющаяся биортогональной к teJ T» принимает заданные значения. Таким образом, добавляя к уравнению = -задачу о моментах X,CL =XK , K Z , мы добиваемся единственности его решения. Если при этом = (xK\t2 лежит в некотором банаховом пространстве д4 и ІІХІІ С( HUH + llxll) , тогда получаем непрерывную зависимость решения от исходных данных У-еА, €Л-».
Если С - линейный ограниченный непрерывно обратимый слева оператор в банаховом пространстве А , тогда пространство А можно представить в виде А= ЗпгС+КегС • Следовательно, для любого LUX существует единственный элемент иf КегС такой, что уравнение Cx=U+uY однозначно разрешимо вї , а его решение удовлетворяет оценке 11x11 сII all. Вышеизложенное является основной идеей дальнейших построений, а из предыдущего видно, что задача корректной постановки связана с описанием ядра и коядра оператора, построением базисов в них и биортогональных систем и изучением коэффициентов разложения по этим базисам, другой подход постановки корректной задачи Ри-мана с бесконечным индексом предложен В.Н.Монаховым и Е.В.Семенко [37] , [46] . Эти авторы исходят из описанного выше классического подхода и предлагают единственное решение задачи Римана выделять требованием его обращения в нуль в бесконечном множестве точек комплексной плоскости, не лежащих на контуре. В диссертации Е.В.Семенко осуществлена корректная постановка задачи Римана для полуплоскости с единственным разрывом у её коэффициента на 00 при достаточно общих условиях на тип бесконечного индекса. В данной работе мы рассматриваем частный вид бесконечного индекса почти-периодического типа, но решаем более общие задачи: конечное число разрывов, случаи компактного и некомпактного контуров, построение биортогональных базисов в ядре и коядре операторов, различные варианты корректной постановки задачи, обобщение на двумерный случай.
