Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Интеграл типа Коши на контурах неограниченной закрученности 16
1. Классы контуров 16
2. Интеграл типа Коши 26
ГЛАВА II. Краевая задача Римана с коэффициентом, удовлетворяющим условию Гёльдера вне любой окрестности точек закрученности контура 49
3. Однородная задача Римана с положительным коэффициентом 49
4. Неоднородная задача Римана с положительным коэффициентом 68
5. Задача Римана с комплекснозначным коэффициентом 77
ГЛАВА III. Краевая задача Римана с измеримым коэффициентом 80
6. Краевая задача Римана и факторизация коэффициента 80
7. Факторизация положительной функции . 81
8. Факторизация комплекснозначной функции 86
9. Краевая задача Римана с коэффициентом, неотделённым от нуля или бесконечности . 89
Список основных обозначений 92
Литература 93
- Интеграл типа Коши
- Неоднородная задача Римана с положительным коэффициентом
- Задача Римана с комплекснозначным коэффициентом
- Краевая задача Римана с коэффициентом, неотделённым от нуля или бесконечности
Введение к работе
0.1. Краевая задача Римана в классической постановке, как известно, заключается в следующем.
Дан простой замкнутый гладкий контур Г , разбивающий плоскость на две области: внутреннюю 13 и внешнюю D . На контуре заданы функции Get) & QU) , удовлетворяющие условию Гёльдера, причём Gt) 0 . /0.1/
Задача /0.1/ впервые встречается в работах Б.Римана [I8S7 г.], затем в работах Д.Гильберта [1905 г.] , И.Племеля [1908 г.], Т.Кар-лемана [1922 г.] как вспомогательная задача при исследовании некоторых проблем теории дифференциальных уравнений.
В 1934 году И.И.Привалов в своём докладе на втором Всесоюзном математическом съезде поставил задачу Римана как самостоятельную граничную задачу теории аналитических функций. И.И.Привалов предполагал [22], что контур Р - простой замкнутый спрямляемый,функции Cjci) иС() - измеримые, причём а решения г(2) и Г (г) представиш интегралом Коши через свои угловые предельные значения г U) иТсі)
При дополнительном предположении, что Gt-L) є гн (Г ) , И.И.Привалов высказал [ 221 некоторые общие соображения о разрешимости поставленной задачи Римана. 0.2. Впервые полное решение задачи Римана /0.1/ в замкнутой форме было дано в 1937 году Ф.Д.Гаховым.
Отметим тут же, что в 1977 году А.А.Бабаев и В.В.Салаев получили [ I] этот же результат для задачи Римана в классической постановке, предполагая лишь, что контур Г спрямляемый и длина части контура Г , попавшая в круг радиуса о , не превосходит с-о , где С - константа.
0.4. Относительно всех этих результатов важно отметить еле -дующее.
Характер разрешимости задачи Римана /как в классической по -становке и упомянутых её обобщениях, так и в постановке Привалова/ зависит лишь от аргумента коэффициента GcJ /числа X /»но не зависит от контура / и модуля коэффициента GL±)
Некоторым исключением из этого правила является исключительный /не нетеровский/ случай задачи Римана /коэффициент Git) не отделён либо от нуля, либо от бесконечности/, в котором [3,19,33, 5,32] модуль коэффициента Gti.) мог вызвать разве лишь уменьшение числа линейно независимых решений однородной задачи и числа условий разрешимости неоднородной задачи.
Отсюда, в частности, следует, что если рассмотреть модельный случай - задачу Римана с положительным коэффициен -том Crit) , то она не имеет решений, исчезающих на бесконечно -сти и отличных от тождественного нуля.
Впервые зависимость разрешимости задачи Римана от контураГи модуля коэффициента GU) обнаружил в 1963 году Н.В.Говоров. Им был построен [4] пример однородной задачи Римана на специальном гладком контуре с неположительным индексом Коши коэффициента &U), имеющей, тем не менее, ограниченные и исчезающие на бесконечности решения, отличные от тождественного нуля. Эти решения в примере Н.В.Говорова возникали за счёт того, что модуль коэффициента G .i) имел в одной точке контура Г разрыв второго рода специальной конструкции.
Б дальнейшем, в 1978 году Р.К.Сейфуллаев обнаружил [24І это же, но уже для задачи Римана с кусочно-гёльдеровским коэффициен -том на негладком контуре /примером может служить задача Римана с положительным и постоянным коэффициентом на логарифмической спирали/.
Отметим также работу Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца [ II], в которой рассматривается аналогичная задача Римана, но при несколько иных условиях на контур и коэффициент.
Данную работу можно рассматривать как продолжение исследований Н.В.Говорова f4,5J , Р.К.Сейфуллаева[24] , Т.А.Запускаловой и Б.А.Каца [її] и Т.А.Запускаловой fio] .
0.5. Прежде,чем перейти к описанию работ [24ДІД0І , сделаем одно замечание о задачах Римана на негладких контурах /замкнутых или разомкнутых, неспрямляемых, квазиконформных/.
К настоящему времени имеется целый ряд работ /ссылки и информацию можно найти в [ю]/, в которых при различных предположениях на контур и коэффициент рассматриваются задачи Римана. Однако, и это подчеркнём особо, в указанных работах характер разрешимости определяется лишь аргументом коэффициента.
При рассмотрении неоднородной задачи дополнительно требуется, чтобы контур Г удовлетворял условию:
Пусть Gd) и QC J - функции, заданные на контуре / , &сі:)ФО и удовлетворяет условию Дини /этому условию, например, удовлетворяют гёльдеровы функции/, а осі) удовлетворяет условию Гёльдера.
Таким образом мы видим, что характер разрешимости данной задачи Римана может зависеть от контура I и I Gd-)\ . Отметим, однако, случай, когда Д« = Л_ = 0 /это имеет место, например, когда контур Г" можно дополнить до замкнутого некоторой ломаной/. В этом случае, как следует из результата Р.К.Сейфуллаева, характер разрешимости полностью определяется аргументом коэффициента Get)
0.8. Учитывая изложенное в п.п. 0.4,0.6,0.7, становится понятной необходимость более полного изучения влияния контура / и Gil)JHa характер разрешимости задачи Римана. Более того, возникает необходимость выделить топологические характеристики, которые описывают это влияние и которые входят в качестве компонент в формулу индекса задачи Римана.
Данная диссертация посвящена именно этим вопросам.
0.9. Диссертация состоит из введения и трёх глав, состоящих из девяти параграфов, списка основных обозначений и списка литературы.
В § I первой главы вводится класс Z с -/, 2,...,", °° 1 контуров Г , которые, "грубо говоря , закручиваются вокруг точек t.4,ti,..., tn, t = oo /подробней см. п.I.I/, а также, по аналогии, вводятся классы контуров Zct ,ii,.l.,-L„] 2ioa } . Изучаются свойства контуров этих классов, приводятся примеры.
В п.1.3 определяются контуры из введенных классов, имеющие неограниченную закрученность.
В § 2 первой главы рассматриваются интеграл типа Коши (fWJr (• ) и особый интеграл Коши (Si )r c) на контурах классов Z Ui.U.... ". 0! , ZU .U. . . !, ZLOOJ.
В п.п. 2.2, 2.3 изучаются (Kf)r(2) и (S )rU) в предположении, что плотность L-L) удовлетворяет условию Гёльдера вне любой окрестности точек закрученности контура Г
В п.п. 2.4 - 2.7 изучается (KvJr и; и (Sv)r Ш в предположении,ЧТО ПЛОТНОСТЬ У іі) є Lp ( Г) , -і Р °° •
Особое внимание в § 2 /п.п. 2.8 - 2.II/ уделяется изучению поведения модуля функции г (2)= еоср { СКУ)Г (2) J вблизи точек закрученности контура Г . Основной здесь является теорема 2.12 и следствие 2.14 из неё. В п. 2.9 при различных дополнительных предположениях на контур Г и функцию У(і-) уточняется утвер -ждение теоремы 2.12. В п. 2.10 показано, что именно на контурах, имеющих неограниченную закрученность, реализуются указанные в следствии 2.14 особенности. В п. 2.II приводятся примеры, иллюстрирующие утверждения п.п. 2.8 - 2.9 и показывающие, что эти утверждения в некотором смысле точны.
Во второй главе рассматривается краевая задача Римана с коэффициентом, удовлетворяющим условию Гёльдера вне любой окрестности точек закрученности контура / .
В § 3 исследуется однородная задача Римана с положительным коэффициентом (тії) в самой общей постановке с тем, чтобы полнее охарактеризовать влияние контура и модуля коэффициента задачи Римана на её разрешимость.
Показано, что число линейно независимых решений однородной задачи Римана в классе Во /п.п. 3.1, 3.6/ будет конечным или бесконечным, в зависимости от того, ограничен ли s\ Gi-L) на конту -ре Г или для него допускается логарифмический рост вблизи точек закрученности контура.
В п. 3.7 показываем, что именно на контурах неограниченной закрученности могут быть реализованы отмеченные выше ситуации.
Выражаю глубокую признательность и благодарность моему второму научному руководителю профессору Георгию Семёновичу Литвин-чуку, взявшему на себя нелёгкий труд довести эту работу до конца. Он сделал больше. Именно он предложил рассмотреть данную задачу в постановке Привалова с тем, чтобы, прежде всего, выяснить топологический характер влияния контура Г и модуля коэффициента (JLI) /получить формулу для индекса/.
Интеграл типа Коши
Учитывая изложенное в п.п. 0.4,0.6,0.7, становится понятной необходимость более полного изучения влияния контура / и Gil)JHa характер разрешимости задачи Римана. Более того, возникает необходимость выделить топологические характеристики, которые описывают это влияние и которые входят в качестве компонент в формулу индекса задачи Римана.
Данная диссертация посвящена именно этим вопросам. 0.9. Диссертация состоит из введения и трёх глав, состоящих из девяти параграфов, списка основных обозначений и списка литературы. В I первой главы вводится класс контуров Г , которые, "грубо говоря , закручиваются вокруг точек t.4,ti,..., tn, t = oo /подробней см. п.I.I/, а также, по аналогии, вводятся классы контуров Zct ,ii,.l.,-L„] 2ioa } . Изучаются свойства контуров этих классов, приводятся примеры. В п.1.3 определяются контуры из введенных классов, имеющие неограниченную закрученность. В 2 первой главы рассматриваются интеграл типа Коши (и особый интеграл Коши (Si )r c) на контурах классов Z Ui.U В п.п. 2.2, 2.3 изучаются (Kf)r(2) и (S )rU) в предположении, что плотность L-L) удовлетворяет условию Гёльдера вне любой окрестности точек закрученности контура Г Особое внимание в 2 /п.п. 2.8 - 2.II/ уделяется изучению поведения модуля функции г (2)= еоср { СКУ)Г (2) J вблизи точек закрученности контура Г . Основной здесь является теорема и следствие 2.14 из неё. В п. 2.9 при различных дополнительных предположениях на контур Г и функцию У(і-) уточняется утвер -ждение теоремы 2.12. В п. 2.10 показано, что именно на контурах, имеющих неограниченную закрученность, реализуются указанные в следствии 2.14 особенности. В п. 2.II приводятся примеры, иллюстрирующие утверждения п.п. 2.8 - 2.9 и показывающие, что эти утверждения в некотором смысле точны. Во второй главе рассматривается краевая задача Римана с коэффициентом, удовлетворяющим условию Гёльдера вне любой окрестности точек закрученности контура / . В 3 исследуется однородная задача Римана с положительным коэффициентом (тії) в самой общей постановке с тем, чтобы полнее охарактеризовать влияние контура и модуля коэффициента задачи Римана на её разрешимость. Показано, что число линейно независимых решений однородной задачи Римана в классе Во /п.п. 3.1, 3.6/ будет конечным или бесконечным, в зависимости от того, ограничен ли s\ Gi-L) на конту -ре Г или для него допускается логарифмический рост вблизи точек закрученности контура. В п. 3.7 показываем, что именно на контурах неограниченной закрученности могут быть реализованы отмеченные выше ситуации. В 4 и 5 рассматривается неоднородная задача Римана на простом замкнутом контуре класса Z L-L , іг.,..., 1 , в 4 с положительным коэффициентом Gi±) отделённым от нуля и бесконечности, а в 5 - с комплекснозначным. Опишем полученные здесь результаты. Для простоты ограничимся основным модельным случаем - задачей Римана с положительным Get) , Пусть Г с Zcii, ,,, - замкнутый контур и &U) положительная функция, заданная на Г , удовлетворяющая условию Гёльдера вне любой окрестности точек с, І = 2...., п и отделённая от нуля и бесконечности. Пусть При решении неоднородной задачи Римана дополнительно требу ется, чтобы контур Г удовлетворял условию /4.1/, а функ ция GL-L) удовлетворяла условиям /4.3/, /4.4/. Функция Oil) - функция, заданная-на Г .удовлетворяющая условию Гёльдера на нём и удовлетворяющая условию /4.6/. Основной результат второй главы сформулируем в виде: число линейно независимых решений однородной задачи Римана в классе Do и число условий разрешимости неоднородной задачи вычисляются по формулам: to - топе { О, 96 } ч т0 = ъакк, { О - Эе] Отметим, что из результатов второй главы, в частности, могут быть получены утверждения, аналогичные соответствующим утверждениям работ [24,11,10]. Так, например, если дополнительно предположить, что Qt-i) удовлетворяет условию Гёльдера что и показывает совпадение чисел Л $, из работы [24І с числами oil В работах [II,10J число Л , по существу, совпадает с числом JLi данной работы. Однако, в этих работах дополнительно требуется, чтобы G 4 6 Kv/(o) . В третьей главе рассматривается краевая задача Римана с из -меримым коэффициентом на замкнутом контуре класса Zci ta.,.., » ]. Решения ищутся в классах Смирнова Основной вывод этой главы заключается в том, что выделена топологическая характеристика, входящая в качестве компоненты в формулу индекса задачи Римана, которая описывает влияние контура 6 носит вспомогательный характер, основным пунктом которого является теоремаИ.Б.СимоненкоГ26,27] о связи нетеровости краевой задачи Римана и принадлежности коэффициента классу /ах 1р(Г) . В силу этого в 7 и 8 рассматривается лишь вопрос о факторизуе-мости функции Get) и построении её факторизации, в 7 рассматривается факторизация положительной функции Gt-L) , а в 8 - комплекснозначной.
Неоднородная задача Римана с положительным коэффициентом
Пусть контур Г eZ Cb, iz, ...,-Ln , oo] и точка « = Г и отлична от точек li , о= 2, ,..,n, = « . Если о - достаточно маленькое число, то [3,19] AttCe) = / П і z: /г-в/ состоит из одной гладкой дуги /ясно, что точка to может быть как внутренней, так и концевой для этой дуги/. Представим интеграл типа Коши (Кч3)г с г; в следующем виде: to и заметим, что первое слагаемое есть обычный интеграл типа Коши [3,19], а второе слагаемое, в силу п. 2.1, представляет собой функцию, аналитическую в точке L Аналогичные рассуждения справедливы и для особого интеграла Коши (5 f )г U). Используя эти рассуждения, можно доказать следующие теоремы. ТЕОРЕМА- 2.1. Пусть контур I eZ с±-і,іг, ...,„, 1 и пусть на нём задана функция іі) , удовлетворяющая условию Гёльдера на любой замкнутой части из г и (-1-Н1г) У .) суммируема на Г.. Тогда: 1. Для любой точки te / существует /в смысле главного значения по Коши/ особый интеграл Коши ( «5 )г «0 2. Для любой точки to є Г существуют предельные значения (Ы; tto) интеграла типа Коши (2) , когда "2- t« по любому пути, оставаясь соответственно слева и справа от контура Г , и они удовлетворяют формулам Сохоцкого [3,19]: ± .± 3. Предельные значения (K )rUJ интеграла типа Коши (К ) (г) /или, что очевидно то же самое, особый интеграл Коши (S f) i-L) I удовлетворяют условию Гёльдера на любой замкнутой части из /. ТЕОРЕМА- 2.2. Пусть контур reZtibb.... " и точка і є Г . отлична от точек Ъ-i у i-4yz, ...,п , t= оо и является конце вой точкой некоторой кривой из Г . Пусть на контуре / задана функция Vtt) такая, что U+l±l ) -\i-) суммируема на Г . Тогда: 1. Если Y іЧ) удовлетворяет условию Гёльдера на Д 0 и Y (.10) = 0, то существует /как несобственный [ 9J/ особый инте грал Коши {Sv) t O , существует предельное значение (К У)г U) интеграла типа Коши (К Ч)п (zj, когда 2- іо По любому пути и предельные значения ( К у )г () є Л С ,) /которые существуют в силу второго утверждения теоремы 2.1/ удовлетворяют условию Гёльдера на любой замкнутой части из 2. Если fit) удовлетворяет условию Гёльдера на Аіо ) и УЧ ) 0 ,то при 2. to по любому пути справедливо асимп тотическое представление где знак + или - выбирается в зависимости от ориентации контура і , для in tz-La) выбирается любая ветвь, аналитическая в окрестности точки і- о , разрезанной вдоль контура / , а -О. CZ) - функция, аналитическая в окрестности точки 4-» , разрезанной вдоль , и имеющая конечный предел при "2 - о по любому пути. Аналогичные рассуждения и теоремы справедливы и для интеграла типа Коши (K J (2) и особого интеграла (Sv) L±) в случае контура r Zct ,..., t nl и в случае контура T Zt J. 2.3. Пусть Г є Z c ,2j..., to! - замкнутый контур и t!) - функция, заданная на нём и удовлетворяющая условию Гёльде-ра. Б этом случае, в силу леммы 1.4, будут справедливы теорема В.В.Салаева [23І об инвариантности гёльдеровых пространств относительно оператора \ ) и теорема А.А.Бабаева и В.В.Салаева [ІІ об интеграле типа Коши (К ч) , которые мы сформулируем для данного случая в виде следующей теоремы ТЕОРЕМА- 2.3. Пусть Гё Zcti.ta.,,..., і.п } - замкнутый контур. Тогда: 1. Оператор ( S ) действует и ограничен в пространствах Mju (Г) 9 O JA V . 2. Для любой функции є Hj.tr) интеграл типа Коши имеет предельные значения всюду на контуре , когда по любому пути и для них справедливы формулы Сохоцкого. Используя теорему В.В.Салаева, докажем следующую теорему ТЕОРЕМА- 2.4. Пусть - замкнутый контур, с-) ограниченная функция, заданная на контуре Г и удовлетворяющая условию: при некоторых о ju іу 2. и / и любом Тогда особый интеграл Коши С о f)r (.L) при тех же xj , \) удовлетворяет условию /2.1/. Доказательство. Прежде всего отметим, что (.L) В силу теоремы 2.1 и условия/2.I/, существует при Г и удовлетворяет условию Гёльдера с показателем JA на любой замкнутой части из / зо Приступим к доказательству теоремы. Пусть о г men {G ,Gz,...,Gn} - произвольное фиксированное число. Функцию cl) , в силу теоремы продолжения Уитни Г30], можно продолжить сПг на Г\( так, что новая функ -ция/ обозначим её через (I) / будет удовлетворять условиям:
Задача Римана с комплекснозначным коэффициентом
Таким образом, решение однородной задачи Римана в одном из классов Вс4 Д2,... о, »: ,Ьс1, 6 , Ь - это функция TC2J из соответствующего класса, предельные значения г .") на Г которой удовлетворяют однородному краевому условию.
Эту задачу в дальнейшем будем называть однородной задачей Римана /3.1/. Не требуется непрерывность решений та) в концевых точках кривых из Г ив точках кі,ь=іЛ.- п = . Как будет показано ниже, условие непрерывности решений тLi) в этих точках повлечёт за собой либо дополнительные условия на коэффициент &tl) , либо дополнительное требование на решение Рсг) , что вызовет уменьшение числа решений и, более того, задача, разрешимая без условия непрерывности, может оказаться неразрешимой при этом условии. Рассмотрим функцию 2. ХоСї) является решением однородной задачи Римана /3.1/ в классе Bc ,fca,..,,!», »}. Доказательство. - В силу результатов п.п. 2.1, 2.2 получаем, что функции (Yo(2)) аналитичны в U , функция Л о(н) имеет на Г непрерывные предельные значения Х0 () /слева и справа/, не обращаю щиеся в нуль и в бесконечность и удовлетворяющие на Г однородному краевому условию. Таким образом, осталось показать, что функции [XoW) будут ограничены в окрестности каждого конца кривых из Г . Пусть о Г - концевая точка кривой из Г . Тогда, в силу теоремы 2.2 получим, что при -н.- 0 , 2. D. и значит функция X» cz) будет отделена от нуля и бесконечности ВбЛИЗИ ТОЧКИ к о . Доказательство закончено. Продолжая рассуждения доказательства леммы 3.1, уточним поведение функции Хо с 2) в окрестности концевой точки кривой из Г . Пусть G ii)=l t тогда, в силу теоремы 2.2, функции Л о () имеет конечный и отличный от нуля предел при z- , 2Є.Т) . Если же G-cto) V , то XoCZ) не имеет предела при i-»to геС , оставаясь отделённой от нуля и бесконечности. Перейдём теперь к решению однородной задачи Римана /3.1/ в классе Bc4. , ,....nf« J. ТЕОРЕМА- 3.2. Пусть контур П и функция Сч; удовлетворяют условиям п. 3.1. Тогда однородная задача Римана /3.1/ в классе Bc ,ta,...,tn, »3 разрешима и её общее решение имеет вид где Ft20 - произвольная однозначная и аналитическая вне точек hi ,1=-/,2,,.., п ,= функция. Доказательство. Если Гс2) - произвольная однозначная и аналитическая вне точек і.,с = 4,2,...,л, =оо функция, то, очевидно, что тс2) -ХоСИ) г СЕ) является решением однородной задачи Римана /3.1/в классе bLL ti,.,.tny x l. Пусть Фен) - решение однородной задачи Римана /3.1/ в классе BtL.ta.,.../t"/ . Рассмотрим функцию Fez} = (Xocz)j Jfcz) . Очевидно, что Ft ) ВсЬ ,іг,..., , » З и Pt) = F U) 0 te Г . Значит, в силу теорем о стирании особенностей аналитических функций [9І , Гс ) - однозначная и аналитическая вне точек і. і , i.« ,2,...,n,-fc=oo функция. Теорема доказана. Вернёмся к рассуждениям п. 3.2. Учитывая замечание к лем -ме 3.1 и теорему 3.2,получаем, что если о - концевая точка некоторой кривой из Г" и Gcto) = / , то любое решение Фсг) однородной задачи Римана /3.1/ в классе DL-Li,i.i,...,tn,1 будет непрерывным в точке о , Если же Gci«)#/ и решение cz; будет непрерывным в точке , то функция Р я) порождающая решение г L2) , должна иметь нуль в точке 4. Таким образом, решение однородной задачи Римана /3.1/ в классе Dt ,t г,... , о, о» 3 с дополнительным условием непрерывности в концевых точках кривых из Г будет описываться произвольными однозначными и аналитическими вне точек і. І , о-- ,2,..., ,t-e функциями, имеющими нули в тех концевых точках кривых из Г , в которых Сп-і)Ф V .
Краевая задача Римана с коэффициентом, неотделённым от нуля или бесконечности
Если функция &L-L) удовлетворяет условиям теоремы 3.5 или теоремы 3.8, или 3.13 при соответствующих J t, t f ..., л, чЛоо , тогда при любых чА А Лг. Аг, .,.,Хп Лл t Д » А функция Gel) будет удовлетворять условиям этого пункта,причём, очевидно. Следовательно, в случае , когда Jb - jbiL "J2 n-jboo = o, возможны ситуации, описываемые теоремами 3.5, 3.8, 3.13 /то есть однородная задача Ри-мана /3.1/ в классе В /ив классе Во / может оказаться неразрешимой, а в случае разрешимости может иметь конечное или бесконечное число линейно независимых решений/.
Теперь понятно, что тоже самое возможно и в случае, когда некоторые ИЗЧАІ. ,о = л,2,...,л , Аос отличны от нуля и для них некоторые из соответствующих JbL , і- v,2,..., п , jbctf неотрицательны. Второе значение касается целых функций Ji (2), = ,2.,.., tn t J.» С"2), для которых J2 L=J , 42,...,/1, = 00 . Можно привести примеры /в виде канонических произведений [17] /, показывающие, что среди таких функций есть порождающие решение однородной задачи Римана /3.1/ в классе D /ив классе 0 / и есть такие, которые не порождают. Летворяющая условию Гёльдера на любой замкнутой части контура Г , не содержащей, точек і і, ,,.,,4 , и удовлетворяющая условию: при некоторых «A-i 0 Дг -0 „ ... лчЛ n 0 , Kv 0 справедливы неравенства При этих предположениях рассмотрим однородную задачу Римана в следующих классах функций: - класс функций, аналитических в D \ { J , непрерывных вплоть до Г /слева и справа/ и огра ниченных В КаЖДОМ D(. ) , 0 ЛС тіп{Сі,Сг., ..., СпЗг , 2. E)LooJ _ класс функций из Ь Сі «, . .,... ,-п,оо ограни .__... ct) , о /то есть ограниченных вбли зи каждой из точек і. і, о- 2, ..., п /. 3. В - класс ограниченных функций из Ьі&І , 4. ) о - класс функций из , исчезающих на бесконечности. Эту задачу будем называть однородной задачей Римана /3.6/. Покажем, что её можно свести к однородной задаче Римана /3.1/. Пусть контур Г и функция Gil) удовлетворяют условиям этого пункта. Дополним контур Г до контура Г Є-Zііі,іг,...,г\,1 и определим на контуре J функцию G(D следующим образом: GU) = Gel) ,єГ, Очевидно, что контур І и функция Gc -) удовлетворяют условиям п. 3.1. Однородная задача Римана /3.6/ для контура Г и функции Gt} и однородная задача Римана /3.1/ для контура Г и функции G (.) эквивалентны в следующем смысле: задача /3.6/ и задача /3.1/ одновременно разрешимы или неразрешимы и имеют / в случае разрешимости/ одно и тоже число линейно независимых решений. Следует особо подчеркнуть, что решения задачи /3.6/ получаются из решений задачи /3.1/ как частный случай. Используя это, сформулируем окончательный результат по однородной задаче Римана /3.6/. Предварительно отметим, что в этом случае функция может быть задана в виде: числа oCi , . = -1,2,..., л определяются также,как в п. 3.4 зс= zZ аб , зео эе-/ } функция лег) задаётся в виде: числа 6 с= 2,..., п /при дополнительном условии существования пределов/ определяются также ,как в п. 3.5. Пусть контур і и функция &с) удовлетворяют условиям п. 3.6, причём А =-Кг.= ... = Лп =0 . Тогда: 1. Если э& -о , то однородная задача Римана /3.6/ в классе D разрешима и её общее решение имеет вид где Реї:) - произвольный многочлен степени не выше -зг 2. Если х о , то однородная задача Римана /3.6/ в классе В неразрешима. 3. Если эС - \ , то однородная задача Римана /3.6/ в классе Во разрешима и её общее решение имеет вид где гсі) - произвольный многочлен степени не выше 9С--/. 4. Если -х \ , то однородная задача Римана /3.6/ в классе Ь о неразрешима. В условиях теоремы 3.15 число линейно независимых решений однородной задачи Римана /3.6/ в классах В и Во определяется соответственно по формулам: = та/х{о,эен} , о= ma/эс [о ,-xPj . Для однородной задачи Римана /3.6/ в случае, когда Ju 09 Аг 0,..., п 0 сформулируем лишь следствие. Пусть контур Г и функция оч) удовлетворяют условиям п. 3.6, причём чА э,Лг о, ..., ЛпУО и пусть существуют пределы и J3L O , 0=-/,2,..., л . Тогда однородная задача Римана /3.6/ в классе 6 /ив классе Во / разрешима и имеет бесконечное число линейно независимых решений /например, Здесь мы охарактеризуем те контуры класса Z.UiA ,—,Ln1, на которых возможна постановка разрешимой в классе бо однородной задачи Римана /3.6/.
