Содержание к диссертации
ВВЕДЕНИЕ 3
ГЛАВА I. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Ф+Ф"" = $
ДЯ. ПЛОСКОСТИ С ОДНИМ РАЗРЕЗОМ 14
I. Основные обозначения и понятия. Постановка за
дачи .. 14
2. Исследование задачи в случае J=1 16
3. Исследование задачи в классе В 31
4. Исследование' задачи в классе ву зз
5. Случай неограниченного контура 37
ГЛАВА 2. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА СОПРЯЖЕНИЯ Ф+Ф">
ДЛЯ ПЛОСКОСТИ С ДВУМЯ РАЗРЕЗАМИ 39
б. Основные обозначения. Постановка задачи .... 39
7. Исследование задачи в классе Bj> 41
8. Исследование задачи в классе В 66
ГЛАВА 3. НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА .ВИДА . (Ф+)*=.й.(Ф")*.
ДЯ. РАЗОМКНУТОГО КОНТУРА 69
9. Основные обозначения. Постановка задачи .... 69
10. Исследование задачи в случае сСт{Ь 70
11. Исследование задачи в случае <*= 80
ГЛАВА 4. ПРИЛОЖЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ЗАДАЧИ СОПРЯЖЕНИЯ К РЕШЕНИЮ ФУНКЦИОНАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ . N7 (w+<0*
= (w)[4V)]P. 90
12. Решение уравнения в общем случае 90
13. Общий вид целой периодической функции 102
14. Исследование уравнения
СПИСОК ОСНОВНОЙ ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ 120
Введение к работе
Краевыми задачами теории аналитических функций называют задачи, в которых требуется найти кусочно - аналитическую, в случае замкнутого контура, или аналитическую, в случае разомкнутого контура, функцию Ф(ї), предельные значения которой на контуре удовлетворяют некоторому соотношению І(Ф+Ш,ф-(і)) = о . (0.D
Первые постановки таких задач, как известно, восходят ещё к середине прошлого века. Необходимость рассмотрения таких задач появляется при решении некоторых задач теории упругости , гидродинамики, электродинамики, теории изгибания поверхностей и из потребностей самой математики. Поэтому исследование краевых задач теории аналитических функций или, как их иначе называют, задач сопряжения, является актуальным научным направлением.
В случае, когда функция у есть линейная функция от Ф+СЬ) и Ф (t), задачу (0.1) называют задачей линейного сопряжения или краевой задачей Римана. Краевое условие (0.1) в этом случае записывают в виде ф+Ct) = G(t)(p~et) +g(t) . (о-2)
Задача линейного сопряжения достаточно подробно исследована в различных классах функций. Основные результаты исследований этой задачи содержатся в монографиях Ф.Д.Гахова [15], Н.И.Мусхелишвили[45] , Г.С.Литвинчука[42] и Л.И.Чибриковой [б7]. В работе Э.И.Зверовича [29] и обзоре Л.И.Чибриковой [бВ] имеется подробное изложение исследований по линейной задаче сопряжения (0.2) на римановых поверхностях.
В случае, когда функция У есть нелинейная функция от Ф (t) иФ(), задача (0.1) называется нелинейной краевой задачей сопряжения. Решение нелинейных задач сопряжения в общей постановке представляет большие трудности, поэтому эта теория находится пока что на начальном этапе развития, рассмотрены лишь некоторые частные случаи таких задач. Нелинейные задачи сопряжения, рассмотренные до настоящего времени, можно разделить условно на два класса: задачи нелинейные "в малом" и задачи нелинейные "в большом". Примером задачи нелинейной " в малом " является краевая задача вида Первая попытка решения нелинейной* задачи сопряжения была сделана в 1941 году П.В.Соловьёвым [59] , который рассмотрел нелинейную краевую задачу вида a(tV В 1958 году А.Ш.Габиб-Заде опубликовал работу [ІЗ], в которой рассматривал нелинейную краевую задачу вида ФЪ) - А(Юф (t) - ВС*) Ф*Ш ФЪ) = С (t), t L , (о.з) где L - замкнутый контур. Согласно рецензии Ф.Д.Гахова [РЖМат, 1959, 3712], работа имеет существенные недостатки, которые делают результаты работы необоснованными. В 1960-61 годах появляются работы Г.В.Аржанова [4,5,61, в которых рассматриваются вопросы разрешимости нелинейной краевой задачи вида [Ф*(і)Г = йсиФю + get) , t«L , (о.*) где L - простой гладкий замкнутый контур,G(t) и Q(t) удовлетворяют на L условию Гёльдера, ІЛ. - натуральное число, П>2 . Получены решения задачи (0.4) в замкнутой форме. В 1962 году неудачную попытку решения [РІМат,І964,8Б368І нелинейной задачи вида (Ф+ю)2+ аФЬФм + 6 (Ф*Ы)г + с Ф+ю+ d ф-ft) = 9 ct) (о. 5) - б - для замкнутого контура L делает Т.З.Чочиев [б9І. Задача (0.5) до настоящего времени не решена даже для замкнутого контура и представляет определённый интерес. В том же 1962 году появляются работы Г.П.Черепанова [64, 65,66] , в которых рассматривается нелинейная задача вида Ф+Ю-Ф""(±) = $Ct) . te|_ . (о.б) Г.П.Черепанов исследует задачу (0.6) при различных предположениях ( случаи замкнутого и разомкнутого контура, разрывных или обращающихся в нуль(*Ь)). Полученные результаты используются им для решения упруго - пластической задачи. В случае, когда L - замкнутый контур, решения задачи (0.6) принадлежат классу кусочно - аналитических и ограниченных функций. В случае, когда L - разомкнутый контур, Г.П.Черепанов нашёл не все решения задачи (0.6), причём найденные им решения не принадлежат классу ограниченных функций. В приложениях краевых задач большую ценность имеют ограниченные решения, поэтому появилась необходимость нового рассмотрения задачи (О.б) в классе ограниченных функций, что и делается в данной диссертации. В 1966-67 годах появляются работы [23,24,63,70,74,761. В работах [23,24] А.И.Гусейновым и М.А.Абдурагимовым рассматриваются только вопросы разрешимости некоторых нелинейных краевых задач для замкнутого контура. В работе [63] М.В.Тур-сункулов рассматривает нелинейную задачу со сдвигом, аналогичную задаче (0.3), но результаты работы оказываются неверными [РЖМат, 1967,45300]. В работе [70] Т.З.Чочиев вновь рассматривает задачу (0.5) и устанавливает связь между част- ным решением задачи (0.5) и частным решением некоторого нелинейного интегрального уравнения. В работе [74І румынский математик V. Donescu. исследует нелинейную задачу вида К«+С^)ФЬ+...+с;С1)(ф+с^)Ч])^)Ф^)+...+3" tt^'Ct))* = О , гдеіє|_ - простой гладкий замкнутый контур, j(X) удовлетворяет на L условию Гёльдера, Cft($) и Da(t) интегрируемы и аналитически продолжимы соответственно в ІУ1" и XT . Доказывается, что решения задачи являются решениями некоторого функционального уравнения. Другой румынский математик A.Susea в работе [7б] делает попытку решения нелинейной краевой задачи вида (ФЪ) =йад(Фш)? (о.7) для многосвязного гладкого замкнутого контура L в случае, когда oC-^(t), J>=Ct) ,tfcL. Отзыв на работу, данный Ф.Д.Га-ховым [РЖМат,1968,4Б433] отрицателен, но работа [76] явилась толчком для появления ряда работ по нелинейным краевым задачам для замкнутого и разомкнутого контура в последующие годы. К ним относятся работы [9,17,18,19,32,33,34,35,36,37,55,56, 57,62]. В работах Ф.Д.Гахова [17,18,19] задача (0.7) рассматривалась для замкнутого контура в случае, когда оС и ^ целые или рациональные положительные числа. В работе [37] И.И.Комяк рассмотрел задачу (0.7) для замкнутого контура L в случае, когда оС>0 и 2>>0 и хотя бы один из показателей оС или jb есть иррациональное число. В работах [55,56,57] Н.А.Рысюк рассматривала задачу (0.7) с действительными показателями cL и f> в классе автоморфных функций и с комплексными показателями. В работе М.Э.Толочко [62І исследуется вопрос разрешимости задачи (0.7) для многосвязной области. Работы В.В.Кашевского [32-36] посвящены рассмотрению задач типа (0.7) при действительных постоянных & и р на римановых поверхностях. Наконец, в работе Г.Б.Аржанова [9] рассматривается вопрос разрешимости задачи (0.7) для замкнутого контура L , когда показатели оС и р есть функции точек контура. Кроме того, в ряде работ, появившихся после 1967 года , рассматривался вопрос разрешимости нелинейных задач других видов для замкнутых контуров [3,7,8,10,25,30,31,58,72,73]. В некоторых из них, сверх того, проводился подсчёт числа решений и находились решения нелинейных задач. Так, в работах [7, 8,72] исследуется вопрос разрешимости нелинейной задачи вида а в работе [3] рассматривается разрешимость краевой задачи F [ ФЪ), Фтго, хм] = о , где F - полином от ty\t) , $"(t) с мероморфными по Л коэффициентами; определяется число решений задачи и исследуются условия их аналитичности. Необходимо также отметить работы, в которых исследовались нелинейные задачи Гильберта. Основными работами этого цикла являются работы А.И.Гусейнова [22] , В.К.Наталевича [46,47, 48] , Е.П.Аксентьевой [1,2], Е.К.Тимофеева [60,61] и Ю.В.Об-носова [49-52] . Во всех вышеупомянутых работах, за исключением работ Г.П.Черепанова [б4-6б] , рассматривались нелинейные задачи для замкнутых контуров. Нелинейные задачи сопряжения для разомкнутых контуров исследовались в гораздо меньшем числе, случаев. Кроме работ [б4-6б] , нелинейные задачи для разомкнутых контуров встречаются в работах [14,20,38,39,41,53,54,75]. Работы [20,38,39,411 легли в основу данной диссертации. Работа [14] В.Н.Гавдзинского и И.М.Спитковского посвящена сведению одной задачи факторизации матриц-функций к нелинейной задаче сопряжения вида (0.3). В работах Л.П.Примачука [53,54] решается нелинейная задача сопряжения для двух голоморфных функций: %Ч±учГг(ь) =^(t) , ^tv^;ct)= izCt) , tL, где L - простая гладкая разомкнутая кривая. Наконец, A.S.Peters в работе [75] рассматривал задачу вида Диссертация состоит из четырёх глав. В первой главе проводится исследование задачи вида (О.б) в случае, когда контур L есть простая гладкая разомкнутая дуга CLv . При этом в I вводятся, используемые в дальнейшем, обозначения и классы функций, даются определения некоторых понятий. Там же даётся постановка основной задачи исследования. В 2 рассматривается решение частного случая основной задачи, когда f(t) = 1 , в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. При исследовании этого случая нелинейная задача приводится к линейной задаче сопряжения. Последняя решается в классе функций, в котором она ранее не рассматривалась. При этом оказывается, что на количество решений линейной задачи, а стало быть, и нелинейной задачи существенное влияние оказывают локальные свойства контура L в концевых точках CL и 6 , что ранее при решении задач сопряжения не наблюдалось. Решения нелинейной задачи случая f(t)=1 получены в замкнутой форме и играют в дальнейшем роль канонической функции. В 3 находится общее решение основной задачи в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. В 4 исследуется общий случай в классе аналитических и ограниченных функций, имеющих любое конечное число нулей в наперёд заданных точках. При рассмотрении этого случая строится вспомогательная аналитическая и ограниченная функция с теми же нулями, что и искомое решение, как решение некоторой вспомогательной линейной задачи Римана. В 5 результаты исследований предыдущих параграфов переносятся на случай неограниченного контура. Вторая глава диссертации содержит исследования нелинейной задачи вида (0.6) для случая контура L , состоящего из двух отрезков действительной оси. Постановка задачи, основные обозначения и классы функций, используемые в этой главе, вводятся в б. В 7, составляющем основную часть главы, задача (0.6) исследуется в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. Это исследование осуществляется через рассмотрение линейной неоднородной задачи сопряжения, к которой сво- - II - дится основная задача. Находятся условия разрешимости, решения задачи получены в замкнутой форме. В 9 задача (0.6) решается в классе функций аналитических и ограниченных в расширенной плоскости с двумя разрезами по действительной оси с нулями в заданных точках. Получено условие разрешимости задачи в этом классе и приводится вид общего решения. В третьей главе диссертации решается нелинейная задача вида (0.7) для контура, состоящего из совокупности Ш гладких дуг в классе аналитических и ограниченных функций. Постановка задачи и основные обозначения вводятся в 9. В 10 задача (0.7) решается при условии ои ,<*,-положительные действительные числа. Отдельно рассматриваются случаи, когда хотя бы один из показателей cL или f> есть иррациональное число и когда оба показателя оС и f> есть рациональные числа. В обоих случаях получены условия разрешимости и общие решения задачи (0.7) в классе аналитических и ограниченных функций. В II рассматривается задача (0.7), когда = оС , сі -действительное число. Отдельно исследуются случаи: d^2. - натуральное, ot>0 - рациональное, ol>0 - иррациональное и оС<0 - действительное. В каждом случае получены условия разрешимости и общие решения. Исследование проводится методом сведения к линейной задаче для разомкнутого контура и рассмотрения приращений аргумента решения линейной задачи по простейшим кривым. Четвёртая глава диссертации содержит пример применения нелинейной задачи сопряжения, рассмотренной в третьей главе , к решению функционального уравнения вида Y(w-M)=1lCw)0(w)]p , (0.8) где Р^2. - натуральное число. Этому вопросу посвящен 12 , где даётся метод приведения функционального уравнения (0.8) к нелинейной задаче и устанавливается взаимнооднозначное соответствие между решениями функционального уравнения и решениями нелинейной краевой задачи. Решения уравнения (0.8) найдены в классе функций аналитических в полуплоскости Rew^O. В 13 и 14 метод, введённый в предыдущем параграфе, применяется для решения уравнений Y(WH) =^(^) и Y(w+1)=wY(w). При этом в 13 найден общий вид целой периодической функции с периодом единица, а в 14 находятся все решения уравнения ^(W+l)= =Wy(w) в классе функций, аналитических в правой полуплоскости и имеющих там рост не выше первого порядка. Получено интегральное представление гамма-функции, которое в справочной литературе обнаружить не удалось. На защиту выносятся следующие основные результаты: Методика решения нелинейных задач сопряжения вида (0.6) для разомкнутых контуров. Алгоритм поиска нетривиальных решений задачи вида (0.6) в классе аналитических и ограниченных функций, не имеющих нулей. Методика построения общего решения задачи вида (0.6) в классе аналитических и ограниченных функций с наперёд заданными нулями.. Способ нахождения условий разрешимости задачи (0.6) в классе функций аналитических и однозначных в плоскости с дву- - ІЗ - мя разрезами на действительной оси. Методика исследования нелинейных задач вида (0.7) на разомкнутом контуре. Способ нахождения условий разрешимости задачи (0.7) при различных значениях показателей cL и f и построение общих решений этой задачи. 7.. Методика решения функционального уравнения (0.8), основанная на сведении его к нелинейной задаче для разомкнутого контура. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [20,38-41]. В совместной работе [20] Н.В.Говорову принадлежит постановка проблемы, определение порядка касания кривой и доказательство достаточности условий леммы 4. Все основные результаты диссертации докладывались на III (1971 г.) и ІУ (1975 г.) Республиканских конференциях математиков Белоруссии, на научных конференциях Кубанского госуниверситета ( 1972 г.,1973 г.,1976 г. ). Автор искренне признателен своему научному руководителю профессору Н.В.Говорову за постоянное внимание и поддержку, в работе над диссертацией и навсегда сохранит добрую память о нём.Похожие диссертации на Нелинейные краевые задачи сопряжения для разомкнутых контуров
