Разрывная граничная задача линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой кривой Ищенко Елизавета Владимировна

Содержание к диссертации

Введение

ГЛАВА I. Скалярная разрывная граничная задача линейного сопряжения с кусочно-непрерывным коэффициентом в случае общей кусочно-гладкой кривой

1. Основные обозначения и термины 22

2. Вспомогательные результаты и постановка задачи 31

3. Факторизация непрерывной функции, заданной на гладкой дуге 49

4. Факторизация кусочно-непрерывной функции, заданной на общей кусочно-гладкой кривой... 56

5. Факторизация кусочно-непрерывной функции в различных УС -классах 60

6. Решение скалярной разрывной задачи линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова в случае общей кусочно-гладкой кривой 66

7. Обобщение А -классов Н.И.Мусхелишвили и связь между кусочно-непрерывной и разрывной задачами 71

ГЛАВА II. Векторная разрывная граничная задача линейного сопряжения

8. Вспомогательные результаты 76

9. Сведение кусочно-непрерывной матрицы-функции к непрерывной 83

10.Факторизация кусочно-непрерывных матриц функций 89

11. Факторизация кусочно-непрерывных матриц функций в различных Ж -классах 101

12. Векторная разрывная задача линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова 105

ГЛАВА III. Сингулярные интегральные уравнения с ядром коши в случае общей кусочно-гладкой кэдвой

13. Некоторые термины и обозначения 117

14. Решение характеристических сингулярных интегральных уравнений 118

15. Метод регуляризации Т .Карле мана-Й.Н .Веку а 124

16. Системы характеристических сингулярных интегральных уравнений. Об одном свойстве решений задачи линейного сопряжения 131

Литература 137

• Факторизация непрерывной функции, заданной на гладкой дуге
• Решение скалярной разрывной задачи линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова в случае общей кусочно-гладкой кривой
• Сведение кусочно-непрерывной матрицы-функции к непрерывной
• Решение характеристических сингулярных интегральных уравнений

Введение к работе

Среди линейных граничных задач теории функций комплексного переменного особую роль играет задача линейного сопряжения

Ф*(У = Ш$~Ш+?(*), ±С. (0.D

Она является важным модельным случаем в группе двухсторонних граничных задач теории функций комплексного перемениого,часто встречается при решении плоских граничных задач механики и математической физики. В частности, она играет существенную роль при построении теории одномерных сингулярных интегральных уравнений. Наконец, повышенный интерес к этой задаче,особенно с прикладной точки зрения, вызван и тем обстоятельством, что ее полное решение, при определенных предположениях, удается построить эффективно с помощью интегралов типа Коши. Поэтому вот уже четыре с лишним десятилетия, как эта задача является объектом многочисленных исследований.

Изучение задачи (0.1) , как и других граничных задач теории функций комплексного переменного, весьма чувствительно зависит от предположений, которым мы подчиняем заданные и искомые элементы задачи. Для корректной постановки задачи требуется оговорить три группы предположений: I) предположения о граничной кривой / ; 2) предположения о заданных функциях в граничном условии; 3) предположения о граничных свойствах искомых голоморфных функций. В связи с этим последним предположением, следуя Б.В.Хведелидзе, граничные задачи можно разделить на три класса: I) непрерывные, если искомая функция ^ непрерывна вплоть до граничной кривой / ; 2) кусочно-непрерывные, если допустимо нарушение этого условия только в

конечном числе точек границы / ; 3) разрывные - во всех остальных случаях.

Основополагающие исследования для изучения задачи (0.1) были опубликованы в 1908 г. И.Племелем[і],[2]и в 1922г.Т.Карле маном[з] . И.Племель в некоторых частных предположениях рассмотрел однородную задачу (0.1) в векторном случае (т.е. когда 9? вектор-функция и (0.1) представляет собой систему равенств) как в непрерывной, так и в кусочно-непрерывной постановках и в скалярном случае в непрерывной постановке.Т.Карле-ман рассмотрел неоднородную скалярную задачу в кусочно-непрерывной постановке. При этом он обнаружил тесную связь,которая существует между задачей (0.1) и сингулярным интегральным уравнением с ядром Коши.

В отмеченных работах задача (0.1) рассмотрена при весьма жестких предположениях относительно элементов задачи, а также, как впоследствии выяснилось, ряд результатов, установленных и в этих предположениях, требовал дальнейших уточнений . Так что упомянутые работы в смысле установления конкретных результатов относительно задачи (0.1) не столь важны, но они явились весьма важными исследованиями в идейном отношении.

Первое полное решение скалярной задачи (0.1) в непрерывной постановке развитием'идей вышеуказанных работ было получено в 1937 г. Ф.Д.Гаховымрь]. Им был рассмотрен случай, когда Г одна замкнутая простая гладкая кривая, а функции ^ П, удовлетворяют условию Гёльдера. Здесь впервые были установлены

' Следует отметить, что в работах [і]-[з] граничная задача (0.1) рассмотрена как вспомогательная при исследовании других задач.

- б -

необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (0.1) и дана явная формула для представления общего решения.

Развитие идей Т.Карлемана в связи с сингулярным интегральным уравнением с ядром Коми было дано И.Н.Векуа[5], [б]в начале сороковых годов. Ему тогда удалось разработать этим путем законченную теорию упомянутых уравнений.

Дальнейшее развитие и уточнение исследований И.Племеля непрерывной задачи (0.1) в векторном случае было дано в 1941г. в совместной работе Н.И.Мусхелишвили и Н.П.Векуа[7]. В этой работе были установлены необходимые и достаточные условия разрешимости неоднородной задачи (0.1) в векторном случае и найдена явная формула для вычисления индекса задачи.

Полное решение скалярной кусочно-непрерывной задачи (0.1) было дано Н.И.Мусхелишвили[8] ,[9]. Здесь впервые появилась общая корректная постановка кусочно-непрерывной задачи (0.1). В этой постановке классом функций, определенных на граничной кривой / , которому должны принадлежать заданные функции, а также граничные значения искомых функций, является (введенный для этой цели Н.И.Мусхелишвили) функциональный класс ²г/ и различные его подклассы, в частности, так называемые 'ти --классы. Классом аналитических функций на разрезанной вдоль/ комплексной плоскости, которому должны принадлежать искомые функции - класс кусочно-голоморфных функций (понятие, также введенное Н.И.Мусхелишвили). Далее, введя соответствующим образом понятие индекса для кусочно-непрерывной задачи,Н.И.Мусхелишвили было показано, что в предложенной им постановке все

²' Определение терминов, упомянутых во введении, дано в I первой главы.

решения кусочно-непрерывной задачи (0.1) строятся эффективно в квадратурах и имеет место теорема разрешимости, аналогичная непрерывному случаю.

В одной частной кусочно-непрерывной постановке векторная задача (0.1) была рассмотрена И.Племелем[і]. Им был рассмотрен случай, когда коэффициенты задачи кусочно-постоянны.Полное исследование кусочно-непрерывной векторной задачи (0.1) в постановке Н.И.Мусхелишвили было дано Н.П.ВекуарО] , [її] в первой половине сороковых годов.

Вышеотмеченные исследования Н.И.Мусхелишвили, Ф.Д.Гахова, И.Н.Векуа, Н.П.Векуа, оказали большое влияние на дальнейшее развитие исследований по граничным задачам теории функций комплексного переменного и тесно с ними связанным одномерным сингулярным интегральным уравнениям. В исследованиях упомянутых авторов Г - простая замкнутая или разомкнутая кривая (или конечная совокупность взаимнонепересекающихся таких кривых), функции, рассматриваемые на / , непрерывны или кусочно-непрерывны в смысле Гёльдера ( в частности, принадлежат классу Н* )» а искомые функции в граничных задачах - кусочно-голоморфны. Эти предположения в настоящее время обычно называют классическими предположениями. В такой постановке изучение граничной задачи (0.1) было в основном завершено в сороковые годы. Эти результаты с соответствующими историческими справками собраны в монографиях [9], [if] - [iff] .

Основным аппаратом изучения граничных задач теории функций комплексного переменного является интеграл типа Коши.Условие кусочно-голоморфности есть достаточное условие для представимости голоморфной функции интегралом типа Коши.Кусочно-голоморфные функции являются узким подклассом класса функ-

ций,представимых интегралами типа Коши, Поэтому естественно должен был встать вопрос: для искомых функций в граничных задачах рассмотреть в качестве допустимого класса более широкое множество, чем множество кусочно-голоморфных функций.

В связи с этим вопросом в монографии Н.И.Мусхелишвили [9]( стр.405) сказано: "Дело в том, что налагая заранее те или иные условия на искомые функции, мы не можем без дополнительных исследований поручиться, что этим самым мы не потеряем решений, представляющих интерес для данного вопроса. Поэтому всегда желательно, чтобы ограничения, налагаемые на искомые решения, были как можно менее стеснительны".

Так как граничные задачи теории функций комплексного переменного, как правило, исследуются методом интегралов типа Коши, то самый широкий класс для искомых функций, который в этом случае потенциально допустим, это класс функций, предс-тавимых интегралами типа Коши. Это требование выделяет важный разрывный класс задачи (0.1).

Впервые в сходной постановке задача (0.1) была сформули-рована И.И.Приваловым на П Всесоюзном математическом съезде ' в 1934 г. А именно, им было предложено рассмотреть задачу (0.1) в следующих предположениях: / -простая замкнутая спрямляемая кривая; qr OL интегрируемые на / по Лебегу функции, причем 0_i <\QH) \<&_z ,где С^Сд — константы, 4z j 9? -угловые граничные значения искомых функций <^*(Z) ^? (z) «которые предполагаются представи-мыми интегралами Коши соответственно в конечной и бесконечной

ч)

' Содержание доклада опубликовано в Матем.сб., т.41, № 4,

1934.

областях^"' с общей границей /7

В предположении, что Q удовлетворяет условию Липшица, И.И.Привалову удалось тогда высказать некоторые общие соображения о разрешимости этой задачи.

В первой половине сороковых годов в связи с исследованием ем вопросов Н.И.Мусхелишвили " в работах Б.В.Хведелидзе естественно возникла необходимость построить решения задачи (0.1) в классе функций, представимых интегралами типа Коши ( с полиномиальной главной частью на бесконечности) с замкнутой или разомкнутой граничной кривой / . Это предположение об искомой функции является подчас более общим и более удобным (в случае разомкнутой кривой), чем указанное выше предположение И.И.Привалова.

Разрывную задачу (0.1), в которой от искомой функции требуется представимость интегралом типа Коши с полиномиальной главной частью на бесконечности, Б.В.Хведелидзе называет задачей сопряжения в постановке И.И.Привалова. В такой постановке в первых исследованиях упомянутого автора [17], [18] обобщением методов, разработанных в случае непрерывной задачи (0.1),была исследована эта задача,когда простая замкнутая кривая / удовлетворяет условию Ляпунова, коэффициент Q условию Гельдера, U'G.LJDjt»'!, а искомая функция 5? представима интегралом типа Коши с плотностью из класса /./>(// и полиномиальной главной частью на бесконечности. В дальнейшем была рассмотрена[19] , [20] задача (0.1) в разрывной постановке,которая естественно обобщала кусочно-непрерывную задачу (0.1) в

' В этом последнем случае с постоянной главной частью на бесконечности

⁵' Об этом более подробно см.[іб], стр.8.

постановке Н.И.Мусхелишвшш. А именно, задача (0.1) была рассмотрена в такой редакции: Г -простая замкнутая или разомкнутая кривая Ляпунова или же конечная совокупность взаимно-непересекающихся таких кривых, коэффициент Q (?0) кусочно-непрерывен в смысле Гельдера, взамен функционального класса введенного Н.И.Мусхелишвшш, был рассмотрен весовой функциональный класс Лебега LpVjtOjjb^l, так, что в задаче (0.1) Ф ЄЬь(Г,и>) ; класс кусочно-голоморфных функций был заменен классом функций, представимых интегралами типа Коши с граничной кривой Г , полиномиальной главной частью на бесконечности и плотностью из класса LJFjU)) -классом Жн(/]и)).

Вышеотмеченные работы Б.В.Хведелидзе стимулировали многочисленные исследования по разрывным задачам теории функций комплексного переменного в постановке И.И.Привалова. Эти результаты с соответствующими историческими справками можно найти в[14)., [іб] »[20]-[2б] .

Особый интерес для задач механики и математической физики представляет случай, когда в задаче (0.1) кривая Г кусочно-гладкая, коэффициент Q кусочно-непрерывен,а решение требуется найти в Ж,- классах.

Впервые скалярная разрывная задача (0.1), когда коэффициент Q- кусочно-непрерывен, а Г - простая кривая Ляпунова, была изучена Б.В.Хведелидзе[27] ,[28]. Этот результат был обобщен на случай простой кусочно-ляпуновской кривой Э.Г.Гордадзе [29] . В этих результатах на кривую Г условие Ляпунова налагалось потому, что долгое время не удавалось выяснить вопрос: ограничен ли сингулярный интегральный оператор с ядром Коши в пространстве ///,(//,/?>/ ,когда / — гладкая кривая. В 1977 г. утвердительный ответ на этот вопрос дал А.Кальде-

- II -

рон [ЗО] , в силу чего указанные выше результаты автоматически остались справедливыми при замене условия Ляпунова условием гладкости. Эти результаты, кроме самостоятельного интереса, имеют важное значение в том смысле, что показывают: решения кусочно-непрерывной задачи (0.1), построенные в классе кусочно-голоморфных функций, представляют , оказывается, все решения в гораздо более широком Жи -классе. А класс этот, как было выше сказано, есть естественный и максимально допустимый класс для искомой функции, когда задача исследуется методом интегралов типа Коши.

Для задач механики и математической физики часто существенно выяснить поведение решения задачи в некоторых отдельных точках граничной кривой. Такими точками обычно являются концевые или угловые точки граничной кривой, а также точки, в которых терпят разрыв функции, участвующие в граничных условиях. Поэтому представляет интерес выяснение связи, которая должна существовать в данной точке между параметрами, характеризующими заданные и искомые функции, чтобы задача была разрешима.

В работе [ЗІ] , когда граничная кривая простая кусочно-гладкая, такая связь указана в случае скалярной задачи (0.1) в постановке И.И.Привалова.

Известно, что Н.И.Мусхелишвили во втором издании своей монографии "Сингулярные интегральные уравнения" построил решения кусочно-непрерывной задачи (0.1) в скалярном случае,когда граничная линия Г является общей кусочно-гладкой кривой⁶.

Разрывная скалярная задача (O.l) ,когда граничная кривая Г является общей кусочно-гладкой кривой, не была до сих пор рассмотрена. Поэтому, в частности, оставался открытым вопрос:

' Определение см. I п.16

интегральное представление всех решений в классе кусочно-голоморфных функций в случае кусочно-непрерывной задачи (0.1), построенное Н.И.Мусхелишвили, когда Г общая кусочно-гладкая кривая, представляет ли все решения задачи и в более широком классе 7Сь(/,а))ч Ответ на этот вопрос в силу приведенного выше мнения Н.И.Мусхелишвили является существенным при решении прикладных задач, когда граничная кривая имеет точки самопересечения.

В первой главе настоящей диссертации с помощью обобщения результатов работы [31] мы изучаем разрывную задачу (0.1) в постановке И.И.Привалова, когда / -общая кусочно-гладкая кривая. Приведем краткое содержание этой главы.

В I приведены основные обозначения и термины.

В 2 изложены вспомогательные результаты, а также дана постановка задачи. Здесь собраны все нужные для дальнейшего , в основном хорошо известные в случае простого контура интегрирования результаты об интегралах типа Коши. Мы даем формулировку этих результатов в случае общей кусочно-гладкой кривой с доказательством или краткими указаниями на их обоснования.

В $ 3, который является вспомогательным для 4-, дается построение факторфункции для непрерывной, всюду отличной от нуля, функции Q определенной на простой разомкнутой дуге/7

Функцию X называем факторфункцией для Q- ,если X и X" принадлежат классу УС(Г)_Л т.е. представиш интегралами типа Коши с полиномиальной главной частью на бесконечности и почти всюду на / имеет место равенство ловые граничные значения л на / . Если, кроме того, ХєЖр(Г,со), X Є Jbpt (/Jof J , тогда говорим, что X яв-

- ІЗ -

ляется факторфункцией для Q в классе Жр(Г,а>).

В 4 дается построение факторфункции для кусочно-непрерывной и отличной от нуля функции Q , заданной на общей кусочно-гладкой кривой. Доказано, что факторфункция представляется формулой (4.15), а ее порядок на бесконечности - формулой (4.16).

В 5 с помощью анализа формулы (4.15) выяснена возможность факторизации кусочно-непрерывной функции на общей кусочно-гладкой кривой в различных Ж -классах.

В б на основе результатов, установленных в 4,5 с помощью метода факторизации ' построено решение неоднородной задачи линейного сопряжения (0.1) в классе УСр(/?а))ъ случае общей кусочно-гладкой кривой Г ,когда Q кусочно-непрерывна в смысле Гельдера, т.е. (^^Н₀(Г)» Далее, рассмотрен случай, когда коэффициент Q кусочно-непрерывен,т.е. Q^.₀(r) В этом случае, по сравнению с предыдущим,метод факторизации дает возможность утверждать, что соответствующая формула представляет решение, вообще говоря, в более широком классе 3^(^ где 8(>0) сколь угодно малое число. В 16 третьей главы показано, что в этом результате можно убрать.

В 7 дано обобщение А -классов Н.И.Мусхелишвили в случае лебеговых функциональных пространств и показано,что формула, представляющая общее решение кусочно-непрерывной задачи линейного сопряжения, построенная Н.И.Мусхелишвили в случае общей кусочно-гладкой кривой, дает общее решение задачи в более обширных Ж - классах функций.

"' Определение этого метода см. стр.4<5

Во второй главе рассматривается векторная граничная задача линейного сопряжения (0.1). Задача эта в однородном случае впервые была сформулирована Б.Риманом в связи с построением системы линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами и регулярными особыми точками с заранее заданной группой монодромии. Эту задачу Риман свел к однородной задаче, соответствующей (0.1), когда коэффициенты этой задачи кусочно-постоянны, но ее исследованием не занимался. Первая попытка решения этой задачи принадлежит Д.Гильберту (1905г.). Впоследствии более простое и полное решение упомянутой задачи было дано учеником Д.Гильберта И.Племелемр], который рассмотрел задачу как в непрерывном, так и в кусочно-непрерывном (когда коэффициенты кусочно-постоянны) случаях. Эти результаты, как отмечено выше, были существенно пополнены и развиты Н.И.Мусхелишвили, Н.П.Векуа[7]и Н.П.Векуа [II] В дальнейшем было опубликовано большое число работ,которые в том или ином направлении обобщали и дополняли отмеченные выше результаты ( см. [20]-[24] , [32]и указанную там литературу). Исследования эти продолжаются по сей день ( см., напр., [26] , [33] .

Задача (0.1), когда коэффициент G имеет в конечном множестве точек границы Г разрывы первого рода, следуя Д.Гильберту и И.Племелю , обычно изучается с помощью сведения к случаю непрерывного коэффициента. Это сведение достигается путем подбора соответствующих множителей, которые ДОВОЛЬНО просто угадываются в скалярном случае. Для векторной задачи (0.1) упомянутое сведение в частном случае (когда коэффициенты кусочно-постоянны) было осуществлено И.Племелем, не пользуясь матричными обозначениями, а в общем случае -

- 15 -Н.П.Векуа с помощью определенных подстановок, основываясь на приведении матриц в точках разрыва к жордановой нормальной форме ( см. [if] , стр.96-109). Следует отметить, что соответствующие выкладки в векторном случае гораздо более сложные, чем в скалярном.

Результат Н.П.Векуа установлен в предположении, что м.-ф. Q^Hotiir), Г простая гладкая или кусочно-гладкая кривая, причем в окрестностях точек разрыва ІЛ-І ; в работе Л.Г.Маг-нарадзе[32] было показано, что в отмеченном результате класс Н₀а можно заменить более широким подклассом непрерывных функций, оставив условие Нои, в окрестностях точек разрыва, где 0<<о, 6" -некоторое число.

В шестидесятые годы Г.Ф.Манджавидзе [2 исследовал векторную задачу (0.1) в случае кусочно-гельдеровых (без ограничения на показатель Гельдера), а также [24] кусочно-непрерывных неособенных м.-ф. привлечением результатов Н.П.Векуа и метода последовательных приближений, используя аппроксимацию непрерывных м.-ф. с помощью рациональных.

В начале пятидесятых годов Ф.Д.Гахов [3 наметил схематично путь некоторого упрощения изложения Н.П.Векуа с помощью более широкого привлечения теории функций от матриц, опираясь на результаты И.А.Лаппо-Данилевского.

Ввиду того, что в работе[34] не изложена более или менее подробно реализация предложенной схемы, а также из-за вкрав-шейся в ней одной неточности , трудно было сделать заключение, на каком уровне происходит упрощение изложения соответствующих результатов монографии [її] .

⁸' см.[з4[ , с тр.29-30, вычисление A₁(i₁i'0)_J А₁ &~0)

Во второй главе настоящей диссертации мы реализуем схематично намеченный Ф.Д.Гаховым путь изложения сведения кусочно-непрерывной м.-ф. к непрерывной. Далее, опираясь на результаты первой главы диссертации и работу Л.Ф.Зверович[35], исследуем векторную разрывную задачу линейного сопряжения в случае как простой, так и общей кусочно-гладкой кривой.

Приведем краткое содержание второй главы.

В 8 этой главы приводятся нужные для дальнейшего результаты теории функций от матриц и устанавливаются некоторые вспомогательные предложения.

В 9 сведение кусочно-непрерывной м.-ф. Q к непрерывной реализуется в той последовательности, которую предложил Ф.Д.Гахов, привлекая спектральное разложение функций от матриц. Отмеченные результаты устанавливаются в следующих предположениях: Г -простая гладкая кривая, м.-ф. Q непрерывна на Г і кроме конечного числа точек разрыва первсн го рода, в окрестностях которых QgHquj 0_o0 -некоторое число, определяемое граничными значениями м.-ф.^ в точках разрыва. Реализуемые нами в этих предположениях рассуждения вполне схожи со скалярным случаем.

В первой части 10 дано доказательство существования факторматрицы ' для Q в предположениях, принятых в предыдущем параграфе и вычислен индекс Q.

Во второй части 10, опираясь на работу Л.Ф.Зверовичр5], обобщающую результаты Н.П.Векуа на случай общей кусочно-гладкой кривой Г , мы заключаемою фактор-матрица,построенная в работе[35]в классе кусочно-голоморфных м.-ф.,является вмес-

' Факторматрица определяется аналогично факторфункции.

- 17 -те с тем факторматрицей в классе м.-ф., представимых интегралами типа Коши.

Поведение факторматрицы в окрестности узлов ' как в случае простой кусочно-гладкой кривой Г , так и в случае, когда Г общая кусочно-гладкая кривая, описывается, как оказалось, аналогичными формулами. Поэтому при дальнейшем исследовании параллельно рассматриваются следующие две постановки:

A. Граничная кривая Г представляет собой конечную со
вокупность взаимно непересекающихся простых гладких кривых,
неособенная м.-ф. Q кусочно-непрерывна на Г ,причем в од
носторонних окрестностях точек разрыва Q&Нп, и₀<и.^/,тяе

/СС₀ упомянутое выше число.

B. Граничная кривая / является общей кусочно-гладкой
кривой, а неособенная м.-ф. Q^Hn на каждой простой глад
кой дуге, на которые разбивается Г , причем в окрестностях
узлов опять-таки jLC₀

В II, аналогично скалярному случаю ( 5), в постановках А и В выявлены те связи, которые должны существовать между граничными значениями м.-ф. Q в узлах кривой Г степенями весовой функции со в этих точках и показателем р функционального пространства Лебега Lh(f]u)) ,чтобы фактор-матрица принадлежала классу Xh(/Jco).

В 12 исследуется векторная граничная задача (0.1) методом факторизации. Вначале рассмотрена однородная задача,общее решение которой,естественно,легко строится в тех же J/T -классах, в которых произведена факторизация м.-ф. Q.

'К узлам причисляются в случае простой кривой Г точки разрыва Q и концевые точки Г ,если она разомкнута

Неоднородная задача (0.1) сначала рассмотрена в предположении, что а, интегрируема в любой степени р(>4) (т.е. #"До('/ ) и построено общее решение задачи в возможно более широком классе Лр(П» Этот результат дает возможность сделать важное заключение, что в классических предположениях от заданных функций кусочно-непрерывная задача (0.1) имеет одно и то же множество решений в классе кусочно-голоморфных в.-ф. и в более широком классе УСь(Г),

Когда свободный член задачи (O.l) JC/>(/Ja)) а,вообще говоря, в более широком классе Xp(f?cOj. В 16 третьей главы с помощью некоторых дополнительных рассуждений показано,что построенное решение в классе 7Ск(^и)^) представляет, оказывает-ся, все решения задачи в классе Жр(^од)-

В заключительной третьей главе результаты, установленные в предыдущих главах, применяются для изучения некоторых вопросов теории сингулярных интегральных уравнений

а#)<(Ю+Ш\^скА&№)скфМеГ (о.2)

^{г г}

в функциональных пространствах Лебега 1р(Г,и)) в случае общей кусочно-гладкой кривой.

Известно, что вслед за исследованиями И.Фредгольма[Зб] в начале нашего века в работах А .Пуанкаре [37| в связи с изучением задач теории приливов и Д.Гильберта[38| в связи с решением некоторых граничных задач теории функций комплексного переменного, была начата разработка теории сингулярных интегральных уравнений. Основополагающие работы для построения совре-

менной теории сингулярных интегральных уравнений с ядром Ко-ши были выполнены в начале 20-х годов Ф.Нетером[39] и Т.Карле-маном[3]. В этой последней работе для одного частного случая уравнения (0.2) была указана схематично идея сведения этого уравнения к задаче линейного сопряжения. Как было отмечено выше, в начале 40-х годов эта идея была развита И.Н.Векуа[5], [б]и положена в основу построения общей теории уравнения (0.2), где Г -простая замкнутая гладкая кривая, заданные функции CLj-Ojl так же как искомая функция (f удовлетворяют условию

Гельдераи У(ієГ) аЧІ)-4Чі)*о.

Упомянутый метод, разработанный И.Н.Векуа для построения общей теории уравнения (0.2), в настоящее время называют методом Т.Карлемана-И.Н.Векуа. Метод этот состоит из трех этапов: I) привлечением задачи линейного сопряжения строятся явные решения ( с помощью сингулярных интегралов Коши) характеристического сингулярного интегрального уравнения (т.е. уравнения (0.2), в котором к-0 ) и союзного с ним уравнения; 2) с помощью этих решений производится регуляризация полного сингулярного интегрального уравнения (0.2) и союзного с ним уравнения; 3) с помощью построенных регулярных уравнений Фред-гольма дается доказательство теорем Нетера для полного сингулярного интегрального уравнения (0.2).

Метод Т.Карлемана-И.Н.Векуа был обобщен: когда Г -совокупность простых разомкнутых гладких дуг, а правая часть уравнения (0.2) и искомая функция ^ принадлежит классу// (Н.И.Мусхелишвили[9] , Н.И.Мусхелишвили и Д. А .Кве се лава [40] ); когда, при аналогичных предположениях, рассматриваются системы сингулярных интегральных уравнений вида (0.2) (Н.П.Векуа [II]); когда Г -общая кусочно-гладкая кривая (Н.И.Мусхелишви-

ли[9]); когда Г -совокупность простых замкнутых или разомкнутых взаимно-непересекающихся кривых Ляпунова, а / и

В третьей главе, пользуясь результатами предыдущих глав в связи с решением задачи линейного сопряжения в JC- классах, мы обобщаем метод Т.Карлемана-И.Н.Векуа на случай, когда решение уравнения (0.2) отыскивается в функциональном классе 1>р(/]и)) ,где Г- общая кусочно-гладкая кривая.

В 13 этой главы введены некоторые термины и обозначения.

В 14 в терминах характеристических сингулярных интегральных уравнений сформулированы результаты, установленные в

первой главе ( б) при исследовании задачи линейного сопря-

л)

жения в скалярном случае '. Из этих результатов в качестве

важного следствия получаем (теорема 14.4), что решения характеристического сингулярного интегрального уравнения,которые построены Н.И.Мусхелишвили в случае общей кусочно-гладкой кривой ( см.[9], формула (97.11))в классе функций, кусочно-непрерывных в смысле Гельдера (точнее, в классе -п,(С_ь>. -,)),представляют, оказывается, все решения в более широком функциональном классе Лебега (>р(/]и); c_Yj-';$))

В 15 дана реализация 2) и 3) этапов метода Т.Карлемана-И.Н.Векуа в случае функционального класса Lh(Си))*где Г -общая кусочно-гладкая кривая.

В заключительном 16 аналогично скалярному случаю ( 14) мы в терминах систем характеристических сингулярных интегральных уравнений формулируем результаты, установленные во второй

**' т.е. реализован I) этап метода Т.Карлемана-И.Н.Векуа.

главе ( 12), Затем из этих результатов с помощью метода, который указан в работе [28] показываем, что , опираясь на нормальную разрешимость характеристических сингулярных интег-ральных уравнений, классы 7Ср(Си))к Ж^ (/Jco_x) в решении задачи линейного сопряжения соответственно в скалярном и векторном случаях, можно заменить классом KJPjU)),

Результаты диссертации докладывались: на семинаре кафедры высшей математики Грузинского института субтропического хозяйства ( рук. доц.Г.Н.Хашба); на научном семинаре Тбилисского математического института АН Груз.ССР "Граничные задачи теории функций и интегральные уравнения" ( рук.акад.АН ГССР Б.В.Хведелидзе); на научном семинаре отдела математической физики того же института ( рук. акад. АН ГССР Н.П.Векуа); на IX конференции математиков высших учебных заведений Грузинской ССР (Батуми, 1981г.); на Ш республиканском симпозиуме по дифференциальным и интегральным уравнениям (Одесса, 1982г.); на школе-конференции "Участие молодых ученых в решении прикладных задач гидромеханики и краевых задач" (Геленджик,1982г.); на республиканской конференции по пространственным задачам математической теории упругости, граничным задачам теории функций и сингулярным интегральным уравнениям (Тбилиси,1983г.).

Основные результаты диссертации опубликованы в [52]-[55] .

В заключение выражаю глубокую благодарность моему научному руководителю академику АН ГССР Борису Владимировичу Хведе-лидзе за постановку задачи, помощь и постоянное внимание к работе

Факторизация непрерывной функции, заданной на гладкой дуге

В этом параграфе в качестве Г рассмотрим простую гладкую дугу Гг г,-. Через с будем обозначать одну из кон-цевых точек (а или ). Пусть QG((D И УСІЄ Г) Q(i)i=0 . Дополним дугу/"7 дугой Г так, чтобы образовалась одна простая замкнутая гладкая или кусочно-гладкая кривая Г =ГОГ , ориентирован ная так, чтобы внутренность Л оставалась слева. Внутренность кривой Г будем обозначать через ь&# , а внешность -через & . Рассмотрим функцию Пусть Q (С-0) и Q (C+0) пределы і к которым стремится Q#(i) »когДа і —г С ,двигаясь по Г ,соответственно, в положительном и отрицательном направлениях. Зафиксируем какое-либо значение аргумента CLttQ,Q1{(cL+0) и с помощью непрерывного его изменения при движении точки с от CL к 4 определим значение аргумента OLICLQ ii-O). Аналогично, зафиксировав какое-либо значение CL4CL $#(4+0) однозначно определим I5 OL4.CL (j Cd-O) (для определенности положим ачд, і=0).

Будем считать, что 14) Если только (1)1=1, Q(i) 1. 15) т.к. на/7 = У , то atcf,#(+0)=(1 Q (а-0). введем обозначение где логарифм определен однозначно условием, что его мнимая часть совпадает с числом (3.2). Пусть z0 — произвольно фиксированная точка в области . Для выделения однозначной ветви функции (ЗЛ) на комплексной плоскости проводим разрез вдоль простой гладкой кривой і , соединяющей соответственно точки %0 с оо и имеющей с Г единственную общую точку С . В отношении о) выбираем произвольно, а ветвь другой - по условию Функция Іб co (z) будет голоморфна в S&n , а (А с(2) — в $ . Функция 1б Часто взамен (А(2) , %є &+ или & #у , %є& , будем писать соответственно: со ( co (z). непрерывна на / , кроме, быть может, точки с , где будет иметь разрыв первого рода, причем очевидно, всюду отлична от нуля на Г . Она, кроме того, в силу равенств (3.7), (3.9), непрерывна на / . Следовательно, Q0 (в силу теоремы 2.10) факторизуема в классе УСоо(Г ) . Обозначим ее факторфункцию в этом классе через1 А0 и рассмотрим функцию 1 Известно, что факторфункция Х0 не зависит от выбо-ра точки Z0G & ( см.[9], стр.127 ), так же, как от выбора ветвей логарифма в равенстве (2.42) ( см.[9], стр.126). В[9] рассматривается случай, когда факторфункция кусочноголоморф-на, но доказательство проводится аналогично, когда фактор-функция принадлежит классу JCJf]cd). где Вблизи конца с на разрезанной вдоль Г плоскости имеет место следующая оценка: где может быть любым действительным числом.

В равенстве (3.3) можно так подобрать ветвь логарифма, чтобы имело место неравенство В самом деле, определим число Лс взамен равенства (3.3) равенством где sec целое число, подобранное так, чтобы удовлетворяло условию (3.14). Это условие определяет о(с однозначно лишь тогда, если число Qik(c-0)/Q(cO) положигель-но (а именно, в этом случае U -О ). В противном случае Л с определяется с точностью до слагаемого t Если числа Лаі Лд выбраны так, что их венественные части удовлетворяют условию (3.14), тогда функция и), определяемая равенством (З.П), будет кусочноголоморфной с граничной кривой Г и отмеченными точками CL ъ ,причем она удовлетворяет условиям леммы 2.2 следовательно, принадлежит классу JCJf1 ) при некотором / ( /) . Тогда, так как Х0 УСос (Г ) , фу нк ция в силу теоремы 2.8 принадлежит классу УС (Г )» Следовательно, по следствию 2 теоремы 2.7 где Р - некоторый полином. Учитывая равенства (3.17), (З.П), (3.8), (3.4) и чтоХ0 есть факторфункция для Q0 ,почти всюду на Г имеем В частности, почти всюду на Г имеет место равенство Х+() = Х () а потому (3.18) примет вид Отсюда заключаем, что А УС(Г). Аналогично устанавливается м Следовательно, функция л определяемая формулой (3.17), есть факторфункция для Q на Г. В дальнейшем функцию X } определенную формулой (3.10), будем называть предфакторфункцией для Q на Г.

Решение скалярной разрывной задачи линейного сопряжения в постановке И.И.Привалова в случае общей кусочно-гладкой кривой

Пусть Г -общая кусочно-гладкая кривая, Цс/,.../ } -множество ее узлов; заданная на Г функция Q кусочно-непрерывна в смысле Гельдера, т .е. QGИ0(Ґ; cfj...,с ) ,причем %к -кратность узла ск , (ZeLJfa) гл-е & - Функция,определенная равенством (5.8), числа АУ У связаны соотношени ями ук -параметры Q в узлах ск. Рассмотрим следующую задачу: найти функцию принадлежащую классу Жр(/ со) І угловые граничные значения которой Ё почти всюду на Г удовлетворяют условию Задачу будем решать методом факторизации. Для этого( в силу теоремы 2.II) мы должны убедиться, что где X -факторфункция для Q в классе : ), а тогда ГХТЦг// X±l (Г,со;1) , а потомуй йГ Х Киї (Ґ; а) ) и в силу теоремы 2.8 получаем,что$ $(Г). Теперь для доказательства (6Л) надо убедиться,что - Є"/,ь(Г,со) , а для этого, в свою очередь, достаточно установить принадлежность где а аЛ ib(FjU)) . Справедливость (6.9) вытекает из следствия теоремы 2.1, учитывая условия (6.2). Из установленного результата,если учесть теорему 2.II, получаем, что справедлива Теорема 6.1. Если функция Q- удовлетворяет условиям, отмеченным в начале параграфа, & є 1и(Г,сд) ,где со опреде - -лена равенством (5.8), причем числа У -, А к связаны соотношениями (6.2), тогда все решения задачи (б.З) представляются формулой где X -факторфункция для f в классе %/ (/JcdJ, Р -произвольный полином. Из доказанной теоремы и теоремы 2.12 вытекает,что справедливо Следствие. Если требуется построить все решения задачи (6.3) в классе fthtfco) , то при Х О (X LncLlQ-jKffta))]) в формуле (б.Ю) надо положить = _/ »гДе а?--/ произвольный полином степени не выше as-/ ( Р=0 ,если зе = 0 ). Если же as # ,то для разрешимости задачи в этом классе необходимо и достаточно выполнение условий (2.47). Индекс дС вычисляется по формуле (5.26). Из теоремы 6.1, если учесть результаты предыдущего параграфа, мы можем получить ряд результатов о разрешимости задачи (б.З) в различных Ж - классах. Теорема 6.2. Если в граничном условии (б.З) &Іь(Г) и все узлы Ь- неособенные, то все решения задачи (б.З) в классе yCh(F) представляются формулой (б.Ю), где X фак-торфункция для Q в классе %к(Г). Теорема следует из следствия I теоремы 5.1 и теоремы 6.1, Из следствия 2 теоремы 5.1 и теоремы 6.1 вытекает,что справедлива

Теорема б.З. Если функция Q такова, что имеются р -особенные узлы Су,.. .j Cs , в которых выполняются ра - -венства (5.13) и аєLb(fjco) ігде причем числа VK удовлетворяют условиям тогда все решения задачи (б.З) в классе 76JР, од) представляются формулой (б.10). Из теорем 5.2 и 6.1 вытекает Теорема 6.4. Если во всех неособенных узлах параметры функции Q отрицательны либо положительны, то задача (б.З) разрешима в классе Ж/ {Р) ,еож ФЄІи(Р), где b удовлетворяет условию (5.20) в случае отрицательных параметров и условию (5.21) в случае положительных параметров. Если же параметры в неособенных узлах удовлетворяют условиям (5.22),то для разрешимости задачи в классе %ь(Р) достаточно,чтобы выполнялось условие (5.23); в этом случае Ь может быть любым, удовлетворяющим условиям (5.24), причем все решения задачи представляются формулой (б.10), где X факторфункция в соответствующем классе. Предположим теперь, что в граничном условии (б.З) коэффициент Q принадлежит взамен HoiF j /, С-т) классу 0(Г; Ci}..., См) и удовлетворяет условиям (6.1). В этом случае функция -/2- , участвующая в равенстве (б.6) такова, что , а потому (I [Х+] lp(C i)j X Lu (Г; сої ), где b =р-8 , причем ( 0) можно выбрать настолько малым, что наряду с b неравенствам (6.2) удовлетворяет и Ь , т.е. Отсюда аналогично предыдущему заключаем У/є УСи (/Jcof) Хє76к (rjc01 ), следовательно, i X(F). Далее, CLj Єіь (Чь ) ,поэтому в (6.9) число b заменяется на b . Следовательно, справедлива Теорема 6.5. Если Q Є$0(Г; сіл .. ., С ) и удовлетворяет условию (6.1), то все решения задачи (6.3) в классе Жр (Р,со) представляются формулой (6.10). В частности, все решения однородной задачи в классе %, (fjO)) даются формулой где X - факторфункция для Q в классе19 Щ (%со) »а Р произвольный полином; поэтому $0 є Жн(Р,со) . Следовательно, однородная задача (6.30) имеет одно и то же множество решений в классах 20) Щ (fa) и Щ (Г,сд). С задачей (6.3Q) тесно связана следующая задача: найти функцию Ц?0Є Жкі (f]co f) , угловые граничные значения которой 0 почти всюду на Г удовлетворяют условию Эта задача называется союзной с задачей (6.30). Как было отмечено ( см. стр. 4 6 ),если / и г есть 19 Подавно и в классе . (fa)-20) Это заключение имеет место и в случае неоднородной задачи (6.3), как это будет показано в 816. факторфункция и индекс для Q в классе . (/Ja ) , тоХ" и -at будут факторфункцией и индексом для Q в классе %,/ (TjU) 1) . Следовательно, все решения задачи (б.30) в классе представляются формулой 0($) = ІШҐ РС ) (б-13 Ввиду того, что X f Є J&J (fa f) задача (б.3 0) имеет одно и то же множество решений в классах %и (f]co1) и Киїї ь) 1), Замечание. Из равенства (б.ІЗ) имеем, что, когда де 0, то полной системой линейно независимых решений союзной задачи (б.Зр В классе Xhi(Fjbi 1) Фдєт

Поэтому, учитывая равенства (2.47) и следствие теоремы 6.1, заключаем, что задача (б.З) разрешима в классе ! ь(Р,и ) тогда и только тогда, когда свободный член о, задачи сопряжения ортогонален (в смысле равенств (2.47) ) ко всем решениям в классе Xh iFjb) 1) однородной союзной задачи (6.3 ). Если коэффициент задачи сопряжения (6.30) Q H0(l1jcfj...JcM) и см, +j . . ) Chu "все особешше узлы ,тогда решения ку сочно-непрерывной задачи (б.30) в окрестностях узлов ск J К= Щ+ 1, Уп,, ограничены. Как отмечает Н.И.Мусхелишвили, иногда при решении прикладных задач целесообразно требовать, чтобы искомое решение было ограничено или почти ограничено в окрестности некоторых, заранее заданных, неособенных узлов ci/,..JcSJ s rtL Решения, удовлетворяющие этому условию, были им названы (F9] , стр.256) решениями класса &(cir .jCs) . Классы &(cir .jCs) и "ruics+i) j /Иу ) названы союзными. Аналогичные классы были им введены также ([9]» стр.266) для функций, заданных на Г. Пусть с єИ (Ґ;с/ .уСАІ)1тотда говорим, что (f (c/r..,csl S ЇҐІІ ,если она принадлежит классу И0 в окрестнос ти узлов Cij .. ., Cs. Если QG0(r]Cij -JCnv) ,тогда граничные значения решений разрывной задачи (6.30) в классе Xp(fa) в окрестности особенных узлов З?" Є Loo С см« (5.10), (6.12)). По аналогии класса (Cfr..jCs) введем следующее Определение 7.1. Будем говорить, что функция cpeLJ/Jco) где со определена равенством (5.8), принадлежит классу b(fa} C1J -J Cs) »если она принадлежит классу L в окрестности узлов CYj . . v Cs. Классы Lp(fa;cb .. v Cs) и Lf i(rjCO CsHj . .., J будем называть союзами. Определение 7.2. Через Жь(fa) С/,.. vcs) (%f (fa)c/s -JCS)) будем обозначать класс тех функций из Ж (Г) (Ж(Г)) плотность (f которых принадлежит классу Lp(C J С ,С5). Классы %ь (fa) cij - v cs) и Жр (fa 1; cs+1l .. , 0«., будем называть союзными УС- классами. Определение 7.3. Будем говорить, что факторфункция X является факторфункцией в классе Жн( сд] с ,. .,$) или» 21 Функцию 3?(z) называют почти ограниченной в узле с , если І2-СІ8 $( ) — 0 при Z-rC, V(E 0). Теорема 7.1. Факторфункция X для f (7; с/, , tj определяемая формулой (4.15 ), будет факторфункцией в классе jb(/Jco;c ...j cs) тогда и только тогда, если параметры в неособенных узлах определены с помощью неравенств (5.22). + Из (5.10) имеем

Если имеют место (7.1), где со определена равенством (5.8), а числа fa \}и YK удовлетворяют неравенствам (5.9), то из (7.2) очевидно, что параметры Уи должны удовлетворять не равенствам (5.22). Обратно, если выполнены эти неравенства,то имеет место (7.1). Теорема 7.2. Если коэффициент Q граничной задачи (6.3) удовлетворяет условиям, отмеченным в начале б, фЄІь(Сь);Cfj.- jCs) »где со определена равенством (5.8), 5 " пь. і то задача (6.3) разрешима в классе Жр(Со);сіґ. с&) и все ее решения в этом классе представляются формулой (б.10), где X факторфункция для Q в классе Хр( о); cir, -jCs). «4 В силу теоремы 6.1 все решения задачи (б.З) в классе Жи( сд) представляются формулой (б.10), где X факторфунк-ция для Q в классе %р(/]сд) . Следовательно, для доказательства теоремы нужно убедиться, что, когда CLjLp(f]cO) с ,,..v с$) и X - факторфункция в классе УСрк со; cit. .v CyJ,тогда функция s? ,представимая формулой (б.10), принадлежит подклассу 7 р(Г,и cf,...,cs) класса Хр(Ссо) . Для этого надо - -показать, что если в окрестности узла с функция аєі00(Г)1 __ л. тогда в этой окрестности Ф ЄІ . Факторфункция X этому требованию удовлетворяет, а потому этому требованию удовлетворяет и второе слагаемое в формуле (б.10). Следовательно,надо показать, что нужная принадлежность имеет место для первого слагаемого, а для этого, очевидно, надо доказать справедливость утверждения: ЄСЛИ (fGLcolDjCeTj 0 d i ,ТО

Сведение кусочно-непрерывной матрицы-функции к непрерывной

Пусть Г- простая замкнутая гладкая кривая, Q -заданная на Г (п п)- м.-ф., удовлетворяющая условиям а в окрестности точек разрыва е.. (с єГ, к=77Ж) принадле-жит классу Нои. Обозначим Пусть - все различные собственные значения матрицы ук є (кхп с индексами №iK y bStl ) ... mSi . Так как d&LукФО ,то Любая ветвь функции (2)-( % определена на спектре матрицы Ук , причем /(Х-уі , / = s Поэтому согласно теореме 8.1 будем иметь где %ylK (j.= fs; L = pnZ) компоненты матрицы ук , а собственные значения матрицы Ли (с индексами, совпадающими с индексами /г .к ). Таким образом, если в равенствах (9Л) зафиксированы ветви логарифмов, то матрица Лк определена единственным образом. Пусть где aev - произвольные целые числа, подбор которых опреде ляет ветви логарифмов в (9.4). Числа де?к можно подобрать так, чтобы Б этом случае числа оЛу (L = s) будем называть частными параметрами м.-ф. Q в точке с ,

Точки разрыва ск , в которых все частные параметры равны нулю, называют oco6ejHHMH, а остальные - неособенными. Для неособенных точек разрыва частные параметры (неравные нулю) определяются с точностью до слагаемого ± / ; их можно выбрать ( ср. (5.1)-(5.7) ) либо так, чтобы либо Если частные параметры определены с помощью полусегмента тогда их будем называть частными / - парамеаграми м.-ф. f в точке г В этом случае точки разрыва с ,в которых хотя бы один частный А- параметр равен -- - (либо -, )» будем называть р- особенными, в противном случае —/) -не особенными. Заметим, что частные параметры для одной и той же точки ск всегда подбираются так, чтобы они имели один и тот же знак. Введем следующие обозначения) Числа с(к d будем называть параметрами , или, соответственно, нижним и верхним па_ра_штрами, a dK — па_раметр.ом со звездой м.-ф. Q в точке ск . Для любого к (= ijrl) либо В дальнейшем мы часто будем иметь дело с м.-ф. Л« « , -г.л « (9.14) которые были введены в предыдущем параграфе. В силу (8.8)имеем где /? полиномиальная м.-ф. относительно и„. Равенство (9.15) можно записать в виде непрерывна на Г . Рассмотрим некоторую точку разрыва c-L и преобразуем м.-ф. (9.25) следующим образом: где Учитывая равенства (9.23), (8.15), (9.2), (9.3), легко проверить, что м.-ф. а. станшвится непрерывной в точке c-L если положить 0(СІ)= (Сс±0-%о) L% а потому ( см.[9], 5, 1) 0. Є Ни, в окрестности этой точки.

Представим м.-ф. Q- в виде где Применяя представления (9.18), (9.20), получим М.-ф. ФєНи в окрестности точки Сі поэтому ( см. [9], 5,5; 6,2, 3), если /1 в окрестности точки CL , то м.-ф. -О-ЄН , ,где 6.( 0) достаточно малое число. Пусть Тогда очевидно, что если то в окрестности точек разрыва Ск Q-0 Є И (Г) . Кроме того, Таким образом, доказана Теорема 9.1. Если Г- простая замкнутая гладкая кривая, м.-ф. QG 0(Г) Cjj .jCm) и принадлежит классу HOLLJ LL0 cjl і , где число JUL0 определено равенством (9.30), в некоторых малых окрестностях точек разрыва Ск (K- f lrL) причем ,то м.-ф. Q0 , опреде ляемая формулой (9.25), непрерывна на П Следствие. Если в теореме 9.1 условие (т -0(Г;Сіу. С заменяется условием QGНОИ(Р)СІІ...}СПЬ) , причем выполнены неравенства (9.31), то м.-ф. (9.25) непрерывна по Гель деру на /7 Пусть м.-ф. f определена на кривой Г . Будем говорить, что м.-ф. X является факторматрицей для Q » если и п.в. на Г Если Q имеет факторматрицу, то будем говорить, что она фактоизу_ема. Если факторматрица X такова,что то будем говорить, что X является факторматрицей для Q в классе %р(1}со) или что Q фа торизуе_ма в классе Жь(1]со). Далее, будем говорить, что м.-ф. Q Фактрризуема в классе УСоо(Г) »ЄСЛИ Наконец, если м.-ф. X и X кусочно-голоморфны с граничной кривой / , то будем говорить, что м.-ф. Q факторизуема в классе ку о о-голо ор ных м.- .

Легко видеть, что в этом случае Q факторизуема и в классе % [F,cd) для некоторого числа / и весовой функции о). Матрицы Q и Q , где знак " " означает пере ход к транспонированной матрице, будем называть союзными матрицами. Легко видеть, что если м.-ф. Q факторизуема в клас се Уир(/?сд) и ее факторматрицей в этом классе является X , то союзная м.-ф. Q факторизуема в союзном классеХ,/ " ,) S/I-1 і и ее факторматрицей в этом классе будет л. Известно ( см.[16]), что если Xi и Х2 две любые факторматрицы для Q в одном и том же классе 7р(Си ) ,то Х -Хд Р , где Р - полиномиальная м.-ф. с постоянным, отличным от нуля детерминантом. Следовательно, детерминанты всевозможных факторматриц для Q в одном и том же классе имеют на бесконечности один и тот же порядок. Определение 10.1. Порядок на бесконечности с обратным знаком детерминанта факторматрицы для Q в классе OZJ/Jo) будем называть индексом M.-J. Q В классе %ь(Сод) и обозначать Й; Я ЙГаЛ или CndQ: U(LQ = -de cocietX.

Имеют место ( см. [II] , [1б] ) следующие теоремы Теорема 10.1. Если Г простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, Q - непрерывная по Гельдеру неособенная м.-ф. на Г » то Q факторизуема в классе кусочно-голоморфных м.-ф. и Теорема 10.2. Если Г простая замкнутая кусочно-гладкая кривая, Q — непрерывная неособенная м.-ф. на Г , то Q факторизуема в классе %оо(П и ее индекс в этом классе вычисляется по формуле (10.5). Факторматрицу, которая имеет нормальную форму относительно столбцов в бесконечно удаленной точке, будем называть канонической факторматрицей. Известно ( см.,напр.[34] ), что любую факторматрицу можно превратить в каноническую с помощью умножения ее справа на

Решение характеристических сингулярных интегральных уравнений

Начнем со следующего замечания. Предположим, что &у4 — ограниченные измеримые функции, а) -такая функция, что сингулярный оператор f — - Sy ограничен в пространстве Lhffc )). Пусть в этих предположениях функция fGlJM является решением уравнения (13.2). Тогда, учитывая равенства (2.26),заключаем, что функция является решением задачи линейного сопряжения в классе JCblPjO)). Обратно, если функция является решением задачи (14.2), то в силу равенства (2.27) заключаем, что функция является решением уравнения (13.2) в функциональном пространстве /,h(/JcO) . Следовательно, все решения уравнения (13.1) в пространстве A(Со)) можно построить с помощью формулы (14.3) если только сумеем найти все решения задачи (14.2) в классе Предположим теперь, что GLji- кусочно-непрерывные по Гельдеру функции, удовлетворяющие условию Это условие в узлах означает следующее: & (#)- $ "(Ск)ФО, і = їрскі tK - кратность узла С# . Предположим далее, что 2 =( /,..., множество всех узлов общей кусочно-гладкой кривой Г ; feLMa)) , где \ к - произвольные числа, удовлетворяющие условиям б в котором в данном случае надо положить Р=0. ук -параметры функции (14.5) в узлах С#. В сформулированных предположениях будем искать решение уравнения (13.2) в классе 1р(/ со). Из вышеприведенного замечания следует, что все решения уравнения (13.2) даются формулой (14.3), в которой $ общее решение в классе УСьі о)) задачи линейного сопряжения (б.З) с коэффициентом Q- , определенным равенством (14.5), а Все решения этой последней задачи нами построены в б и они представляются формулой (б.10) с учетом следствия теоремы 6.1. Вычислив из упомянутой формулы $ t Ф , в силу сказанного убеждаемся, что справедлива Теорема 14.1. Если Г общая кусочно-гладкая кривая, бі,-ІєН0 и удовлетворяют условию (14.4) /Ір(Си)) ,где весовая функция СО определена формулами (14.б),(14.7),тогда при т.к. эта формула имеет то же строение, что и в случае, когда решение строится в //- классах, поэтому формальные вычисления и окончательные формулы в /У - классах и JC-классах совпадают.

Понятно, в последнем случае равенства имеют место лишь почти всюду все решения уравнения (13.2) в классе /,р(/]и)) даются формулой где р -произвольный полином степени не. выше at-і, (R.i = 0) - -угловые граничные значения факторфкнкции для Q в классе Жр(Р,со). Если Э2 0 , то уравнение (13.2) имеет решение в классе /,p(/Jco) тогда и только тогда, когда выполнены условия если эти условия соблюдены, то решение (притом единственное) дается формулой (14.10), в которой надо взять /#-/-# Из теоремы 6.2 вытекает, что справедлива Теорема 14.2. Если /є/.р(Ґ) и все узлы кривой / являются Ь- неособенными, то теорема 14.1 остается в силе, если в ее формулировке классы Lhlf,w)y. Xp(f]to) заменить соответственно на 1р(П и Ц(Г). Из теоремы 6.4 непосредственно вытекает, что если во всех неособенных узлах параметры функции Q имеют один и тот же знак, тогда всегда можно подобрать число b так, чтобы узлы были Ь- неособенными. А именно, в случае отрицательных параметров такими будут числа b , удовлетворяющие условию (5.20), а в случае положительных параметров -условию (5.21). Если же в неособенных узлах часть параметров положительны и часть отрицательны, тогда нужным свойством обладает число b ,s удовлетворяющее условию (5.24). Пусть tfo+j) ") С-пь все неособенные узлы. Из теоремы 7.2 вытекает, что справедлива Теорема 14.3. Когда I Lht(rju) JCb .)C ))s m, то теорема 14.1 остается в силе, если в ее формулировке классы Ip(fjcd) и JCh(FjCo) заменить соответственно на ір(ї]од] Из этой теоремы, в свою очередь, вытекает , что справедлива Теорема 14.4. Если єіь(с ...,CS/), то решения уравнения (13.2), принадлежащие классу Lp(C J С/, , С$) «автоматически принадлежат и классу n,(CfJt..jCs). Очевидно, результаты, аналогичные выше сформулированным, имеют место и в случае союзного характеристического сингулярного интегрального уравнения (13.4). А именно,справедлива Теорема 14.5. Если &/,p (/JcO Y) и Х О , то все решения уравнения (13.4), в классе /,p/(fjc0 J представляются формулой где р -произвольный полином степени не выше -af-/, R.4 =0. Если эе 0 , то уравнение (13.4) имеет решение в классе LpiL j") ) тогда и только тогда, когда выполнены условия если эти условия соблюдены, то решение ( притом единственное) дается формулой (14.15), в которой надо взять R- -fO Понятно, остаются в силе и теоремы, аналогичные теоремам 14.2 - 14.4. Предположим теперь, что коэффициенты (tj 4 взамен класса Н0 принадлежат классу 0 . Точнее, предположим, что CLj - кусочно-непрерывные функции, удовлетворяющие условиям нормальности (13.6) и пусть / -общая кусочно-гладкая кривая. В этом случае, учитывая теорему 6.5, теорема 14.I справедлива, если в ней класс JLH(/JU)) заменить классом Л? (/Jco). В частности, все решения однородного уравнения К (f = О в классе А (Г, а)) представляются формулой Но, т.к. Z LJfj(X ) следовательно, уравнение К (f = 0 имеет одно и то же множество решений в классах A (flu)) и 1р(%ь ). Аналогично заключаем, что союзное однородное уравнение К Ф=0 имеет одно и то же множество решений в классах Пусть - пространство Банаха, А -некоторый линейный непрерывный оператор, действующий в этом пространстве, -пространство, сопряженное с } А - оператор, сопряженный с Рассмотрим уравнение где и,- заданный, а х искомый элемент. Введем обозначения соответственно.

Предположим, что эти подпространства конечномерны и Целое число К- К называется индексом оператора А (или уравнения (15.1)): Оператор А называется нормально разрешимым ( по Ха усдорфу), если V(jieE) уравнение (I) разрешимо тогда и только тогда, когда на элементе и, обращаются в нуль все функционалы е Р(А ) , т.е. если элемент tyGE ортогонален любому Є J/ (А ). Линейный непрерывный оператор , определенный на всем банаховом пространстве, называется оператором Нетера,если он порождает конечномерные подпространства JP(A)tJP(A ) и нормально разрешим. Рассмотрим теперь полное сингулярное интегральное уравнение с ядром Коши где IsLh (Г]ш)j V - вполне непрерывный оператор в пространстве 1ь(Р,сд). В монографии [9] в качестве оператора V рассмотрен интегральный оператор где функция принадлежит классу Н0 (ҐХГ) .Опера тор (15.4) является вполне непрерывным в пространстве Lh(М В самом деле, оператор (15Л) будет вполне непрерывным в пространстве l /Jco) ,если в пространстве будет вполне непрерывным интегральный оператор couUJ . Ядро этого последнего оператора очевидно, удовлетворяет условию " Как известно, это условие эквивалентно тому, что область значений оператора А замкнута в Е откуда и вытекает наше утверждение ( см. [47], стр.420). Перепишем уравнение (15.3) в виде Kcf=/-Vcf (15.5) Рассматривая правуй часть как известную функцию (пространства Lb(FjLd) )» учитывая теорему I4.I, получим, что справедлива Теорема 15.1. При зе -0 уравнение (15.3) эквивалент но уравнению K j4 Z определены равенствами (14.11)-(14.13),/ -произвольный полином степени не выше -/ (R.f -О) . При 0 уравнение (15.3) эквивалентно уравнению (15.6), где в (15.7) f =0 и совокупности дополнительных условий Х-1 В силу следствия теоремы 2.1 1л ограниченный опера тор в пространстве ір(Р оо) , оператор вполне неп рерывен в пространстве 1ь(Гусо) следовательно, уравнение (15.3) является в этом пространстве уравнением Фредгольма (для него справедлива теория Рисса-Шаудера. См.напр.[48] ).

Похожие диссертации на Разрывная граничная задача линейного сопряжения в случае общей кусочно-гладкой кривой

Кусочно-непрерывные краевые задачи типа Римана в классах бианалитических функцийБолотин Иван Борисович

Нелинейные краевые задачи сопряжения для разомкнутых контуров Кузнецов Николай Константинович

Сингулярные граничные задачи сопряженияУсманов Нурулло

Некоторые задачи сопряжения аналитических функций с сингулярными точками на контуреХоликова Мастона Бобоназаровна

Обратимость операторов линейного сопряжения и задача факторизацииПасенчук, Александр Эдуардович

Исследование свойств интегральных представлений голоморфных функций в Cn и решение многомерных краевых задач линейного сопряженияЛуковников, Андрей Евгеньевич

Задача R-линейного сопряжения в случае гиперболических линий раздела разнородных фазНиконенкова Татьяна Владимировна

Решение одномерных нестационарных задач динамики кусочно-однородных телПеров Михаил Алексеевич

Задача усиления составной упругой пластины кусочно-однородным стрингеромСмирнов, Александр Валериянович

Метод задачи о скачке в задачах сопряжения решений уравнений с частными производнымиАхмед Махер Абдель Басет