Введение к работе
Актуальность темы. Теория интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, представляющая собой совокупность методов и результатов, возникших при обобщении классической интегральной формулы Коши на многомерный случай, в настоящее время, благодаря эффективным приложениям, в частности, в теории краевых задач, является важной и быстро развивающейся ветвью многомерного комплексного анализа. Актуальность же развития теории многомерных краевых задач в значительной мере объясняется тем, что в последние годы описан широкий класс задач квантовой механики, теории вероятностей, математической физики, которые соответствующим преобразованием урье приводятся к многомерным краевнм задачам линейного сопряжения ( пространственной задаче Римана ).
Одним из первых в нашей стране исследования по теории интегральных представлений начал в 1948 году А.А.Темляков. Он установил два интегральных представления для функций двух комплексных переменных, голоморфных в классе параметрически задаваемых ограниченных выпуклых полных двоякокруговых областей. Эти формулы известны в математической литературе как интегральные представления Темлякова I и II родов.
Интегральные представления Темлякова и их обобщения на случай П.^5- комплексных переменных, установленные З.Опиалем, Й.Сичаком ( для введенного ими класса кратнокруговых областей типа (Т) ), И.И.Бавриным ( с помощью созданного им метода ин-тегродифференциальных операторов голоморфных функций ), И.И.Бавриным, Г.Н.Бакуниным ( для введенного ими широкого класса кратнокруговых областей типа (ТТ^) ) и другими математиками, обладают рядом замечательных свойств, которые выгодно отличают их от других известных интегральных представлений, и, одновременно, тесно связаны с формулой Коши одного комплексного переменного. Последнее обстоятельство позволяет усилить методы исследований, специфические для теории функций многих комплексных переменных, хорошо разработанным аппаратом интеграла типа Коши и выходящими из него ветвями теории функций одного комплексного переменного. На этом пути отечественные и зарубежные исследователи получили серию результатов по различным проблемам голоморфных функций в кратнокруговых областях. Отметим, что успех применений интегральных представлений Тем-
_ 4 -
лякова во многом был предопределен тем обстоятельством, что А.А.Тем-ляковым с самого начала были указаны дифференциальные соотношения, связывающие параметризующие его двоякокруговые области функции
М^)~ ТРЕ *Щ »<*ite>6 —pO*t
Основы теории интегралов типа Темлякова были заложены в работах представителей созданной А.А.Темляковым научной школы по многомерному комплексному анализу: Л.А.Айзенберга - первым введшего понятие таких интегралов и изучавшего их поведение в пространстве С1 ; Г.Л.Луканкина - положившего начало исследованиям по применению математического аппарата интегралов типа Темлякова к постановке и решению многомерных краевых задач; В.И.Боганова -включившегося в разработку совместно с Г.Л.Луканкиным теории задач линейного сопряжения функций двух комплексных переменных. Отметим, что определившаяся тенденция применения комплексного анализа к решению краевых задач в дальнейшем развивалась А.В.Латышевым, вскрывшим связь между решениями модельных кинетических уравнений и векторными краевыми задачами Римана, и А.В.Копаевым, решавшим в (С3- одностороннюю задачу Римана и задачу Гильберта.
Предложенный впервые А.Т.Хвостовым для исследования интегралов типа Темлякова метод однородных линейных дифференциальных операторов первого порядка был в дальней'шем в работах А.В.Нелаева дополнен рядом важных положений, уточнен и распространен на общий случай h. (Kii) комплексных переменных. Развиваемый А.В.Нелаевым метод, известный ныне как метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, позволил ему и его ученикам получить ряд серьезных результатов по' теории кваэианалитических функций. Им, в частности, впервые было исследовано поведение в пространстве (LK ( \r\ >3. ) интегралов типа Темлякова и интегралов типа Темлякова-Баврина & -го порядка (*1).
Цель работы. Первое. Установление многомерных аналогов соотношений (1) для класса областей типа (TTi) . Второе. Изучение дифференциальных свойств вводимого в рассмотрение на основе одного из установленных И.И.Бавриным для поликруга интегральных представлений голоморфных функций обобщенного интеграла типа Коши -Баврина. Третье. Постановка и решение краевых задач линейного сопряжения ( однородной и неоднородной ) в пространствах С и (Ск ( ЮІ ) и разработка необходимого для этого математического аппарата интегралов типа Темлякова-Баврина.
Методы исследования. Основным является упомянутый выше метод линейных дифференциальных операторов с переменными коэффициентами, а также аппарат интеграла типа Коши и его многомерных аналогов.
Научная новизна. Все основные, выносимые на защиту результаты работы автора являются новыми, опубликованы и состоят в следующем:
1. Установлены аналоги дифференциальных соотношений (1)
для областей типа (ТТ1) и указаны некоторые их применения.
2. Изучены дифференциальные свойства класса функций
п.>а комплексных переменных, определяемых обобщенным интегралом
типа Коши-Баврина. В числе установленных свойств - обобщенная производная рассматриваемого интеграла, его разложение в обобщенный степенной ряд и, при известных дополнительных ограничениях на вид плотности, обобщенное уравнение Коши-Римана.
3. Произведена постановка и указано решение краевых за
дач линейного сопряжения а) в пространстве Л ( 9-10 ) - в
классе функций (Т) ; б) в пространстве п ( 11-12 ) - в клас
се функций (ТЛ .
Теоретическая и практическая значимость работы.
Установленные результаты являются важными в теории интегральных представлений голоморфных функций многих комплексных переменных, теории квазианалитических функций, теории многомерных краевых задач. Следует также отметить, что результаты работы являются теоретической основой для новых исследований.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [l]-[10li список которых приложен в конце автореферата.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на VI и VII Международных конференциях "Математика.Компьютер.Образование" ( Пущино, 1999 [4], [5], [7]; Дубна, 2000 [8], [10] ), на IV Международной конференции серии "Нелинейный мир" ( Суздаль, 1999 г. ) , на VII Международной конференции "Математика.Экономика.Экология.Образование" ( Новороссийск, 1999 [б] ), на VIII Международной конференции "Математика.Образование.Экология.Тендерные проблемы" ( Воронеж , 2000 г. ) и на ежегодных научных конферен-
- б -
циях преподавателей и аспирантов МПУ ( 1997-2000 г.г.), а также на научном семинаре по теории функций физико-математического факультета МПУ под руководством заслуженного деятеля науки РФ, член-корреспондента РАО, профессора Г.Л.Луканкина.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, включающих в себя 12 параграфов, заключения и списка литературы, содержащего 77 наименований. Общий объем работы 142 страницы.
