Введение к работе
Актуальность темы. Новый расцвет теория краевых задач и сингулярных интегральных уравнений получила лишь в середине тридцатых годов. В течение короткого промежутка времени и особенно за последние годы вышло большое количество работ, посвященных краевым задачам аналитических функций. В настоящее время этой проблеме посвящено довольно большое количество научных работ (Ф.Д. Гахов, Н.И. Мусхели-швнли, Л Г. Михайлов, В С. Рогожин, И.Б. Симоненко, Ю.И. Черский, Г.С. Литвинчук, И.Х. Сабитов, Н.Н. Юханонов, Н. Усманов). Большую роль здесь сыграли работы Н.И. Мусхелишвили по теории упругости. В его работах задачи теории упругости приводятся к краевым задачам теории функций комплексного переменного, а последние при помощи интегралов типа Коши к сингулярным интегральным уравнениям.
От вышеуказанных краевых задач, естественно, надо было перейти к постановке и решению общего случая основной краевой задачи, что и сделано в работах Ф Д Гахова.
Наряду с работами по теории упругости большую роль сыграли также работы по гидродинамике М.А Лаврентьева, М.В. Келдыша, Л.И. Седова и других. При решении практических задач здесь попутно ставились и решились частными методами некоторые краевые задачи и сингулярные интегральные уравнения специального вида
Трудно перечислить все опубликованные за последние годы работы, связанные, так или иначе с пашей тематикой. Такая подробная библиография имеется в монографиях Н.И. Мусхелишвили1, Ф Д. Гахова2 и Л.Г. Михайлова3.
Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений.
Как известно, основная краевая задача теории функций комплексного переменного
ф+(0 = С(<)Ф-(0 + у(<), teb (o.i)
изучена впервые Ф.Д. Гаховым, обобщалась и развивалась затем во многих и различных направлениях. Общее; решение (0.1), и притом и явном
^Іусхе.чешиили Н II. - Сншулярные интегральные уравнения. - М., Наука, 1968, 311 <.
2Галов Ф Д. - Краевые залами - М , Фігзматпп, 1977, 640 с.
Михайлов Л.Г. - Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами Изд-во АН Тадж ССР. Душанбе 1963, 184г.
шіде (и интегралах типа Кошм), впервые было найдено и 1936 г. Ф.Д. Гахо-ііьш В школе Ф.Д. Гахова (0.1) стали называть задачей Римана, а в школе Н.И. Мусхелишвили задачей Гильберта. Мы будем называть все подобные. (0.1) соотношения задачами сопряжения. При g(t) = 0 задача (0.1) называлась еще также проблемой о факторизации, а в более общем случае такие системы типа (0.1) составили двадцать первую проблему Д. Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромии). Отметим, что Ф.Д. Гаховым были изучены случаи, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры, которые были названы исключительными случаями.
В диссертации рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, когда коэффициент Gi(t) имеет нули или особенности нецелого порядка и сопряжено-аналитической структуры.
Но действительной общей линейной задачей сопряжения аналитических функций является
<+(<) = a(i)
После постановки задачи (А) в статье А.Н. Маркушсвича за 1946 г. Н.П. Векуа в 1952 г. привел ее к сингулярному интегральному уравнению (СИУ) и доказал теоремы Нетера (при условии нормальное a(t) ф 0). При выполнении неравенства \a{t)\ > \b(i)\ (эллиптический случай) Б.В. Боярским впервые были найдены точные результаты в 1959 г. Он ограничивался односвязной областью и требовал для a(i) условие Гель-дера с показателем, сколь угодно близким к единице.
Гораздо более полное исследование задачи (А), а также получение точных результатов для случаев \a(t)\ > \b{t)\ (эллиптический случай), \a(t)\ = \b(t)\ (параболический случай) осуществлено Л.Г. Михайловым в 1958-1962 гг. - при самых общих условиях: a(t) ^0и непрерывна, b(t) ограничена и измерима, г(() Є LP(L), р > 1, были разработаны два метода как общего исследования задачи (А), так и ее эффективного решения.
В монографии Л.Г. Михайлова дано обобщение краевой задачи (А) на случай, когда в краевом условии допускаются члены, содержащие производные, а также их комплексные сопряжения.
Затем И.Х. Сабитов исследовал задачу (А) на единичной окружности, без всяких условий типа эллиптичности или нараболнчности.
Особые случаи задачи (А) при некоторых предположениях относительно коэффициентов рассматривались в работах Н.Н. Юханонова и Н. Усма-
нона. А также Н. Усмановым изучены сингулярные граничные случаи для основных задач сопряжения, то есть для задачи типа (0.1) и тина (А), для аналитических, обобщенно-аналитических, а также гармонических функций. Кроме общего исследования, найдены точные значения чисел / и р ( / - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи)
Цель работы. Целью настоящей диссертации является построение теории разрешимости указанных задач сопряжения аналитических функций с наличием нулей и бесконечностей сопряжения аналитического и нсаналитического вида коэффициентов на контуре. Кроме общего исследования нашей целью является нахождение точных значений чисел I и р (I - число линейно независимых над полем вещественных чисел решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи).
Практическая и теоретическая значимость. Применение задач сопряжения в физике, геофизике и других науках уже приобрело достаточно большую известность. Полученные нами результаты также могут найти применение в указанных областях.
Методика исследования. В диссертации используются многие современные методы теории функций, изложенные в монографии Ф.Д. Га-хова, Н.И. Мусхелишвили и Л.Г. Михайлова
Научная новизна работы. Впервые разработана теория граничных задач сопряжения для тех случаев, когда коэффициент обращается в пуль или имеет особенности не голоморфной структуры.
В большинстве случаев решение задачи найдено в явном виде.
В некоторых случаев найдено I - число решений однородной задачи, р - число условий разрешимости неоднородной задачи.
Все результаты предлагаемой диссертации являются новыми.
Апробация работы. Основные результаты диссертации и отдельные ее части докладывались: на научных семинарах академика Л.Г. Михайлова, а также на семинарах и научных конференциях в Таджикском государственном педагогическом университете (ТГПУ); на Республиканской научной конференции, посвященной 70-лстню математического факультета ТГПУ. Душанбе, 2003 г.; на научных семинарах кафедры математическою анализа ТГПУ (руководителем научного семинара профессор М.М Каримова и доцент Р.Н. Пиров), на Международной научной конференции "Математика и информационные технологии", посвященной
15-летию независимости Республики Таджикистан, Душанбе, 200G г.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы и одиннадцати научных статьях и тезисах, список которых приведен в конце диссертации. Работы написаны в соавторстве с Н. Усмановым, которому принадлежит постановка рассмотренных задач.
Структура и объем диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, семи параграфов и списка литературы, содержащего 52 названия. Объем диссертации составляет 77 страниц компьютерного набора.
