Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Сингулярные случаи граничных задач српряжения аналитических функций 57-164.
1. Сингулярные случаи краевой задачи Римана 57-64.
2. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в эллиптическом случае 65-69.
3. Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае 70-77.
4. Общая граничная задача линейного сопряжения со сдвигом и с сингулярностью в граничном условии 77-85.
5. Общая граничная задача в случае, когда коэффициенты и свободный член имеют особенности различных типов 86-89.
6. Обобщенная граничная задача линейного сопряжения в сингулярном случае 89-94.
7. Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием 95-122.
8. Задача сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае 123-146.
9. Обобщение краевого условия задачи сопряжения аналитических функций с производными высших порядков в сингулярном случае 147-154.
10. Некоторые другие сингулярные случаи задачи сопряжения аналитических функций с производными 155-164.
Глава II. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций 165-236.
1. Сингулярные случаи краевой задачи типа Римана для системы уравнений элиптического типа 188-207.
2. Сингулярные лучаи краевой задачи Римана-Газемана 207-217.
3. Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций 218-227.
4. Сингулярные случаи задачи сопряжения с производной для обобщенных аналитических функций 227-236.
Глава III. О задачах сопряжения гармонических функций в сингулярном случае 237-280.
1. Сингулярные случаи задач сопряжения гармонических функций .244-248.
2. Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных производных 248-267.
3. Некоторые задачи сопряжения с производными второго порядка, а также их сингулярные случаи для гармонических функций на плоскости 268-271.
4. Задачи сопряжения гармонических функций для полуплоскости 272-280.
Глава IV. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярных случаях 281 -299.
1. Характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае 284-288.
2. Обобщенное характеристическое особое интегральное уравнение в сингулярном случае 288-299.
Литература 300-312.
- Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае
- Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием
- Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций
- Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных производных
Введение к работе
Несколько десятилетий тому назад большое распространение получила теория краевых задач аналитических функций и сингулярных интегральных уравнений, центральное место в которой заняла проблема нахождения пары функций (р+{z),cp {z) аналитических внутри и вне контура L соответственно, предельные значения которых удовлетворяет S
соотношение
pt(0 = G(0p"(0 + g(0, teL (01)
где (7(/) и g(t) заданные функции. Для того случая когда L -простой замкнутый контур a G{t), g(t) удовлетворяют условию Гельдера (или Lip, 0 а 1 ), a (7(0 кроме того ещё условию нормальности G(t) 0,Ґ є Z, - общее решение (0.1) и притом в явном виде (в интегралах типа Коши) впервые было найдено в 1936г. Ф.Д.Гаховым [17]. В его школе стали называть задачей Римана, а в школе Н.И.Мусхелишили [57] задачей Гильберта. При #(/) Ф 0 ещё также задачей о факторизации, а более общий случай систем отношении (0.1) составил двадцать первую проблему Д.Гильберта (о линейных дифференциальных уравнениях с заданной группой монодромин). Ограничиваясь далее лишь случаями нарушения условия нормальности (N), мы должны отметить исследования Ф.Д. Гахова случаев, когда G(t) имеет нули и полюсы аналитической структуры и названный им исключительными случаями. В диссертации будут рассмотрены не изучавшиеся ранее случаи, (0,1) когда G(t) имеет нули или полярные особенности не целого порядка и не голоморфной структуры. Такие случаи мы будем называть сингулярными.
Задача (А) ставилась А.И. Маркушевичем в 1946г. и рассматривалась им при a(t) = c(t) = 0, b(t) = \. В 1952г. Н.П.Векуа привел её к сингулярному интегральному уравнению, получил условие нормальной разрешимости a(j) 0 и доказал её разрешимость в классе мероморфных функций, что же касается класса голоморфных функций, то имелись лишь альтернативные утверждения типа теорем Нетера. Важное значение приобрела задача (А) в работах И.Н.Векуа [11] по изгибаниям склееных поверхностей . В связи с этим её исследовал в 1959г. Б.В.Бярский [9]. Указав существенное значение условия «(/) \b(t)\, он получил для этого случая первые точные результаты.
Рассматривая (вслед за Н.П.Векуа) сопряженную задачу (А ) он доказал теоремы Нетера для граничных задач (А) и (А ). Сводя их к обычным сингулярным интегральным уравнениям, он пользуется представлениями интегралами типа Кошм с вещественной плотностью. Такое предегаїіленне очень громоздко в случае мпогоскяшой области. Не случайно поэтому он ограничивается односвязной областью. Его метод исследования однородной задачи состоит в упрощении краевого условия до условия непрерывности за счет усложнения искомой функция, являющейся решением системы Бельтрами. В силу такой громоздкости метода приходится наложить на a{t) условие Гельдера с показателем сколь угодно близким к единице.
Сингулярные случаи общей граничной задачи линейного сопряжения в параболическом случае
Пусть L - простой замкнутый контур, делящий плоскость на внутреннюю область D+ и внешнюю D . На L задаются функции: a(t)- непрерывная, b(t)- ограниченная и измеримая, c(t)eLp, и функция a{t), отображающая контур взаимно однозначно на себя с сохранением направления и имеющая производную a (t), удовлетворяющую условию Гельдера и не обращающуюся в нуль, a(t) будем называть функцией сдвига. Требуется определить функции p+{z), аналитическую в области D+, P (z), аналитическую в области D , предельные значения которых на контуре непрерывны и удовлетворяют линейному соотношению В работе Л.Г. Михайлова [43] для данной задачи получен следующий результат. Если a(t) сохраняет ориентацию на I и выполнено условие эллиптичности \a(t)\ \b(t)\, то для краевой задачи (Ла) число линейно независимых (над полем вещественных чисел) решений однородной задачи равно / = max(0, 2ае), 3e=Ind,o(t), число условии разрешимости неоднородной задачи равно р тах(0, - 2 аэ,),причем эти числа не зависят от сдвига a{t) и остаются такими же как в соответствующих случаях задачи без сдвига. Был изучен также параболический случай o(/)j s \b(t)\ О, причем здесь не требуется, чтобы «(/) сохраняло направление обхода контура. Однако, когда ни одно из условий, указанных выше, не выполнено, теория разрешимости задачи уже зависит от сдвига (см. [60]). Как свидетельствуют работы Г.С.Литвинчука [42], все другие обобщения, связанные с введением сдвига «(/) в краевое условие и их исследованием пока что удается довести до уровня исследования задачи (Л„)лишь в том случае когда сдвиг «(/) удовлетворяет условию Карлемана. Результаты 4 первой главы посвящены исследованию особых, или сингулярных, случаев задачи f/f,;)„ когда коэффициент аф в отдельных точках контура обращается в нуль или бесконечность целых порядков, пли же ко )ффііцпеіп /)(/) обращаете і в бесконечность. Во всех предшествующих работах по задаче (Аа) и её обобщениям сингулярные случаи не рассматривались. N Пусть в задаче (Аа) я(/) = [ [ (/- ,(/),где , (// = 1,2,..., ) и=1 некоторые точки контура, sn- целые положительные числа, справедлива следующая Теорема 1.6. Дан простой замкнутый контур L, делящий плоскость на внутреннюю область D+u внешнюю D на нем заданы функции a(t)-иепрерывна, а(/) 0, 33 = Ind,a(t), b{t)ограничена измерима и c(t)eL2, где К-норма в L-, сингулярного оператора Кр =— [- - -с/г. лі [т -Z Тогда при 33-s Ооднородная задача (Аа) имеет 2(38-s) линейно независимых решений, а неоднородная, безусловно разрешима. При 38-s 0однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2as-s вещественных или se-s комплексных условий. .V Пусть в задаче (Аа) «(/) имеет нули, т.е. a(t) = Y\(f %„У" с ЛОі L окружность г = 1, с/,(/)-непрерывна b(t)-ограничена и измерима. с(/)є /.,. Для задачи (А,,) справедлива следующая в окрестности точек t = Tj(j= 1,2,...,J)имеют производные порядка d, удовлетворяющие тем о/се условиям, что и функции b{t) и c(t), se=lndLax{t). Тогда при ЗЄ 0 однородная задача (Аа)имеет 2ЄЄ линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима. При аэ 0 однородная задача не имеет решений, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2\зе\ вещественных или аз комплексных условий \rke[cx(t)\lt = 0, к = 0,1,...,аэ L где в - линейный оператор. Изучен также случай, когда коэффициент a(t) обращается в нуль или бесконечность любого порядка, даже и модульного характера, т.е. В 5 исследуется общая граничная задача (А) в случае, когда коэффициенты a(t), b(t)u свободный член c(t) имеют особенности различных типов. . В диссертации.рассмотрены следующие комбинации особенностей: 1. а(г), / (/)обращаются в нуль, c(t) обращается в бесконечность, обращаются в нуль, ф) имеет разрыв первого рода. Опишем лишь один случай, когда нули и бесконечности коэффициентов имеют порядок не выше единицы. Будем искать решения в классе функций, обращающихся в бесконечность порядка меньше единицы в некоторых точках контура. Очевидно, что если коэффициенты «(/), /?(/) ограничен и в некоторой точках, то для того чтобы имелось решение в классе интегрируемых на контуре функций, с(/) должна, обращается в бесконечность порядка ниже первого. Если же a(t), b(t) обращаются в бесконечность высших порядков то разность порядков может иметь вещественную часть меньшую единицы.
Задача сопряжения аналитических функций с первыми производными и с сингулярным граничным условием
Функция a, (/) = с/,(/)Г0/ имеет в точке/0 разрыв первого рода, т.е. такие разрывы, когда существует левый и правый пределы в этой точке. Метод решение задачи (1.65) заключается в следующем. Подбирается простая функция, имеющая в данной точке такой же разрыв, какой имеет в этой точке функция a2{t), такая чтобы для нее было возможно разрешить единственным образом краевую задачу (1.65) в допустимых функциях. Рассмотрим функцию (/ - z0Y точек контура L, где z0 некоторая точка внутри контура, Л -некоторое комплексное число с отрицательной вещественной частью по абсолютной величине меньшей единицы: Условимся эту функцию рассматривать как однозначную разрывную функцию со скачком в некоторой точке t0 контура. Будем отсчитывать аргумент выражения (t - z0) от прямой, соединяющий точку z0c некоторой точкой t0 контура. Функция ((- z0)x в точке /0 контура будет соответствовать разрыв 1-го рода с отношение предельных значений llmX. Ш щ Согласно нашему условию функция (p{t) = {t - г0)я в точке /0 будет иметь разрыв 1-го рода так, что функция (z zQY имеет точки разветвления z0 И СО. Если провести разрез от точки z() до оо, то функция будет однозначной в разрезанной плоскости и разрез будет ее линией разрыва. Определенную выше функцию точек контура (/ - z0) можно рассматривать как предельные значения последней функции, если условиться разрез, соединяющий точку w г„с бесконечно удаленной точкой, провести через точку /,, контура. Функция (z -10 У будет иметь точки разветвления /0 и оо , будет однозначной в плоскости, разрезанной вдоль некоторой линии, соединяющей точку /0 с бесконечно удаленной точкой, последняя линия будет для нее линией разрыва. z — t l0 Рассмотрим теперь две функции со (z) = (z - t Y, со (z) = VZ ZoJ Первая функция определена только внутри контура, вторая вне контура. Обе функции будут голоморфными в своих областях определения. В качестве определения однозначной внутри контура функции со (z) = (z -10 У можно брать любую ветвь многозначной функции (z - /0) . Предельные значения обеих функций существует во всех точках контура, кроме точек t0. В точке же t0 эти предельные значения равны бесконечности в силу условия Re Я 0. _. „ „, ч со (t) Рассмотрим теперь отношение этих предельных значении Q{t) = —:—. co {t) Это отношение существует и совпадает с {t — z0)A во всех точек контура кроме точки /0. В последней точке числитель и знаменатель обращаются в бесконечность и отношение становится неопределенным. Рассмотрим левый и правый пределы этого отношения в точке /().В силу определения функции (z -/„У предельные значения ее при приближении к контуру изнутри и извне совпадают независимо от выбора точки на кривой. Для функции (г - г,,) левая її правая окрестности точки /„ лежат с равных сторон от линии разрыва и поэтому, по определению, линии разрыва аргумента в левой окрестности на 1т превышает аргумент для правой окрестности. б( о + 0) Свойства введенных функций можно формулировать следующим образом: функция co+(z) = (zoyголоморфна внутри контура, функция o)-(z) = (z \z ZoJ голоморфна вне контура. Их предельные значения на контуре всюду непрерывны, кроме точки /0, где они обращаются в бесконечность порядка меньше единицы и отношение этих предельных значении -, всюду на контуре равно \t-zQ) , причем последняя функция понимается как однозначная функция точек контура, непрерывная всюду, кроме точки tQ, где она имеет разрыв первого рода с отношением левого предела к правому равным f M. Теперь мы можем перейти к решению нашей задачи.
Сингулярные случаи задачи сопряжения обобщенных аналитических функций
Очевидно, что такие неравенства справедливы и для I . Если теперь c{t) 0, то система (D) разрешима при совпадении рангов её основной и расширенной матриц. Условиями такого совпадения будет равенство нулю определителей порядка (г +1), в некоторых (г + і)-й столбец состоит из свободных членов системы. Всего их будет \2 — x-d-n-v + \-r\. Условия разрешимости системы (D) будут условием разрешимости задачи (1.130). Если учесть, что I = = 2(v -1) - г и р = 2ге -d -n-v + \\- г,то можем записать р-і — 2(ге — d — n). Пусть теперь ж - d - п 0. Неразрешимости однородной задачи (1.131) при -d-n -V + \ видно из того, что задача (1.135) тогда имеет нулевое решение. Для разрешимости неоднородной задачи (1.131) нужно выполнение 2сЄ - d - п\ условий. Из них 2ш + v - d - п\ условия обеспечивают разрешимости задачи (1.135), а остальные 2v условия обеспечивают регулярность функции p (z). определяемой из (1.136). 141 Осталось рассмотреть случай -v + \ x-d-n 0. Вернёмся к системе (D), так как x-d-n 0,TO 2\х-d-п\ 2{у - і) т.е, число неизвестных в системе (D) меньше, чем число уравнений, следовательно г 2{у -1). Пусть x-d -n v -2Л + \ где Л - целое число, Л 1. Здесь точно так же как и в случае x-d -п 0 можно показать, что і г 2(Л -1). Следовательно для имеем следующие неравенства: 0 ? У + x-d-п при {у-х + d + и)-чётном, 0 v + x-d-\ при (v - х + d + п)- нечётном. Этим доказательством завершаем случай v 1. Что же касается случаю v 1, то здесь левая часть задачи (1.132) является предельным значением аналитической функции в D и поэтому, учитывая (1.120), применимы результата предыдущего пункта. Теорема доказана полностью. Случай нуля Пусть в задаче (1.113) an{t) имеет нуль произвольного порядка т.е ап(0 = /-/0"а, (/), //-произвольное комплексное число, а„ (/) 0,. L-окружность z = 1, ak(t) = Q. Функции «„ (/), bti(t), bk (/) удовлетворяют условию Гельдсра. Предположим, кроме того, что bn (/), bk{t) и с(/) в окрестности точки / имеют производные порядка т: отличных от нуля. Тогда справедлива следующая Теорема 1.19. Пусть Ь-окру.жность\і\ = \, ап (t),C(t) и bk(t)e H\L), (k = 0,1,..,//), кроме того bk (/) и C(t) в окрестности точки /() имеют производные порядка d, удовлетворяющие условию Гельдера: х = Jndlaii (/). і = ma.\(//7 -- /7,//7 - /:) (/г = ().1...., п - і). f -число линейно независимых решении чюродиои задачи иск) нолем асіцсспівснньїх чисел, р 144 число условий разрешимости неоднородной задачи. Тогда tup выражаются через и, аз следующим образом: а) При v 1. 1) Если аз - л +1 v, то 1 = 2(аз-п), р = 0 2) Если 0 x-n + \ v, то р = -2(аз-п) и і s f 2(аз -n) v + ze-n при v — аз + п - четном 2(аз -n) v + 2-n-\ при v - аз + п - нечетном. 3) Если -v +1 аз - гс 0, то р = - 2(аз - п) и v + a3-rc О к + аз - л -1 при v - аз + п - четном; при v - аз + п - нечетном. а) Если аз - п -v +1, то = 0, р- 2аз - п\. б) При v 1. 1) Если аз-/7 0,/ж; і = 2(гс-п), р = 0. 2) Если аз - п О, то і - О, р = 2аз - п\. Выражая bk{t) и С(/) из (1.154) подставляя затем в краевое условие (1.152) и перенося слагаемые, содержащие полиномы, в левую часть, перепишем (1.152) в виде Отметим, что при переходе к задаче (1.160) класс искомых функций не изменяется; так как из (1.158) видно, что ф+ (/) непрерывно вплоть до границы, а из (1.157) следует, что ф+ (/) имеет нуль порядка d в точке /0. Таким образом получена регулярная задача, которая после выражения посредством операторов К д младших производных через производную п-го порядка принимает вид (1.131). Аппроксимируя hn (/) и 1\ (/) отрезками рядов Фурье и применяя (II 56) схему исследования чадачп ( 1.1 . 1), получим утверждение георемы. Если от коэффициентов bn (t) и b {t) потребовать, чтобы они удовлетворяли условию то число і и р находятся точно и даются следующей теоремой. Теорема 1.20. Пусть L-окружность \t\ = \, ап ((), bk{i), с(()єН(Ь); c{t), bk\t) (k = 0,1...,n) в окрестности точки t0 имеют производные порядка d, удовлетворяющие условию Гельдера и выполнено условие (1.161). Тогда при аз — п 0, однородная задача имеет 2(ае - п) линейно независимых решений, а неоднородная безусловно разрешима. При as - п 0 однородная задача не имеет решений отличных от нулевого, а для разрешимости неоднородной необходимо и достаточно выполнение 2as - п\ вещественных условии.
Сингулярные случаи задач сопряжения для некоторых уравнений в частных производных
В теории аналитических функций известно две основные граничные задачи, это задачи Римана и Гильберта. Задача Римана состоит в нахождении пары функций, аналитических внутри и вне контура, если их предельные значения на контуре связаны соотношением
В задаче Гильберта ищется функция ф(г) = и + iv, аналитическая в области и на границе удовлетворяющая краевому условию Решение задачи Римана впервые было дано Ф.Д. Гаховым. Затем были рассмотрены различные обобщения: задачи Римана для многосвязной области, для разомкнутых контуров, задача Римана с разрывными коэффициентами и т.д. Таким образом задача Римана решена полностью. В дальнейшем была установлена связь задачи Римана с сингулярным интегральными уравнениями, с задачей Гильберта и др.
Все обобщения задачи Римана о которых говорилось выше, касались или коэффициента G (/) її свободного члена g(t) краевого условия или контура. Іхлн п прежних красных задачах искомой парой была функция Система (2.4) является непосредственным обобщением уравнений Коши-Римана. Функция U(z) во многом оказывается подобной аналитической функции комплексного переменного. Устанавливается непосредственная связь U{z) с аналитическими функциями и переносится целый ряд основных теорем теории аналитических функций Все эти результаты для системы (2.4) даны И.Н. Векуа [11].
В работе И.Н. Векуа [11] рассматривается также граничная задача типа задачи Гильберта: найти решение системы (2.4) U(z) = u + /V, которое на границе области удовлетворяет краевому условию (2.2). О возможности постановки задачи типа задачи Римана для системы (2.4) в работах И.Н. Векуа не упоминается. А между тем, эта краевая задача имеет как с принципиальной точки зрения, так и с точкой зрения приложений такой же интерес, как и задача Гильберта. Известно, что обычная задача Римана (так мы будем называть задачу Римана для аналитических функций) применяется в плоской теории упругости. Так например/к ней непосредственно сводится первая граничная задача для плоскости с прямолинейными щелями. Л.Г. Михайловым даны постановка и решение задачи Римана для системы (2.4). Коротко задачу можно формулировать следующим образом: найти решение системы (2.4) внутри контура и решение системы вне контура, если на контуре их придельные значения связаны соотношением Эта задача является естественным обобщением обычной задачи Римана. Здесь мы дадим сводку некоторых свойств функций класса С которыми нам придется воспользоваться в дальнейшем. Результаты заимствованы из работ. И.Н. Векуа [11], в которых можно найти доказательства. Для всякой аналитической функции комплексная производная по z равна нулю, и обратно, если эта производная равна нулю, то функция аналитическая. 169 Для исследования системы при наименее жестких ограничениях вводятся понятия обобщенных производных и обобщенных решений. Обобщенная комплексная производная —— вводится с помощью некоторых интегральных тождества (см [12]). В работах И.Н. Векуа [11] вводится производная в смысле Помпею. Если эта производная существует и непрерывна в области, то по определению функция U(z) принадлежит классу С-. Существенно важным примером функции класса С- является двукратный интеграл вида - — Я d drji, где = !; + іrj переменная к D ? -z точка интегрирования, д. =x + iy произвольная точка плоскости, D конечная область, ограниченная конечным числом спрягаемых линий Жордано. В дальнейшем нам часто будут встречаться интегралы подобного вида. Для краткости будем писать А() вместо А( ,д) и dD вместо d -dg, так что интеграл запишется в виде.
