Введение к работе
Диссертационная работа посвящена разработке математического аппарата решения контактных задач теории пластин и его приложению к решению задачи усиления пластины, составленной из разных упругих материалов, кусочно-однородным стрингером, наложенным на линию соединения материалов или расположенным между пластинами. В ней строится точное аналитическое решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, находится в замкнутой форме решение соответствующей контактной задачи теории пластин и определяются аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера.
Актуальность работы. В различных областях техники, в частности, авиа- и судостроении широко используются тонкостенные конструкции, усиленные для увеличения их прочности тонкими узкими накладками (стрингерами) из более жёсткого материала. При изучении таких конструкций особое внимание уделяется определению контактных напряжений. Указанная задача обычно рассматривается в рамках классической теории упругости. Несмотря на то, что хорошо известно о существовании и единственности решений подобных задач, проблема построения самих решений задач, а также нахождения напряжений и смещений в конструкциях остаётся в общем случае нерешенной. В связи с этим остается актуальной как проблема разработки новых методов решения указанных типов задач, так и исследования напряженного состояния конкретных видов тонкостенных конструкций, в частности пластин, усиленных различными комбинациями стрингеров (рёбер жесткости).
Первые решения задачи о подкреплении упругой однородной пластины бесконечным, полубесконечным и конечным стрингером были получены Е. Меланом, Е. Бюеллем и С. Бенскотером соответственно. Р. Муки, Е. Стернберг, Г.Т. Сулим, Д.В. Грилицкий исследовали кусочно-однородную пластину с бесконечным или конечным включением на прямой линии раздела материалов. Н.Х. Арутюнян и СМ. Мхитарян рассмотрели две пластины, соединённые через полубесконечное тонкое упругое включение. Кусочно-однородный стрингер или комбинация нескольких стрингеров, присоединенных к однородной или кусочно-однородной пластине, рассмотрены Э.Х. Григоряном, Б.А. Мелтоняном, А.В. Керопяном, B.C. Саркисяном, Г.В. Оганесяном, Р.А. Багдасаряном. В работах указанных авторов подкрепляющий элемент моделируется как прямолинейный стержень, работающий только на растяжение-сжатие и предполагается, что нормальные напряжения под стрингером исчезают. Учёт изгибной жёсткости стрингера приводит к более сложным уравнениям, полученным в работах К.С. Чобаняна, А.С. Хачикяна, М.П. Саврука, Д. В. Грилицкого, М. С. Дра-гана, В.К. Опанасовича, В.М. Александрова, СМ. Мхитаряна и др.
В основном, задача подкрепления упругой пластины стрингером сводится к интегро-дифференциальному уравнению Прандтля. Методы решения этого уравнения зависят от промежутка, на котором оно задано. Точное аналитическое решение однородного уравнения на луче получено В. Койтером с помощью интегральных преобразований Меллина и Лапласа. А.И. Каландия построено аналитическое решение неоднородного уравнения на луче путём сведения его к краевой задаче Римана. И.Н. Векуа, В.М. Толкачёв, Г.Я. Попов, Г.А. Морарь решили уравнение Прандтля на отрезке путем сведения его к интефальному уравнению Фредгольма второго рода посредством регуляризации уравнения методом Карлемана-Векуа или путем сведения его к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Н.Х. Арутюнян, СМ. Мхитарян предложили методы решения уравнений на отрезке и луче с выделением в явном виде особенностей на концах контура интегрирования.
Цель работы: разработка математического аппарата решения задачи усиления пластины, составленной из различных упругих материалов, с помощью кусочно-однородного стрингера, наложенного на линию соединения материалов или расположенного между пластинами. Для достижения данной цели были поставлены следующие задачи:
разработать метод решения интегро-дифференциально уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой, соответствующего краевой задаче для рассматриваемого объекта, и системы двух интегро-дифференциальных уравнений на луче;
решить задачу о тонком кусочно-однородном стрингере, расположенном на линии соединения разных упругих пластин и полностью лишённом изгибной жёсткости; найти комплексные потенциалы, контактные напряжения и смещения точек пластин;
решить задачу о тонком упругом кусочно-однородном включении, расположенном между двумя упругими материалами и абсолютно жёстком на изгиб;
получить аналитические выражения для коэффициентов интенсивности напряжений в точке изменения жёсткости стрингера (включения) и исследовать их зависимости от упругих и геометрических параметров задачи.
Методика исследования. Представленные в диссертации исследования опираются на формулы Колосова-Мусхелишвили из плоской теории упругости, интегральное преобразование Меллина, теорию функциональных разностных уравнений и краевую задачу Римана на плоскости и на римановой поверхности.
Научная новизна полученных в диссертации результатов, которые и выносятся на защиту:
а) метод решения и само решение интегро-дифференциального уравнения Прандтля с кусочно-постоянным коэффициентом на прямой;
б) решение в явной форме задачи о подкреплении составной упругой
пластины кусочно-однородным стрингером в предположении отсутствия
изгнбной жёсткости стрингера или отсутствия его изгиба; нахождение
комплексных потенциалов, контактных напряжений и смещений точек
пластины;
в) нахождение явных выражений коэффициентов интенсивности на
пряжений в точке изменения жёсткости стрингера и изучение их зависимо
сти от упругих и геометрических параметров пластин и стрингера (вклю
чения).
Достоверность результатов работы подтверждается физической обоснованностью постановки задачи, строгим аналитическим характером их рассмотрения с использованием современного математического аппарата, сравнением полученных решений в ряде частных случаев с известными решениями.
Практическая значимость результатов определяется как развитием новых математических методов исследования контактных задач, так и реь зультатами решения самих задач, которые представляют интерес для инженерных приложений в машино-, авиа- и судостроении и позволяют оценить влияние кусочно-однородного стрингера (включения) на напряжённо-деформированное состояние составной бесконечной упругой пластины.
Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VI молодёжной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2007), на XLVI международной научной студенческой конференции «Студент и научно-технический прогресс» (Новосибирск, 2008), на XXXIV и XXXV международных молодёжных научных конференциях «Гагаринские чтения» (Москва, 2008, 2009), на международной конференции «Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений» (Минск, 2009), на международных научных конференциях «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2009, 2010), на VIII всероссийской научно-технической конференции «Актуальные проблемы развития нефтегазового комплекса России» (Москва, 2010), на II международной конференции «Актуальные проблемы механики сплошной среды» (Дилижан, Армения, 2010), на семинаре кафедры высшей математики Российского государственного университета нефти и газа (Москва, 2009, 2011, руководитель - профессор Калинин В.В.), на научных семинарах по механике сплошной среды имени Л.А. Галина при институте проблем механики РАН (Москва, 2009, 2011, руководители - профессора В.М. Александров, В.Н. Кукуджанов, А.В. Манжиров), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (руководители - профессора Д.Д. Ивлев, Б.Г. Миронов).
Результаты работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038,10-01-00103).
Публикации. По теме диссертационной работы опубликовано 14 печатных работ, 5 из которых в соавторстве с В.В. Сильвестровым, в том числе 4 статьи в журналах из перечня ВАК РФ.
Структура и объём работы. Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав и заключения. В тексте имеется 13 рисунков. Список цитируемой литературы содержит 93 наименований. Общий объём работы составляет 94 страницы.
