Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Постановка граничной задачи о дебите системы несовершенных скважин в кусочно-неоднородных слоях 28
1.1. Основные уравнения и граничные условия задачи 28
1.2. Модели фильтров скважин 34
1.3. Сведение задачи о дебите к системе интегральных уравнений 40
1.4. Сведение задачи о дебите системы скважин к системе
алгебраических уравнений 49
Глава 2. Моделирование работы скважин в кусочно-однородных слоях 57
2.1. Работа системы скважин в кусочно-однородной среде с каноническими поверхностями 57
2.2. Работа системы скважин в кусочно-однородной среде ограниченной произвольными гладкими поверхностями 68
2.3. Сравнительный анализ разных моделей скважин 71
2.4. Исследование влияния поверхностей, ограничивающих область фильтрации на дебит скважины 81
2.5. Исследование интерференции скважин 91
Глава 3. Моделирование работы скважин в кусочно-неоднородных слоях 97
3.1. Работа системы скважин в кусочно-неоднородной среде с канонической поверхностью 97
3.2. Исследование влияния границы сопряжения на дебит скважины 106
3.3. Фильтрация жидкости в средах с произвольной проницае мостью K(ZM) 118
3.4. Интерференция скважин, распололсенных в неоднородных средах 124
Заключение 128
Литература 130
Иллюстрации 142
- Основные уравнения и граничные условия задачи
- Работа системы скважин в кусочно-однородной среде с каноническими поверхностями
- Исследование влияния поверхностей, ограничивающих область фильтрации на дебит скважины
- Работа системы скважин в кусочно-неоднородной среде с канонической поверхностью
Введение к работе
Актуальность темы и обзор литературы. Решение задач о движении жидкости в пористых средах имеет важное значение. К решению трёхмерных задач фильтрации приводят исследования эксплуатации нефтеносных и водоносных слоев грунта, расчёты строительства гидротехнических сооружений, исследования в области охраны и мониторинга окружающей среды. В частности для практики интерес представляет расчёт фильтрационных течений к системе скважин, расположенных в областях со сложной геологической структурой, а также расчёт дебитов такой системы скважин. Для решения задач фильтрации необходимо построить математическую модель.
В связи с важностью и актуальностью задач фильтрации к настоящему времени проведено значительное количество исследований и этим проблемам посвящен целый ряд работ. Во этих работах в основном выделяются два аспекта: построение моделей и решение соответствующих задач, характеризующих течение жидкостей в грунтах - движение разноцветных жидкостей, модель "поршневого вытеснения" (модель Лейбензона-Маскета), модели двуфазной и многофазной жидкости; построение моделей, характеризующие свойства среды - задачи фильтрации в однородных, кусочно-однородных, неоднородных, кусочно-неоднородных, анизотропных средах.
Такое разделение объясняется особенностями, которые отличают задачи фильтрации: движение жидкости (модели жидкости) в пористой среде (модели среды).
Большинство исследований посвящены решению задач с различными моделями фильтрующихся жидкостей. Это работы В.Л.Данилова [28,29], A.M. Пир-вердяна [57], Д.Н. Никольского [44], а также целый ряд других работ [1,8,11,38]. В работе В.Ф. Пивня [47] расчёты основаны на нелинейных законах фильтрации, отличных от линейного закона Дарси. Отметим работы В.Л. Данилова и P.M. Каца, которыми разработан метод зональной линеаризации [30,31]. В этом методе область переходной зоны, в которой происходит совместная фильтра- ция вытесняющей и вытесняемой жидкостей, разбивается на подобласти с потенциальным течением. Вследствие чего в каждой из этих подобластей можно использовать рассуждения, применимые в случае "поршневой" модели. Задача сводилась к решению системы интегро-дифференциальных уравнений. Таким образом, результаты, полученные В.Л. Даниловым и P.M. Кацем, подчеркивают значимость модели "поршневого"вытеснения при исследовании движения жидкостей с учетом неполноты вытеснения.
Число работ по использованию различных моделей фильтрационных сред ограниченно. В основном решаются фильтрационные задачи для однородных и кусочно-однородных сред. Такие исследования были проведены в работах Г.Г. Тумашева [79,80], П.Я. Полубариновой-Кочиной [58,61], О.В. Голубевой [23,24], М.И. Хмельника [85]. В работе В.Ф. Пивня [53] задача фильтрации в кусочно-однородных средах решалась с использованием интегральных уравнений. Когда границами, ограничивающими область фильтрации с однородной средой являются прямые, фильтрационное течение жидкости было рассчитано в работах В.Н. Щелкачёва [91], И.А. Чарного [87].
На практике часто возникают проблемы, когда можно ограничиться решением двумерных задач в слоях переменной проводимости (переменной являются проницаемость и/или толщина слоя) - так называемых неоднородных слоях. Решению этих задач посвящены работы В.А. Белова [13], Ю.А. Гладышева [22], В.Ф. Пивня [50, 49], С.Д. Осятинского [45], Г.С. Салехова [68], Чарного И.А [86], М.А. Гусейн-Заде [27] и многих других. Особо хотелось бы отметить целый ряд работ А.А. Аксюхина [2-5] и М.А. Фролова [81-84]. В этих работах с использованием интегральных уравнений были исследованы задачи о нахождения дебита скважины в кусочно-неоднородных слоях, проницаемости которых меняются по гармоническому и метагармоническому закону.
В отличии от двумерных задач фильтрации, число решённых трёхмерных задач в однородных, а особенно в неоднородных слоях существенно меньше. Начало решения трёхмерных задач фильтрации в однородных средах было положено В.Д. Бабушкиным [9] М. Маскетом [40], Н.К. Гиринским [20,21]. В дальнейшем трехмерные задачи фильтрации были исследованы в работах Я.И. Алехашкина [6,7], П.Я. Полубариновой-Кочиной [61], И.Н. Кочиной [34], И.А. Чарного [86,87]. В ряде исследований [64,25,26] рассматривались фильтрационные течения жидкости в анизотропных средах. Решение таких трёхмерных задач затруднено. В указанных исследованиях рассматривалось решение только двумерных задач.
В большинстве указанных выше работ используется закон линейной фильтрации - закон Дарси. Целесообразность его использования объясняется линейностью процесса фильтрации почти во всех области фильтрации, за исключением течения жидкости вблизи скважин, где велики скорости течения жидкости. Исключение также делается для жидкостей с большой вязкостью и в средах с особыми структурами (например, трещиноватых средах). Подобные случаи в данной работе рассматриваться не будут.
В последнее время за счёт использования вычислительной техники усложнились модели трёхмерных задач фильтрации, число решённых трёхмерных задач возрасло. Значительно повысилась сложность решённых трёхмерных задач за счёт использования эффективных алгоритмов. В настоящее время наиболее распространёнными методами расчёта фильтрационных течений являются конечно-разностные методы [37,95,96,101,104,106] . Многими отечественными и зарубежными авторами [69,70,93,108,110,111,113] приводятся расчёты с использованием как горизонтальных, так и вертикальных скважин конечно-разностными методами для конкретных месторождений, анализируются расхождения между фактическими и расчётными данными.
При выборе вида и размера ячейки в ряде работ [115] используются конечно-разностные уравнения Писмана, разработанные для вертикальных скважин. Писманом показано, что на выбор размера и конфигурации ячейки, а также числа узлов вблизи скважины существенным образом влияют положение скважины относительно границ и свойства среды. Однако на практике чаще всего используются горизонтальные и наклонные скважины. Поэтому в дальнейших работах [117] представлены формулы, специально разработанные для горизонтальных скважин, приводятся соответствующие усовершенствованные уравнения и критерии применимости этих уравнений для расчёта размера ячейки для горизонтальных скважин.
Однако подобные численные методы расчёта необходимых процессов требуют большого объёма памяти, большого объёма компьютерного времени. Их использование в ряде случаев приводят к значительным погрешностям в оценке ряда параметров скважин, что не позволяет проводить многовариантный анализ для различного размещения скважин, который необходим при проектировании оптимального взаимного расположения скважин. Ведь применение конечно-разностных методов для расчёта процессов разработки осложнено отдельной задачей определения конфигурации сетки и поэтому введение новой скважины в систему или переориентация скважин приводит к необходимости каждый раз решать новую задачу выбора сетки.
Альтернатива использованию сеточных методов в задачах фильтрации была найдена в работах В.Ф. Пивня [53-56], А.А. Аксюхина [2-5], М.А. Фролова [81-84] и Д.Н. Никольского [44]. В трудах этих авторов было предложено для решения задач фильтрации использовать интегральные уравнения, которые записываются на границах раздела сред неоднородностей и подвижной границе водо-нефтяного контакта. Это позволяет сократить размерность решаемых уравнений (происходит переход от трёхмерных дифференциальных задач к интегральным уравнениям, записанных на двумерных поверхностях) и соответственно сокращает объём вычислений, что позволяет провести многовариантный анализ расположения скважин. В отмеченных работах интегральные уравнения применялись только для линейных задач фильтрации. Для фильтрационных течений, описываемых с помощью более сложных уравнений, полученные результаты можно использовать как хорошее приближение для дальнейших исследований.
Решение интегральных уравнений основано на методике, предложенной И.К. Лифановым, которая освещена в ряде работ [14,16,33,36]. На этой же методике, с помощью интегральных уравнений, основано решение задач фильтрации в данной работе. Полученные в последнее время решения интегральных уравнений с обобщёнными функциями в правой части [16,73-74], позволили значительно расширить круг решаемых задач, в том числе и задач фильтрации.
Именно использование конечно-разностных численных методов и вычисли- тельной техники позволили более точно провести расчёты горизонтальных и наклонных скважин. Дело в том, что в отличии от вертикальных скважин, где геометрия и физические процессы вблизи скважины имеют азимутальную симметрию, что позволяет получить результаты в конечном виде [11,61], физические модели для горизонтальных скважин являются трёхмерными. Это существенно усложняет расчёты.
В настоящее время системы горизонтальных и наклонных скважин используются широко [66,67,119,120, 121]. Как показывают исследования, их применение предпочтительно для неоднородных пластов, для продуктивных пластов малой толщины (когда размеры скважин сравнимы с толщиной пласта), для морских месторождений, при которых важно уменьшить число морских платформ. Исследованию горизонтальных и наклонных скважин посвящен целый ряд работ [88,97-103,107,109]. Авторами показано, что дебит наклонных и горизонтальных скважин при прочих равных условиях выше дебита вертикальных скважин. Эти результаты подтверждаются исследованиями, которые были проведены в данной работе.
Таким образом, если при исследованиях вертикальных скважин задачу фильтрации можно в ряде случаев свести к двумерной, то при расчёте наклонных и горизонтальных скважин необходимо построение трёхмерных моделей фильтрации.
Большое значение для решения трёхмерных задач фильтрации имеет адекватное построение модели скважины или модели её работающей части - фильтра. На расчёт характеристик скважины, в частности её дебита, влияют не только поверхности, моделирующие непроницаемый грунт, поверхность питания, поверхности сопряжения, но и модель самой скважины. Действительно, выбор модели скважины определяет фильтрационное течение вблизи самой скважины, а значит и поток жидкости через поверхность скважины, который определяет дебит скважины. Поэтому наряду с разными моделями, описывающими свойства среды, целесообразно обратить внимание на модели скважин, которые приведены в литературе.
Простейшей моделью эксплуатационной скважины является точечный сток, расположенный в неоднородной (или однородной) среде. Эта модель применяется в основном для задач двумерной фильтрации [2, 15, 44, 61, 83]. Она позволяет выяснить особенности течения в тонких слоях с переменной проводимостью, решить определённый круг задач по исследованию влияния неоднородности среды на дебит скважины. В задачах двумерной фильтрации с помощью стока возможно моделирование несовершенных скважин. Эта модель скважины для трёхмерной фильтрации довольна груба, она не позволяет показать особенности трёхмерной задачи, провести расчёты для горизонтальных и наклонных скважин.
В ряде исследований, например, в работах П.Я. Полубариновой-Кочиной [59,60], А.А. Аксюхина [2], К.С. Басниева [11], В.А. Мироненко, В.М. Шестакова [41,89], В.В. Черных [88], Ярмахова И. Г. [94] используется трёхмерная модель скважины в виде "линейного стока", то есть скважина представляет собой отрезок точечных стоков, равномерно с одинаковой плотностью расположенных по оси скважины. На этой модели основаны также работы В.П. Пилатовского [66], B.C. Шевченко [67], С.Д. Джоши [112], P.M. Батлером [107]. В работе В.В. Черных [88], P.A. Goode [109] и A.J. Rosa [119] используется модификация этой модели скважины: ствол горизонтальной скважины (модель применяется только к горизонтальным скважинам) представлен в виде линии равных давлений и считается, что потери давления при движении жидкости в горизонтальном стволе равны нулю. Обычно эту модель называют моделью ствола с бесконечно большой проводимостью.
Обсуждение этих подходов среди специалистов США и Канады вызвало полемику в научных публикациях в вопросе об оценке продуктивности горизонтальных скважин [97-105, 116,118,120, 121]. Причём у ряда исследователей происходило изменение точек зрения на этот вопрос. Так, например, в статьях Супруновича и Батлера первоначально утверждалось, что модель линейного стока и модель с бесконечной проводимостью приводят к одним и тем же результатам. Однако в последующем авторы приходят к выводу, что давление в скважине нельзя считать, используя допущения о равенстве стоков, а дебит скважины нельзя рассчитывать исходя из условия постоянства давлений по длине скважины.
Вместе с тем Бабу и Одех, основываясь на результатах численных расчётов для нефтяных скважин, показали, что при обоих подходах значения давлений в середине скважины практически совпадают. Этот же результат получен и в данной работе. Но в тоже время они отмечают, что в модели линейного стока давление изменяется по длине скважины и на его торцах достигает максимума, а для модели при постоянстве давления дебит становится бесконечно большим на торце скважины. Таким образом, физическая некорректность представления горизонтальной скважины связана с проявлением концевых эффектов. В работе В.В. Черных [88] приведены оценки этих эффектов.
Для проведения расчётов в этих моделях задаётся давление в скважине. Однако, как показывают исследования, проведённые в данной работе, а также они были указаны у В.А Мироненко [41] нужно выбрать точку на поверхности скважины, в котором будем задавать давление и от выбора этой точки будет зависеть дебит скважины. Для этого использовались разными исследователями разные искусственные приёмы. Например, по Маскету [40] в качестве такой точ- L ки выбиралась точка, находящаяся на расстоянии — от конца фильтра скважи- ны. Здесь L - длина фильтра скважины. В.Д. Бабушкиным [10] было получено решение из условия равенства объёмов внутри эквипотенциальной поверхности, которая представляла собой эллипсоид вращения и объёма скважины. В.Н. Николаевским [43] и Н.Н. Веригиным [17] было предложено отождествлять давление в скважине со средним давлением на цилиндрической поверхности скважины. Радиус цилиндра предполагалось брать равным радиусу скважины, а образующая цилиндра должна быть прямой, задаваемой параметрически с изменяемым параметром s, изменяемом в пределах —0,5L < s < 0,5L.
В действительности приток жидкости к сважинам носит более сложный характер. Присутствуют существенные деформации в прискваженной зоне, искажающие её сопротивление, при течении жидкости в самой скважине имеются гидравлические потери, фильтр имеет своё сопротивление. В реальных условиях приток к скважине ещё больше осложняется за счёт геологической сложности пласта. Поэтому описанных выше моделей явно оказывается не достаточно для изучения движения жидкости к скважине.
В работах И.Г. Ярмахова [94,95] рассматривается течение жидкости не только вне скважины, но и внутри её. Трудности при создании такой математической модели скважины является построение описание двух пространственных гидродинамических процессов: фильтрация жидкости в пласте и её течение в самом стволе скважины. Учёт производится с помощью уравнения неразрывности, которое учитывает приток жидкости из пласта через стенку скважины. В этой работе также учитывается монотонное падение давления от окончания скважины к её устью (устье скважины - это пересечение горизонтальной части ствола с вертикальным участком скважины), благодаря динамическому напору и потери давления жидкости вследствие трения. Расчёты ведутся конечно-разностными методами.
В работах Ю.П. Борисова [15], К.С. Басниева [11] при моделировании скважин также учитывался массообмен скважины с окружающей средой.
Интересный подход к построению модели скважины был сделан в работе В.М. Гаврилко и B.C. Алексеева [19]. Скважина состоит из глухой части, по которой откачивается жидкость и рабочей части - фильтра Так как фильтр скважины представляет собой цилиндр с отверстиями, то скважину можно моделировать в виде непроницаемого цилиндра с отверстиями. В работе В.М. Гаврилко [19] приводится различный вид отверстий: круговые, эллиптические, линейные поперечние и линейные продольные и так далее.
В этой работе В.М. Гавриленко расчёт течения жидкости к таким скважинам производится из предположения, что в зоне, наиболее удалённой от скважины, можно пренебречь влиянием конструкции водоприёмной части на характер течения. В общем случае дебит скважины можно рассчитать гидравлические потери в прифильтровой зоне и на фильтре скважины с помощью дополнительных показателей безразмерного сопротивления или с помощью введения приведённого (фиктивного) радиуса вместо фактического радиуса скважины. Это сопротивление может быть найдено аналитически или экспериментально.1 1 Такой подход широко распространён в работах, основанных на использовании полуэмпирических формул, без построения сложных моделей. Например, в монографии [65] исследо-
Аналитические решения притока жидкости к фильтру с круглыми отверстиями были получены М.Маскетом и А.Л. Хейном. Круглые отверстия при решении задачи заменялись стоками, размещёнными по образующим трубы-фильтра. В монографии [40] рассматривались только стоки, без непроницаемой цилиндрической поверхности, влияние которой в некоторой степени учитывалось за счёт интерференции стоков. Решение М. Маскета было детально исследовано В.И. Шуровым. Влияние фильтра учитывалось в виде безразмерного сопротивления и конечные результаты были получены путём аппроксимирования аналитических решений М. Маскета эмпирическими уравнениями.
А.Л. Хейном были получены решения для определения притока к фильтру с круглыми отверстиями в условиях неустановившегося течения. В результате было доказано, что эффект неустановившегося течения в прифильтровой зоне проележивается в течение очень коротких промежутков времени, поэтому в практических расчётах можно ограничиться рассмотрением стационарного режима фильтрации.
В тех работах, где рассмотрены различные трёхмерные модели скважин, проводились различные исследования наклонных и горизонтальных скважин, расчёты проводились только для однородных сред, влияние неоднородности или анизотропии пласта не учитывалось.
Построенные модели скважин или являются очень грубыми, или учитывают тонкие эффекты, что проводит к значительному увеличению трудоёмкости вычислений. Использование же грубых моделей значительно искажает расчитываемые течения жидкости и расчитываемые параметры скважин.
Таким образом, из приведенного обзора следует, что в известных трудах не исследованы трёхмерные задачи о работе системы наклонных (в частности горизонтальных) скважин в кусочно-неоднородных слоях, в частности, не исследовалась влияние сингулярной поверхности на дебиты скважин. В указанных выше работах был проведён узкий круг исследований посвящёный влиянию вания основаны на формуле Дюпюи, расчитывающей дебит скважины в задачах двумерной фильтрации. Несовершенность скважины, влияние среды учитываются при помощи поправочных слагаемых неоднородности пласта на дебит скважины: исследования проводились только для двумерных задач. Также не проводились исследования, посвященные влиянию неоднородности среды на интерференцию скважин.
Целью работы является создание и исследование новых трёхмерных математических моделей работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях в случае, когда границы области фильтрации моделируются поверхностями класса Ляпунова. На основе этих моделей изучить влияние на дебит системы скважин неоднородности среды, границ области фильтрации, их взаимного расположения и интерференцию скважин. Построить новую математическую модель фильтров скважины, провести сравнительный анализ новой и известных моделей и обосновать использования этих моделей для конкретных задач практики.
Научная новизна и теоретическое значение работы состоят в следующем:
Построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все граничные поверхности моделируются поверхностями класса Ляпунова, коэффициенты проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями.
Для кусочно-неоднородных слоев в случае канонических границ области фильтрации (сферы (полусферы) и плоскости (полуплоскости)) получены решения в конечном виде. Эти решения представляют интерес как модели течений к системе несовершенных скважин. Также эти решения используются для практической оценки скорости сходимости метода дискретных особенностей (в том числе и метода замкнутых дискретных вихревых рамок) для решения задач трёхмерной фильтрации с поверхностями класса Ляпунова.
В случае произвольных гладких границ исследование поставленных задач сводится с помощью потенциала двойного слоя к системе сингулярных ин- тегральных уравнений второго рода типа Фредгольма и гиперсингулярных интегральных уравнений.
Для решения полученных гиперсингулярных интегральных уравнений обобщён метод замкнутых дискретных вихревых рамок, применяемый, на случай неоднородной среды, когда коэффициент проницаемости её является функцией одной переменной.
Численное решение фильтрационных задач позволяет использовать многозвенную аппроксимацию коэффициента проницаемости среды. Это позволяет построить эффективную методику расчёта дебитов скважин в средах с произвольными проницаемостями K(z) с помощью решения задачи через систему интегральных уравнений.
Построена новая модель скваэюины с перфорированным фильтром. Проведён сравнительный анализ разных моделей скважины, что позволило указать условия применимости известной модели "линейный сток" к решению задач. Отображены результаты сравнения разных моделей скважины, приведено уточнение старой модели. Дано обоснование использования указанной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению задач с принципиально новыми граничными условиями. Исследование этих задач сведено к решению гиперсингулярных интегральных ураеиеыий с 5- функциями Дирака в правой части.
7. Исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное расположение и интерференция. Приве дён сравнительный анализ дебитов горизонтальных, наклонных и верти кальных скважин. Указаны условия, при которых дебит системы скважин максимален.
Практическая значимость. Построенные модели применены к актуальным задачам практики в случае кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоев грунта. Решены конкретные задачи практики, возникающие при разработке нефтеносных (водоносных) слоев грунта сложной геологической структуры.
В работе показано, что для целого ряда исследований можно воспользоваться упрощённой моделью "линейный сток" . При решении задач о нахождении де-битов системы скважин как в кусочно-однородных, так и кусочно-неоднородных слоях большую роль играют размеры и взаимное расположение областей фильтрации, а также расположение в них скважин, чем их форма. Указаны практические рекомендации по размещению скважин в области фильтрации относительно её границ, их взаимного расположения в случае, когда взаимное влияние скважин друг на друга велико. Приведены примеры расчёта расположения скважин, при котором дебит скважин, расположенных в грунте сложной геологической структуры, макимален.
На основе проведённого численного эксперимента показана целесообразность использования горизонтальных и наклонных скважин по сравнению с вертикальными скважинами.
Построенная новая модель скважин, позволяют более точно рассчитать де-биты как вертикальных, так и горизонтальных скважин при их близком расположении друг от друга.
Достоверность результатов работы обеспечивается применением строгого математического аппарата, подтверждена сопоставлением полученных результатов с известными результатами общепризнанных математических моделей.
Апробация работы. Работа в целом докладывалась и обсуждалась на заседаниях научных семинаров: "Проблемы гидродинамики "Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень), "Интегральные уравнения"факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова (рук. профессор Е.В. Захаров и профессор И.К. Лифанов), "Вычислительная математика и математическая физика" (рук. академик Н.С. Бахвалов и профессор В.И. Лебедев).
По мере получения основные результаты диссертационной работы докладывались на заседаниях научного семинара «Проблемы гидродинамики» кафедры теоретической физики Орловского госуниверситета (рук. профессор В.Ф. Пивень 1998 — 2003 г.г.); на X Международном симпозиуме "МДОЗМФ — 2001", посвященном памяти профессора СМ. Белоцерковского; на школе молодых учё- ных "МДОЗМФ - 2002"; на XI Международном симпозиуме "МДОЗМФ -2003".
Публикации. Основные результаты диссертационной работы опубликованы в статьях [114,54, 75,76,77].
Структура и краткое содержание работы.
Диссертационная работа состоит из введения, трёх глав, заключения, списка литературы и иллюстраций. Общий объём работы составляет 173 страницы. Библиография содержит 121 наименование.
Основные уравнения и граничные условия задачи
Для исследования адекватности построения новой модели была исследована задача о точечном стоке, расположенном на сферической непроницаемой поверхности. Для этой задачи, решаемой с помощью интегрального уравнения известно решение в конечном виде. Сравнение полученного решения в конечном виде и численного решения задачи показывает целесообразность использования МЗДВР для данного класса задач. Особенностью решения задач со стоком на непроницаемой поверхности является то, что для достижения требуемой точности в расчётах (1-5%) требуется большее число разбиений непроницаемой поверхности: функция д(М) терпит разрыв в точке, где расположен сток.
В дальнейшем приводятся примеры расчётов для разных моделей. В случае, когда в области фильтрации имеется одна скважина или скважины расположены далеко друг от друга и мало влияют друг на друга, то задачу можно решать используя как более сложную модель, так и модель линейного стока. Поверхностей сопряжения, непроницаемой поверхности и поверхности питания оказывают одинаковое воздействие на дебит скважин при использовании различных моделей: отклонения в дебитах составляют не более 5-10%. Однако в этом случае необходимо брать точку Мс вблизи одного из концов линейного стока. Как показывают расчёты наиболее оптимальный вариант, когда расстояние MQM(: (Mo - точка одного из концов фильтра) составляет 0,9 от длины скважины L. В дальнейшем, когда проводились исследования использовалась именно модель линейного стока с соответствующим выбором точки Мс на поверхности скважины.
В четвёртом параграфе показана сходимость метода дискретных особенностей к точному решению: для уравнение Фредгольма для достижения точности в 5% достаточно 400 точек разбиения на каждой из поверхностей. Для гиперсингулярного уравнения для достижения аналогичной точности требуется увеличить число разбиений до 600. Это объясняется тем, что в ядро гиперсингу лярного уравнения входит особенность вида .
Далее проводится исследования влияния поверхности сопряжения и непроницаемой поверхности на дебит скважины. Показано, что на дебит скважины влияет расстояние от скважин до поверхности и взаимное расположение по #ерхностей (например, непроницаемых включений) друг относительно друга, а форма поверхности роли не играет. Поэтому в ряде случаев для проведения расчётов достаточно заменить действительную поверхность на соответствующую каноническую поверхность (например, сферу или плоскость) и провести упрощённые расчёты с использованием формул в конечном виде. Было показано, что при приближении скважины к поверхности питания дебит возрастает, при приближении к непроницаемой поверхности - наоборот, убывает. В ряде случаев нельзя однозначно сказать, где нужно расположить скважину, чтобы её дебит был максимален. В качестве примера приведён расчёт расположения скважины в кусочно-однородной среде со сложной геологической структурой при которой её дебит максимален. Для расчёта использовался метод градиентного спуска.
В пятом параграфе было проведено исследование взаимного влияния наклонных и горизонтальных скважин. В частности было показано, что целесообразно использовать почти горизонтальные скважины. Исследования проводились для разных моделей моделей скважин и было продемонстрировано, что при близко расположенных скважинах необходимо использовать модель скважины в виде системы стоков, расположенных на непроницаемой поверхности. С помощью исследований показана интерференция скважин: уменьшение удельного дебита (дебит приходящийся на одну скважину) с ростом числа скважин.
В первом параграфе решены задачи в конечном виде, когда поверхностью сопряжения является сфера (полусфера) или плоскость (полуплоскость) в гармонических и метагармонических слоях. Полученные решения сравниваются с аналогичными решениями для кусочно-однородных сред. Решение этих простейших задач фильтрации позволило показать, что сингулярная поверхность по разному влияет на горизонтальные и вертикальные скважины: в случае горизонтальных скважин при приближении скважины к поверхности приведённый дебит возрастает, а в случае вертикальных - уменьшается. Исследования также показывают, что влияние поверхности сопряжения на дебит скважины как в кусочно-однородных, так и кусочно-неоднородных одинаковое.
Во втором параграфе показаны особенности решения гиперсингулярного интегрального уравнения для неоднородных сред, когда К = К{гм)- В частности доказаны формулы (19), (20).
С помощью метода дискретных особенностей (в том числе МЗДВР, обо-щённого на случай неоднородных сред) проведены исследования влияния неоднородности среды на дебиты скважин. Показаны практические оценки скорости сходимости расчётов численных методов. Показано влияние неоднородности среды на оптимальное расположение скважины в кусочно-неоднородных слоях. Исследования проводились как для гармонических, так и метагармонических слоев.
Решение задач фильтрации в кусочно-неоднородных средах приводит к необходимости нахождения фундаментальных решений уравнения (1.1.6) для соответствующей функции К{М). Это представляет собой отдельную сложную математическую задачу, в которой необходимо учитывать сингулярную поверхность. Для произвольных К(М) её решить можно только численно. Проведённый ряд исследований для неоднородных сред показывает, что если заменить среду с некоторой проницаемостью на среду с близкой приницаемостью, то на рассчитываемый дебит скважины такая замена влияет мало. Поэтому в 3.3 предлагается задачи о дебите скважин, расположенных в средах с проницае-мостями К = K(z) решать как задачу о скважине, расположенной в кусочно-неоднородной среде с проницаемостями, соответствующие фундаментальные решения которых выражаются через элементарные функции. Это приводит к значительному ускорению в расчётах и если среда слоистая, то позволяет сразу учитывать с помощью интегральных уравнений граничные условия на границах раздела неоднородности сред. В частности приведён пример расчёта дебита скважины в среде с проницаемостью
В последнем параграфе показано взаимное влияние наклонных и горизон тальных скважин, расположенных в неоднородной среде. Продемонстрирована интерференция скважин: с ростом проницаемости наблюдается уменьшение взаимного влияния скважин.
Работа системы скважин в кусочно-однородной среде с каноническими поверхностями
Проведём исследование дебита скважины, рассчитываемого по формуле (2.1.18). Будем перемещать скважину вдоль оси ОХ. На рис. 2.2 показана зави симость безразмерной величины I II-100% (относительной погрешности) при перемещении скважины вдоль оси ОХ. На рисунке представлены зависимости для разных значений Л. Величина до - это дебит скважины при Л = 0, то есть в отсутствие поверхности а. Положение скважины характеризуется следующими неизменяемыми параметрами: г/о = 0, ZQ = L; Rc = 0,05L; скважина вертикальная, то есть в = 0, а = 0. Как видно из графика, для Л 0 при приближении скважины к поверхности о дебит скважины возрастает, а при Л 0 - убывает. Это объясняется тем, что при Л = — 1 имеем непроницаемую поверхность а, и соответственно эта поверхность ограничивает приток жидкости к скважине. При Л = 1 имеем поверхность питания а. Тем самым приближаем поверхность питания из бесконечности к а. Будем перемещать скважину, дебит которой вычисляется по формуле (2.1.18) вдоль оси OZ. Скважину будем считать горизонтальной, параллелной линии пересечения плоскостей и и сто» то есть в = —;а = 0. Неизменяемые параметры скважины - На рисунке 2.3 показан график зависимости изменения относительного дебита скважины ( 1 ) 100% от расстояния d между осью скважины и плоскостью то при разных значениях параметра Л. Расстояние, откладываемое по оси абсцисс, измеряется в длинах фильтра скважины. В качестве до берётся дебит скважины при d — оо и Л = 0, то есть когда расстояние от поверхности хо до скважины велико, и влиянием поверхностей его и а пренебрегаем. Как видно из графиков (см. рис. 2.3), поверхность а оказывает значительное воздействие на дебит скважины, когда скважина расположена вблизи этой поверхности. При этом дебит скважины может уменьшится почти в 2 раза. Графики показывают, что при приближении скважины к поверхности а влияние другой поверхности на дебит ослабевает, и наоборот, при удалении скважины от aQ - роль поверхности а усиливается. Анализ графиков показывает, что на расстоянии d 3L влияние непроницаемой поверхности на дебит скважины составляет не более 3%, и в этом случае влиянием поверхности на мощность скважины можно пренебречь. На рисунке 2.4 изображено поле скоростей, когда z — 0 явлется непроницаемой поверхностью, а у — 0 - поверхность, на которой проницаемость среды меняется скачком, А = 0,5. Параметры скважины хо = L, уо = 0, ZQ = L; Rc = 0,051/; скважина вертикальная, то есть в — 0, а = 0. Проведём исследование дебитов скважин, получаемых из решения системы (2.1.23). Будем считать, что давление на каждой скважине одинаковое, то есть С\ — С 2. Изменим положение скважин вдоль оси ОХ. При этом первую скважину мы будем перемещать по направлению оси ОХ, а вторую - против оси ОХ. График зависимости величины ( 1 ) 100% от расстояния d между каждой скважиной и осью OZ представлен на рисунке 2.5. Здесь qo - дебит одиночной скважины, расчитываемой по формуле (2.1.24) скважины при хд = 0. Здесь и в дальнейшем величина по оси абсцисс откладывается в единицах радиуса сферы а. Неизменяемые параметры скважины - yoi = У02 — 0; zoi = -г02 = 0,2а; L\ — L2 — 0,2а; Лсі = RC2 = 0,01а; скважины вертикальные, то есть в\ = 9ч = 0; ос\ = сн2 = 0. На рисунке 2.5 изображены три графика функции, два из которых, изображённые сплошной линией, совпадают, поскольку скважины расположены симметрично относительно оси OZ, и их дебиты равны. Пунктирной линией изображён график функции, когда у нас в области фильтрации D находится одна скважина. Как видно из графика, при приближении скважины к поверхности сгп дебит скважины возрастает как для двух, так и для одиночной скважины одинаково. Это возрастание дебита объясняется влиянием поверхности сгп- При уменьшении d графики, соответствующие двум и одной скважине, расходятся. Это объясняется взаимным влиянием скважин друг на друга. При приближении скважин друг к другу их дебиты уменьшаются, и согласно данным графика 2.5 разница в дебитах может достигать 60% от до то есть взаимное влияние скважин друг на друга существенно. Картина течения для двух скважин при Жоі = 02 = 0,4а представлена на рисунке 2.6. На графиках рисунка 2.7 представлены зависимости величины г\ — ( 1 ] 100% для каждой скважины от расстояния d между скважиной и плоскостью сто, выраж:енного в радиусах а поверхности питания тп- График, изображённый сплошной линией, представляет собой зависимость первой (перемещаемой) скважины от d, а пунктирной линией - зависимость неподвижной скважины от d. go это дебит скважин при z\ = 0,5a, то есть, когда скважины расположены симметрично относительно оси OZ, и их дебиты совпадают. Как показывает анализ графиков, в данном случае взаимное влияние скважин по сравнению с влиянием поверхностей сгп и сто на дебит незначительно. Действительно, согласно данным из графика дебит второй скважины меняется на 6 — 7% при перемещении первой скважины. Влияние же поверхностей OQ И an составляет 30 — 40%. Проводя аналогичные исследования для вертикальных скважин, то есть параметры скважин4 жоі = — 0,1а; #02 = 0,1а; в\ — 92 — 0, приходим к рисунку 2.8. Анализ графиков показывает, что в данном случае скважины оказывают значительное влияние друг на друга. Это влияние составляет 20 — 30% от с/о, что сравнимо с влиянием поверхности (JQ. Такое влияние приводит к изменению внешнего вида зависимостей величины г) от d - появляется минимум соответствующий 2QI = 0,5а, то есть когда скважины наиболее близки друг к другу.
Исследование влияния поверхностей, ограничивающих область фильтрации на дебит скважины
Рассмотрим решение задачи о дебите системы скважин, расположенных в области, ограниченной поверхностью питания стц и непроницаемой поверхно стью его- Задача для скважин, моделируемых линейными стоками, сводится к решению системы интегральных уравнений: где взяты прямые значения потенциала возмущения Ф(М) на соответствующей поверхности. Потенциал возмущения Ф(М) имеет вид, аналогичный (2.2.2) при Ф(М) = 0, а именно В (2.4.1) невозмущённый потенциал определяется по формуле (2.1.4). Система включает в себя уравнение фредгольмовского типа и гиперсингулярное интегральное уравнение. Для случая, когда поверхность питания представляет собой полусферу, а непроницаемая поверхность - часть плоскости, имеем точное решение поставленной задачи. Для двух скважин эта задача решена в 2.1. Сравним решение, полученное из системы интегральных уравнений (2.4.1), и решение, приведённое в 2.1. 100% от расстояния d между каждой скважиной и осью OZ; d выражается через радиус сферы а. При этом qeq - численное решение, a qa - аналитическое, полученное в 2.1. На рисунке 2.16 представлены результаты расчётов для различного числа разбиений: 1 соответствует 14 х 14 разбиений на каждой поверхности - и на an, и на сто; 2 - 20 х 20 разбиений; 3 - 26 х 26. Вид сетки при разбиении каждой поверхности 20 х 20 изображён на рисунке 2.18. Ьз. _i Пусть неизменяемые параметры скважин yoi = У02 = 0; oi = Z02 = 0,2а; L\ = L2 = 0,2а; Rc\ = RC2 = 0, 01а; скважины вертикальные, то есть Qx = Q2 — 0; ai = 0.2 = 0. Здесь a - радиус сферы. Будем перемещать скважины вдоль оси ОХ; - первую вдоль оси, а вторую в противоположную сторону. Исследуем величину г\ = Как видно из анализа графиков, погрешность велика только вблизи поверхности питания. Однако с увеличением числа разбиений она значительно уменьшается. Для достижения 5 — 6 процентной точности вычисления дебита скважины, расположенной вблизи поверхности питания стп (на расстоянии L от неё) достаточно взять 20 х 20 разбиений. Как показывают дальнейшие численные эксперименты, для поверхностей более сложной формы необходимо (и достаточно для достижения вышеуказанной точности) брать 25 х 25 разбиений. Проведём аналогичные исследования, изменяя положение горизонтальных скважин вдоль оси OZ. Неизменяемые параметры скважин Жоі = —0,05а; х$2 — ai = «2 = 0- Также будем исследовать величину п = Ча ния d между каждой скважиной и плоскостью XOY. Результаты исследований представлены на рисунке 2.17. Как видно из графиков рисунка 2.17, погрешность дебитов скважин больше, когда скважина расположена вблизи непроницаемой поверхности сг0, чем вблизи поверхности питания сггь Поэтому для моделирования непроницаемой поверхности замкнутыми рамками, число рамок необходимо увеличить по сравнению с моделированием эквипотенциальных поверхностей. Это связано с тем, что мы решаем на сто гиперсингулярное интегральное уравнение (2.4.1г), в ядро кото (nM,nN) рого входит особенность вида . rMN Поле скоростей к горизонтальным скважинам при ZQI = ZQ2 = 0, 2а изображено на рисунке 2.19. Это поле рассчитывается численно с использованием формул (2.4.2), (2.2.1) и (2.1.19). Как видно из картины течения, (см. рис. 2.19), численное решение поставленной задачи соответствует физическим представлениям граничных условий на поверхностях тп,сто. Таким образом, в ходе численного эксперимента было установлено, что полученное численное решение поставленной задачи с ростом числа разбиений на каждой поверхности сходится. При этом, как показывается проверка для частных случаев, наблюдается сходимость к точному решению. Для нижеуказанных решений также проводился численный эксперимент на предмет исследования сходимости решения. В соответствии с этим экспериментом выбиралось число разбиений на каждой поверхности для достижения требуемой точности вычислений дебитов скважин (она составляла 1 — 5% в зависимости от задачи). Исследование влияния поверхности сопряжения, на дебит скважины Проведём исследование влияния расстояния от поверхности сопряжения до скважин на их дебит. Так как и поверхность питания, и непроницаемая поверхности являются предельными случаями поверхности сопряжения, то аналогичные результаты для этих поверхностей будут вытекать из полученных соотношений. Однако, когда эти предельные случаи будут иметь особое значение (например, если система скважин расположена в области, ограниченной замкнутой непроницаемой поверхностью), то полученные результаты мы будем выделять отдельно.
Рассмотрим работу двух скважин, расположенных в области, ограниченной поверхностью сопряжения а. Пусть коэффициент проницаемости среды в области D2, где расположены скважины, равен &2, а в области D\ = D \ Z 2 \ с - к\. Вектор положительной нормали направлен из области D в D\. Скважины будем моделировать линейным стоком, то есть потенциал невозмущённого течения определяется по формулам (2.1.4).
Решение задачи будем искать в виде (2.2.1). Согласно рассуждениям, аналогичным проведённых в 2.2, приходим к системе из интегрального уравнения и интегральных соотношений:
Работа системы скважин в кусочно-неоднородной среде с канонической поверхностью
Как было показано в предыдущем пункте близко расположенные скважины приводят к взаимному влиянию скважин друг на друга, в том числе и на их дебиты. Проведём исследование этого влияния более подробнее.
Исследования, проведённые в предыдущем пункте показали, что как для однородных, так и неоднородных сред целесообразно использовать скважины, близкие к горизонтальным - дебиты скважин в этом случае максимальны. Поэтому исследовать интерференцию будем для горизонтальных скважин. В данном случае исследования будут отличаться от исследований проведённых для однородных сред в 2.5.
Выясним на сколько влияет неоднородность среды на интерференцию скважин. Для этого рассмотрим ряд исследований. Будем считать, что область фильтрации, ограничена непроницаемой плоскостью OXY и поверхность питания в виде полусферы радиуса о (см. рис. 2.18). Неизменяемыми параметрами скважины оставим #ОІ = 0 5а; Li = 0,2а; Rci = 0,03а; 9І — — (скважина горизонтальная); а.і — 0. Будем рассматривать разное число скважин (п = 1,.. .4) и будем менять их параметры y0i и zoi. При этом в одном случае будем менять только координаты t/оь в ДРУгом только координаты zoi- Результаты расчётов будем заносить в таблицу 3.1 и таблицу 3.2. Исследования проводились для среды проницаемость которой определяется формулой (3.1.2) при о = 0; Ъ = 1; ц = 0, 5 данные занесены в таблицу 3.1, а при а = 1;Ь = 0;д = 0,5 данные занесены в таблицу 3.2. Остальные данные, которые заносились в таблицы 3.1 и 3.2 аналогичны данным таблиц 2.2 и 2.3 (см. 2.5). Однако в отличие от однородных сред в расчётные формулы входили приведённые дебиты.
Как видно из анализов результатов целесообразно располагать скважины в одной плоскости - в этом случае явление интерференции проявляется слабее. При это чем меньше проницаемость среды, тем явление интерференции проявляется сильнее. Однако это влияение на интерференцию не значительно. 1. Построены и исследованы новые трёхмерные математические модели работы системы скважин в кусочно-однородных и кусочно-неоднородных слоях, ограниченных поверхностью питания и непроницаемой поверхностью. Все поверхности моделируются поверхностями класса Ляпунова, проницаемости сред в области фильтрации описываются произвольными гладкими функциями. 2. Для кусочно-неоднородных слоев в случае канонических границ области фильтрации (сферы (полусферы) и плоскости (полуплоскости)) получены решения в конечном виде. 3. Численно решена система фредгольмовских и гиперсингулярных интегральных уравнений. Обобщён метод замкнутых дискретных вихревых рамок, применяемый для решения гиперсингулярных интегральных уравнений, на случай неоднородных сред, когда проницаемость среды является функцией одной переменной. 4. С помощью решения задач трёхмерной фильтрации в конечном виде получены практические оценки скорости сходимости метода дискретных особенностей (в том числе и метода замкнутых дискретных вихревых рамок). Эти решения также использованы как тестовые. 5. Показана эффективная методика расчёта дебитов скважин в средах с произвольными лроницаемостями K(z) с помощью решения задачи через систему интегральных уравнений и проведены примеры расчётов. Полученный результат обобщён на случай решения трёхмерных задач фильтрации в слоистых средах. 6. Построены новые модели фильтров скважин. Отображены результаты срав нения разных моделей скважины, приведено уточнение известных моде лей. Дано обоснование использования той или иной модели в конкретных задачах практики. Построение новой модели привело к решению граничных задач с принципиально новыми граничными условиями, а также к решению гиперсингулярных интегральных уравнений с обобщёнными функциями в правой части. 7. Исследовано влияние на дебиты скважин границ области фильтрации, неоднородности слоя, их взаимное положение и интерференция скважин. Решена задача оптимального расположения скважины в области фильтрации. Приведён сравнительный анализ дебитов горизонтальных и наклонных скважин с вертикальными скважинами. Проведённые исследования значительно расширяют круг решённых трёхмерных задач фильтрации. Предложенные в работе методы и исследования граничных задач могут быть использованы для исследования других физических процессов, описываемых уравнением (1.1.6) и соответсвующими граничными условиями.
