Введение к работе
Актуальность проблемы. Задача стабилизации, как известно, является одной из важнейших для теории управления. Эта задача постоянно возникает там, где требуется отследить некоторый номинальный режим, соответствующий положению равновесия системы и получаемый, например, при решении задачи статической оптимизации. Задача управления, таким образом, здесь сводится к отысканию, скажем, оптимального статического режима и автоматическому поддержанию режимов работы, найденных в результате статической оптимизации.
Построеная по такому принципу система управления, однако, далеко не всегда является оптимальной с технологической точки зрения. В ряде случаев там, где дальнейшее изменение регулируемых параметров не может уже привести к улучшению показателей процесса, существуют дополнительные возможности его интенсификации. Так, в последнее время появилось большое количество работ, в которых на основании анализа многочисленных экспериментов и результатов численного моделирования химико - технологических, пищевых и ряда других процессов установлено, что эффективность многих процессов (тепло - и массобменных и каталитических) может быть повышена, если вместо постоянного управления, полученного в результате решения задачи статической оптимизации, использовать периодическое управление со средним значением, равным значению оптимального статического управления.
Вопрос об использовании периодических управлений представляется весьма важным еще и потому, что,, как выяснилось, повышение эффективности процессов при использовании периодических управлений, вообще говоря, может рассматриваться как некое технологическое проявление интенсивно развивающегося в настоящее время принципа обратной связи.
Таким образом, в этой области интересы теории автоматического управления начинают пересекаться с интересами теории дифференциальных уравнений и, особенно, теории колебаний, поскольку вопрос о существовании периодических режимов для последних является одним из важнейших. Многочисленные результаты, полученные здесь, не гарантируют существование периодических решений
у нелинейных систем размерности более двух, даже если все решения ограничены. Что же касается многомерного нелинейного случая, то здесь, как известно, из существования ограниченного решения следует существование только инвариантного интегрального множества.
Целью настоящей диссертационной работы является разработка математических методов исследования периодических процессов в задачах управления. Данные методы базируются на новом понятии условно - периодического решения и должны не только возможно более полно описывать поведение решений систем с периодическими управлениями, но' и позволять рассматривать задачи отыскания оптимальных периодических и условно - периодических процессов и задачи синтеза периодических законов управления, предназначенных для реализации заданных периодических режимов.
Научная новизна.
1. Разработан математический аппарат для исследования динамических систем с периодическими управлениями. Данный аппарат базируется на новом понятии условно - периодического решения. Показано, что из существования у системы с периодической по времени правой частью ограниченного решения следует существование условно - периодического решения. В частности, оказывается, что в автономном случае рекуррентными траекториями могут быть траектории, описываемые условно - периодическими решениями, и только они.
2: В рамках развития разработанного аппарата исследования систем с периодической правой частью-получены условия существования асимтпотически устойчивого в целом периодического решения. ' Полученные условия в некоторых случаях сводят проблему существования и устойчивости периодического решения к некоторой конечномерной экстремальной задаче. В диссертации предложен и опробован алгоритм, приводящий к конструктивной процедуре решения упомянутой экстремальной задачи.
3. В рамках дальнейшего развития аппарата исследования систем с периодической правой частью изучен класс объектов/'харак-теризуемых периодическим оператором сдвига вдоль кривых. Данный класс включает в себя такие объекты как дифференциальные уравнения Каратёодори и функционально - дифференциальные урав-
нения запаздывающего типа. Для периодического оператора сдвига'^""'
вдоль кривых введено понятие условно - периодической кривой, а'на- J
логичное понятию условно - периодическоґсрегцения. Показано, что ",
из существования' у некоторого оператора сдвига" кривой, содержа- - -.-,
щенся в некотором компактном множестве, следует существование у ;
него условно - периодической кривой. . .-' ' ' Г
-
В рамках приложения разработанного аппарата исследова- ".'. нпя систем с периодической правой частью" к задача.м управления'' 1 показано, что задача отыскания оптимального периодического ре- =-';. жима не всегда имеет решение и, потому, в общем случае ее следует .- заменять задачей отыскания оптимальногоусловно - периодического - режима.
-
В диссертации сформулирована и полностью решена задача квазистатической оптимизации системы с управлениями, прилагаемыми в конечные моменты времени. Приведены условия существования асимптотически устойчивого в целом оптимального квазистатического режима.
Практическая значимость. Методы и алгоритмы, полученные в работе, могут быть использованы для решения различных задач управления многими реальными процессами. К числу таких процессов относятся процесс ректификации, процессы очистки и регенерации газов, осушки и в другие каталитические процессы со сменным катализатором. Частным случаем таких задач являются рассмотренные в диссертации задачи управления процессами ректификации воздуха и регенерации воздуха в замкнутом объеме.
Полученные в диссертации результаты вошли в курс лекций «Специальные главы технической кибернетики», прочитанный автором в 1992 - 97 г.г. в Тамбовском государственном техническом университете. В настоящее время планируется внедрение основных результатов работы в учебный процесс на физико - математическом и экономическом факультетах Тамбовского государственного университета им. Г.Р. Державина. Кроме того, основные результаты диссертации используются при разработке систем очистки и регенерации воздуха в Тамбовском научно - исследовательском химическом институте.
Аппробация работы. Основные положения диссертации докладывались на научном семинаре по качественной теории диффе-
ренциальных уравнений в..Московском государственном университете'' (марти1994 г.)''и научных гейнна^аЬс Института проблем управления РАН и Института системного-анализа РАН (1989 - 97 г.г.), на третьей Всесоюзной школе «Прикладные проблемы управления макросистемами» (Аппатиты, май 1989 г.), четвертой Всероссийской научно - технической конференции «Повышение эффективности средств обработки информации на базе математического и машинного моделирования» (Тамбов, октябрь 1995 г.) и четвертой научно - практической конференции в Тамбовском государственном техническом университете (Тамбов, апрель 1997 г.).
Публикации. По теме диссертации в изданиях, оговоренных ГВАК России, опубликовано 11 работ.
Объем работы. Диссертация, состоящая из введения, пяти глав, .заключения, списка литературы и приложения, изложена на 19D страшгцах машинописного текста, содержит 10 рисунков; список литературы включает-110 наименований.
