Введение к работе
Актуальность темы. Настоящая диссертация посвящена качественному исследованию решений нелинейных краевых задач. Это направление является одним из основных в современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Интерес к данной тематике стимулируется потребностями механики, физики, биологии, где во многих случаях для адекватного описания изучаемых процессов необходимо использовать нелинейные модели, так как линеаризация приводит к невозможности отразить те или иные реально существующие эффекты.
Ряд широко используемых нелинейных моделей связан с уравнениями вида
Dta- clDJC/u/"1 sgn. ll) -f в(и.1Р$дп u = 0, (О
где Ш> 0, р> 0} <Х> 0> 6 Є (R. - заданные числа,й=Ц^)
- неизвестная функция. Это уравнение описывает, в частности, одномерную диффузию в нелянейяой среде. При этом через ~Ь обозначается время, через ОС - пространственная координата, а через Li(x}t) - плотность диффундирующего вещества. Коэффициент диффузии пропорционален: величине [и.\^1-^ (при И.ф О ).При#->0 он неограниченно; возрастает, если 171 < { , постоянен, если№=1, и стремится к нулю, если ЇЇІ> I . Поэтому (!) при 0<*лг<і называется уравнением быстрой диффузии, при лг= { - уравнением нормальной диффузии, а при /П > { - уравнением медленной диффузии. Присутствие в уравнении (Ї) младшего члена означает наличие источников (если 6< О ) или стоков (если (?>0 ).
Уравнениями вида (!) описываются также неутановившиеся течения сжимаемых жидкостей и газов в пористых пластах, движение грунтовых вод, обтекание твердого тела еязной жидкостью, динамика биологических популяций, распространение тепла при зависимости свойств среды от температуры, процессы в ионизованных газах и плазме, образование структур в моделях синергетики и другие явления.
При ЇЇіФІ тип уравнения (-Ї) зависит от значений решения Ц,(Х}±) . Если и.(Х,Ь) 0 , то (І) является параболическим уравнением; если же U.(X3t)-О , то Ш вырождается в обыкновенное дифференциальное уравнение. Такие уравнения принято называть неявно вырождающимися.
-I
К середине 50-ых годов нашего века в работах Буссинеска, І.С.Лейбензона, П.Я.Кочиной, Я.Б.Зельдовича, А.С.Компанейца.Г.И. Баренблатта и других ученых для уравнений вида М) с Гя4{ и их обобщений было найдено много частных решений. Оказалось, что среди, них есть функции, финитные do X при каждом "fc (свойство конечной скорости распространения Еозмущений), а также не обладающие предписанной соответствующим уравнением гладкостью и потому фактически удовлетворяющие ему лишь в некотором обобщенном смысле.
Построение математической теории неявно вырождающихся параболических уравнений было начато работой О.А.Олейник lj , опубликованной в Ї957 г. В этой работе был введен физически мотивированный класс обобщенных pernsний задачи Коти для уравнения (Ї) с ftl>{ j. S= 0 (а также для некоторых более общих уравнений).
Было доказано, что в этом классе обобщенное решение единственно и существует глобально по Ь . Кроме того, было установлено, что е точках, где обобщенное решение отлично от нуля, оно является гладким и удовлетворяет уравнению в обычном смысле.
Вышедшая в -1958 г. статья О.А.Олейник, А.С.Калашникова и Чжоу Юйлиня [2] наряду с подробным изложением результатов работы У содержала доказательства аналогичных утверждений для первой и второй краевых задач в ограниченных и неограниченных областях, а также некоторых предложений о свойствах обобщенных решений, в частности, об условиях, гарантирующих наличие конечной скорости распространения возмущений.
В последующие годы теория уравнений с неявным вырождением получила значительное развитие. Новые теоремы о существовании, единственности, регулярности и оценках обобщенных решений крае-еых задач для различных классов неявно вырождающихся параболических уравнений к систем доказали Аронсон, Бамберже, Бенилан,Бер-нис, Берте, Н.М.Бокало, Брезис, Васкес, Верон, М.И.Вишик ,
ї] Олейнжк О.А. Об уравнениях типа уравнений нестационарной фильтрации// ДАН СССР. 1957. Т. ИЗ, * 6. С. Ї2Ї0-Ї2ІЗ.
[2~\ Олейник О.А., Калашников А.С, Чжоу Юйлинь. Задача Коти и краевые задачи для уравнений типа нестационарной фильтра-ции/Изв.АН СССР. Сер.мат. 2958. Т. 22, » 5. С. 667-704.
А.И. Вольперт, А.Л.Гладков, Гилдинг, Дальберг, Диас, ДиБенедетто, Ю.А.Дубинский, В.В.Жаков, А.В.Иванов, Камин, Каффарелли, Кениг, Кершнер, С.Н.Кружков, Н.В.Крылов, Крэндалл, В.В.Курта, Г.И.Лаптев, Лионе, Н.О.Максимова, О.А.Олейник, Пелетье, Е.С.Сабинина(Со-болева), В.Н.Самохин, К.Н.Содтанов, Г.М.Фатеева, М.И.Фрейдлин, Фридман, М.И.Хазан, С.И.Худяев, Хюлсхоф, Цуцума, Чжоу Юйлинь, Эрреро и другие. Появилось большое число работ, шэевященных качественному исследованию обобщенных решений. В частности, изучались следующие эффекты.
A) Конечная скорость распространения возмущений. Условия воз
никновения этого эффекта в различных ситуациях рассматривали С.Н.
Антонцев, Г.И.Баренблатт, М.И.Вишик, Васкес, Верон, Гилдинг,Диас,
Кершнер, Пелетье, Сон Биньхен, Су Нин, Эрреро и другие.
Б) Задержка фронта. Впервые она отмечена А.А.Самарским и И.М. Соболем [3J для уравнения Ш с Ш>{ ,6—0 . Впоследствии она изучалась в работах Лэйси, Окендона и Тэйлера, С.Н.Антонцева и С.И.Шмарева, Камин, Пелетье и Васкеса, а также других авторов.
B) Локализация решения по времена. Она открыта Е.С.Сабининой
(Соболевой) в работе 4] для уравнения (I) с т<{ , @ = О ;
затем данное яелєниє для различных классов эволюционных уравнений
и систем исследовали С.Н.Антонцев, Бенилан, Крэндалл, Васкес, Ве-
ласкес, В.А.Галактионов, С.А.Посашков, Диас, Кершнер, Куонг, Фри
дман, В.В.Чистяков, СИ.Шмарев, Эрреро и другие.
Г) Локализация решения по глубине при наличии стоков. Для уравнения (Я) с т>і , S> 0 , р = .: она впервые описана Л.К. Мартинсоном і К-Б/.Павловым f5j . В дальнейшем для различных моделей ее изучали С.Н.Антонцев, М.М.Арипов, Берте, Верон, Диас, В.А. Галактионов, Н.В.Змитренко, С.П.Курдюмов, А.П.Михайлов, А.А.Самарский, И.С.Граних, Камин, Розенау, Кершнер, Л.Д.Покровский, С.Н.Та-раненко, СИ.Шмарев и другие.
з] Самарский А.А., Соболь И.М. Примеры численного расчета температурных волн// IBM и МФ. -1963. Т. 3, Л 4. С. 703-719.
[і] Сабинина Е.С. Об одном классе нелинейных вырождающихся параболических уравнений/ДАН СССРЛ962. Т.І43, Я 4. С. 794-797.
[5J Мартинсон Л.К., Павлов К.Б. К Еопросу о пространственной локализации тепловых возмущений в теории нелинейной теплопроводности/ ЖВМ и МФ. 1972. Т. Ї2, J» 4. С. 2048-1053.
Д) Мгновенное сжатие носителя решения при наличии стоков. Для уравнения (ї)сПІ^І , $ > 0 , f>< { и некоторых его обобщений это явление обнаружено ЭЕансом и Кнерром [6] . Различные случаи проявления данного эффекта и его видоизменений исследовали Брезис, Фридман, Гиддинг, Кершнер, Наталини, Тезеи, Нико-лози, Борелли., Уги, У.Г.Абдуллаев, А.Е.Шишков и другие.
Е) Взрыв решения за конечное время при наличии источников. Этому вопросу посвятили свои работы Агирре, Бара, Болл, Вайсслер, Веласкес, КаЕоль, Каплан, Кершнер, С.И.Похожаев, Пьер, Фила.Фило, Фридман, Фужита. Эрреро, Эскобедо и другие. Большое число результатов в данном направлении содержит монография А.А.Самарского, В.А.Галактионова, С.П.Курдюмава и А.П.Михайлова [7] , где можно найти дальнейшие ссылки.
Г) Внутренняя ограниченность решения при растущих краевых данных. Этот эффект впервые был описан В.А.Галактионовым, Н.В. Змитренно, С.П.КурдшоЕЫМ, А.П.Михайловым и А.А.Самарским[8],[9] (см. также книгу [7j ). Позднее данной тематикой занимался У.Г.Абдуллаев.
В приложениях нередко Еозникакіт задачи, при исследовании которых класс скалярных автономных и пространственно однородных уравнений вида (I) оказывается слишком узким для построения адекватной математической модели.
6j Uvans L.G., Eherr В.Ро Instantaneous shrinking of the support of non-negative solutions to certain nonlinear parabolic equations and variational inequalities// 111. J. Math. 1979. V. 25, IT 1. P. 153-166. (VJ Самарский A.A., Галактионов B.A., Курдкзмов СП., Михайлов А.П. Режимы с обострением в задачах для квазилинейных параболических уравнений. М.:Наука, IS87. [в] Самарский А.А., Змитренко Н.В., Курдюмов СП., Михайлов А.П. Эффект метастабильной локализации тепла в среде с нелинейной теплопроводностью // ДАН СССР.1975.Т.223, J* 6. С. Ї344-Ї347. {VJ Самарский А.А., Галактионов В.А., Курдюмов СП. .Михайлов А.П. Локализация процессов диффузии в средах с постоянными свойствами/ ДАН СССР. *979. Т. 247, J* 2. С 349-353.
Так обстоит дело, например, при описании процесса диффузии в неограниченной неоднородной среде, если, скорость диффузии или мощность источников (стоков) быстро возрастает или убывает на бесконечности. В этом случае коэффициент CL или коэффициент о в уравнении Ш следует считать функцией от ОС , стремящейся к бесконечности или к нулю при /0C/->-f оо . Некоторые классы таких уравнений изучали Гранди, Камин, Кершнер, Пелетье (мл.), Ро-зенау, Эйдус и другие. Аналогичное положение создается при моделировании диффузии в среде с существенно нестационарными свойствами. В этом случае приходится веодить зависимость коэффициентов от X, а допускать их неограначенный рост или стремление к нулю при ~t -> + со. В каждом из упомянутых случаев появляются новые факторы, которые могут как усиливать соответствующие нелинейные эффекты, так и противодействовать им.
Неоднородность или нестацаонарность среды может отражаться также в непостоянстве режимов диффузии или источников (стоков). Чтобы учесть это обстоятельство, е уравнении (1) нужно считать зависящими от ОС или от ~t не только коэффициенты, но и показатели /71 или р . Некоторые классы таких уравнений рассматривались В.В.Жиковым, В.Н.Самохиным.
Следующий круг задач связан с диффузией смесей. При определенных предположениях она описывается системой
D. ис а$(/и/%,1 и^іфа^^і ut0 (Ц„;/і) (2)
где <Х^,о^} ^ізРц - положительные числа, Lt,/X,i} - плот-
ность (или концентрация) С -ой компоненты диффундирующей смеси.. Системы вида (2) используются также при моделировании динамики взаимодействующих биологических популяций. Зафиксируем какое-либо L & {4; г. ^ И-} и обозначим
Тогда с -ое уравнение в (2) можно рассматравать как уравнение вида (І) относительно плотности. LL-U.'(x,tj І. -ой компоненты с переменной мощностью стоков 6^= &(Х;-) > зависящей от плотностей Hi (X3t) » І7^ t- Характер их эволюции является новым фактором, способным усиливать или ослаблять тот или иной нелинейный эффект для плотности L -ой компоненты.
Еще одна совокупность задач объединяется следующим общим признаком. В постановке задачи участвует степенная функция с показа-. телем, зависящим от малого параметра >0 > причем определенное свойство, которым обладают все решения, соответствующие положительным значениям 8 > может утрачиваться в пределе при-*0. Здесь фактором, противодействующим нелинейному эффекту, является стремление одного из показателей к критическому значению.
Цель -работы - изучение нелинейных эффектов при наличии факторов юс усиления и ослабления для следующих классов объектов: I) уравнения, содержащие нелинейные функции от решения с растущими или убывающими коэффициентами; 2) уравнения, содержащие степенные функции от решения с переменными показателями; 3) системы, содержащие произведения функций от разных компонент решения; ^уравнения с малым параметром в показателях.
Методы исследования. В диссертации используются метод вспомогательных функций в сочетании с различными вариантами теорем сравнения для обобщенных решений, метод энергетических оценок, метод дифференциальных неравенств.
Научная новизна. I. Получен ряд новых неулучшаемых результатов о характере эволюции решений краевых задач для нелинейных нестационарных уравнений с существенно переменными коэффициентами. 2. Впервые проведено качественное исследование решений краевых задач для нестационарных уравнений с нелинеиноетями изменяющейся формы- 3. Для широких классов нелинейных систем параболического, гиперболического и неклассических типов впервые изучены эффекты локализации; компонент решений по времени" и по глубине, а также покомпонентной мгновенной компактифинации носителей, внутренней ограниченности, внутренней положительности. 4. Впервые выделены и подвергнуты качественному анализу классы нелинейных эволюционных' и стационарных уравнений с показателями, близкими к критическим.
Теоретическая и практическая значимость. Диссертация имеет теоретический характер. Она может представить интерес для специалистов в области дифференциальных уравнений с частными производными, а также найти применения в задачах теории диффузии и теплопроводности, подземной гидродинамики, физики плазмы, математической биофизики, синергетики.
Апробация работы. Результаты, составившие диссертацию, докладывались на совместных заседаниях семинара имени. И.Г.ПетроЕСКого и Московского математического общества (г.Москва, 1983 -,-1987, 1989 - -1991, -1993, -1994 годы), на Всесоюзных конференциях по нелинейным задачам математической физики (г. Ленинград, -1983, 1985, 1991 годы), в Международном математическом центре имени С.Банаха (г. Варшава, 1984 год), на Всесоюзном симпозиуме "Современные проблемы математической физики." (г. Тбилиси, -1987 год), на Всесоюзных конференциях "Математическое моделирование: нелинейные проблемы и вычислительная математика" (г. Звенигород, 1988, -1990годы), на международной конференции "Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ" (г. Москеэ, 1995 год).
Публикации. Изложенные в диссертации' результаты опубликованы е 25 работах без соавторов. Список публикаций приведен в конце автореферата.
Структура работы. Диссертация объемом 267 машинописных страниц состоит из введения, четырех глав, разбитых на 12 параграфов, которые в свою очередь делятся на пункты, двух дополнений и списка литературы, содержащего 261 наименование.
