Содержание к диссертации
Введение
Гл. I. Задача куэтта с теплопередачей в разреженном газе 10
1. Постановка задачи 10
2. Положение и величина локального максимума потока энергии в свободномолекулярном режиме 11
3. Численный метод 13
4. Верификация численного метода 14
5. Немонотонность потока нормального импульса при изменении числа Кнудсена 16
6. Изменение знака потока энергии при изменении числа Кнудсена 19
7. Систематизация режимов течения Куэтта 21
Гл. II. Задача рэлея для разреженного газа 30
1. Постановка задачи 30
2. Метод численного решения 32
3. Верификация численного метода 33
4. Изменение со временем знака потока энергии, передаваемой пластине 34
5. Монотонная и немонотонная зависимость напряжения трения от времени в различных режимах течения 40
6. Неподвижная внезапно нагретая пластина: потоки энергии и импульса 49
Гл. III. Нестационарная задача куэтта с теплопередачей для разреженного газа 54
1. Постановка задачи 54
2. Метод численного решения 56
3. Верификация численного метода 57
4. Структура нестационарной задачи Куэтта 59
5. Многократное изменение знака потока энергии 63
6. Классификация режимов нестационарного течения Куэтта 65
Заключение 79
Список использованных источников
- Положение и величина локального максимума потока энергии в свободномолекулярном режиме
- Изменение знака потока энергии при изменении числа Кнудсена
- Монотонная и немонотонная зависимость напряжения трения от времени в различных режимах течения
- Структура нестационарной задачи Куэтта
Положение и величина локального максимума потока энергии в свободномолекулярном режиме
Результаты исследований течения Куэтта в переходном режиме представлены в [17-28,30-34]. Среди полученных результатов можно выделить ряд эффектов: немонотонность по Кп напряжения трения [21] и потока энергии, передаваемой пластине, при больших числах Маха[33]. Однако всестороннего исследования течения Куэтта в известной литературе не проводилось. В данной диссертации продолжено исследование влияния параметров задачи на характер течения и проведена систематизация различных режимов течения Куэтта в разреженном газе с целью построения общей картины влияния чисел Маха, Кнудсена и отношения температур пластин на поток энергии, передаваемой пластине и напряжение трения.
В [35] показано, что при М=0 немонотонность зависимости Q(Kn) возрастает с уменьшением х, достигая при 1=0.001 нескольких сот процентов. Немонотонность Q(Kn) при х « 1 связана с наличием в газе двух групп молекул с существенно различающимися средними скоростями молекул. Однако, поскольку в обеих группах молекул средний продольный импульс имеет один и тот же порядок зависимость F(Kn) при М«1 не должна иметь выраженного экстремума. На рис 1.9 приведены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при т=0.01 и различных значениях М. Как видно из графиков при малых числах Маха напряжение трения, в отличие от потока энергии, возрастает почти монотонно. Здесь и в дальнейшем под монотонностью будем понимать монотонность с графической точностью (2%). Как видно из рис. 1.9Ь при М=1 зависимость F(Kn) имеет выраженный максимум, лежащий выше свободномолекулярного предела. По мере возрастания числа Маха этот максимум увеличивается.
Как видно из рис. 1.9с и рис. 1.9d при М»1 обе зависимости, как и следовало, ожидать, приобретают ярко выраженные максимумы. Зависимости Q(Kn) и F(Kn) при 1=0.5 и различных числах Маха приведены на рис. 1.10. Как и следовало ожидать, исходя из результатов[21,33,34], при числах Маха меньших или порядка единицы обе зависимости монотонны, а при М»1 обе имеют максимумы.
Значение Меткішу числа Маха, при котором поток энергии на неподвижную пластину меняет знак, зависит от числа Кнудсена и отношения температур пластин и находится в диапазоне Mfrm Mb0imdary MNS.. Таким образом, плоскость (М, х ) делится на три части. В двух из них знак потока энергии постоянен, а в третьей зависит от числа Кп. Эти области показаны на рис 1.8а.
Как видно из графика при Mfrm Mb0imdary MNS увеличение числа Кнудсена может приводить к изменению знака потока энергии на неподвижную пластину. На рис. 1.12. представлены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при г =2 и различных значениях М. Как видно из графиков вначале увеличение числа Маха не приводит к изменению характера зависимости Q(Kn) . Однако при увеличении М до значений, при которых Q(0.5) приблизительно равно свободномолекулярному значению потока энергии, зависимость Q(Kn) становится немонотонной. Модуль потока энергии вначале с увеличением Кп возрастает, как и следовало ожидать, в соответствии с элементарной кинетической теорией для режимов течения близких к сплошносредному [7]. Затем, достигнув максимума в переходной области, он начинает уменьшаться, приближаясь к свободномолекулярному пределу. При M Mfrm этот предел положителен и увеличение числа Кнудсена приводит к тому, что при Мfrm М Мт поток энергии, передаваемой пластине, меняет знак. затем, когда М достигает значений много больших единицы у этой зависимости возникает максимум. В то же время зависимость F(Kn) становится немонотонной лишь при М»1.
На рис 1.13 и рис 1.14 представлены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при 7=100 и различных значениях М. Как видно из графиков Q(Kn) существенно немонотонна при всех рассмотренных значениях М, за исключением узкой области вблизи MNS, в которой она близка к монотонной.
Исходя из анализа результатов расчетов, приведенных в данной диссертации и работах [21,33,34] на плоскости (М,т) можно выделить 6 областей с различным видом зависимостей Q(Kn), и F(Kn): Обнаружено, что в определенном интервале значений отношений температур пластин в задаче Куэтта поток энергии на нижнюю пластину при увеличении числа Кнудсена меняет знак, достигая перед этим локального экстремума. 4. На основе анализа поведения зависимостей потока энергии, передаваемой нижней пластине, и напряжения трения от числа Кнудсена проведена систематизация решений задачи Куэтта с теплопередачей. Поскольку плоское течение Куэтта является предельным для цилиндрических и сферических течений Куэтта, а также для течения Куэтта-Пуазейля, то вследствие непрерывной зависимости параметров течений от соответствующих обратных радиусов (для течений Куэтта) и от перепада давления (для течения Куэтта-Пуазейля) все эффекты плоского течения Куэтта должны иметь место и в этих течениях.
Отметим также, что поскольку эффект перемены знака потока энергии вызван различием в механизмах передачи энергии от движущихся поверхностей в свободномолекулярном и в сплошносредном режимах, то при соответствующих значениях параметров он может иметь место в любых стационарных течениях газа, ограниченных движущимися друг относительно друга поверхностями с различной температурой.
Изменение знака потока энергии при изменении числа Кнудсена
Как и следовало ожидать {t) — Tw с увеличением температуры убывает. Поскольку N(t) приТ =10 также убывает, то и р(0 убывает. При Tw = 20 поток падающих молекул N(t) первоначально возрастает. Однако этого возрастания недостаточно: зависимость р(0 остается монотонно убывающей. Однако при Tw = 40 первоначальное возрастание (0 оказывается настолько сильным, что
У р(0 образуется максимум, т.е. вначале скорость нагрева окружающего газа возрастает, а затем уменьшается, стремясь к нулю при t — со . Сравнивая рис. 2.3а и рис. 2.1 lb, можно сделать вывод, что увеличение скорости движущейся пластины при Uw 2(Tw — 1) приводит из-за роста N(t) к тем же качественным результатом, что и увеличение относительной температуры неподвижной пластины. Во всех проведенных при Tw 1 расчетах зависимость Pw if) имела максимум, в отличие от P if)и E(t), которые при некоторых значениях были монотонны. По-видимому, если температура поверхности больше температуры невозмущенного газа, поток нормального импульса, передаваемый пластине, Pyyif) имеет максимум при любых скоростях. Таким образом, во второй главе диссертации исследованы различные режимы задачи Рэлея для разреженного газа и обнаружено, что при соответствующих значениях параметров пластины и газа:
1. В определенный момент после начала движения пластины ее нагрев окружающим газом сменяется на охлаждение. При этом соответствующая зависимость потока энергии, передаваемой пластине, имеет отрицательный локальный минимум.
2. Поток нормального импульса, передаваемого пластине при всех использовавшихся в расчетах значениях скорости и температуры пластины либо монотонно возрастает, если температура пластины меньше температуры невозмущенного газа, либо имеет максимум, если температура пластины больше температуры невозмущенного газа.
3. Зависимость от времени потока энергии, передаваемой пластине и зависимость от времени напряжения трения имеют локальные экстремумы при соответствующих значениях скорости и температуры пластины.
Рассматриваемые эффекты немонотонности напряжения трения, потока нормального импульса и потока энергии имеют стационарные аналоги: соответствующие эффекты при гиперзвуковом обтекании пластины [6,7], в гиперзвуковом течении Куэтта [21, 33, 35,36] и в задаче о теплопроводности между пластинами [34,35], возникающие при изменении числа Кнудсена.
Анализируя полученные результаты, можно сделать вывод, что рассматриваемые неравновесные кинетические эффекты имеют место и для более широкого круга нестационарных течений, возникающих при очень резком изменении скорости и (или) температуры обтекаемых тел. А именно, в тех случаях, когда скорость тела меняется на свою, где D - характерный линейный размер тела. В этом случае t в процессе перехода возникающего свободномолекулярного течения в навье-стоксовское будет играть роль числа Кнудсена.
Обобщением задачи Рэлея и стационарной задачи Куэтта является нестационарная задача об установлении течения Куэтта. В этой задаче происходит трансформация нестационарного течения, возникающего в задаче Рэлея, в стационарное течение Куэтта. В такой задаче должны проявляться кинетические эффекты обоих течений. Исследованию их взаимного влияния в нестационарном течении Куэтта посвящена данная работа. Рассмотрим бесконечный слой газа между двумя параллельными плоскостями
Здесь J(f,f) - интеграл столкновений молекул [6]; vx, vy, vz- декартовы компоненты скорости молекул; параметры функции распределения отраженных молекул пг] ипГ2 находится из условия баланса падающих и отраженных молекул; В расчетах используется модель молекул «твердые сферы». В этом случае длина свободного пробега A» = ( J2 7TnaD) 5 где JT - сечение столкновения молекул, оо - числовая плотность невозмущенного газа. В дальнейшем при решении задачи будут использоваться безразмерные величины
Для решения задачи Релея в [29] моделируемое физическое пространство разделяется на полосы-ячейки шириной У . Изменение параметров потока внутри полосы считается малым. В начальный момент временит = 0, моделирующие молекулы располагаются в физическом пространстве в соответствии с максвеллов ской функцией распределения. Моделируемый процесс происходит следующим образом: 1) За время А Г все моделирующие молекулы перемещаются в соответствии с их скоростями. Если молекулы достигают пластины, их скорости меняются в соответствии с граничными условиями на соответствующей пластине (3.3,3.4). 2) В ячейках моделируются столкновения между молекулами. Число столкновений за время должно быть равно числу столкновений в газе. Соответствующий алгоритм детально описан в [29]. Макропараметры газа вычисляются по известным скоростям молекул в ячейках. Импульс и энергия на пластине вычисляются по скоростям падающих и отраженных молекул.
Шаг за шагом увеличивая время, можно проследить эволюцию рассматриваемой динамической системы. Для уменьшения статистической погрешности данную процедуру необходимо многократно повторять.
Монотонная и немонотонная зависимость напряжения трения от времени в различных режимах течения
Такое поведение Р(Кп) имеет следующее объяснение. Увеличение потока нормального импульса по мере уменьшения числа Кнудсена при продвижении к переходному режиму от свободномолекулярного, как отмечалось в [40], тесно связано с преобразованием направленной кинетической энергии молекулярного потока в хаотическую тепловую энергию. С другой стороны при Кп «1, как отмечалось в [46], увеличение напряжения трения с увеличением Кп также сопровождается преобразованием направленной кинетической энергии в тепловую энергию молекул. Следовательно, зависимость Р(Кп) в отличие от Q(Kn) и F(Kn) должна иметь выраженный максимум любых числах Маха [40, 46]. Однако его относительная величина при стремлении отношения температур пластин к единице, а числа Маха к нулю, естественно стремится к нулю.
Изменение знака потока энергии, передаваемой нижней пластине, при изменении числа Кнудсена
Известно, в переходном режиме течения Куэтта напряжение трения [21] и поток энергии [33] немонотонны по числу Кнудсена при больших числах Маха. В данной диссертации показано, что течение Куэтта обладает еще одним интересным свойством.
На рис 1.7 представлены зависимости Q(Kn) при М=1 и различных значениях т. Как видно из графиков в рассматриваемых случаях модуль потока энергии вначале с увеличением Кп возрастает. Этого следовало ожидать, в соответствии с элементарной кинетической теорией для режимов течения близких к сплошносредному [7].
Затем, достигнув максимума в переходной области, модуль потока энергии начинает уменьшаться. Дальнейшее увеличение числа Кнудсена приводит к тому, что поток энергии меняет знак, приближаясь к своему свободномолекулярному значению при Кп»\. Как показано в [47], в навье-стоксовском пределе тепловой поток меняет знак при
Таким образом, изменение знака потока энергии, передаваемой нижней пластине в течении Куэтта, может происходить не только вследствие нагрева пластин или изменения их относительной скорости, но и за счет изменения степени разреженности газа. Причем зависимость модуля потока тепла от числа Кп, немонотонна. На рис. 1.8 рассматриваемый эффект изменения направления потока энергии между пластинами в результате увеличения числа Кнудсена сравнивается с эффектом изменения направления течения газа при термоэффузии.
Результаты исследований течения Куэтта в переходном режиме представлены в [17-28,30-34]. Среди полученных результатов можно выделить ряд эффектов: немонотонность по Кп напряжения трения [21] и потока энергии, передаваемой пластине, при больших числах Маха[33]. Однако всестороннего исследования течения Куэтта в известной литературе не проводилось. В данной диссертации продолжено исследование влияния параметров задачи на характер течения и проведена систематизация различных режимов течения Куэтта в разреженном газе с целью построения общей картины влияния чисел Маха, Кнудсена и отношения температур пластин на поток энергии, передаваемой пластине и напряжение трения.
В [35] показано, что при М=0 немонотонность зависимости Q(Kn) возрастает с уменьшением х, достигая при 1=0.001 нескольких сот процентов. Немонотонность Q(Kn) при х « 1 связана с наличием в газе двух групп молекул с существенно различающимися средними скоростями молекул. Однако, поскольку в обеих группах молекул средний продольный импульс имеет один и тот же порядок зависимость F(Kn) при М«1 не должна иметь выраженного экстремума. На рис 1.9 приведены зависимости Q(Kn) и F(Kn) при т=0.01 и различных значениях М. Как видно из графиков при малых числах Маха напряжение трения, в отличие от потока энергии, возрастает почти монотонно. Здесь и в дальнейшем под монотонностью будем понимать монотонность с графической точностью (2%). Как видно из рис. 1.9Ь при М=1 зависимость F(Kn) имеет выраженный максимум, лежащий выше свободномолекулярного предела. По мере возрастания числа Маха этот максимум увеличивается.
Как видно из рис. 1.9с и рис. 1.9d при М»1 обе зависимости, как и следовало, ожидать, приобретают ярко выраженные максимумы. Зависимости Q(Kn) и F(Kn) при 1=0.5 и различных числах Маха приведены на рис. 1.10. Как и следовало ожидать, исходя из результатов[21,33,34], при числах Маха меньших или порядка единицы обе зависимости монотонны, а при М»1 обе имеют максимумы.
Структура нестационарной задачи Куэтта
Задача Рэлея о течении, возникающем в полупространстве после внезапного начала движения бесконечной пластины, является одной из классических задач гидродинамики. В случае вязкой несжимаемой жидкости ее решение сводится к решению одного из основных уравнений математической физики: уравнения теплопроводности [48,49]. Задача Рэлея для сжимаемой жидкости исследовалась в [50-52] на основе уравнений Навье-Стокса. Однако уравнения Навье-Стокса непригодны для описания движения газа сразу после начала движения пластины в течение периода времени порядка среднего времени между столкновениями пары молекул. В этом случае необходимо решать уравнение Больцмана. В такой постановке задача Рэлея рассматривалась в [9-16]. Однако целью этих работ был, прежде всего, поиск наилучшего метода решения уравнения Больцмана, а не всестороннее исследование задачи Рэлея. Задача Рэлея стала играть роль тестовой задачи, на которой апробировались различные методы решения уравнения Больцмана. В результате такого подхода задача Рэлея на временах сравнимых со средним временем столкновения между молекулами оказалась недостаточно исследованной.
Задача Рэлея не единственная классическая задача, использовавшаяся для тестирования различных методов решения уравнения Больцмана. К числу таких задач относится также задача Куэтта. Однако задача Куэтта все же иногда привлекала к себе внимание и в качестве удобного инструмента для исследования кинетических эффектов переходного режима [21, 33, 34], возникающих при параметрическом изменении числа Кнудсена. Следует отметить, что, хотя задача Куэтта и задача Рэлея для разреженного газа начали исследоваться практически одновременно [9,17], автору диссертации неизвестны публикации, посвященные эффектам переходного режима в задаче Рэлея. Обнаружению и исследованию таких эффектов посвящена данная глава диссертации.
В ней изучается, как меняются со временем поток энергии, передаваемой пластине, напряжение трения и поток нормального импульса. В отличие от задачи Куэтта, задача Рэлея является нестационарной. Причем при увеличении времени, прошедшего с начала движения, возникающее течение из свободномолекулярного через переходный режим трансформируется в навье-стоксовское. Таким образом, в задаче Рэлея для демонстрации различных режимов течения нет необходимости менять параметры задачи: кинетические эффекты в задаче Рэлея реализуются по мере увеличения времени, прошедшего от начала движения пластины. Рассмотрим полубесконечное пространство у 0 , заполненное покоящимся газом с плотностью Ао и температурой Т . Пусть диффузно отражающая плоскость у=0 в момент времени г = 0 приобретает температуру Ts и начинает двигаться в своей плоскости со скоростью Us, направленной вдоль оси х. Оси х и у образуют декартову систему координат, связанную с движущейся пластиной.
Для исследования возникающего в задаче Релея нестационарного течения необходимо решить уравнение Больцмана для функции распределения молекул. Предполагается, что отражение молекул от пластины происходит диффузно с температурой поверхности Ts. Здесь J(f,f) - интеграл столкновений молекул [6]; vx, vy, vz - декартовы компоненты скорости молекул, п - числовая плотность невозмущенного газа: лоо = Рю1т, где т- масса молекулы. Параметр функции распределения отраженных молекул - пг находится из условия баланса падающих и отраженных молекул. Решение задачи зависит от безразмерных переменных Tw = Ts /Гх ; Uw = Us /сх ;t = f сю /Ax, где сю = 2RT , R - газовая постоянная, А» - длина свободного пробега молекул в невозмущенном газе. Для модели молекул «твердые сферы», используемой в данной работе, Ао = ( JTnoo) , где &т - сечение столкновения молекул. 2. Метод решения численного решения Для решения задачи пространство над плоскостью у = 0 разбивалось на ячейки размером Ay . В различных вариантах размер ячейки менялся от приблизительно Ax I(3t/w), (Uw 1) до приблизительно А /3. Внутри ячеек параметры потока считались постоянными. В начальный момент времени ячейки помещались моделирующие течение молекулы, распределенные по скоростям согласно (2.2). Число молекул в ячейке обычно равнялось 200. Эволюция системы частиц на временном интервале А Т , расщеплялась на два этапа:
Для проверки правильности результатов расчетов задачи Рэлея, полученных в данной работе методом прямого статистического моделирования, сравним распределения температуры, плотности и компонентов скоростей газа, с соответствующими решениями краевой задачи для уравнений Навье-Стокса с условиями скольжения на пластине [24] в различные моменты времени.
На рис. 2.1 приведены распределения по оси у плотности ри температуры Т, нормированных на pffi и , а также показаны горизонтальная и и вертикальная v составляющие массовой скорости, нормированной на сю, в системе координат, связанной с невозмущенным газом. Расстояние от пластины нормировано на А» . Как видно из графиков и при t = 20 и при t = 60 результаты, полученные различными методами в основном достаточно близки. Как и следовало ожидать некоторое отличие имеет место для температуры непосредственно вблизи пластины на расстоянии до 10ЯЮ 5 причем при t = 20 большее, чем при t = 60. По-видимому, это связано с тем, что текущее число Кнудсена равное 1 /1 в первом случае еще достаточно велико \/1 = 0.05.
Похожие диссертации на Кинетические эффекты в задачах Куэтта и Рэлея
