Содержание к диссертации
Введение
1. Ремонт и усиление пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки 21
1. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы 21
2. Решение задачи 24
3. Исследование напряженного состояния и числовые расчеты 28
4. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль концентрической окружности 34
5. Решение задачи 36
6. Исследование напряженного состояния и числовые расчеты. 39
7. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно 44
8. Решение задачи 47
9. Исследование напряженного состояния и числовые примеры 50
10. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы 54
11. Решение задачи 55
12. Частный случай и числовые расчеты 68
13. Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза 77
14. Решение задачи 78
15. Числовые расчеты 88
2. Ремонт пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки 93
1. Задача о ремонте пластины с;эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы 93
2. Решение задачи 95
3. Распределение напряжений в пластине и накладке 104
4. Накладка на прямолинейной трещине 110
5. Задача о ремонте пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза 113
6. Решение задачи 115
7. Распределение напряжений в пластине и накладке 122
3. Ремонт и усиление пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки 128
1. Постановка задачи 128
2. Интегральные уравнения задачи 130
3. Числовые расчеты 143
4. Ремонт кругового отверстия в пластине посредством многолистной круглой вставки 153
1. Задача устранения кругового выреза в пластине посредством многолистной вставки, присоединенной к пластине вдоль всей границы выреза 153
2. Задача о многолистной круглой вставке, соединенной с пластиной вдоль дуг граничной окружности 162
3. Решение задачи 164
4. Коэффициенты интенсивности напряжений 171
5. Частные случаи и примеры 173
Заключение 180
- Исследование напряженного состояния и числовые расчеты
- Исследование напряженного состояния и числовые примеры
- Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза
- Распределение напряжений в пластине и накладке
Введение к работе
Многие тонкостенные конструкции, в том числе и тонкие упругие пластины, содержат дефекты в виде отверстий и трещин, которые появляются в конструкции как в процессе изготовления, так и в процессе эксплуатации, например, в результате приложения интенсивных нагрузок или действия коррозии. Наличие отверстий в пластине вызывает концентрацию напряжений на границах отверстий и ведет, в конечном счете, к преждевременному выходу детали из строя. На практике для подкрепления границ отверстий часто применяются так называемые ремонтные заплаты (двумерные накладки), соединенные с основной пластиной ' вдоль узких полос при помощи склеивания, сварки, часто расположенных заклепок и шурупов и т. д. В расчетах на прочность эти полосы в определенных рамках можно заменить линиями. В свою очередь, ремонтные заплаты, вводимые для предотвращения разрушения, сами являются концентраторами напряжений, поэтому представляется актуальным исследование напряженного состояния пластин с отверстиями, подкрепленных двумерными накладками, и получение аналитических решений соответствующих задач теории упругости. Именно эту цель и преследует данная диссертационная работа.
Исследованию напряженного состояния пластин с дефектами в виде отверстий и трещин посвящено множество работ. В монографии Н.И. Мусхелишвили [30] рассмотрены первая и вторая основные задачи теории упругости для бесконечной пластины с круговым или эллиптическим
отверстием, а также для областей, конформно отображаемых на круг. Полностью посвящена решению задач для пластин и оболочек с отверстиями монография Г.Н. Савина [44]. Рассматриваются задачи об одном или нескольких отверстиях в бесконечной плоскости или полуплоскости в случаях растяжения, сжатия, чистого сдвига, чистого изгиба. Для решения задач применяются методы плоской теории упругости, основанные на формулах Колосова - Мусхелишвили. Метод сингулярных интегральных уравнений используется при решении плоских задач теории упругости для многосвязных областей с отверстиями и трещинами в монографии М.П. Саврука [46]. В монографии Э.И. Григолюка, Л.А. Фильштинского [16] рассматриваются задачи для пластин и оболочек, ослабленных двоякопериодической системой одинаковых круглых отверстий. Различные задачи для пластин, ослабленных вырезами, рассматриваются также в книгах [8, 2І, 24] и работах многих других авторов. Еще большее число работ посвящено изучению пластин и оболочек с трещинами. Упомянем только монографии Н.И. Мусхелишвили [30], В.В. Панасюка, М.П. Саврука, А.П. Дацышина [33], М.П. Саврука [46], Л.Т. Бережницкого, М.В. Делявского, В.В. Панасюка [7], Г.П. Черепанова [80].
Остановимся на некоторых вопросах ремонта и усиления конструкций с дефектами в виде отверстий и трещин. Для этих целей довольно часто используются одномерные или двумерные накладки, присоединяемые к пластине дискретно (в отдельных точках) или непрерывно вдоль узких полос или двумерных областей.
Подкрепление тонкостенных конструкций при помощи одномерных накладок (стрингеров) особенно часто используется в авиастроении, когда нужно совместить максимальную прочность конструкции с ее минимальным весом. Исследованию напряженного состояния полуплоскости, плоскости и упругого клина с прикрепленными стрингерами посвящены работы [1, 2, 4-6, 10, 15, 20, 21, 29, 43, 81, 82, 86-88,. 99, .101]. Подкрепление пластин с трещинами при помощи стрингеров рассматривается в работах [21, 50, 51, 93, 95, 103, 104, 107, 111]. В случае пластины с трещиной к положительным
результатам может привести также высверливание дополнительных разгружающих отверстий в вершинах трещины [34].
В монографии А.И. Каландия [21] рассматривается задача о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленной прямолинейным стрингером, непрерывно прикрепленным к ней в радиальном направлении и выходящим одним концом на обвод отверстия. Задача сводится к сингулярному интегральному уравнению, которое решается численно методом механических квадратур.
В работе И .Г. Арамановича [3] рассматривается распределение напряжений в изотропной полуплоскости, ослабленной круговым отверстием, в которое впаяно упругое круговое кольцо из инородного материала. Задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений. Полученная система квазирегул ярна при как угодно сближенных границах области.
В работе В.И. Тульчия [73] рассматривается задача об изгибе изотропной плоскости с двумя подкрепленными круговыми отверстиями при однородной нагрузке на бесконечности. Подкрепляющие кольца рассматриваются как стержни с равными жесткостями на изгиб и кручение.
В монографии В.М. Александрова, СМ. Мхитаряна [1] рассматриваются задачи о бесконечной пластине с круговым отверстием, усиленным по обводу одной или двумя одинаковыми симметричными упругими кольцеобразными накладками, жестко сцепленными с пластиной. Задача о бесконечной пластинке с эллиптическим отверстием, подкрепленным ребром жесткости, изучается в монографии Г.Н. Савина, Н.П. Флейшмана [45].
В статье Wang Gul-Fang [117] решается задача о плоском напряженном состоянии пластины с круговым отверстием, подкрепленным упругим кольцом, под действием нормальных и касательных усилий. Решение задачи строится с использованием рядов Фурье и функций комплексного переменного. В замкнутой форме приводятся выражения для смещений и напряжений. Дается распределение напряжений вдоль контура отверстия.
В работе М.З. Вулицкого и И.Д. Суздальского [11] рассматривается пластина, содержащая периодическую систему круговых отверстий и периодическую систему стрингеров. К пластине приложены растягивающие усилия, направление которых совпадает с направлением стрингеров. Оценивается взаимное влияние стрингеров и отверстий. Задача приводится к сингулярному и нтегро-дифференциальному уравнению. Результаты вычислений представлены для коэффициента концентрации напряжений на контуре отверстия в виде таблицы и для коэффициента интенсивности напряжений на конце стрингера в виде графика.
Наряду со стрингерами применяются двумерные накладки, приваренные, приклеенные или приклепанные к конструкции. Во многих случаях они, помимо подкрепления отверстий и трещин, могут обеспечивать также герметичность, местную прочность конструкции, защиту от коррозии и т.п., т.е. выполнять сразу несколько полезных функций.
Подкрепляющие свойства двумерных накладок достаточно полно исследованы в случае пластин с трещинами. Усиление пластин с трещинами при помощи дискретно присоединенных двумерных накладок рассмотрено в работах [85, 89,94, 100].
В статье ММ. Ратвани [39] рассматривается задача усиления пластины с прямолинейной трещиной при помощи сплошной пластины, приклеенной к пластине с трещиной вдоль своей поверхности, с учетом имеющейся вокруг трещины отслойки эллиптической формы. Склеивающий слой моделируется как упругая пружина, работающая на сдвиг. Задача сводится к системе двух уравнений Фредгольма. Проводится сравнение с численным решением, полученным методом конечных элементов.
В статье С.Н. Wang, L.R.F. Rose [116] рассматривается бесконечная пластина с прямолинейной трещиной, усиленная приклеенной вдоль всей своей поверхности другой бесконечной пластиной. Полученная двухслойная пластина с трещиной в одном из слоев нагружена на бесконечности нормальными и касательными напряжениями, поверхность трещины свободна
от напряжений. Задача сводится к интегральному уравнению Фредгольма на конечном отрезке в случае, когда пластина с трещиной и подкрепляющая пластина изотропны и имеют одинаковый коэффициент Пуассона. Проводится параметрическое исследование полученного уравнения. В замкнутой форме получено асимптотическое значение коэффициента интенсивности напряжений для длинных трещин.
В работе G.J. Tsamasphyros и др. [114] рассматривается бесконечная пластина с центральной прямолинейной трещиной, подкрепленная эллиптической накладкой, приклеенной к пластине вдоль всей своей поверхности. Аналитическое решение задачи основано на математической модели L.R.F. Rose. Проводится сравнение с численным решением, полученным при помощи метода трехмерных конечных элементов.
В статье C.N. Duong, J. Yu [95] решается задача об усилении металлического листа с трещиной при помощи стрингеров и композитной накладки, приклеенной вдоль своей поверхности. Накладка может быть либо бесконечным ортотропным листом, либо бесконечной ортотропной полосой, расположенной перпендикулярно направлению трещины. Вокруг трещины предполагается существование области отслойки эллиптической формы. Задача решается при помощи метода совместности смещений с использованием методов теории функций комплексного переменного и метода интегрального преобразования Фурье. Показано, что влияние стрингеров на коэффициенты интенсивности напряжений несущественно для трещины полностью покрытой накладкой.
В работе В.И. Гришина, Т.К. Бегеева [17] рассматривается пластина с центральной прямолинейной трещиной, усиленная прямоугольной накладкой. Методом конечных элементов вычисляются коэффициенты интенсивности напряжений для различных способов соединения пластины и накладки: клеевого, заклепочного и клеезаклепочного. Установлено, что применение заклепочного соединения менее эффективно по сравнению с клеевым
соединением, а при наличии клея заклепки практически не снижают коэффициенты интенсивности напряжений.
Некоторые другие способы ремонта пластин с трещинами при помощи накладок, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей, рассматриваются в работах [28, 89, 92, 97, 98,102, 108, 109, 113, 118].
В работе М.П. Саврука, B.C. Кравца [49] предложен общий подход к решению задачи о подкреплении ограниченной пластины с трещинами двумерными накладками, упруго соединенными с основной пластиной вдоль своих контуров. При решении задачи используется метод сингулярных интегральных уравнений, развитый в двумерных краевых задачах математической теории трещин [33, 46]. Задача сводится к системе интегро-дифференциальных уравнений относительно неизвестных скачков напряжений или производных от смещений на контурах трещин и границах накладок. Случай жесткого соединения по контуру подкрепляющей двумерной накладки и бесконечной пластины с трещиной рассматривается в [48].
В работе Y.H. Chen, H,G. Hanh [91] решается задача об усилении квадратной анизотропной пластины с центральной прямолинейной трещиной при помощи круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы. При помощи методов теории функций комплексного переменного приближенное решение задачи находится из решения конечных систем линейных алгебраических уравнений. Показано, что в подкрепленной пластине существенно уменьшаются коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещины. Близкая по постановке задача рассматривается также в [84].
В отличие от пластин с трещинами; подкреплению вырезов в пластинах при помощи двумерных накладок посвящено значительно меньшее количество работ,
В работе Н. Engeb, D. Zakharov, W. Becker [96] рассматривается усиление круглого отверстия в бесконечной анизотропной пластине с помощью
двусторонних эллиптических кольцеобразных накладок произвольного размера, приклеенных к пластине вдоль своих поверхностей. Задача решается в замкнутой форме при помощи представления комплексных потенциалов в виде специальных рядов внутри и вне усиливаемой области. Проводится сравнение с решением, полученным численно методом конечных элементов.
В работе Р.С. Tse, К J. Lau, W.H. Wong [115] исследуется усиление композитной панели с центральным круглым отверстием при помощи квадратной композитной накладки. Накладка имеет центральное круглое отверстие, совпадающее с отверстием в основной пластине, и приклеивается к пластине вдоль всей своей поверхности. Задача решается методом трехмерных конечных элементов.
В работе Р. Митчела, Р. Були, Д. Чвирута [28] рассматриваются задачи об усилении пластины с круговым вырезом или с круговым вырезом и двумя симметричными трещинами, отходящими от краев отверстия в радиальном направлении, при помощи прямоугольной накладки, приклеенной к пластине вдоль своей поверхности. Для решения задач применяется метод конечных элементов.
Задачи теории упругости для многолистных пластинчатых конструкций, к которым могут быть отнесены и некоторые задачи, рассматриваемые в этой диссертационной работе, исследовались в работах [32, 41-43, 56, 57, 62, 66-71, 76-78, 81].
В работах В.В. Сильвестрова и Г\Е. Чекмарева [56, 57, 66, 76-78] изучаются пакеты тонких бесконечных упругих пластин, соединенных между собой вдоль коллинеарных отрезков или вдоль дуг одной окружности. При заданных, вообще говоря, разных нагрузках на бесконечности каждой из пластин, исследуется напряженное состояние, мало отличающееся в каждой пластине от обобщенного плоского, находятся коэффициенты интенсивности напряжений (КИН) вблизи концов отрезков и дуг соединения. Исследования основаны на использовании комплексных потенциалов Колосова-Мусхелишвили и матричной краевой задачи Римана.
В работах В.В. Сильвестрова и А.В. Шумилова [67-71, 83] исследуются пакеты пластин, соединенных друг с другом вдоль одной окружности, концентрических окружностей, вдоль одной окружности и в отдельной точке, а также вдоль конечного числа разомкнутых кривых Ляпунова. В зависимости от вида кривой, вдоль которой пластины соединены между собой в пакет, используются методы матричной краевой задачи Римана, степенных рядов и интегральных уравнений. В результате, в замкнутой форме решена задача соединения тонких упругих пластин в пакет вдоль одной окружности и вдоль конечного числа концентрических окружностей. Исследовано напряженное состояние пластин и характер распределения напряжений на линиях соединения пластин. Решена явно задача соединения пластин в пакет вдоль окружности и в отдельной точке. Изучено' влияние точки соединения на распределение напряжений на линии соединения и обратно. Разработан метод решения задачи соединения пластин в пакет вдоль разомкнутых кривых. Доказана ее эквивалентность конечному числу задач теории упругости для отдельных, не связанных между собой, пластин с жесткими включениями вдоль линий соединения. Установлена связь между напряжениями и КИН в пластинах, находящихся в составе пакета, и соответствующими напряжениями и КИН в отдельных пластинах с жесткими включениями.
В работах В.В. Сильвестрова и И.А. Иванова [19, 63-65] рассматриваются периодические задачи теории упругости для пакетов пластин, соединенных вдоль коллинеарных отрезков, вдоль коллинеарных отрезков и в отдельных точках и вдоль разомкнутых кривых Ляпунова.
Указанными авторами метод краевой задачи Римана в сочетании с другими методами используется также для исследования напряженного состояния и решения соответствующих задач теории упругости для других типов многолистных пластинчатых конструкций (поверхностей): многолистной римановой поверхности с разрезами, соединяющими ее точки ветвления, берега которой принадлежат крайним листам [52—55, 58]; конструкции со сквозными разрезами вдоль коллинеарных отрезков,
образованной из нескольких пластин с одинаковыми разрезами путем наложения их друг на друга и соединения между собой отдельно верхних берегов соответствующих разрезов всех пластин и отдельно нижних берегов [59, 79] конструкции, образованной из нескольких пластин с одинаковыми коллинеарными разрезами, которые наложены друг на друга и соединены между собой только вдоль верхних берегов соответствующих разрезов (при этом нижние берега разрезов всех пластин никаким образом не контактируют между собой) [61, 75, 79]; слабоизогнутой винтовой поверхности [61].
В работе В.В. Сильвестрова [110] изучается многолистная пластинчатая конструкция со сквозным криволинейным разрезом, образованная путем наложения друг на друга нескольких одинаковых тонких однородных пластин с разрезами, одноименные берега которых соединены между собой. На берегах разреза задаются внешние усилия, а на бесконечности каждой пластины - напряжения, вращение и сосредоточенная сила, которые действуют в плоскостях пластин так, что все листы конструкции находятся в напряженном состоянии, мало отличающемся от обобщенного плоского. Методом интегральных уравнений устанавливается асимптотика напряжений вблизи концов разреза и находятся инвариантные Г-интегралы Черепанова. В отличие от одной отдельной пластины с разрезом, вблизи вершины которого интенсивность напряжений, имеющих степенную особенность порядка /4, зависит от двух действительных КИН, на рассматриваемой конструкции вблизи вершины разреза напряжения, хотя и имеют степенную особенность порядка Уг, но их интенсивность зависит от четырех КИН. В работе [60] указанным методом устанавливается порядок особенности напряжений вблизи вершины криволинейной щели в конструкции, образованной из двух бесконечных пластин, одна из которых разрезана вдоль заданной кривой, затем наложена и присоединена вдоль одного из берегов разреза к другой сплошной пластине.
Задачи, рассматриваемые в главе 4 данной диссертационной работы, можно также отнести к задачам о частично отсоединившемся круглом упругом включении в бесконечной пластине.
В работах P.B.N. Prasad, K.R.Y. Simha [105, 106] рассматриваются задачи об одной или двух трещинах между круглым упругим включением в бесконечной упругой пластине и самой пластиной. В определенных точках пластины действуют сосредоточенные силы, а на бесконечности - заданные напряжения. При помощи комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к краевой задаче Римана. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах трещин при различных напряжениях на бесконечности и различных размерах трещины.
В работе E.N. Theotokoglou, Е.Е. Theotokoglou [112] рассматривается задача взаимодействия частично отсоединившегося круглого упругого включения и прямолинейной, трещины в бесконечной пластине, подверженной действию заданных напряжений на бесконечности. Методом комплексных потенциалов Мусхелишвили задача сводится к одному сингулярному интегральному уравнению только по границе трещины. Интегральное уравнение решается методом механических квадратур. Находятся коэффициенты интенсивности напряжений в вершинах прямолинейной и межфазной трещин.
Технологические проблемы, связанные с проектированием различных тонкостенных пластинчатых конструкций, и проблемы их прочности изучаются в книгах [27, 74]. .
Для исследования и решения задач теории упругости, рассматриваемых в данной диссертационной работе, используются методы степенных рядов, конформных отображений, матричной краевой задачи Римана и сингулярных интегральных уравнений. Суть этих методов применительно к классическим задачам теории упругости изложена в монографиях Н.И. Мусхелишвили [30], М.П. Саврука [46], А.И. Каландия [21], А.С. Космодамианского [24], Г.Я. Попова [37], В.З. Партона и П.И, Перлина [35, 36], В.В. Панасюка,
М.П. Саврука, А.П. Дацышина [33], Л.А. Толоконникова и В,Б. Пенькова [72] и других.
В данной диссертационной работе рассматривается задача усиления и ремонта бесконечной пластины с вырезом при помощи двумерной накладки, присоединенной к пластине жестко вдоль одной или нескольких кривых. В качестве кривых могут выступать границы накладки и выреза или другие линии. При решении задачи делаются следующие основные предположения:
пластина и накладка (или составляющие их листы в случае главы 4) являются тонкими, упругими, однородными и изотропными;
все приложенные к пластине или накладке усилия расположены в срединной плоскости пластины и накладки и даны в расчете на единицу толщины пластины или накладки;
пластина и накладка между собой не касаются или касаются без трения и взаимодействуют только через линию (линии) соединения;
соединение пластины и накладки предполагается жестким, т.е. на линии (линиях) соединения выполняются условия непрерывности смещений с разных сторон линии и условия равновесия точек линии;
пространственный эффект концентрации напряжений на линии (линиях) соединения пластины и накладки и вблизи нее пренебрежимо мал; эффекты продольного изгиба пластины также пренебрежимо малы;
система «пластина - накладка» находится в обобщенном плоском напряженном состоянии.
При указанных условиях напряжения и смещения в каждой из областей, на которые пластина и накладка разбиваются линиями соединения, выражаются по формулам Колосова - Мусхелишвили [30] через две аналитические в соответствующих областях функции, которые и требуется найти.
В первой главе рассматриваются различные варианты ремонта пластины с круговым вырезом при помощи круглой накладки, как в случае совпадающих центров выреза и накладки (концентрический случай), так и в случае, когда центры выреза и накладки находятся в разных точках (эксцентрический случай).
В 1 дается постановка задачи об усилении пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки большего радиуса, присоединенной к пластине вдоль всей своей границы. На бесконечности пластины и на границе выреза действуют заданные напряжения. При помощи формул Колосова - Мусхелишвили в полярных координатах данная задача сводится к нахождению шести функции (комплексных потенциалов). Путем представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов, в 2 получены конечные системы линейных алгебраических уравнений для коэффициентов этих рядов, решения которых найдены в явной форме. Исследование напряженного состояния в пластине и накладке проводится в 3. Приводятся явные выражения для напряжений и смещений в пластине и накладке при отсутствии напряжений на границе выреза, находятся полярные углы, при которых напряжения в пластине и накладке достигают своих экстремальных значений. Рассматриваются примеры, приводятся фафики зависимости напряжений от упругих и геометрических параметров задачи.
В 4-6 решается задача о концентрической круглой накладке на круглом вырезе в случае соединения пластины и накладки вдоль некоторой концентрической с границами накладки и выреза окружности, вообще говоря, не совпадающей с ними. В 7-9 приводится решение задачи в случае соединения концентрической накладки с пластиной вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Обе задачи сводятся к решению конечных систем линейных уравнений, исследуется напряженное состояние в пластине и накладке, приводятся числовые примеры.
В 10 исследуется задача об эксцентрической круглой накладке на круговом вырезе в бесконечной пластине, присоединенной к пластине вдоль
всей своей границы. Для решения задачи используется конформное отображение концентрического кругового кольца в плоскости вспомогательной переменной на эксцентрическое круговое кольцо, образованное границами выреза и накладки. Данное отображение осуществляется дробно-линейной функцией [25] и его конкретный вид приведен в 11. При помощи представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов по введенной вспомогательной переменной задача сводится к решению бесконечной системы линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов. Доказывается квазирегулярность полученной системы, приводится достаточное условие существования ее единственного ограниченного решения, обеспечивающего законность всех операций со степенными рядами, проведенных при решении задачи. В 12 проводится сравнение с частным случаем концентрической накладки, рассмотренным ранее в 1 - 3. Приводятся числовые расчеты; для приближенного решения бесконечной системы линейных алгебраических уравнений применяется метод редукции..
В 13 рассматривается задача о соединении эксцентрической круглой накладки с пластиной с круглым вырезом вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. В 14 методом степенных рядов, используя конформное отображение, введенное в 11, задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Дается сравнение со случаем концентрического выреза ( 7 - 9), приводятся числовые расчеты ( 15).
Вторая глава посвящена изучению напряженного состояния, возникающего в бесконечной пластине с эллиптическим вырезом, усиленным конфокально расположенной эллиптической накладкой, под действием заданных нагрузок, приложенных на бесконечности пластины и на границе выреза, если она не является линией соединения. В 1 рассматривается соединение пластины с накладкой вдоль границы накладки. При помощи конформного отображения, осуществляемого функцией Жуковского [25, 30], и
метода степенных рядов задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений. Проводится исследование полученной системы, доказывается ее квазирегулярность. На численных примерах рассматривается распределение напряжений в пластине и накладке в случае эллиптического выреза ( 3) и предельном случае, когда эллиптический вырез вырождается в прямолинейную трещину ( 4). Для последнего случая строятся графики коэффициентов интенсивности напряжений, исследуется их зависимость от напряжений, приложенных к бесконечности пластины, размера накладки, отношения модулей сдвига пластины и накладки. В 5 формулируется задача о конфокальной эллиптической накладке, присоединенной к пластине вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Задача сводится к квазирегулярной бесконечной системе ( 6), приводятся числовые расчеты
(7).
В третьей главе рассматривается усиление бесконечной пластины с вырезом произвольной формы при помощи накладки, также имеющей произвольную форму и присоединенной к пластине жестко вдоль всей своей границы. Кривые, являющиеся границами выреза и накладки, предполагаются замкнутыми контурами Ляпунова, не имеющими между собой общих точек. Механическая постановка задачи дается в 1. На границе выреза и на бесконечности пластины действуют заданные напряжения, расположенные в плоскости пластины. В 2 по методике М.П. Саврука [46] выводятся интегральные представления комплексных потенциалов через скачки напряжений и производных от смещений на границе выреза и границе накладки. При помощи формул Колосова - Мусхелишвили задача сводится к системе трех сингулярных интегральных уравнений. Проводится исследование полученной системы на разрешимость. Доказывается теорема единственности решения рассматриваемой задачи. При помощи этой теоремы посредством сведения системы сингулярных интегральных уравнений к равносильной ей системе интегральных уравнений Фредгольма второго рода доказывается ее однозначная разрешимость. В 3 рассматриваются
численные примеры. Для приближенного решения системы сингулярных интегральных уравнений применяется метод механических квадратур [46]. Рассматривается ряд примеров для различных форм границ выреза и накладки. В четвертой главе решается задача о ремонте кругового выреза в пластине при помощи многолистной круглой вставки, имеющей тот же размер, что и вырез. Многолистная вставка состоит из набора круглых пластин одинакового размера, имеющих, вообще говоря, разную толщину и разные упругие постоянные, и наложенных друг на друга таким образом, что их границы совпадают. Решение задачи проводится для более общего случая, когда пластина также является многолистной, т.е. состоит из бесконечных пластин с одинаковым круговым вырезом, наложенных друг на друга так, что границы вырезов во всех пластинах совпадают. На бесконечности каждого из листов, составляющих пластину, действуют заданные напряжения и вращения. В 1 рассматривается соединение пластины с вставкой вдоль всей общей граничной окружности. Решение задачи строится методом степенных рядов, в явном виде выписываются выражения для комплексных потенциалов, приводятся выражения для напряжений в каждом из листов пластины и накладки, а также для смещений на линии соединения; рассматриваются примеры. В 2 дается постановка задачи в случае соединения многолистной пластины с многолистной накладкой только вдоль отдельных дуг общей граничной окружности. На свободных от соединения частях границ задаются значения внешних напряжений. При помощи формул Колосова -Мусхелишвили задача приводится к матричной краевой задаче Римана, которая затем в 3 сводится к самостоятельным краевым задачам Римана, строится решение этих задач. В 4 даны выражения для коэффициентов интенсивности напряжений на концах дуг соединения. Оказывается, что напряжения на концах дуг помимо традиционной степенной особенности порядка Уг имеют еще и осциллирующую особенность порядка z"/7, где /? -
некоторое действительное число; причем, в отличие от классического случая межфазной трещины, напряжения вблизи конца дуги соединения зависят от
2(m + n -1) коэффициентов интенсивности напряжении, где т - число листов
во вставке, а и - в пластине. В 5 дается сравнение частного случая задачи, когда пластина и вставка соединены вдоль всей граничной окружности, с результатами 1. Рассматриваются примеры в случае соединения пластины и вставки, состоящей из двух листов, вдоль одной дуги или вдоль двух симметрических дуг. Приводятся графики напряжений и коэффициентов интенсивности напряжений.
Для некоторых случаев проведено сравнение полученных в диссертационной работе результатов с результатами других авторов или с результатами, полученными автором иными методами. Решение задачи 1 главы 4 в случае т - п и одинаковых толщин и упругих постоянных й. = hJ+rn,
Vj =v-+m, Ц}-іЛ:+т составляющих пластину и накладку листов совпадает с
решением, полученным В.В. Сильвестровым, А.В. Шумиловым [67] для пакета бесконечных пластин, соединенных вдоль окружности. Результаты, полученные в 3 той же главы для частного случая т = 2, п = 0 сопоставлены с результатами В.В. Сильвестрова, О,А. Андреевой [62]. В ряде частных случаев, результаты данной работы сравниваются между собой. Проведено сопоставление результатов, полученных в случае эксцентрической накладки при z0 = 0 с соответствующими результатами в случае концентрической
накладки. Напряжения, вычисленные в главе 3 при помощи численного решения системы сингулярных интегральных уравнений методом механических квадратур в случаях круглой накладки на круглом вырезе и конфокальной эллиптической накладки на эллиптическом вырезе совпадают с соответствующими результатами глав 1 и 2 с точностью порядка 10~10 -10~15.
Отдельные результаты и работа в целом докладывались на Всероссийской научной конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2001, 2002); на Втором международном конгрессе студентов, молодых ученых и специалистов «Молодежь и наука - третье тысячелетие» (Москва, 2002); на Международной
научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики», посвященной 80-летию со дня рождения профессора JLA. Толоконникова (Тула, 2003); на II - V Всероссийских конференциях-фестивалях творчества студентов «Юность Большой Волги» (Чебоксары, 2000 - 2003); на XVII сессии Международной школы по моделям механики сплошной среды (Казань, 2004); на научном семинаре по механике деформируелюго твердого тела при Тульском государственном университете (Тула, 2005, руководитель ~ профессор Маркин А.А.); на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2001-2005, руководитель -профессор Сильвестров В.В.).
Основные результаты . диссертационной работы отражены в 20 публикациях [119-138].
Все приведенные в работе исследования проводились в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 98-01-00308, 01-01-00720, 04-01-00160).
Автор выражает большую благодарность научному руководителю профессору В.В. Сильвестрову за постоянное внимание к работе и ценные советы.
Исследование напряженного состояния и числовые расчеты
Напряжения в пластине и накладке при p(t) = 0. Если граница выреза свободна от напряжений, то все коэффициенты Лп = 0. Тогда из формул (1.2.4), (1.2.11) получим следующие представления для комплексных потенциалов: . . остальные коэффициенты определяются из (1.2.11). Тогда напряжения в точке z = re & eSk пластины или накладки согласно (1.1.3) находятся по формулам: Углы, при которых достигаются экстремальные значения напряжений. Определим, при каких значениях полярного угла в напряжения сг,, сгв, тг9 на окружности \z\=r достигают своих экстремальных значений. С этой целью, опустив ради удобства аргументы и индексы у напряжений, запишем формулы (1.3.2) в виде зависящие от полярного угла 9 действительные коэффициенты и сх =4r 2a_2k -r b_4k - остальные неизвестные постоянные a2k, a_n , b0k, b_4k, как видно из формул (1.2.11), прямо пропорциональны числу Г с действительными коэффициентами пропорциональности, то с} - d}V, где dj - некоторые действительные числа. Следовательно, crr =at + dy [r [Ree (afr+2S), ст0 = а2 + d21ГI КееПащГ+20), тга = а3 + d31Г11т ?фГбГ+ад и на окружности j z \ = г напряжения сгг ав достигают своих экстремальных значений при полярных углах #,=-jargr и в2 - (;r-argr ), а напряжение тг0 - при 6 3=(;г-2агёГ) и#4=-!(лг + 2аг8П). Таким образом, на каждой окружности \z\=r экстремальные значения напряжений достигаются в точках, имеющих одни и те же полярные углы #,, в2 или #3, #4, которые не зависят ни от полярного радиуса этих точек, ни от упругих и геометрических параметров пластины и заплатки, а зависят только от argf, т. е. от действующих на бесконечности силовых параметров. Далее для нахождения экстремальных значений напряжений в каждой из областей Sk надо в формулах (1.3.2) положить в = ву, 9 = Э2 или 0 = #3 в = в4 и у полученных степенных функций от полярного радиуса г найти экстремальные значения при изменении г в пределах, определяемых выбранной областью Sk. а также формулами (1.1.3), (1.3.1).
После элементарных преобразований получим равенства Числовые расчеты. Пусть пластина и накладка, толщина которой вдвое меньше толщины пластины, имеют упругие постоянные // = 40МПа, v = 0.37 и jU0 =174.2МПа, v0 = 0.22 соответственно. Радиусы выреза и накладки относятся как 1:2. На бесконечности на пластину действует только растягивающее напряжение а =сгМПа или только сдвигающее напряжение т ,=стМПа (в расчете на единицу толщины пластины). Все остальные исходные силовые параметры нулевые. и L0 до приложения нагрузок. Для наглядности смещения точек линий L и LQ взяты с коэффициентом /(2ой0). Рис. 1.2, а соответствует случаю т 0, рис. 1.2, б - случаю г, 0. На рис. 1.3 для случая приложения к пластине только нагрузки сг = а приведены графики напряжений аг, тгв и о0 на верхней половине линии соединения L0 как со стороны пластины, так и со стороны накладки в зависимости от полярного угла в (0 9 л). На нижней половине линии 0 { тг 9 0) напряжения распределены симметрично. Здесь и далее, цифрами 1 и 2 обозначены графики напряжений со стороны частей S{ и S2 пластины, цифрой 3 - графики напряжений со стороны накладки 50, цифрой 4 - графики напряжений в случае классической задачи растяжения бесконечной пластины со свободным от напряжений вырезом \z\ R под действием отдаленной нагрузки, цифрами 5 и 6 - графики напряжений на L0 изнутри и извне соответственно в случае заклеивания кругового выреза радиуса R0 заплаткой того же радиуса. Как следует из рис. 1,3, наличие кругового кольца Sx в рассматриваемой задаче уменьшает концентрацию напряжений на линии соединения LQ со стороны накладки (график 3) по сравнению со случаем заделки выреза радиуса RQ заплаткой того же радиуса (график 5), т. е. Sy играет роль ребра жесткости. На рис. 1.4 представлены графики растягивающего напряжения ав на границе выреза L при т" =ег (рис. 1.4, а) и т =сг (рис. 1.4, б). Сплошной линией показаны графики т0 на границе выреза при усилении его накладкой, пунктирной линией - при отсутствии накладки. Напряжения тг и тгв на L равны нулю априори. Как следует из рисунка, в рассматриваемом примере наличие накладки уменьшает концентрацию напряжения ав на границе выреза в несколько раз. На рис. 1.5 приведены графики максимального по абсолютной величине значения растягивающего напряжения а9 в пластине на границе выреза при усилении его накладкой в зависимости от отношений RQ/R (рис. 1.5, а\ hlhQ (рис. 1.5, б), /////0 (рис. 1.5, в) - радиусов, толщин и модулей сдвига накладки и пластины. Линии 1 на рисунке - графики при нагружении пластины напряжением rj - т, линии 2 - напряжением г" = ar.
В отсутствие накладки тах\ст0 на границе выреза равен Зсг при с" =ег и равен 4сг при г = г. При сг = т максимальное значение а9 достигается в точках с полярными углами в = ±л12 а при т ==ст - в точках с полярными углами в ±тг14 и Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи концентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль концентрической окружности 4.1. Механическая постановка задачи. Пусть, как и ранее, на тонкую упругую пластину S с круговым вырезом, занимающую на комплексной плоскости z = x + iy область \z\ R, наложена тонкая упругая круглая накладка S0:\z\ RQ . Пластина и накладка соединены жестко вдоль некоторой окружности i,: j z j= R{ (R Rl R0). Упругие параметры пластины и накладки и заданные на со пластины напряжения совпадают с соответствующими параметрами 1 этой главы. На границе L: \ z j= R выреза и границе L0:\z\= R0 накладки действуют, расположенные в плоскостях пластины и накладки, заданные нормальное аг и касательное тгв напряжения: На линии соединения Lx имеет место непрерывность смещений точек пластины и накладки, и равенство суммарных сил, действующих на точки линии со стороны пластины и накладки, соответственно справа и слева от этой линии: смещений; нижние индексы 1 и 2 соответствуют внутренней Sl:R \z\ Rl и внешней S2 -\z\ Rl частям пластины, на которые она разбивается линией соединения Ц; индексы 3 и 4 - соответственно внутренней 53 : z Rl и внешней S4 : /?, z RQ частям накладки. Требуется определить напряженное состояние, возникающее в пластине и накладке под действием напряжений, приложенных к границам выреза и накладки, а также к пластине на бесконечности. через две аналитические в Sh функции &k(z), xVk(z)-no формулам (1.1.3). Поведение функций Ф2( ), г(г) в окрестности со по-прежнему определяется условиями (1.1.4), где есть главный вектор внешних усилий, приложенных к границам выреза и накладки.
Исследование напряженного состояния и числовые примеры
Согласно формулам (1.8.7) и формулам Колосова - Мусхелишвили [30] (ffr + r ) 0O = 4Re V0O, K- +2/rr(?)t(2) = 2 (z "(z) + (z)), напряжения в полярных координатах г, в в точке z =re e eSk пластины или накладки находятся по формулам а остальные коэффициенты с t, с? находятся из систем (1.8.2) и (1.8.3). Для рассматриваемого способа соединения пластины и накладки также остаются в силе все выводы п. 2 3. Для нахождения смещений точек линий соединения L и L0 воспользуемся формулами (1.7.3) и формулами (1.8.7). После элементарных преобразований получим Числовые примеры. Пусть упругие и геометрические параметры пластины и накладки совпадают с соответствующими параметрами п. 3 4. На бесконечности в пластине действует только сдвигающее напряжение т у = гМРа (в расчете на единицу толщины пластины). Все остальные исходные силовые параметры-нулевые. . На рис. 1.11 сплошными линиями изображены кривые, в которые деформируются границы выреза L и накладки L0, а штриховыми линиями - их исходные положения до приложения нагрузки. Для наглядности смещения точек линий L и LQ взяты с коэффициентом JU/(2TR0). На рис. 1.12 приведены графики напряжений етг, гґв, тв изнутри и извне линии соединения L как со стороны пластины, так и со стороны накладки в зависимости от полярного угла 9 (0 $ л"). На нижней половине линии L { к в 0 ) напряжения распределены симметрично. Здесь и далее цифрами к = 1,4 обозначены графики напряжений1 со стороны областей Sk, а цифрой 5 графики напряжений в случае классической задачи растяжения пластины со свободным от напряжений вырезом z /? под действием отдаленной нагрузки г = т. На всех графиках значения напряжений взяты с коэффициентом г-1. На рис. 1.13 приведены графики максимальных по абсолютной величине значений напряжения ав в пластине и накладке в зависимости от отношения г IR полярного радиуса к радиусу внутренней линии соединения (а) и графики максимального значения того же напряжения \а$\ на линиях соединения 1и10в зависимости от отношения RQ/R радиусов накладки и исходного выреза (б), от отношения hlh0 толщин пластины и накладки (е) и от отношения ці//0 модулей сдвига пластины и накладки (г). Во всех случаях max [ а9 j достигается в точках с полярными углами в — ±я74 и в = ±3я74. В отсутствие накладки max ав [ на границе L свободного от напряжений выреза z \ Ry равен 4г.
Пусть на тонкую упругую бесконечную пластину S толщины h с вырезом круговой формы наложена и жестко присоединена вдоль всей своей границы тонкая упругая круглая накладка S0 толщины /?0) полностью покрывающая вырез и расположенная так, что центры выреза и накладки, вообще говоря, не совпадают (рис. 1.14). В плоскости комплексной переменной z = х + iy пластина S занимает внешность окружности l:\z-z0\=r, а накладка S0 - внутренность окружности 10:\Z{-RQ (R0 r+]z0 j). Без ограничения общности можно считать, что центр выреза z = z0 расположен на действительной оси, причем z0 0. Пластина и накладка являются однородными, изотропными и имеют модули сдвига и коэффициенты Пуассона /у, v и //0, vQ соответственно. оси углы а и ал-п1Ъ соответственно; вращение на бесконечности пластины отсутствует. На границе выреза действуют заданные внешние усилия где Хп и Yn - горизонтальная и вертикальная компоненты вектора внешних напряжений, действующих на касательную площадку к линии / в точке t. Все напряжения, здесь и далее, берутся в расчете на единицу толщины пластины или накладки. На линии соединения /0 выполняются условия равенства смещений точек пластины и накладки и условие равновесия где (u + iv)(t) - вектор смещения точки t є /0 пластины или накладки, индексы 0, 1 и 2, здесь и далее, соответствуют значениям того или иного параметра со стороны накладки SQ, кольцевой части S{ пластины, расположенной между окружностями /, /0 и части S2 пластины, расположенной вне окружности /0. Считаем, что в системе «пластина - накладка» реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, которое и требуется определить. В этом параграфе путем введения вспомогательной переменной и представления комплексных потенциалов в виде степенных рядов по этой переменной задача сводится к бесконечной системе линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов рядов, доказывается ее квазирегулярность и приводится достаточное условие существования единственного ограниченного решения системы. отобразим эксцентрическое кольцо S{ на концентрическое так, чтобы окружность /0 перешла в себя. Пусть некоторая точка zx = с, расположенная внутри окружности /, переходит при отображении g = w(z) в начало координат д- О. Тогда симметричная ей точка z2=R0 /с относительно окружности /0 перейдет в точку г = э. Окружность / при данном отображении перейдет в окружность с центром в начале координат, если точки 2j и г3 являются симметричными и относительно окружности /, откуда, учитывая неотрицательность значения z0i находим: Таким образом, конформное отображение эксцентрического кольца Sl на концентрическое имеет вид Функция 2 = со(д) отображает конформно круг .S : ./ на круг S0 : j z \ RQ, концентрическое кольцо S, : R \g\ R0 (R = (c-20)/(rc)) на эксцентрическое кольцо : \z-z0 \ r, \Z\ RQ И область S 2:\g\ R0 на область S2:\z\ R ) (рис. 1.15). При этом окружности /0:Z=/?Q соответствует окружность L0:\g\=R0, а окружности I:\z-z0\ r -окружность L: \ д= R. сходящиеся равномерно в области д \ ЩI с, в том числе и на окружности L0. Предположим, что ряды (1.11.6) сходятся равномерно в соответствующих областях Sk вплоть до их границ и допускают почленное дифференцирование, причем полученные при этом ряды также сходятся равномерно. Достаточные условия на исходную функцию g(0), обеспечивающие правомерность разложения ее в равномерно сходящийся ряд Фурье и выполнение наложенных на ряды (1.11.6) условий, будут приведены позже. При выполнении этих условий, подставив ряды (1.11.6) и (1.11.11) в условия (1.11.7) - (1.11.9) и учитывая представления (1.11.13), (1.11.14), получим для нахождения неизвестных коэффициентов спк, dnk рядов, кроме свободных членов си, d0k, бесконечную систему линейных алгебраических уравнений, первые из которых имеют вид.
Задача о ремонте пластины с круговым вырезом при помощи эксцентрической круглой накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы и границы выреза
Рассмотрим, аналогично 10, бесконечную пластину S. с вырезом круговой формы и круглую накладку S0, расположенную эксцентрическим образом. Упругие и геометрические параметры пластины и накладки, а также напряжения, действующие на бесконечности, те же, что и ранее. В отличие от задачи, рассмотренной в 10 пластина и накладка соединены одновременно вдоль двух окружностей: границы выреза l:\z z0\=r и границы накладки Линиями соединения пластина и накладка разбиваются на области соответственно. На линиях соединения /. и /0 .выполняются условия равенства смещений точек пластины и накладки и условия равновесия где индексы к - 1, 4 соответствуют значению того или иного параметра со стороны области Sk. Считаем, что в системе «пластина - накладка» реализуется обобщенное плоское напряженное состояние, которое и требуется определить. Вид комплексных потенциалов. Отображение, заданное формулой (1.11.2), конформно переводит концентрическое кольцо iS\ : R д \ Я0 (R = R$(С - z0)/(rc)) в эксцентрическое кольцо Sl: \z-zQ\ r, I z RQ , область S2 j g \ R0 в область S2: \ z \ R0, круг S : g j R в круг S2: \ z - zQ \ r, а концентрическое кольцо 5 : R ]g\ R0 в эксцентрическое кольцо S4: Sz-z0 /% \z\ R0. При этом, как и ранее, окружности /0 : г = RQ соответствует окружность Х0 : д\= R0, а окружности l:\z z0\ r - окружность L:\g\ R. элементы матрицы Н„ и компоненты вектора Ь„, убывающие при п — оо быстрее, чем п 2, конкретный вид которых для дальнейших рассуждений не существенен. Следовательно [22], при любых допустимых значениях геометрических и упругих параметров система, составленная из уравнений (1.7.9), (1.14.4) выделением их вещественных частей и из систем Нпх = Ъп (« = 3,4,...), является квазирегулярной относительно действительных частей неизвестных (1.14.8). Аналогичное утверждение справедливо и для системы, полученной из уравнений (1.7.9), (1.14.4), (1.14.5) выделением их мнимых частей, значит, для системы (1.7.9), (1.14.4), (1.14.5) в целом. В силу вида векторов Ь„ (я = 3,4,.-..) система (1.7.9), (1.14.4), (1.14.5) относительно неизвестных (1.14.8) имеет единственное ограниченное решение, которое можно приближенно найти методом редукции или методом последовательных приближений [22]. Данное решение в силу ограниченности чисел (1,14.8) удовлетворяет неравенствам 7V = const 0, и = ±1,±2.
Выполнение условий (1.14.9) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость рядов (1.14.1) в соответствующих областях S k (к = 1,4) и на их границах, а также возможность почленного дифференцирования этих рядов. Таким образом, все произведенные в ходе решения задачи действия с рядами (1Л 4.1) корректны. Замечание. В случае, если центры выреза и накладки совпадают, т.е z0=0, система (1.7.9), (1.14.4), (1.14.5) принимает более простой вид, в точности совпадающий с полученным в. 8 методом степенных рядов (системы (1.8.2)-(1.8.5)). В данном разделе, как и ранее в 12, рассмотрим пластину и накладку с одинаковой толщиной h=kQ и упругими параметрами // = 73МПа, v = 0.42 и /i0 - 40МПа, v0 = 0.37 .Радиусы выреза и накладки равны г и R0 = 2r, центр выреза находится в точке z0 = 0.5r. На бесконечности действует растягивающее напряжение ах - а, приложенное к пластине под углом 45 к положительному направлению действительной оси. Остальные силовые параметры задачи равны нулю. На рис. 1.22 сплошными линиями изображены кривые в которые деформируются граница выреза / и граница накладки /0. Штриховые линии соответствуют положениям линий I и /0 до приложения нагрузки. Для наглядности смещения точек линий /, !0 взяты с коэффициентом ///(8 тг). На рис. 1.23 приведены графики напряжений 7„, тп и as на границе выреза и границе накладки в зависимости от полярного угла 9 (0 0 2я). На всех рисунках цифрами 1, 2, 3 и 4 обозначены графики напряжений со стороны областей Sk, а цифрой 5 - графики напряжений в пластине с круглым вырезом при отсутствии накладки. Напряжения ап и тп на границе выреза / при отсутствии накладки равны нулю. Как видно из этих графиков, накладка значительно уменьшает концентрацию напряжения crs на границе выреза. приведены графики максимальных по абсолютной величине значений напряжений на границе выреза и границе накладки в зависимости от угла а направления растяжения пластины напряжением сг,=сг на бесконечности (рис. 1.24) и от отношения A = z0/r. расстояния между центрами выреза и накладки к радиусу выреза (рис. 1,25).
Во всех этих случаях геометрические, упругие и силовые параметры задачи, за исключением одного изменяющегося параметра а или Д взяты такими же, как и выше. В случае отсутствия накладки тах т /сг на границе выреза равен 3 и не зависит от значений параметров а и Д. В табл. 1.3 для некоторых значений угла а при указанных выше фиксированных значениях остальных параметров приведены значения полярных углов 9, при которых достигаются максимальные напряжения на границе выреза и границе накладки, а также значения этих напряжений. Как и В данной главе изучается напряженное состояние тонкой упругой бесконечной пластины с эллиптическим вырезом, на который наложена полностью покрывающая его софокусная эллиптическая накладка. Рассматриваются два способа соединения пластины и накладки: 1) только вдоль границы накладки и 2) вдоль границы выреза и границы накладки одновременно. Аналитическими методами находятся комплексные потенциалы Мусхелишвили, исследуется концентрация напряжений на линии соединения накладки с пластиной и на границе выреза. 1. Задача о ремонте пластины с эллиптическим вырезом при помощи конфокальной эллиптической накладки, присоединенной к пластине вдоль своей границы Пусть на тонкую упругую бесконечную пластину S толщины h с эллиптическим вырезом наложена и жестко присоединена вдоль всей своей границы тонкая упругая эллиптическая пластина S0 толщины «0, полностью покрывающая вырез и расположенная конфокально с ним (рис. 2.1). В плоскости комплексной переменной z x + iy пластина S занимает внешность эллипса /: х2 /а2 + у2 /Ь2 =1 (а Ь), а накладка SQ - внутренность эллипса /0 : х21а\ +у2 /02-.= \ (а0 Ь0,-а0 а). Фокусы z = +с эллипсов / и /0 совпадают: а2 -Ь1 -а —Щ =с2. Пластина и накладка являются однородными, изотропными и имеют модули сдвига и коэффициенты Пуассона /л, v и //0, v0 соответственно.
Распределение напряжений в пластине и накладке
Достаточное условие существования ограниченного решения системы. Если в случае R 1 компоненты векторов bn (« = 4,5,...) ограничены одной и той же постоянной, а в случае R = 1 они при п — со убывают как l/и, то система (2.2.5), (2.2.6) относительно неизвестных (1.11.20) имеет единственное ограниченное решение, которое можно приближенно найти методом редукции или методом последовательных приближений [22]. Приведем одно достаточное условие, обеспечивающее справедливость сказанного. Пусть R 1 и функция g{9) в интеграле (1.11.10) дважды непрерывно дифференцируема на отрезке [0,2ж\, удовлетворяет условиям g(m)(0) = g {27u), m = 0,1,2, и имеет третью производную, удовлетворяющую на этом отрезке условию Дирихле, Тогда коэффициенты Фурье (1.11.12) этой функции удовлетворяют неравенствам Вп М[«-4, Af = const 0, и О и для коэффициентов ряда (1.11.11) справедливы неравенства ] Ап \ MR \ п 5, п Ф 0, откуда следует ограниченность векторов Ьл, следовательно, и решения системы (2.2.5), (2.2.6) относительно неизвестных (1.11.20). В случае R \ для справедливости последнего утверждения достаточно, чтобы функция g(9) была трижды непрерывно дифференцируемой на отрезке [0,2л-], имела удовлетворяющую условию Дирихле четвертую производную и gim)(0) = g )(2 ), т - 0, 1, 2, 3. При наложенных выше условиях на функцию g(6) бесконечная система (2.2.5), (2.2.6) имеет единственное решение спк, dnk, которое в силу ограниченности чисел (1.11.20) удовлетворяет неравенствам (1.11.21). Выполнение условий (1.11.21) обеспечивает абсолютную и равномерную сходимость рядов (2.2.2) - (2.2.4) в соответствующих областях SI (к = 0,1, 2) и на их границах, а также возможность почленного дифференцирования этих рядов. Таким образом, все произведенные в ходе решения задачи действия с рядами (2.2.2) - (2.2.4) корректны. Напряжения ул, сгу, т в точке zeSk находятся по формулам (1.12.1), где g = (z + -Jz2 -с2)(с и функции q {(д), ц/ к(д) даются рядами (2.2.2) -(2.2.4), коэффициенты которых находятся из системы уравнений (2.2.5), (2.2.6) и равенств (2,2.8), (2.2.9). В силу неравенств (1.11.21) члены рядов, через которые выражаются производные р\ (g), р к"{д) и у/1 (д) убывают при и—»оо как п-4, ггъ и п 2 соответственно независимо от расположения точки д є SI. С учетом этого в числовых расчетах брались усеченные ряды с 15 и 25 членами, которые приводят к усеченным системам (2.2.5), (2.2.6) порядков 132 и 212 соответственно.
Исследования показали, что получаемые при этом решения систем для достаточно широкого спектра параметров задачи отличаются друг от друга не более, чем на Ю 6. В качестве примера, в табл. 2.1 приведены значения некоторых коэффициентов с_пг1( ?с) усеченного ряда (2.2.4) для функции (р\(д) с 15-ю и 25-ю членами соответственно, когда пластина и накладка имеют одинаковую толщину h = h0, их упругие параметры равны // = 73МПа, v = 0.42 и //0=40МПа, v0=0.37 соответственно, и пластина на бесконечности растягивается напряжением ах сг под углом 45 к действительной оси при нулевых остальных силовых данных. Большие полуоси эллипсов, служащих границами выреза и накладки, равны а -1.1с и а0=1.2с соответственно. В данном случае все коэффициенты рядов (2.2.2) - (2.2.4) с четными индексами «, в силу однородности системы (2.2.5), (2.2.6) относительно них, будут нулями. Расчеты проводились в пакете Mathcad 2001 с точностью Ю-15. На рис. 2.3 для тех же геометрических, упругих и силовых данных изображены кривые (сплошные линии), в которые деформируются граница выреза / и линия соединения 10 накладки с пластиной. Для наглядности смещения точек линий /, /0 взяты с коэффициентом fj/(8 rc). На рис. 2.4 приведены графики напряжений на верхней половине границы выреза и линии соединения в зависимости от полярного угла 0 (О 0 тг).-На первом рис. 2.4 а пунктирной линией изображен график нормального напряжения rs, действующего на нормальную площадку к границе выреза / в точке z -acosd + ibs mG при наличии накладки, а сплошной линией — график этого же напряжения при отсутствии накладки. Как видно из этих графиков, накладка уменьшает концентрацию напряжения На рис. 2.5 - 2.7 приведены графики максимальных по абсолютной величине значений напряжений на границе выреза (рис. а) и линии соединения (рис. б, е, г) в зависимости от угла а направления растяжения пластины на бесконечности (рис. 2.5), от отношения Д = (а0 -а)/с (рис. 2.6) и отношения //+ = //0 /// модуля сдвига накладки к модулю сдвига пластины (рис. 2.7). Во всех этих случаях геометрические, упругие и силовые параметры задачи, за исключением одного изменяющегося параметра а, или Д, или ft,, взяты такими же, как и выше.
Как видно из графиков, изображенных на рисунках а, при подкреплении пластины накладкой для всех значений параметров а, А, // имеет место уменьшение max\crs\/cr на границе выреза по сравнению со случаем пластины без подкрепления. В случае отсутствия накладки maxjcrj/cr на границе выреза при растяжении Изучим более подробно случай, когда эллиптический вырез пластины вырождается в трещину [ с, с], которой при конформном отображении z co(g) в плоскости вспомогательной переменной д соответствует окружность L: \ д \= 1. В этом случае все комплексные потенциалы q)k(z) = pl(g), у/k(z) - у/\(д) ( = 0,1,2), кроме y/x(z), аналитичны в соответствующих областях Sk и непрерывны на их границах, включая и точки z = ±c в случае Sj. Как функция y/\iz) = W(?) так и производная (p\{z) -(р\ (g)/о) (д) имеют в точках z = ±c степенные особенности порядка Vi, так как о) (д) = с(\-д-2)/2 = g x z2-c2 . Тем не менее, смещения вершин z =+с трещины, определяемые по первой формуле (1.11.5), конечны, так как в этой формуле два последних слагаемых вместе ограничены в точках z = +с. На рис. 2.8 для принятых в предыдущем разделе параметров задачи, кроме а = с и л0=1.1с, изображены кривые (сплошные линии), в которые деформируются трещина / = [-с, с] и линия соединения /0. Пунктирные линии соответствуют исходным положениям трещины и линии /0. Расчеты показали, что наибольшее раскрытие трещины равно 9.846 10-5 ест/// и оно имеет место в ее средней точке z-0. Заметим также меньшее (примерно в 1.21 раза) смещение точек линии соединения /0 по сравнению со случаем эллиптического выреза (рис. 2.3). Особый интерес представляет влияние накладки на интенсивность напряжений вблизи вершины трещины. Ясно [47], что они там имеют традиционную степенную особенность порядка Уг и их интенсивность определяется двумя коэффициентами кх, к2 для нахождения которых имеем откуда с учетом равенства p\z) = gq l (g)l z1 -с2 находим ( 1-А2)(±с) = ±2л/я7ёр,"(±1)-. На рис. 2.9 приведены графики коэффициентов интенсивности напряжений в правой вершине трещины z = с в зависимости: а) от отношения Д = а0 /с большей полуоси эллиптической накладки к полу длине трещины, б) от относительной жесткости 7? = (/г0//0)/(/?//), когда берега трещины свободны от напряжений и на бесконечности пластины действует только одно растягивающее напряжение стх - а под углом 45 к действительной оси и в) от угла а направления действия растягивающего напряжения сг, = а.
