Введение к работе
Актуальность темы. Прочность и долговечность композиционных материалов во многом зависит от наличия в них дефектов в виде трещин, включений, зон предразрушения и других механических повреждений. Они представляют собой концентраторы напряжений и при дальнейшей эксплуатации материала могут привести к его локальному или полному разрушению. Такие дефекты появляются в материале как в процессе его изготовления, так и в процессе эксплуатации, причем чаще всего из-за разности упругих свойств сред, составляющих композит, и включений. Учет наличия таких дефектов необходим для описания напряженно-деформированного состояния материала, как в окрестностях наиболее опасных точек относительно возможного появления и развития трещин, так и всего материала в целом.
К настоящему времени достаточно полно изучено влияние дефектов в виде трещин и тонких жестких остроконечных включений, полностью соединенных со средой, на напряженное состояние однородного и кусочно-однородного материала. Результаты этих исследований широко представлены в монографиях Н.И. Мусхелишвили, Л.Т. Бережницкого, Н.Г. Стащука, В.В. Панасюка, Н.Ф. Морозова, Г.Я. Попова, М.П. Саврука, Е.М. Морозова, В.З. Партона, Г.П. Черепанова, а также в статьях А.А. Каминского, И.В. Симонова, С. Atkinson, М. Comninou, J. Dundurs, F. Erdogan, J.R. Rice, J.R. Willis и др. Кусочно-однородное изотропное и анизотропное упругое тело с трещиной на линии раздела сред, один берег которой полностью усилен жесткой накладкой, а другой свободен от контакта с накладкой или контактирует с ней со скольжением, изучено в работах Г.П. Черепанова, Г Я. Попова, В.Н. Акопяна, В.В. Сильвестрова, И.И. Ильиной, R.A. Ballarini, Т.А. Homulka, L.M. Кеег, X. MarkenscoffH др. Однородная упругая среда с трещиной, берега которой частично или полностью усилены жесткими накладками, и соответствующая смешанная задача теории упругости рассмотрены в работах Д.И. Шермана, Н.И. Мусхелишвили, Б.М. Нуллера, Э.И. Зверовича, Л.А. Корзан, А.В. Саакяна, Д.И. Бардзокаса, СМ. Мхитаряна. В то же время, такие исследования в случае кусочно-однородной среды с трещиной, особенно, расположенной на линии раздела сред, вовсе отсутствуют.
Цель работы:
решение смешанной краевой задачи теории упругости для кусочно-однородного тела с полубесконечной межфазной трещиной, к одному из берегов которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, присоединена жесткая накладка;
анализ напряженного состояния тела вблизи критических к разрушению точек и нахождение параметров разрушения;
исследование влияния упругих, силовых и геометрических параметров задачи на напряженное состояние тела.
Методы исследования. С помощью формул Колосова-Мусхелишвили для кусочно-однородной плоскости в интерпретации Г.П. Черепанова механическая задача сводится к матричной краевой задаче Римана с кусочно-постоянным коэффициентом на луче. Решение последней находится явно методом гипергеометрической функции Гаусса в общем случае и методом римановых поверхностей в случае однородной плоскости.
Научная новизна полученных результатов:
развитие метода решения смешанных краевых задач теории упругости для кусочно-однородного тела с разрезом по линии соединения материалов, основанного на применении гипергеометрической функции;
решение в явной форме задачи о полубесконечной межфазной трещине с жесткой накладкой (прямолинейной и криволинейной) на части ее берега;
решение методом римановых поверхностей соответствующей задачи для однородной плоскости;
анализ напряженного состояния тела и нахождение коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки; изучение их зависимости от упругих параметров среды, внешних нагрузок, длины и формы накладки.
Достоверность полученных результатов обеспечивается строгостью постановок краевых задач и математических методов их решения, совпадением решений задачи, полученных разными методами в однородном случае, и совпадением решений в ряде других частных случаев с известными решениями.
Теоретическая ценность работы состоит в обосновании методов решений плоской теории упругости, основанных на использовании типергеометрическои функции Гаусса и римановых поверхностей, на случай кусочно-однородного тела с разрезами по линии раздела сред, а также в решении и анализе решения задачи о межфазной трещине с жесткой накладкой на части ее берега.
Практическую ценность представляют аналитические формулы для угла поворота накладки и коэффициентов интенсивности напряжений.
На защиту выносятся следующие положения:
- решение задачи о полубесконечной межфазной трещине, к верхнему бере
гу которой на конечном промежутке, примыкающем к вершине трещины, иде
ально жестко присоединена жесткая прямолинейная накладка (метод решения
задачи и построение самого решения);
- решение задачи для случая криволинейной накладки и результаты иссле
дований по влиянию формы накладки на напряженное состояние тела;
решение соответствующей задачи в случае однородной среды (метод решения задачи и построение самого решения);
формулы для нахождения угла поворота накладки;
асимптотические выражения напряжений и аналитические формулы для коэффициентов интенсивности напряжений вблизи концов накладки.
Апробация работы. Отдельные результаты и работа в целом докладывались на VII Всероссийской научной конференции с международным участием «Математическое моделирование и краевые задачи» (Самара, 2010), на международной конференции «Актуальные проблемы прикладной математики, информатики и механики» (Воронеж, 2010), на IX молодежной научной школе-конференции «Лобачевские чтения» (Казань, 2010), на международной научной конференции «Современные проблемы математики, механики, информатики» (Тула, 2010), на XXXVII международной молодежной научной конференции «Гагаринские чтения» (Москва, 2011), на семинарах кафедры математического анализа и дифференциальных уравнений Чувашского государственного университета (Чебоксары, 2008-2010), на семинаре по механике деформируемого твердого тела при Чувашском государственном педагогическом университете (Чебоксары, 2011).
Результаты диссертационной работы получены в рамках грантов Российского фонда фундаментальных исследований (проекты 07-01-00038, 10-01-00103).
Публикации. Основное содержание диссертации изложено в девяти работах, семь из которых написаны в соавторстве с В.В. Сильвестровым.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 16 параграфов, заключения и списка литературы из 134 наименований. Содержит 21 рисунок и 3 таблицы. Общий объем работы 98 стр.
