Введение к работе
Актуальность темы. Субгармонические функции составляют один из важнейших классов функций, широко используемых как в комплексном анализе, так и в вещественном. Они тесно связаны с аналитическими гармоническими функциями и играют существенную роль в общей теории потенциала и математической физике.
Впервые субгармонические функции были введены в рассмотрение в начале 20-го столетия в классической работе Ф.Гартогса .
Дальнейшее развитие теории субгармонических функций связано с осно-
9 "3 4
вополагающими работами Р.Неванлинны , Ф.Рисса , И.И.Привалова и других классиков комплексного и вещественного анализа. Различным аспектам теории субгармонических функций посвящены работы современных авторов. Среди них отметим, прежде всего, У.Хеймана, Е.Д.Соломенцева, Н.С.Ландкофа, А.Ф.Гришина, Б.Я.Левина, В.С.Азарина, Р.С.Юлмухаметова, Б.Н.Хабибуллина, К.Л.Аветисяна, А.М.Джрбашяна и др.
В последние десятилетия по теории классов субгармонических функций и теории потенциала опубликовано несколько монографий.
Приведём обзор некоторых результатов, тесно связанных с тематикой диссертационной работы. Для этого введём необходимые обозначения.
Пусть С - комплексная плоскость, D = iz є С: Ы < 11 - единичный круг на комплексной плоскости, Г - единичная окружность с центром в начале коорди-
Hartogs F. Zur Theorie der analytischen Functional mehrer unabhangiger Veranderlichen insbesondere Uber die Darstellung derselen durch Reihen IF. Hartogs //Velche nach potenzen einer Veranderlichen fortschreiben. Math. Ann. -1906.-Bol. 62.-P. 1-88.
2Неванлинна P. Однозначные аналитические функции I P. Неванлинна. - M.: ИМГИТТЛ, 1941. - 388 с. 3 Riesz F. Sur les fonctions subharmoniques et leur rapport a la theorie du potentiel IF. Riesz II Acta Math. - Vol. 48. -1926.-P. 329-343.
4Привалов И.И., Кузнецов П.И. Граничные задачи и различные классы гармонических и субгармонических функций, определённых в произвольных областях / И.И. Привалов, П.И. Кузнецов // Мат. сб. - 6(48):3 (1939). -С. 345-376.
нат, С+= {zeC:Imz> 0} - верхняя полуплоскость комплексной плоскости, С+р={гєС:Ьпг>р>0}.
Если G - некоторая область на комплексной плоскости, то через SH(G)
будем обозначать множество всех субгармонических функций в G.
В теории субгармонических функций важную роль играет следующая теорема Ф.Рисса о представлении. Сформулируем её в случае единичного круга.
Если и є SH(D), не равная тождественно -оо, то в D существует
единственная борелевская мера р, такая что u(z} допускает представление:
Kf-z)
,(z)=Jln
dp(C) + h(z), (1)
д.
r2-z
где z є Dr, Dr=iz\ \z\ < r\, /z(z) гармоническая в Dr функция.
Мера p является ассоциированной по Риссу. В дальнейшем её назовём представляющей мерой субгармонической функции и .
Естественно возникает вопрос: при каких ограничениях на субгармоническую функцию и представление вида (1) справедливо во всей области субгармоничности функции и .
Впервые такая задача была решена в работе Р.Неванлинны при условии m(z) = In /(z) и И.И.Приваловым в общем случае.
Для формулировки этого результата введём понятие характеристики Не-ванлинны для субгармонической в D функции. Пусть и є SH{D),
и+ = max (и, О), тогда:
1 п T(r,u) = — ju+(re1(p)d(p.
—л
Следуя И.И.Привалову, обозначим через А класс субгармонических в D функций и, для которых
sup71(r,w)<+oo. (2)
Тогда справедливо следующее утверждение.
Класс А совпадает с классом субгармонических в D функций, допускающих представление:
(z)=J-fhf^-rf/*(4;)+-U ':; 2Ф(е). О)
2л-г, 1-Cz zTrM-zrcos^fl — ^?J + г
1 ж і 2
где //()- произвольная неотрицательная борелевская мера в единичном круге, для которой
\(\-\ф^)<+*>.
>
і// - произвольная функция конечной вариации на [-я";я"].
В том случае, когда функция и имеет вид w(z) = ln\f{z) , ze D, где f -
аналитическая в D функция, представление (3) совпадает с формулой Пуассо-на-Иенсена для функций ограниченного вида .
Возникает задача о представлении субгармонических функций, для которых условие (2) не выполняется. То есть, вообще говоря, субгармонических функций и, не имеющих ограниченную характеристику, что равносильно отсутствию гармонической мажоранты.
Вопрос такого рода для случая, когда и имеет вид w(z) = In\f(z)\, f - го-
ломорфная в D функция, впервые был рассмотрен Р.Неванлинной .
Он рассмотрел классы Na голоморфных в D функций /, для которых
характеристика Неванлинны Г (г,/) удовлетворяет условию:
j(\-r)aT(rj)dr<+oo. (4)
Им было установлено следующее утверждение.
Пусть f eNa, а> -1, f(zk) = 0, f тождественно неравна нулю, тогда
5 Хейман У. Мероморфные функции / У. Хейман. - М: Мир, 1966. - 447 с.
a+2
Z(Hz*l)e <+G0-
k=\
(5)
Полное описание корневых множеств и факторизационное представление этого класса функций были получены в работах М.М.Джрбашяна и Ф.А.Шамояна . Приведём эти результаты.
М.М.Джрбашяном было установлено, что, если f є Na, то f допускает
представление
f{z) = Kazmna{z,zk)fsxpga{z), zeD, (6)
где Ка - комплексная постоянная, т - порядок нуля функции f в начале координат.
na{Z>Zk) = Y[A*(Z>Zk\ Z&D'
k=\
(7)
Mz>ztY
V Zk J
exp
pe
Ч1 (l-p2fln
!(в+І)-Г
(
\a+2 X-pe^z)
«p
pdpdq)
Sa{z) = J J —: +2 'pdpdq).
Произведение na{z,z^) равномерно сходится на компактных подмножествах круга D тогда и только тогда, когда последовательность {zkY удовлетворяет условию (5).
Отметим, что при а = -1 условие (5) совпадает с хорошо известным классическим условием Бляшке, а произведение (7) совпадает с произведением Бляшке.
Джрбашян М.М. К проблеме представимости аналитических функций / М.М. Джрбашян // Сообщения института математики и механики АН АрмССР. - 1948. - Вып. 2. - С. 3-35.
Шамоян Ф.А. Факторизационная теорема М. М. Джрбашяна и Характеризация нулей аналитических функций с мажорантой конечного роста / Ф.А. Шамоян // Известия АН Арм. ССР, математика. - Т. 13, №5. - 1978. - С. 405-422.
Естественно возникает вопрос: пусть f є Na, тогда f допускает представление (6). Принадлежат ли сомножители жа , expga классу Na ?
В 1977 году Ф.А. Шамоян установил, что существуют функции из Na, такие, что ни один из факторов в представлении (6), в отличие от факторизации функций ограниченного вида, не принадлежит классу Na .
Но, тем не менее, если f є Na, то для произвольного Р >а в представлении (6), написанном в классе Np, каждый из факторов n^{z,z^), expg^(z) принадлежит классу Na.
Тем самым установлено, что необходимое условие (5), найденное Р. Не-ванлинной, для корневых множеств функций класса Na, является также достаточным.
В дальнейшем, Ф.А.Шамоян рассмотрел классы голоморфных в круге
функций, для которых
\co{\-r)Tp(rj)dr <+00,
где О < р < +оо, при некоторых ограничениях на весовую функцию со.
Распространение результатов Ф.А.Шамояна на классы субгармонических
функций рассмотрел К.Л.Аветисян при р = 1.
Однако, применяемые им методы, не позволили ему получить аналогичные результаты в классах субгармонических в круге функций, характеристика которых принадлежит II - весовым классам или имеет степенной рост при приближении к единичной окружности.
Шамоян Ф.А. Параметрическое представление и описание корневых множеств весовых классов голоморфных в круге функций / Ф.А. Шамоян // Сибирский матем. Журнал. - Т.40, №6. -1999. - С. 1422-1440.
Аветисян К.Л. О представлениях некоторых классов субгармонических функций в единичном круге и в верхней полуплоскости / К.Л. Аветисян // Изв. Нац. АН Армении, Математика. -1994. - Т.29, № 1.
Цель работы.
-
Изучение свойств представляющих мер классов субгармонических в круге и в полуплоскости функций, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым II - классам.
-
Построение параметрического представления классов субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост при приближении к границе области.
-
Обобщение классической теоремы Валирона на случай II - классов субгармонических функций в комплексной плоскости.
Методика исследования. В работе применяются методы комплексного и функционального анализа. Существенную роль играют потенциалы типа Грина, построенные на основе бесконечных произведений, впервые введенные М.М.Джрбашяном ещё в 1945 году.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
получено полное описание класса субгармонических в круге функций, характеристика Неванлинны которых имеет степенной рост вблизи единичной окружности;
получена полная характеристика представляющих мер классов субгармонических функций в единичном круге, характеристика Неванлинны которых принадлежит весовым II - пространствам (0 < р < +оо);
построено параметрическое представление класса субгармонических в полуплоскости функций с характеристикой Неванлинны из весовых II - пространств (0 < р < +оо);
получено обобщение классической теоремы Валирона на случай целых функций и субгармонических в комплексной плоскости функций с характеристикой из весовых II - пространств (0 < р < +оо);
- получено интегральное представление субгармонических в комплексной плоскости функций, характеристика которых суммируема с экспоненциальным весом.
Практическая и теоретическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Результаты исследования могут быть использованы в общей теории субгармонических функций, в комплексном анализе, гармоническом анализе, в теории потенциала и других смежных разделах комплексного анализа; а также могут быть использованы при чтении спецкурсов для студентов математических специальностей университетов.
Апробация результатов работы. Результаты исследования докладывались на конференции «Системы компьютерной математики и их приложения» (Смоленск, 2005, 2007, 2009), на Воронежской зимней и весенней математической школе (Воронеж, 2006, 2009), на конференции «Современные проблемы теории функций и их приложения» (Саратов, 2010, 2012), а также неоднократно на семинарах по комплексному анализу Брянского государственного университета имени академика И.Г. Петровского.
Публикации. По теме диссертации опубликованы работы [1] - [11], список которых приведен в конце автореферата. Работы [4], [10] входят в перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий ВАК РФ.
Структура и объем диссертации. Работа состоит из введения, двух глав, разбитых в общей сложности на 7 параграфов, и списка использованной литературы. Работа занимает 118 страниц. Библиография содержит 52 наименования.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
