![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/b/3323/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/d/3928/303944/450/1.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/d/3928/303944/450/2.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/d/3928/303944/450/3.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/d/3928/303944/450/4.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/d/3928/303944/450/5.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями")
Введение к работе
Актуальность темы.
В теории приближений традиционной является задача приближения функций/, объединенных в некоторый функциональный класс F, полино-
мами ^cs(ps(x) с постоянными коэффициентами и задача вычисления или
оценки величины rM(F) = SUpinf
fGF с,
f~YjCSVs
s=\
Для функций нескольких переменных fix, у), xgR", у gR , начиная с 1907г., изучаются также приближения с помощью сумм произведений
функций от меньшего числа переменных g(x,y) = ^(ps(x)s(y) > называемых
билинейными функциями порядка М, которые формально можно считать полиномами порядка М по х с переменными коэффициентами.
Первый результат по приближению билинейными функциями был получен Е.Шмидтом, который в 1907 г. изучал наилучшие приближения периодических функций двух переменных суммами произведений функций одной переменной в L2. В. Н. Темляковым в ряде работ найдены порядки
приближения rM(F)q в метрике Lq классов F дифференцируемых периодических функций f{x, у) многих переменных
rM(F)q =SUp inf
f<=F "i(4»iW z=l,...,M
f(^y)~Yjur(x)vriy)
i=\
(1 < q < oo)
билинейными функциями Y^ui(x)vi(y) Для ьшассов Wrpa, SWrpa, Hrp и NHrp
i=\
периодических функций, определенных ограничениями на соответствующие частные производные или ограничениями на соответствующие допредельные разности. Такие оценки им получены также в различных смешанных нормах для соответствующих классов Соболева и Никольского.
В работах М.-Б.А.Бабаева в конце 80-х — в 90-х годах получены оценки сверху скорости приближения функций Соболевского класса Wp{Im) в метрике Lq(Im) на /77-мерном кубе Im =[0,l]m билинейными функциями порядка М и найден порядок величины тм (W") при \< р
Настоящая работа продолжает исследования в данном направлении.
Цель работы.
Цель работы —для всех допустимых р и q разработать конструктивный метод построения оптимальных билинейных функций для любой функции / є Wp(I2), получить неулучшаемую по порядку относительно М оценку
сверху при 0 < q < р < оо наилучших приближений
f(xl,x2)~YJ(pi(x1)y/1(x2)
EM(f,g)q= inf
i=\
LJJ1)
(z=1,...,M)
функции двух переменных /(Xj,x2) класса W^(I2) билинейными функциями порядка М
g(X) = Sm (Х) = Z % (Х1 К (Х2 ) (1)
s=\
класса GM, а также обосновать использование построенного аппарата приближения при решении интегральных уравнений второго рода.
Методы исследования.
При получении результатов использованы методы теории приближения функций, функционального анализа, методы решения интегральных уравнений.
Научная новизна. Предложен новый, конструктивный метод построения аппроксимирующих билинейных функций gM(x,f) для / є W" (/2) при
всех допустимых р ид. Получена оценка сверху наилучших приближений функции f класса Wp(I2) билинейными функциями при 0 < q < р < оо, не-
улучшаемая по порядку относительно М -»оо на классе Wp(I2). Предложен
метод приближенного решения интегральных уравнений Фредгольма с
гладким ядром на базе разработанного метода аппроксимации, особенно выгодный, когда поведение ядра существенно неоднородно в разных частях квадрата I2.
Теоретическая и практическая ценность. Предложенный новый, конструктивный метод построения билинейных функций gM (х, /) представляет теоретический и практический интерес. Он позволил получить оценку погрешности приближения функций класса W^{I2) билинейными
функциями заданного порядка при 0
на соответствующую билинейную функцию. В работе получена оценка точности соответствующих приближенных решений. Основные результаты.
Пусть /gW^(I2), і2 =[0,1]2, g — билинейная функция (1) класса GM.
срЛхЛщЫ
EM(J,g)Q
/(*l>*2)-X^(Xl)^.-(X2)
— наилучшие приближения
функции f билинейными функциями g. В главе 1 построена новая конструкция билинейных функций gM(x) = gM(x,f), аппроксимирующих в Lq(I2)
функции / GWp(I2), позволяющая при любых значениях
0
2 р q
\f-gM\rn^ имеет порядок убывания при М^оо, совпадающий с
II 11 Lq (J )
TM(W"(I2))q. На этой основе изучен вопрос о скорости наилучших приближений EM(j,g)q функций Соболевского класса W^{I2) в метрике Lq(I2) на квадрате I2 = [0,1]х[0,1] билинейными функциями порядка М при М->оо в
случае 01 < ^<оо, — > и получена оценка сверху
2 р q
EM(f,g)q<\\f(x)-gM(xJ)\\vl2) <— \\/\\фу (2)
где С = С{р, q, а) — некоторая положительная константа (теорема 1).
В главе 2 в теореме 2 показано, что полученная оценка не улучшаема по порядку при М -»оо .
В главе 3 при решении интегрального уравнения Фредгольма второго рода
у(х) = Л$К(х, s)y(s)ds + f(x)
(3)
с ядром К = K(x,s) є W"(I2) по методу Шмидта с помощью замены ядра на
соответствующую билинейную функцию в теореме 3 получена оценка погрешности приближенного решения у этого уравнения с помощью данного метода.
Доказана следующая теорема.
a J__J_ 2 р q
Теорема 3. Пусть 1 < q < р < оо,
- + — = 1. Тогда если г q
ч« Лі \ г
В = 1-\А\
l\l\K\'ds'
oVo J
О, то существует константа С, зависящая
только от р, q и а, такая, что
у-у
М^с/Ъ5"1-
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1-4]. Все результаты, вошедшие в диссертацию, получены автором самостоятельно.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Общий объем работы составляет 71 страницу, библиография содержит 16 наименований.
