Введение к работе
Актуальность темы. Получение оценки уклонения при равномерном приближении непрерывных функций алгебраическими многочленами и тригонометрическими полиномами является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях и в прикладных областях математики получили неравенства типа Джексона-Зигмунда-Стечкина, типа Ннкольского-Тимана-Дзядыка-Фройда-Теляковского-Брудного, неравенства типа Уитни.
Особый интерес представляет случай, когда приближение является формосохраняющнм (Shape-preserviBg Approximation), т.е. когда аппарат приближения сохраняет некоторые свойства приближаемой функции (монотонность, выпуклость и т.д.) Начало этого направления восходит к работам R.A. DeVore, G.G. Lorentz, D.J. Newman, E. Passow, L. Raymon , J.A. Roulier, O. Shisha, K.L. Zeller, A.C. Шведова опубликованным в 60-х - 70-х годах. В частности, в 1968 году G.G. Lorentz и K.L. Zeller доказали первое неравенство Джексона приближения монотонных функций монотонными алгебраическими многочленами, а в 1977 году R.A. DeVore доказал соответствующее второе неравенство Джексона. В работах D.J. Newman, G.L. Iliev, A.C. Шведова были получены первые "правильные" оценки по приближению кусочно-монотонных функций кусочно-монотонными алгебраическими многочленами. В 1969 году G.G. Lorentz и K.L. Zeller построили пример, который показывает, что величина наилучшего монотонного приближения алгебраическими многочленами монотонной функции по порядку вообще говоря "хуже" величины наилучшего приближения без ограничений. В 1979 году А.С. Шведов построил пример, показывающий, что оценка типа Джексона-Стечкжна величины приближения монотонной функции монотонными многочленами через модуль непрерывности порядка 3 и выше вообще неверна, в отличие от приближения без ограничений. С тех нор в работах отмеченных авторов, а также R.K. Beatson, J. Gilewicz, D. Leviatan, R.J. Nessel, E. Van Wickeren, X. Wu, X.M. Yu, S.P. Zhou, Г.А Дзюбенко, К.А. Копотуна, В.В. Листопада, И.А. Шевчука вопросы равномерного приближения монотонных и кусочно-монотонных функций немонотонными с ними алгебраическими многочленами изучены практически исчерпывающе.
Однако до последнего времени не были известны результаты по немонотонному приближению периодических функций тригонометрическими полиномами за исключением результата G.G. Lorentz и K.L. Zeller 1968 года, касающегося так называемых "колоколообразных" функций. Возможная причина отсутствия этих результатов следующая. Непрерывные периодические монотонные функции суть тождественные постоянные, таким образом речь может идти только о кусочно-монотонных
функциях, но в отличие от монотонного приближения построение общих методов кусочно-монотонного приближения алгебраическими многочленами осуществлено сравнительно недавно. На актуальность изучения периодического случая обратили внимание профессоры СВ. Ко-нягин и В.Б. Демидович. Именно изучению периодического случая и посвящены первые три главы диссертации.
В последней, четвертой главе рассмотрено кусочно-^-монотонное приближение алгебраическими многочленами на отрезке, q > 1; в частности, при Q = 2, кусочно-выпуклое приближение.
Наконец, отметим, что, как и в приближении без ограничений, в качестве аппарата формосохраняющего приближения используются не только многочлены или полиномы, но также сплайны, фракталы, рациональные функции. Соответствующие исследования проводятся в УрО РАН, СО РАН, других научных центрах мира.
Цель работы.
1. Доказать неравенство Джексона для немонотонного приближения
периодических функций тригонометрическими полиномами.
-
Доказать второе неравенство Джексона для комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами.
-
Построить контрпример, указывающий, что величина наилучшего комонотонного приближения периодических функций тригонометрическими полиномами по порядку вообще говоря "хуже" величины наилучшего приближения без ограничений.
-
Изучить неравенства типа Джексона и неравенства типа Уитни для кусочно-д-монотонного приближения непрерывных на отрезке функций алгебраическими многочленами.
Общая методика выполнения исследований. В работе использованы классические методы чебышевской теории приближения функций, метод конденсации А. А. Привалова, методы и идеи коприбпижения функций алгебраическими многочленами, развитые в работах отмеченных выше авторов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивающие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях теории формосохраняющего приближения непрерывных периодических функций тригонометрическими полипомами и непрерывных на отрезке функций алгебраическими многочленами.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на 8-ой Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1996 г), на Международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения Е.Я. Ремеза (Ровно, 1996), на 11-ой Всероссийской конференции " Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики"(Пушино, 1996 г.), на школах по теории функций под руководством СБ. Стечкина ( Москва, 1995 г., Маасе, 1997 г.) а также на семинарах А.Л. Лукашова и А.П. Хромова в Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и четырёх глав. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем работы 110 стр.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
