Введение к работе
Актуальность темы диссертации. Операция лиувиллевского типа 1Г, определяемая на основе ядра Бесселя-Макдональда, носит универсальный характер. Она осуществляет изоморфизмы функциональных классов и может служить средством для интегральных представлений функций из таких классов и является средством приближения интегрируемых функций гладкими. Такая операция изучалась многими выдающимися математиками современности, среди которых Л. Шварц (1957), А. Кальдерон (1959), СМ. Никольский, П.И. Лизоркин и др.. Операции лиувиллевского типа изучались СМ. Никольским в связи с исследованием функциональных пространств, описываемых в рамках конечных разностей. П.И. Лизоркин в своей докторской диссертации (1968) операции лиувиллевского типа применял для построения пространств дробной гладкости и исследования теорем вложения соответствующих классов функций.
Идея применения смешанного преобразования Фурье-Бесселя к определению пространств функций дробной В-гладкости принадлежит НА. Куприянову. Термин "В-производная" и связанное с ним понятие В-гладкости появились в связи с представлением действия сингулярного дифференциального оператора Бесселя в рамках конечных разностей первого порядка, где вместо обычного сдвига применен обобщенный сдвиг, введенный А. Ванштей-ном и Ж. Дельсартом в середине двадцатого века в связи с исследованиями в осесимметричной теории потенциала и разложениями функций, к которым применен обобщенный сдвиг, в степенные ряды.
Исследованию проблем В-потенциалов на основе обобщенного сдвига с весовым ядром Бесселя-Макдональда, построенных по обычной схеме на основе интегрального преобразования Фурье-Бесселя, посвящен ряд работ А.Д. Га-джиева, Л.Н. Ляхова. Проблемы приближения функций из весовых классов на полупрямой изучались СС Платоновым.
В диссертации исследуются свойства весовых операций лиувиллевского типа, порожденных В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимые для изучения весовых функциональных классов ИА.Киприянова и некоторых проблем теории приближения, возникающих при исследовании задач с центральной, осевой и многоосевой симметриями, которые и порождают весовые функциональные пространства типа пространств Соболева-Киприянова. Кроме того, операции В-лиувиллевского типа позволяют получить новые интегральные представления функций, которые необходимы для изучения весовых функциональных пространств.
Тема исследований диссертации актуальна в связи со значимостью в естествознании задач с симметриями, возникающих во многих разделах фундаментальной физики, компьютерной томографии, теории оболочек и многих
технических разработках. В этой связи особый интерес представляет теория приближения функций из весовых функциональных пространств, установление изморфизма весовых функциональных классов, осуществляемый операциями В-лиувиллевского типа, нахождение интегральных представлений функций в виде обобщенных сверток (сверток, порожденных обобщенным сдвигом) с соответствующими В-ядрами.
Цель работы. Исследовать весовые операции лиувиллевского типа /7;Г, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда, необходимыми для изучения некоторых проблем теории приближения. Изучить ряд свойств весового ядра Бесселя-Макдональда, таких как, оценки смешанных В-производных В-ядер, принадлежность В-ядра к весовому пространству СМ. Никольского Щп. Ввести аналоги ядер Валле-Пуссена-Никольского (В-ядро VPN), порожденных смешанным преобразованием Фурье-Бесселя, и установить их важнейшие свойства. Доказать теорему о приближении функций обобщенными свертками с В-ядром VPN.
Методика исследований. В работе используются методы теории функций, функционального анализа, а также методы, развитые в работах научной школы И.А. Киприянова при исследовании весовых функциональных пространств и сингулярных дифференциальных уравнений.
Научная новизна и значимость полученных результатов. Следующие результаты, полученные в работе, являются новыми.
-
Получены оценки смешанных В-производных В-ядра Бесселя-Макдональда. Доказана принадлежность В-ядра Бесселя-Макдональда весовому пространству Никольского i/['7.
-
Введены В-лиувиллевские операции /7;Г, порожденные В-ядрами Бесселя-Макдональда. Доказана теорема об изоморфизме, осуществляемом В-лиувиллевской операцией /7;Г класса функций Щ на класс функций Соболева-Киприянова W^7'. В качестве следствия получено важное в теории весовых функциональных пространств интегральное представление произвольной функции из W^,r в виде В-лиувиллевской операции некоторой функции из Щ.
-
Получена теорема о наилучшем приближении В-лиувиллевской операции /7;Г экспоненциальными функциями сферического типа.
-
Введены В-ядра Дирихле. На основе таких ядер построены В-ядра Валле-Пуссена-Никольского и изучены некоторые из свойств этих ядер, их обобщенные свертки с функциями из весовых лебеговских классов.
-
Доказана теорема о приближении функций из весовых лебеговских классов Щ экспоненциальными функциями посредством соответствующей обобщенной свертки с В-ядром Валле-Пуссена-Никольского.
Практическая значимость и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер и дает конструкции приближения функций из соответствующих функциональных классов. Полученные в ней результаты могут быть использованы при изучении задач математической физики с центральной и осевыми симметриями, в задачах теории функций и функционального анализа.
Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались в школе молодых ученых Липецкой области «Актуальные проблемы естественных наук и их преподавания» в 2010 — 2012 гг., в Воронежской зимней математической школе в 2011 г., в Воронежской весенней математическое школе в 2011 г., в Международном семинаре «Современные методы и проблемы теории операторов и гармонического анализа и их приложения» в г. Ростов-на-Дону в 2011 — 2012 гг., на Международной конференции, посвященной 110-ой годовщине И.Г. Петровского в г. Москва в 2011 г., на Международной конференции «Комплексный анализ и его приложения в дифференциальных уравнениях и теории чисел» в г. Белгород в 2011 г., на научной конференции «Герценовские чтения» в г. С.-Петербурге в 2012 г., на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам в г. Суздале в 2012 г.
Публикации. Основные результаты по теме диссертации опубликованы в работах [1] — [15]. Работы [2], [7], [10], [15] написаны совместно с Л.Н.Ляховым, которому принадлежит постановка задач. Доказательства всех результатов получены автором. Работы [10], [14] опубликованы в изданиях, соответствующих списку ВАК Минобрнауки РФ.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка цитируемой литературы, включающего 54 наименования. Общий объем диссертации 130 стр.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
