Содержание к диссертации
Введение
Раздел 1. Обзор литературы 25
1.1. Основные задачи теории приближения 25
1.2. М-членное тригонометрическое приближение 29
Раздел 2. Наилучшие тригонометрические приближения классов Щр в пространстве Lq 35
2.1. Постановка задачи и вспомогательные утверждения 35
2.2. Оценки величин ем{Ьрр)д при 1 < р < q < оо, q > 2 43
2.3. Оценки величин ем{Щр)я при \< р < q <2 56
2.4. Оценки величин ем{ЩлР)ч при 1 < q <р < оо 62
2.5. Приближение классов Щ тригонометрическими полиномами в равномерной метрике
Раздел 3. Наилучшие ортогональные тригонометрические приближения и тригонометрические поперечники классов ід в пространстве Lq 75
3.1. Оценки величин cju(L0 )q, 1 < р, q < оо 75
3.2. Поведение величин г/^(ідр, Lg) 85
Раздел 4. Приближение классов в метрике Lq1 93
4.1. Приближение функций Вф(х,Р) 93
4.2. Оценки величин En{Lp^)q, \ < q <оо 101
Выводы 106
- М-членное тригонометрическое приближение
- Оценки величин ем{Ьрр)д при 1 < р < q < оо, q > 2
- Приближение классов Щ тригонометрическими полиномами в равномерной метрике
- Поведение величин г/^(ідр, Lg)
М-членное тригонометрическое приближение
В виду выше сказанного, возникает вопрос об оптимальности выбора фиксированного количества "номеров" экспонент ег к,х при построении полиномов приближения. Этот вопрос связан с задачей, которую поставил в 1936 г. А.Н. Колмогоров [44]. Задача 3. Наилучшее приближение фиксированного множества А С X заданным классом множеств {Ln} Із X фиксированной размерности п. Задача 3 заключается в исследовании величины которая для центрально-симметрических множеств А (то есть таких, что с х Є А следует — х А) получила название n-мерного поперечника по Колмогорову множества А в пространстве X. Теперь по каждой из сформулированных выше задач 1, 2, 3, проведено значительное количество исследований, с основными результатами которых можно ознакомиться в монографиях [41 - 43, 22, 3, 7]. Перейдем непосредственно к задаче М-членного тригонометрического приближения или так называемого адаптивного приближения, которому собственно и посвящены исследования данной работы. Эти задачи связаны с задачами 2, 3 и имеют свою собственную историю развития. Тематика исследования величин наилучших М-членных тригонометрических приближений разных функциональных классов берет свое начало с работы СБ. Стечкина [45]. наилучшее Af-членное тригонометрическое приближение функции / в пространстве Lq, где {kj} . j - набор векторов к3 = (л], -.., kj) с целочисленными координатами, Cj - произвольные числа. Если F - некоторый функциональный класс, то положим В работе [45] изучался вопрос абсолютной сходимости ортогональных рядов. Для функции / одной переменной, принадлежащей L была введена величина (1.5), где вместо тригонометрической системы {etAc} (частный случай) рассматривалась произвольная полная ортонорми-рованная система Ф = { «} Li-
Таким способом введенная величина получила название наилучшего квадратичного приближения элемента / Л/-членными полиномами по системе Ф. Потом величины e\i{f)q і &м{Р)ц вызвали интерес с точки зрения аппроксимации. Отметим, что величина (1.5) является более тонкой аппроксимативною характс ристикой, чем величина (1.3), которую необходимо найти в оадаче 1. Ее отличие от наилучшего приближения функции / = f(x) тригонометрическими полиномами степени М состоит в возможности выбора набора {ki}jLi, в зависимости от функции /. Очевидно, что В конце 70-х годов было установлено в работах К.И. Осколкова [46], В.Е. Майорова [47], что для некоторых функциональных классов F величины (1.6) убывают при М —) со быстрее, чем где Ем{/)я - наилучшее приближение функции / тригонометрическими полиномами степени М. Для определенных классов функций одной переменной исследование поведения величин (1.6) проводилось в работах В.Е. Майорова [48, 49], Ю.И. Маковоза [50], Б.С. Кашина [51], Э.С. Белинского [52]. Что касается классов функций многих переменных, то данная тематика получила развитие в работах В.Н. Темлякова [53, 6, 4, 7], Э.С. Белинского [8 - 10], Б.С. Кашина и В.Н. Темлякова [11], А.С. Романюка [12 - 15]. Сосредоточим внимание на классах периодических функций многих переменных И7Др. Прежде всего, напомним определение класса W@ . Пусть Pj Є R, rj 0, - многомерные аналоги ядер Бернулли. Обозначим через W класс функций f(x), представимых в виде Заметим, что если / = гу І rj Є N, то p - смешанная производная и класс обозначается Wi"„. Начало изучения приближения классов W тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "гиперболических крестов" положил К.И. Бабенко [54, 55]. В частности, в [54] при исследовании кол-могоровского поперечника класса W2 в пространстве () было доказано, что экстремальным подпространством является подпространство тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник, удовлетворяющих условию где kj ф 0, kj Є Z, rj 0, j = l,d. Множество векторов к = (&i,..., kj), для которых выполняется условие (1.7), называют "гиперболическим крестом". Потом исследования в этом направлении интенсивно развивались в работах [56, 57, 37, 58 - 60, 6, 4, 61, 7] и др. Причем, кроме тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из обычных "гиперболических крестов", агрегатом приближения выбирались полиномы с "номерами" гармоник из "расширенных" и "ступенчатых гиперболических крестов". Наверное, первые порядковые оценки величин ем{УУр )ч на классах Wp периодических функций многих переменных были анонсированы в работе [53] для случая I р q 2, г 2 ( — -).
Результаты исследований, проведенных в [4, 10, 11, 14] показали, что для классов WZ применение метода М-членного тригонометрического приближения обеспечивает в некоторых случаях меньшую по порядку погрешность приближения, чем применение метода приближения тригонометрическими полиномами с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов". Заметим, что наиболее сложной оадачей является исследование величин ед/(И ) в "крайних случаях", то есть когда параметры р и q принимают значения 1 или со. В настоящий момент эта задача остается нерешенной для случая р — q = 1, а в случае р = q = оо решена частично [15, 33] ( открыт вопрос о точных порядковых оценках). Поскольку классы Lt (определение см. во введении) обобщают классы дифференцируемых функций W , то интерес вызывает распространение уже известных результатов на классы Lt . Поучение вопроса приближения классов Lt посредством тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов" проводилось в [16 - 19]. А изучение вопроса их приближения с помощью М-членных тригонометрических полиномов с определенным выбором гармоник было начато в [18] и продолжено в [23, 25, 27, 28]. Естественно возникает вопрос: как изменится поведение величин (1.5), (1-6), если зафиксировать коэффициенты Cj Рассмотрим для / Є Lqfrj) аппроксимативную величину
Оценки величин ем{Ьрр)д при 1 < р < q < оо, q > 2
Далее, представим числа последовательности {Ajt} в виде где " Ф№) -!д Ї/ - фиксированное натуральное число, 7 Л. В работе [17] было показано, что вследствие чего однократная последовательность {Л/ } для произволь ного j = l:d удовлетворяет условиям теоремы Марцинкевича. Поэтому кратная последовательность {А }, как произведение однократных, будет удовлетворять условиям многомерной теоремы Марцинкевича (см., например, [5, с. 57]). В силу которой будем иметь 1ЛЛ(/ х)р Л,ЯШ )Р C{p)\\5s{fp,x)\\p. С другой стороны, согласно (2.5) Объединяя соотношения (2.5) и (2.6), приходим к оценке Умножая обе части неравенства (2.7) на YI Ф}{ 5) 0) получим соот-ношение (2.4). Теперь установим оценку снизу в лемме, то есть покажем, что Аналогичным образом действуем оператором Л 1, задающимся последовательностью на "блок" Ss(f;x), В результате чего получим Легко проверить, что последовательность (2.9) также удовлетворяет условиям многомерной теоремы Марцинкевича. Лемма доказана. Рассмотрим сначала задачу оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов bt в пространстве Lq для случая 1 р 2 q оо. Отметим, что если V? = l,fi функции 4 j{-) Є D, (3j Є і? и, кроме того, ф](к)кр ї не возрастают, то при условии 1 р q оо выполняется вложение tig С Lq (см. [16, с. 53]). Важную роль при доказательстве результата этого подраздела будут играть следующие утверждения. Лема 2.1 [10, с. 20]. Пусть 2 q оо . Для всякого тригонометрического полинома Р (@N\X), содержащего не более N гармоник, и для любого М N найдется тригонометрический полином Р(Ом;х), у которого не более М коэффициентов отлично от нуля, и такой, что Причем Ом с ON Лемма 2.2 [4, с. 28]. Пусть l p q oouf р(тг ). Тогда Справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть 1 р 2 q оо, tpj G D, /3j Є R, j = l,d, и, кроме того, существуете 0 такое, что ф (\kj\) \kj\p+ не возрастают. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М ж 2nnd l) имеет место соотношение Доказательство. Сначала получим оценку сверху. Пусть f(x) -проиовольная функция из класса Lt . Представим ее в виде (s,l) n n (s,l) an (s,l) a« где а 1 - некоторое число, которое будет указано ниже. Пусть число М задано, подберем п, исходя из условия М X 2"nd_1. И будем рассматривать приближение функции f(x) с помощью полинома в котором, используя лемму 2.1, для каждого "блока" Ss(f;x) полином P(@Nt]x) строим таким образом, чтобы выполнялось неравенство Допустим, что полином Р(вд/;ат) построен. Тогда, исходя из (2 на "блок" Ss(f;x), В результате чего получим Легко проверить, что последовательность (2.9) также удовлетворяет условиям многомерной теоремы Марцинкевича. Лемма доказана. Рассмотрим сначала задачу оценки наилучших М-членных тригонометрических приближений классов bt в пространстве Lq для случая 1 р 2 q оо. Отметим, что если V? = l,fi функции 4 j{-) Є D, (3j Є і? и, кроме того, ф](к)кр ї не возрастают, то при условии 1 р q оо выполняется вложение tig С Lq (см. [16, с. 53]). Важную роль при доказательстве результата этого подраздела будут играть следующие утверждения. Лема 2.1 [10, с. 20]. Пусть 2 q оо . Для всякого тригонометрического полинома Р (@N\X), содержащего не более N гармоник, и для любого М N найдется тригонометрический полином Р(Ом;х), у которого не более М коэффициентов отлично от нуля, и такой, что Причем Ом с ON Лемма 2.2 [4, с. 28]. Пусть l p q oouf р(тг ). Тогда Справедлива следующая теорема. Теорема 2.1. Пусть 1 р 2 q оо, tpj G D, /3j Є R, j = l,d, и, кроме того, существуете 0 такое, что ф (\kj\) \kj\p+ не возрастают. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М ж 2nnd l) имеет место соотношение Доказательство. Сначала получим оценку сверху. Пусть f(x) -проиовольная функция из класса Lt .
Представим ее в виде (s,l) n n (s,l) an (s,l) a« где а 1 - некоторое число, которое будет указано ниже. Пусть число М задано, подберем п, исходя из условия М X 2"nd_1. И будем рассматривать приближение функции f(x) с помощью полинома в котором, используя лемму 2.1, для каждого "блока" Ss(f;x) полином P(@Nt]x) строим таким образом, чтобы выполнялось неравенство Допустим, что полином Р(вд/;ат) построен. Тогда, исходя из (2.10) и (2.11), получим Далее проведем оценку каждого слагаемого, начиная с Е 2. На основании.10) и (2.11), получим Далее проведем оценку каждого слагаемого, начиная с Е 2. На основании результата, полученного в [16], имеем ([а] - целая часть числа а), и покажем, что при таком выборе чисел Ns количество гармоник в полиномах P(QN, ; х) не превышает по порядку 2nnd l, то есть 5Z Ns С 2nnd l. Действительно,
Приближение классов Щ тригонометрическими полиномами в равномерной метрике
В данном подразделе изучаются наилучшие М-членные тригонометрические приближения классов IX и приближение этих классов "ступенчатыми гиперболическими" суммами Фурье в равномерной метрике. При решении задачи оценки величин ем{Ь )q, 1 р оо, q = оо, важную роль будет играть следующее утверждение. Лемма 5.1 [8]. Для всякого тригонометрического полинома P(QM IX) С числом гармоник не более М, степень которого не выше N, и для любого L М существует тригоиометргтеский полином P{Qiix), у которого не более L коэффициентов отлично от нуля и такой, что Замечание 5.1- Степень тригонометрического полинома равна наибольшей из степеней экспонент, а степень е1 равна i + ... + Arf. Справедлива следующая теорема. Теорема 5.1. Пусть 1 р 2, ipj Є D, / R,j = l,d, и, кроме того, существует є 0 такое, что ф (\kj\) \kj\?+ не возрастают. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М X 2nnd l, имеет место соотношение Доказательство. Установим оценку сверху. Пусть f{x) произвольная функция из класса ІЛ . Представим ее в виде где а т + 1, а число п удовлетворяет условию М Ж 2nnd l. Приближаем функцию /(г) полиномом где полином P(Qbt;x) построен по лемме 5.1 таким образом, что для каждого s : п (s, 1) an, выполняется неравенство и при этом 0, С /?(5) Тогда, согласно (2.47) и (2.48), по неравенству Минковского будем иметь Сначала оценим слагаемое Е2. В результате последовательного применения неравенства Минковского и " неравенства разных метрик" (см. теорему В подраздела 2.1) получим Для того, чтобы продолжить оценку Е2 применяем лемму 1.1. Имеем Далее, поскольку f(x) Є Lpy то 1 (/ ;л;) 1 и поскольку- Зє О такое, что ipj(2 )2 a,l p+s\ j = l,d, не возрастают, то Ф(/)2Н?+е) тоже не возрастает. Отсюда следует, что Последняя сумма в силу леммы 2.3 не превышает по порядку 2 апеп . Теперь перейдем к оценке Si. В результате последовательного применения леммы 5.1, теоремы А и леммы 1.1 будем иметь (2.51) Далее, каждому 5 : п (s, 1) ап, поставим в соответствие число + 1, (2.52) Ls = Продолжаем оценку, испольвуя вспомогательное утверждение (см. лемму 2.2) при р 2 и неравенство ]Г) 11 (/ 5 )111 ll/ lli 1 n (s,l) ara при р = 2. Таким образом, В силу леммы 2.3 имеем Сопоставляя оценки (2.49), (2.50), (2.53) и п удовлетворяет условию М Ж 2nnd l. Приближаем функцию /(г) полиномом где полином P(Qbt;x) построен по лемме 5.1 таким образом, что для каждого s : п (s, 1) an, выполняется неравенство и при этом 0, С /?(5) Тогда, согласно (2.47) и (2.48), по неравенству Минковского будем иметь Сначала оценим слагаемое Е2. В результате последовательного применения неравенства Минковского и " неравенства разных метрик" (см. теорему В подраздела 2.1) получим Для того, чтобы продолжить оценку Е2 применяем лемму 1.1. Имеем Далее, поскольку f(x) Є Lpy то 1 (/ ;л;) 1 и поскольку- Зє О такое, что ipj(2 )2 a,l p+s\ j = l,d, не возрастают, то Ф(/)2Н?+е) тоже не возрастает. Отсюда следует, что Последняя сумма в силу леммы 2.3 не превышает по порядку 2 апеп .
Теперь перейдем к оценке Si. В результате последовательного применения леммы 5.1, теоремы А и леммы 1.1 будем иметь (2.51) Далее, каждому 5 : п (s, 1) ап, поставим в соответствие число + 1, (2.52) Ls = Продолжаем оценку, испольвуя вспомогательное утверждение (см. лемму 2.2) при р 2 и неравенство ]Г) 11 (/ 5 )111 ll/ lli 1 n (s,l) ara при р = 2. Таким образом, В силу леммы 2.3 имеем Сопоставляя оценки (2.49), (2.50), (2.53) и учитывая соотношение Оценка сверху докапана. Оценка сниоу следует ио теоремы 2.1. Имеем Теорема доказана. Замечание 5.2. Порядковые оценки величин ед/(И )« , 1 р 2, ri - доказаны в работе [15]. Теорема 5.2. Пусть 2 р оо, ф$ Є J9, / Я, j = 1, d, и, кроме того, существует є 0 такое, что ф {\kj\) &,-5 не возрастают. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М ж 2nnd 1, имеет место соотношение (2.46) при р = 2, получим искомую оценку сверху снизу следует из теоремы 2.2, поскольку Теорема докапана. Замечание 5.3. В случае, когда (ІМ) = I J I- ri - fy = Z\{0} \ 2 р ОО, Г] ПОрЯДКОВЫе ОЦеНКИ ВеЛИЧИН eM(Wp учитывая соотношение Оценка сверху докапана. Оценка сниоу следует ио теоремы 2.1. Имеем Теорема доказана. Замечание 5.2. Порядковые оценки величин ед/(И )« , 1 р 2, ri - доказаны в работе [15]. Теорема 5.2. Пусть 2 р оо, ф$ Є J9, / Я, j = 1, d, и, кроме того, существует є 0 такое, что ф {\kj\) &,-5 не возрастают. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М ж 2nnd 1, имеет место соотношение (2.46) при р = 2, получим искомую оценку сверху снизу следует из теоремы 2.2, поскольку Теорема докапана. Замечание 5.3. В случае, когда (ІМ) = I J I- ri - fy = Z\{0} \ 2 р ОО, Г] ПОрЯДКОВЫе ОЦеНКИ ВеЛИЧИН eM(Wp )аа получены в работе [33]. Замечание 5.4. В одномерном случае величины ем{Ьд „)оо, 1 р оо, исследовались в работе [31]. Замечание 5.5. Порядковые оценки величин ем(іЛ p)q при некоторых соотношениях между параметрами р и q не совпадают с соответствующими оценками для величин верхних граней отклонений "сту
Поведение величин г/^(ідр, Lg)
Замечание 1.2. Величины ef{{Wp q при П — К 1 р 2 q со, \ р q 2 изучались в работе [10], а при 2 p q oo-в работе [34]. Замечание 1.3. В одномерном случае (d = 1) порядки величин ем( 0р)і D тереме 2.1 совпадают с порядками величин EM{LQ )f/ и имеет место соотношение А в многомерном случае [d 2) выполняется неравенство Теперь перейдем к рассмотрению случая 1 q р оо. Теорема 1.2. Пусть 1 д р со, (3j Є i?j - D, j = l,c/. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М х 2"гг"-1, имеет место соотношение Доказательство. Оценка сверху следует из соответствующей оценки сверху величины En(Lt )я - наилучшего приближения класса bt при условии, что число п удовлетворяет соотношение М X 2"nrf_1. Ведь известно [16], что порядок величины En(Lt )ч реализуется "ступенчато-гиперболическими" суммами Фурье вида и имеет место соотношение теоремы 2.4.1 вследствие неравенства Теорема доказана. Замечание 1.4. Сравнивая результат теоремы 1.2 с соответствующим результатом, полученным при исследовании величин e.v/(L$ )д, (см. теорему 2.4.1), отмечаем, что оценки сверху и снизу величин ем( 0р)д и ем{Щр)ц совпадают соответственно. Результаты исследования колмогоровских поперечников функциональных классов L% в пространстве Lqt которое было проведено в работе [19], показали, что при следующих соотношениях между параметрами р и q: 1 р 2 q со, 2 р q со, подпространство тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из "ступенчатого гиперболичного креста" не является экстремальным. Напомним, что М-мерным колмогоровским поперечником класса IX в пространстве Lq называется величина где LM - подпространство в Lq размерности M.
Подпространство, на котором достигается точная нижняя грань в (3.22), называется экстремальным подпространством. Вышеупомянутое обстоятельство приводит к постановке вопроса: будет ли подпространство тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из множества Од/ = {У — (Arj,... ,/ ))- , У Є Zd , реализовать в (3.22) точную нижнюю грань в случаях 1 р 2 д со, 2 р q со. Для того, чтобы дать ответ на этот вопрос проведем исследование следующих величин. Тригонометрическим поперечником класса Щ в пространстве Lq называется величина М , . где P(QM ,X) = Y2cj kl,x\ Cj - произвольные коэффициенты. Отме J=l тим, что понятие тригонометрического поперечника было введено Р.С. Исмагиловым [64]. Как видим, из определения величин колмогоровских и тригонометрических поперечников классов Vt в пространстве Lq следует неравенство Поэтому оценки снизу, доказанные для колмогоровских поперечников, остаются верными для тригонометрических поперечников. И обратно, если известны оценки сверху для тригонометрических поперечников, то они справедливы и для колмогоровских поперечников. Прежде всего, для полного представления о поведении величин d f(Lt ,Lq) при разных соотношениях между р и q, рассмотрим случаи: 1 g р оо, 1 р q 2. Поскольку известно (см. [19, с. 43; 17, с. 101]), что в этих случаях оценки сверху М-мсрных колмогоровских поперечников классов Щ „ в пространстве Lq реализуются подпространством тригонометрических полиномов с "номерами" гармоник из "ступенчатых гиперболических крестов", то порядковые оценки для тригонометрических поперечников d]k(La P,Lq) записываются автоматически. Теорема 2.1. Пусть 1 q р со, tpj Є D, pj R, j = 1, d. Тогда для любого натурального М и п, удоолетворяющего условию М х. 2nnd 1, имеет место соотношение Теорема 2.2. Пусть 1 р q 2, ipj Є D, Pj R, и, кроме того, $j(\kj\)\kj\ не возрастают, j = l,rf. Тогда для любого натурального М и п, удовлетворяющего условию М ж 2nnd l, справедлива
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
