Введение к работе
В работе рассматриваются вопросы теории равномерного приближения функций на отрезке. Основное внимание уделено приближению классами функций с ограниченной старшей производной, что дает в итоге возможность применить метод промежуточного приближения и получить оценки на приближение алгебраическими полиномами.
Актуальность темы. Метод промежуточного приближения заключается в следующем: сначала по функции, которую требуется приблизить, строится близкий к ней, но более гладкий агрегат. Потом этот агрегат приближается требуемым классом или пространством функций. Величина наилучшего приближения функции при этом оценивается как сумма уклонения агрегата от функции и величины наилучшего приближения агрегата. Этот приём был использован В. А. Стекловым в 1922 году при доказательстве теоремы Вейерштрасса о плотности пространства полиномов [4, гл. I, п. 18]. В качестве такого агрегата он применил функции, которые позднее назвали средними функциями Стекло-ва. Эти же функции использовались и для доказательства неравенств типа Джексона (см., например, Ахиезер [1, гл. V, п. 105], Стечкин [5], Бердышев [2]). Кроме средних функций Стеклова в качестве промежуточных часто используется класс ломаных (см., например, многие работы Н.П.Корнейчука).
Несмотря на кажущуюся грубость метода промежуточного приближения, он иногда позволяет получать точные (неулучша-емые) оценки. Так, например, произошло в найденном Н. П. Корнейчуком доказательстве неравенства Джексона с точной константой. Корнейчук использовал в качестве промежуточного класс Липшица, т. е. класс абсолютно непрерывных функций с ограниченной первой производной:
MV1 = {д Є АС[а, Ъ] : \д'\ ^ М почти всюду} .
Для этого он получил критерий элемента наилучшего приближения (ЭНП) в классе MV1 и с его помощью нашел выражение для величины наилучшего приближения (ВНП) классом MV1:
Теорема 1 (Н. П. Корнейчук). Пусть f Є C[a,b] \ MV1. Тогда имеет место следующее равенство:
E(f;MV1)=E{2}(f;MV1) = U{2} (/; MV1) =
Li(/,fc)-Mfc .
- sup
^ he[0,b-a]
Здесь:
E(f'iQ) = mm{||/ — 9І\ : 9 Є Q} ~ величина наилучшего приближения функции f классом функций Q на отрезке [а, Ь];
E(f;Q;x0,...,xk) = min max {|(/ - g)(x)\} — ВНП функции
geQ хЄ{х0,...,хк}
f классом функций Q на сетке {хо, ...,Хк}] E{k}(f',Q)= max E(f; Q; x0,..., x^) — максимальная вели-
{х0,...,хк}с[а,Ь]
чина наилучшего приближения функции / классом функций Q по всем fc-точечным подмножествам множества определения;
U\k}(f]Q) = max E(f;Q;x,x + h,...,x + (к - l)h) —
x,h
a^x
максимальная величина наилучшего приближения функции / классом функций Q по всем равномерным к-точечным сеткам из множества определения;
Д/Г(ЛЖ) = J2 () (—l)fc f (х + (т — k)h) — конечная разность
fc=0
порядка га от функции / в точке х с шагом h;
um(f, h) = sup{|A(/,x)\ : 8 Є [0,h],x Є [a, b — m8]} — классический модуль непрерывности функции f порядка га.
Цель работы:
- получение эффективных оценок для величины наилучшего приближения на отрезке и его подмножествах классами функций
с ограниченной старшей производной, т. е. исследование возможности переноса теоремы 1 на классы
MVn = {де АС11-1^, b] : \д{п) \ ^ М почти всюду} .
исследование возможности применения этих оценок в методе промежуточных приближений, в частности для получения неравенства Джексона-Стечкина для модулей непрерывности старших порядков;
исследование возможностей использования полученных результатов в смежных областях математики.
Методика исследований. Использовались методы математического анализа, в частности классические для теории равномерного приближения методы оценивания мощности альтер-нанса, анализ возможного количества и взаимного расположения нулей у функций и их производных, а также теория сплайнов.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
- найдено конструктивное доказательство критерия ЭНП
в классе функций MVn;
с использованием этого критерия получены точные оценки ВНП классом MV2 через максимальные ВНП на трёхточечных сетках и через модуль непрерывности второго порядка;
показана возможность применения этих оценок в разных областях теории функций, в частности, доказано неравенство Джексона-Стечкина для пространства алгебраических полиномов и модуля непрерывности второго порядка;
показана принципиальная невозможность получения аналогичных оценок в случае класса MV3, т. е. найдена граница применимости метода.
Все результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно.
Отдельно остановимся на критерии ЭНП в классе функций МТ>п. Он был доказан автором в 2000-2001 годах и опубликован в журнале «Мат. заметки» [2] в 2003 году. Позднее автор случайно нашёл упоминание об аналогичном результате, содержа-
щимся в диссертации 1980 года немецкого математика У. Затте-са [8]. Дальнейшее изучение базы ссылок AMS показало, что этот результат также был передоказан А. Брауном в 1985 году и Дж. Орамом в 1992. Из всех этих авторов лишь доказательство Орама опубликовано в общедоступном журнале.
Авторское доказательство включено в работу, т. к. оно было получено независимо и является более конструктивным, чем ранее известные. Идея этого доказательства состоит в явном построении сплайновых добавок, уменьшающих уклонение, пока не выполнятся условия теоремы.
Теоретическая и практическая значимость. Рабо-
та носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории приближений, в частности, они могут быть использованы для уточнения констант в неравенствах Джексона-Стечкина в случае приближения функции алгебраическими полиномами на отрезке. Некоторые другие приложения полученных результатов собраны в главу 5.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в центральной печати, а также в трудах и материалах различных конференций. Среди публикаций по теме диссертации выделим статьи в журналах, которые входят в список ВАК — это уже вышедшие работы [2,4,5] и принятые в печать [8,9]. Кроме того, по теме диссертации есть одна публикация в международном (но не входящем в список ВАК) журнале «East Journal on Approximation» [11].
Апробация. Результаты диссертационной работы докладывались на следующих конференциях:
на Международной конференции, посвященной 80-летию со дня рождения СБ. Стечкина (Екатеринбург, 2000 г.);
на Международных летних научных школах СБ. Стечкина по теории функций (Миасс, 2000-2006; Алексин, 2007; Миасс, 2008);
на Молодежных конференциях «Проблемы теоретической и прикладной математики» (Екатеринбург, 2002, 2004);
и на научных семинарах:
- совместный семинар отдела теории приближения функций
и отдела аппроксимаций и приложений Института математики и механики УрО РАН;
- семинар под руководством профессора В. И. Бердышева в ИММ УрО РАН (1998-2008).
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав и списка литературы. Общий объем работы — 137 страниц. Библиография содержит 62 наименования.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")
