Содержание к диссертации
Введение
Глава I. Потенциал сравнения 22
1. Формулировка основного результата 22
2. Вспомогательные предложения 24
3. Построение и исследование потенциала сравнения 28
Глава II. Теоремы типа теоремы Картрайт для субгармонических функций комплексного переменного 40
1. Изложение основных результатов 40
2. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой 51
3. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дисперсной ассоциированной мерой 59
4. Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с комбинированной ассоциированной мерой 64
Глава III. Теоремы типа Еланшереля-Пойа для логарифмически субгармонических функций комплексного переменного 67
1. Формулировки основных результатов 67
2. Вспомогательные предложения 73
3. Теоремы типа для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой 80
4. Теоремы типа Еяаншереля-Пойа для логарифмически субгармонических функций с дисперсной и комбинированной ассоциированной мерой
Список литературы 103
- Построение и исследование потенциала сравнения
- Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой
- Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с комбинированной ассоциированной мерой
- Теоремы типа для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой
Введение к работе
1. К постановке и истории вопроса. Пусть j(z) - целая функция экспоненциального типа О" и выполнено условие
G-+CJ, (0.1)
где со > О - некоторое число. Пусть
) | j(x)\2dx <о. (0.2)
- оо
Тогда имеет место известная формула В.А. Котельникова [2.2J :
к ScncoZ
№=Z f(«)(-') тлгш)'
/С= - оо * CJ '
(0.3)
где ряд в (0.3) сходится, во-первых, равномерно на каждом компакте в комплексной плоскости, во-вторых, в и (- о> /, причем
оо оо 0
Таким образом, функция + (z) определяется своими значениями на достаточно густой последовательности точек вещественной оси, а именно, на последовательности равноотстоящих точек
ЛК=К% (К^1), №.5)
если для С7 и CJ выполнено условие (0.1).
При этом L (-оо,оо) - норма функции f fa) весьма простым образом, по формуле (0.4), выражается через значения JYA ) а сама f(i) восстанавливается по j (^к) рядом
(0.3). Условие (0.1) можно рассматривать как условие "достаточной густоты" последовательности Хк вида (0.5) (являющейся
арифметической прогрессией с разностью л = — ).
Разложения целых функций в ряды Лагранжа вида (0.3) рассматривал еще Уиттекер в 1914 году [2.і] . В.А. Котельников в 1933 году [2.2] впервые обратил внимание на фундаментальное значение разложения (0.3) для теории передачи информации, сформулировав следующее принципиальное положение: для возможности восстановления на приемном конце канала связи сообщения, описываемого функцией () с ограниченным (содержащимся в (-^ с) ) частотным спектром, достаточно передавать лишь значения j (кА) этой функции (называемые отсчетами) через равные интервалы вре-мени А , если А <-±-.
Из формулы (0.4) вытекает, что если (^ и j2 - две целые функции, удовлетворяющие (0.1) и (0.2), и последовательности
і Іі (^ич и І {і (^-кЦ и3101 (в метрике и ), то и сами функции jf (#/, jz (XJ близки в Ь (-, / . На это можно смотреть как на факт устойчивости в задаче о восстановлении целой функции по последовательности ее значений If (л J . Задача о восстановлении f(z) „о Ц(ЬК)} в случае и -метрики и равноотстоящих отсчетов решается просто благодаря возможности использовать L -теорию рядов и интегралов фурье. Однако как с точки зрения теории функций, так и с точки зрения приложений представляет интерес рассмотрение метрик, отличных от L , прежде всего метрик и при С/^Р^00 и L , а также неравноотстоящих отсчетов. Соответственно при изучении вопросов устойчивости нужны соотношения типа (0.4) для таких метрик и таких систем отсчетов. Конечно, при р Ф 2 точное равенство вида (0.4) для и -метрики выполняться не будет, но при соответ-
ствующих предположениях справедливы неравенства
-во
КЄ Z
sup IfMl* С sup If (*?)1,
(0.7)
где С ^ - величина, не зависящая от целой функции f из
рассматриваемого класса (выделение множителя — в формуле
СО (0.6) целесообразно по аналогии с (0.4)).
Оценка вида (0.7) была получена М.Картрайт [2.з] в 1936 году, а оценка (0.6) - М.Планшерелем и Г.Пойа [2.4] в 1937 году. В формулировке этих результатов фигурирует не сам тип С функции 4 , а лишь рост этой функции по мнимой оси. Напомним, что для целой функции j (Z) экспоненциального типа ее индикатор роста п., (9) определяется как
hf(0)=L
На рост рассматриваемых целых функций налагается условие
kf(-%)*o;hf(f)*
где б", (у^СГ^оо _ некоторое число. В формулировках участвует также число СО > О, связанное с С неравенством
— < { (0.9)
Теорема (М.Картрайт, [2.з] ). Пусть j(z) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда справедливо неравенство (0.7),
где С * - величина, не зависящая от j , а зависящая
лишь от отношения —- .
Теорема (М.Планшерель-Г.Пойа, [2.4] ). Пусть j-(ZJ -целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда при 0 *- р * справедливо неравенство (0.6), где С *- - величина, не зависящая от / , а зависящая лишь от р и отношения —
Подчеркнем, что в этих теоремах конечность величин в левых частях неравенств (0.6) и (0.7) априори не предполагается, а следует из конечности соответствующих величин в их правых частях.
Пусть L (соУ ~ наименьшее значение величины С % при
котором неравенство (0.7) выполняется для каждой целой функции {Ы) экспоненциального типа, удовлетворяющей неравенству (0.8)
(очевидно, С00 зависит лишь от отношения — ). Известно,
что 6^(^/ —* + 0 при ^j —*>/-) . (G.H. Бернштейн [2.б]
установил асимптотическое соотношение С^(тГ))^ — и\ ——^
vu;/ тс со-о
при -г- —*- {-О ) При С =60 неравенство (0.7) не выполняется со
ни при каком С ^ , а из ограниченности последовательности
l{(~cJ~)f m не следует ограниченность $(х) на вещест-
КЄ ** п /с)
венной оси. Если обозначить через CD (со) наименьшее значение
величины С , при которой неравенство (0.6) выполняется для каждой целой функции J- (ж) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8), то поведение L'pico) при —-—* I'D различно для р > і и для р ^= 1 . Если р -^ 1 , то
Ср ( ZJ/"*0^ ПРИ ~i~) ~~* t~0 , и при С-СО неравенство (0.6) не выполняется ни при какой константе С ^ . Если же
Р> і . ~ Ср(Ъ) — Cp({)* (при %—{- o\
и неравенство (0.6) для такого р выполняется с константой С = = Lp(l/ для. всякой целой функции + (Z) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8) при С - CJ и априорному условию конечности интеграла в левой части (0.6) (из конечности
суммы 2_, | f ( тт / I Щ?11 ^ ~ Ь) не следует конечность ин-
кег ы
теграла в (0.6)).
Известны многочисленные обобщения и аналоги теорем Картрайт и Планшереля-Пойа для целых функций: [2.5] - [2.ю] , [2.15] -- [2.17] , [2.20] .
В ряде работ теоремы Картрайт и Иланшереля-Пойа обобщались на случай "неравноотстоящих узлов" Лк , и получались оценки, аналогичные (0.6) и (0.7):
\\f(xnpdz*C\f(*K)\. <-10)
- оо
ке Z
sup lf(oc)}±Csup \$(ЛК)\. (0.II)
-оох Хіоо КЄ Ж»
На узлы А^ обычно налагается условие
inf \Xm-Xn\±d>0, ».и>
/71 Ф П
называемое условием "отделимости".
Даффин и Шеффер в 1945 году [2. б] , показали, что если
ІАК- ^\^і*<=*> (.із)
и выполнено условие отделимости (0.12), то при СГ^ CJ неравенство (0.11) будет выполняться для всех удовлетворяющих условию
(0.8) целых функций ](%) экспоненциального типа; константа С-^оо в (0.11) в этом случае зависит, конечно, не только от С ж СО , но и от и и и . Н.И. Ахиезер и Б.Я. Левин в 1952 году [2.8] показали, что от условия отделимости (0.12) можно освободиться, добавив взамен этого к условию (0.13) еще необходимое в этом случае условие ограниченности всех разделенных разностей (для значений функции f (z) в точках Хк ) до определенного порядка, зависящего от L . Эти результаты основаны на обобщении формулы (0.3) на случай неравноотстоящих узлов интерполяции. Системы точек {А.Л , для которых выполняются неравенства вида (0.10) и (0.11), можно выделять не только геометрическими условиями, такими как (0.13), но и теоретико-функциональными условиями. Так, Б.Я. Левин в 1957 году [2.9] показал, что если
- вещественные целые функции) есть целая функция класса IP { %Л к^ 7 - множество корней функции P(z) , {%) - целая функция экспоненциального типа, причем при некотором > О
то для любого h>0
sup \{(x)v\co(x-tk)\U с sup №ад-і^ак)ґ
где С ^ не зависит от ( С зависит от CJ, , и ). Тео-
рема Картрайт получается отсюда при td(Z)= It =- Sin OJZ -г + L COS CJZ . Сформулированное утверждение является обобщением более раннего результата Н.И. Ахиезера [2.4] . Б.Я. Левин показал также [2. ТО] , что если ^kjk<=: Z " множество корней некоторой целой функции "типа синуса", причем
a j- f%) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), то (при дополнительном условии отделимости (0.12)) для/2 є (І,0*3) выполнено неравенство (0.10), где Q <оо не зависит от I (интеграл в (0.10) слева предполагается априори конечным; если fir ( - ~j"' ^ ^ » то конечность интеграла в (0.10) можно заранее не предполагать, она следует из конечности суммы в (0.10) справа).
В работах В.Н. Логвиненко [2.1б] и [2.17] получены теоремы типа теоремы Картрайт для целых функций многих переменных. Его метод использует неравенство С.Н. Бернштейна для производных и некоторый аппроксимационный процесс. Результаты В.Н. Логвиненко относятся, в частности, и к целым функциям одного переменного, но в этом случае менее точны, чем теорема М.Картрайт.
При р-2 оценка вида (0.10) тесно связана с вопросом о
базисности в системы экспонент . Вопро-
су о базисности этой системы, начиная с Винера и Пэйли [1.6 ] , посвящено много работ. В известном смысле окончательные результаты здесь получены в работе Б.С. Павлова [2.I8J и последующей работе СВ. Хрущева [2.19] .
Для целых и субгармонических функций известны результаты, дающие информацию о субгармонической функции в зависимости от ее поведения на множестве, не являющемся дискретным [2.її] - [2.14], [2.15] , [2.20] , [2.22] - [2.24] .
Развитый Б.Я. Левиным метод субгармонических мажорант ] - [2.14] дал возможность для субгармонических в (]L/ функций {v(Z)j экспоненциального типа, не превосходящего С , установить неравенства вида
sup v(x) C(9(f)+ sap lr(x)y (0.14)
хєік хє
- II -
где - множество, относительно плотное по мере Лебега (Ь, 0-величины, характеризующие относительную плотность множества Е). Установленная в [2.IIJ - [2.14] связь между субгармоническими мажорантами и конформными отображениями специального вида позволяет получить весьма точные оценки постоянной Q (с Jj )t Б. Я. Левин также показал, что этот результат сохраняет силу для плюрисубгармонических функций, удовлетворяющих при некотором
0^-G + oo УСЛОВИЮ
о V(Z) , (0.15)
Urn зир v±L- сг
1 I+... + /2^ I-*oo IZjl Впоследствии В.Э. Кацнельсон [2.20J , используя технику теории субгармонических функций, доказал неравенства вида (0.14) в более общей ситуации для полисубгармонических в (L функций
І V'fZ)j> удовлетворяющих условию (0.15) и ограниченных на относительно плотном по мере Лебега множестве ^ jj\ (при этом в левой части (0.14) XelRn ).
Другое многомерное обобщение (0.14) принадлежит М.Бенедиксу
[2.21] .
Для класса логарифмически полисубгармонических в ([^ функций {Ufz)} , удовлетворяющих условию (0.15) с V(Z) = fri life) В.Э. Кацнельсон [2.20J получил оценку
\ u(x) dz ±Се * ^u(x)dx>
Rn
где с. ^ IR - относительно плотное по мере Лебега множество, С >0Р С^ * зависят лишь от П., и, О.
В последнее время возрос интерес к распространению на субгармонические и О -субгармонические функции результатов, из-
вестных ранее для аналитических функций ( [1.5] , [1.7] ). Это позволило глубже проникнуть в природу таких результатов и получить их плодотворные обобщения. Однако теоремы, дающие оценки целых функций по их поведению на дискретной последовательности, на субгармонические функции до настоящего времени распространить не удавалось.
2. Цель исследования. В большинстве известных до сих пор
способов получения теорем Картрайт, Лланшереля-Пойа и их обобще
ний, в которых норма целой функции f на вещественной оси оцени
вается сверху через норму последовательности і f (Лк)} , ис
пользовались методы и средства теории аналитических
функций: интерполяционные ряды, контурное интегрирование, вычеты,
соображения двойственности для пространств Харди, теория целых
функций класса Р , неравенство С.Н. Бернштейна для производных.
В то же время в формулировки таких теорем входят лишь моду-
л и значений функции, а не сами эти зна-
чения. Поэтому представляется естественным дать чисто субгармонические доказательства таких теорем и получить их субгармонические аналоги.
Отметим, что неравенства, противоположные неравенствам (0.10) и (0.11), то есть неравенства вида
Е \f(WP*C \lfMlPdzt юле)
КЄІ -оо
sup \f(AJ\±C Sup \t(l)\ (0.17)
«Z ' K x&JR
легко получаются посредством "субгармонических" соображений. Неравенство (0.17) - тривиальное следствие теоремы Фрагмена-Линде-лефа (которая является "чисто субгармонической"):
- ІЗ -
/fOUl exp[<7\3rnXK\}-sup І {Ml,
к хє JR
так что если
SUp I 7/7? Лк I А/ ^ , (0.18)
то неравенство (0.17) выполняется с о = с . Если помимо условия (0.18) выполняется еще и условие отделимости (0.12), то неравенство (0.16) может быть получено следующим образом. Вследствие субгармоничности функции I f(Z) \ ^
так как кружки iZ\\jt-AK\<- —- j попарно не пересекаются и
содержатся в полосе [z : \ 7/7? Z \^И+ -}» то а так как при условии (0.8) справедливо неравенство
\\^iy)\pdz-ea^\\mPd-*,
- оо
то имеет место неравенство (0.16) с
H+f
Целью исследования, проводимого в диссертации,является: I) разработка базирующихся на теории субгармонических функ-
ций и теории потенциала методов оценки модуля J / (%) | целой функции { в комплексной плоскости через модули ее значений | СЛк) I на последовательности точек вещественной оси;
2) получение для логарифмически субгармонических в комплексной плоскости функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа.
Если Ы(%) - логарифмически субгармоническая в (L функция, то ее экспоненциальным типом G~u называется величина
а индикатор роста п (9) определяется как
Непосредственная переформулировка теоремы Картрайт на логарифмически субгармонические функции имеет вид: пусть UfZ) -логарифмически субгармоническая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условиям
где С7в ( Ц / и для числа U)> (J выполнено условие (J л СО Тогда справедливо неравенство
вир Шх) -= С sup и(*)л
сеє Ш кє Z,
Сформулированное утверждение неверно, каково бы ни было соотношение между С и СО . Причиной, влекущей ложность этого утверждения, является, например, возможность наличия малых атомных
компонент у меры du Ы) с= J- A (fn U (%)) , ассоциированной
2тс р
по Риссу с субгармонической функцией tn U
(г) . Наличие у меры
du(%) сколь угодно малого атома, сосредоточенного в точке
ЫИ , приводит к равенству и ('ME) — Q ; распределяя ато-
со со
- 15 -мы меры и и по точкам К7Т , южно добиться того, что и(^)= = 0 (кЄ TL) » a U(x)$ 0 и U(Z) имеет малый рост: бГ г
4= С (за счет малости атомов можно добиться сколь угодно малого роста). Рассмотрим пример. Пусть С, и) - заданные положительные числа. Выберем зв} О * 2f -gj > и положим
Ufe)= I sincjzi *. Имеем иМФО; U (J
Таким образом, при формулировке для субгармонических функций теорем типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа для целых функций нужно налагать какие-то ограничения на соответствующую ассоциированную меру.
3. Структура диссертации и ее основные результаты. Диссертация состоит из введения и трех глав. В первой главе разрабатывается базирующийся на теории потенциала метод, называемый методом потенциалов сравнения, для получения теорем о субгармонических функциях типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа о целых функциях. Основным результатом первой главы является следующая теорема.
Теорема І.І. Пусть CJ, эе, 8,0} С, d L - заданные числа:
(9^^оо; 0*э*, 0*6*1, 0*<$*1, 0*С*^
0*d*OG, 0*L* . Цусть lZj} f/єЖ) -последовательность точек комплексной плоскости, удовлетворяющих условию отделимости
12 -z.„і ^ &L и<ФГ)
J J со
И t. / Я"
и привязанных" к точкам -— ;
\z, - І?\*лА del).
CO CJ
Пусть
J /. CO
- попарно не пересекающиеся круги в комплексной плоскости; ли ~
= 7 4 U 7? і ЇЇі ^ л 2 = 0 " Раз<^иение множества IL целых чисел на два непересекающихся подмножества ^ и fa (возможно 1г = ф или Зо = 0 ). Пусть каждому / Є. Т-^ сопоставлена
точка г Є. ±jj і а каждому у 61 5^ сопоставлен компакт А у ^ С ZX- » причем емкости36' С/с. компактов Л/ отделены от нуля:
Ск.їС>0 (je?z).
Тогда существует определенная для любого ZG \U функция S(z), Sf%)'- Є —* L~ gopc>q) , обладающая следующими свойствами:
tf) функция супергармонична в области
q) вблизи каждой из точек ^-. (іЄ ?iv/ функция имеет вид
\ + супергармоническая функция; С) функция Ь (%), Z = X-tiy^ оценивается сверху всюду:
5{*)*Слх+(-,)*и>\у\ (же С)
и снизу вне О -окрестности Vfi множества U I ^js Sfe)* -С2Э + (i-S)xCj\y\
х^ имеется в виду винерова емкость компакта К; (относительно круга Uj ), определение которой приведено на с. 24.
Здесь U - величина, зависящая лишь от о, d,L ;С2< < о зависит от , CL/ L 9 О ; Су и L не зависят от Z .
разбиения , - (f{U 2 » компактов К у .
Во второй и третьей главах для логарифмически субгармонических функций комплексного переменного получены теоремы типа теорем Картрайт и Планшереля-Пойа для целых функций. При этом условия, которые налагаются на логарифмически субгармоническую функцию U(Z) , формулируются одинаково для теорем второй и третьей
і оо / р
глав, результаты соответствуют метрикам и (глава П) и и при С/^/0^00 (глава Ш). Основные результаты второй и третьей глав состоят в следующем (соответствующие теоремы сформулированы парами).
Теоремы 2.1 и 3.1. Пусть U(Z) - логарифмически субгармоническая в (и функция экспоненциального типа:
рост которой вдоль мнимой оси определяется неравенствами
- индикатор
2. —*- сю <~
роста функции Ufz).
Пусть мера du(z) = -j— А ( & U(z)) , ассоциированная
по Риссу с субгармонической функцией уї и (%) t имеет только дискретную компоненту
1=1
причем /771 отделены от нуля:
mL >эе>0 (с = /,2,...)
( сС - некоторое число, Я ij L_i - последовательность точек комплексной плоскости).
Пусть число СО > О связано с числами С и 3 соотношением
С < эесо.
Тогда справедливы неравенства
SUp U(X) С Sap U(~) (0.19)
хє JR кє Z '
\ u(x)Pdx±ALu(^ (0.20)
xelR кеЪ
величины, не зависящие от U(z).
Неравенство (0.19) - оценка типа Картрайт - доказано в теореме 2.1; неравенство (0.20) - оценка типа Планшереля-Пойа - доказано в теореме 3.1.
Теоремы М.Картрайт и Планшереля-Пойа являются частными случаями соответственно теорем 2.1 и 3.1, соответствующими U(Z) = = \f(%)\ » где j(z) - целая функция экспоненциального типа, не превосходящего С, С * (л).
Теоремы 2.1 и 3.1 допускают следующие обобщения. Во-первых,
могут быть видоизменены условия, связанные с ассоциированной ме
рой ; во-вторых, могут быть установ
лены аналогичные (0.19) и (0.20) неравенства с той же левой час
тью, в правой части которых фигурируют значения функции U(z)
в точках %х ZK Є. Оу f близких к точкам AZi .
Определение. удем говорить, что неотрицательная борелевс-кая мера dufc) удовлетворяет условию дисперсности в некоторой полосе /7 = [Z: \3т Z\ //Я ] (Н>0, СОЄ (09<*>)\ если
существует число Z >U такое, что
sup \ Іп —^— afjuey= ЦЕ cj Теоремы 2.2 и 3.2. Пусть U(%) - логарифмически субгармоническая в (L функция экспоненциального типа, не превосходящего С: йт Aute) ^ ^ (<7Є fa «,,1 Пусть Сд> 0 - произвольное фиксированное число. Пусть мера cLu(Z) = — ^ ^^ U-(Z)) ассоциированная по Риссу с субгар-ионической функцией in U(%) » удовлетворяет в некоторой полосе /7 п - i%; ^ Н— Н>0} У^02 Дисперсности (0.21). Тогда справедливы неравенства (0.19) и (0.20), где (^ = величины, не зависящие от life). Заметим, что теоремы 2,2 и 3.2 верны при любом соотношении между С и CJ. Все сформулированные теоремы доказываются с применением метода потенциалов сравнения, описанного в первой главе диссертации. В качестве следствий теорем 2.2 и 3.2 получены следующие предложения. Теоремы 2.4 и 3.4. Пусть U(Z) - логарифмически субгармоническая в С функция экспоненциального типа, не превосходящего С9 С Є (Оуоо) и пусть некоторая горизонтальная полоса, со- держащая вещественную ось, свободна от меры ии(%) = - Л. д (in ЫСХ)) . ассоциированной по Риссу с субгармонической функцией Сп 1L (%) I ( Сд>0 - произвольное фиксированное число). Тогда справедливы неравенства (0.19) и (0.20), где С = = С(>У) <> А = А ( > Р,Ц)<ооне зависят o?Ufe). Из этой теоремы, в частности, вытекает, что если мера ciu(Z)-= — A (in. life)) имеет только дискретную компоненту: d^(z)= - ІУІ u(Z- Я і), причем некоторая полоса Z\^ А/тт сво- бодна от атомов меры CLU (таким образом, последовательность l^iJ j точек комплексной плоскости, несущих атомы меры du уже не произвольна, как в теореме 2.1, а подчинена ограничению |7m AJ > А/-1- ) , то оценки типа Картрайт (0.19) и Планшереля-со Пойа (0.20) получаются при любом соотношении между с и Со , и на ПП. і - массы атомов ассоциированной меры - не налагаются никакие ограничения. Следствиями теорем 2.2 и 3.2 являются также следующие предложения, относящиеся к целым функциям. Теоремы 2.3 и 3.3. Пусть f(z) - целая функция экспоненциального типа, не превосходящего Ct G Є (О <^) , не имеющая корней в некоторой полосе \]иїх-\l:\7гп21^-И—} (Н>0Сд(0)) П — 'Cl>j * ? Тогда при любом соотношении между С и CJ справедливы неравенства sup l{(x)\±Csup [{(^)1, xeIR кє Z ^ где С ^> /і ^ - константы, не зависящие от j-fZ/. Во второй и третьей главах диссертации неравенства (0.19) и (0.20) обобщаются также на случай "неравноотстоящих узлов" %к } УДОВЛеТВОрЯЮЩИХ УСЛОВИЮ ОТДеЛИМОСТИ I %К - Zj \ ^ -gj- (КФ J) и "привязанных" к точкам ^ : | ZK - — | ^-^ (КЄ 7L\ При этом получаются оценки, аналогичные (0.19) и (0.20). Рассмотрен также случай, когда ассоциированная мера d.u(z)= --L /\ (in 1Л(%)) представляется в виде ojmmdufz) = a^/z)t + dX(Z) * гДе меРа и~^(%) допускает только дискретную компоненту, а мера (IV Ы) удовлетворяет в некоторой полосе ' 'нтг - {%: \Ут%\^Н>Н>0} условию дисперсности (0.21). Апробация работы и публикации. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на научно-исследовательских семинарах в Харьковском государственном университете (семинар по теории функций под руководством профессоров Б.Я. Левина и И.В. Островского, I9SE г.) и Московском государственном университете (семинар по теории аналитических функций под руководством профессоров Б.В. Ша-бата и Е.П. Долженко, 1984 г.), на Всесоюзной конференции по комплексному анализу и его приложениям в Черноголовке (1983 г.). Основные результаты диссертации опубликованы в работах [2.25] - [2.2?] и [ЗД] . Теорема (М.Планшерель-Г.Пойа, [2.4] ). Пусть j-(ZJ -целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), и выполняется условие (0.9). Тогда при 0 - р справедливо неравенство (0.6), где С - - величина, не зависящая от / , а зависящая лишь от р и отношения. Подчеркнем, что в этих теоремах конечность величин в левых частях неравенств (0.6) и (0.7) априори не предполагается, а следует из конечности соответствующих величин в их правых частях. Пусть L (соУ наименьшее значение величины С % при котором неравенство (0.7) выполняется для каждой целой функции {Ы) экспоненциального типа, удовлетворяющей неравенству (0.8) (очевидно, С00 зависит лишь от отношения — ). Известно, что 6 ( / — + 0 при j — /-) . (G.H. Бернштейн [2.б] установил асимптотическое соотношение С (тГ)) — и\ —— vu;/ тс со-о при -г- — - {-О ) При С =60 неравенство (0.7) не выполняется со ни при каком С , а из ограниченности последовательности l{( cJ )f m не следует ограниченность $(х) на вещест КЄ п /с) венной оси. Если обозначить через CD (со) наименьшее значение величины С , при которой неравенство (0.6) выполняется для каждой целой функции J- (ж) экспоненциального типа, удовлетворяющей условию (0.8), то поведение L pico) при —-— I D различно для р і и для р = 1 . Если р - 1 , то Ср ( ZJ/" 0 ПРИ i ) t 0 , и при С-СО неравенство (0.6) не выполняется ни при какой константе С . Если же и выполнено условие отделимости (0.12), то при СГ CJ неравенство (0.11) будет выполняться для всех удовлетворяющих условию (0.8) целых функций (%) экспоненциального типа; константа С- оо в (0.11) в этом случае зависит, конечно, не только от С ж СО , но и от и и и . Н.И. Ахиезер и Б.Я. Левин в 1952 году [2.8] показали, что от условия отделимости (0.12) можно освободиться, добавив взамен этого к условию (0.13) еще необходимое в этом случае условие ограниченности всех разделенных разностей (для значений функции f (z) в точках Хк ) до определенного порядка, зависящего от L . Эти результаты основаны на обобщении формулы (0.3) на случай неравноотстоящих узлов интерполяции. Системы точек {А.Л , для которых выполняются неравенства вида (0.10) и (0.11), можно выделять не только геометрическими условиями, такими как (0.13), но и теоретико-функциональными условиями. Так, Б.Я. Левин в 1957 году [2.9] показал, что если - вещественные целые функции) есть целая функция класса IP { %Л к 7 - множество корней функции P(z) , {%) - целая функция экспоненциального типа, причем при некотором то для любого h 0 где С не зависит от ( С зависит от CJ, , и ). Тео рема Картрайт получается отсюда при td(Z)= It =- Sin OJZ -г + L COS CJZ . Сформулированное утверждение является обобщением более раннего результата Н.И. Ахиезера [2.4] . Б.Я. Левин показал также [2. ТО] , что если KJK =: Z " множество корней некоторой целой функции "типа синуса", причем - 10 a j- f%) - целая функция экспоненциального типа, удовлетворяющая условию (0.8), то (при дополнительном условии отделимости (0.12)) для/2 є (І,0 3) выполнено неравенство (0.10), где Q оо не зависит от I (интеграл в (0.10) слева предполагается априори конечным; если fir ( - j" » то конечность интеграла в (0.10) можно заранее не предполагать, она следует из конечности суммы в (0.10) справа). В работах В.Н. Логвиненко [2.1б] и [2.17] получены теоремы типа теоремы Картрайт для целых функций многих переменных. Его метод использует неравенство С.Н. Бернштейна для производных и некоторый аппроксимационный процесс. Результаты В.Н. Логвиненко относятся, в частности, и к целым функциям одного переменного, но в этом случае менее точны, чем теорема М.Картрайт. При р-2 оценка вида (0.10) тесно связана с вопросом о базисности в системы экспонент . Вопро су о базисности этой системы, начиная с Винера и Пэйли [1.6 ] , посвящено много работ. В известном смысле окончательные результаты здесь получены в работе Б.С. Павлова [2.I8J и последующей работе СВ. Хрущева [2.19] . Для целых и субгармонических функций известны результаты, дающие информацию о субгармонической функции в зависимости от ее поведения на множестве, не являющемся дискретным [2.її] - [2.14], [2.15] , [2.20] , [2.22] - [2.24] . Ниже приводится доказательство теоремы 2.6. Пусть выполнены условия теоремы 2.6. В этом случае построение потенциала S (%) , с которым сравнивается субгармоническая функция tf(z)=. = &г ХЛ(%) лишь незначительными деталями отличается от соответствующего построения в теоремах 2.1 и 2.2. Выберем m dvL rnz L из условий: - (Н-L) y j Каждую точку отделимой последовательности {%к} (КЄ Z) которой идет речь в формулировке теоремы, окружим кругом где /72 = max і ГП} , 2] . Если в круге Dк существует хотя бы одна точка, несущая атом меры , то целое К отнесем к множеству 7 и будем называть UK кругом первого рода. Если круг DK не несет меры duM (имеющей только дискюет-ную компоненту), то целое К отнесем к множеству Я2. и будем называть кругом второго рода. Как и прежде, U 2=X. Для каждого KQ Т-± выберем одну из точек к С DK , несущих атомы меры d (i ) , и зафиксируем этот выбор. Среди кругов второго рода могут оказаться круги двух типов: во-первых, кругл, которые несут меру CL A ( $) , удовлетворяющую условию дисперсности; во-вторых, круги, не несущие никакой меры. Обозначим через CLAK( ) ту часть меры &л(?) t которая попала в круг-О. (КЄ. Т-2/ » и воспользуемся представлением Рисса (2.3,2) Если круг 1 (K}z) не несет никакой меры, то UK Ш -О и h (%) = ІґШ так что множества / определены для кругов DK второго рода обоих типов. Для любого к є 7? множество Пк - компакт, емкость Ск которого отделена от нуля константой, не зависящей от Г1КЫ) Ск С 0 Выберем число 6 из условия и зафиксируем его. По мно жествам { к\ (к Чі)) Гк (/СС J2/) числам и Э6 построим потенциал сравнения S(z) , который будет обладать свойствами CL ), 6), С), сформулированными в теореме I.I главы I. Так как Щ\±1 +-Л- для Z DK (К1 Z, Z=X+Ly) то из неравенств (I.I.5) и (I.I.6) (свойство С ) в формулировке теоремы I.I) вытекает, что в кругах JD второго рода где С оо зависит от L, и. Н п4 о .эе и не зави г? т? Снова, как и цри доказательстве теорем 2.1 и 2.2, рассмотрим функцию . Она субгармонична на множест ве і« ; ее оценка на множестве [] Гк может быть получена так же, как в теоремах 2.1 и 2.2: не зависит от trfcj и M. ке Z (C = С из (2.4.1), если круг UK не несет никакой меры; С С ЮВт, если круг / несет меру Сі А/ , т - константа из условия дисперсности). Далее оценка исходной субгармонической функции производится так же, как в теореме 2.1 (раздел 3 2 данной главы). Окончательно получаем, что справедливо неравенство . Теорема доказана. Теоремы 2.1 а и 2.2 а вытекают из теоремы 2.6 при CLAfe)s соответственно. В главе Ш для логарифмически субгармонических в (L функций будут получены теоремы, аналогичные теореме Пяаншереля-Пойа для целых функций. При этом условия, налагаемые на логарифмически субгармоническую функцию Ufa) , идентичны условиям, сформулированным в теоремах 2.1 - 2.6 главы П. Результатом является оценка типа Планшереля-Пойа - неравенства (3.1.8) и (3.1.14), в которых L -норма ( О - р / на вещественной оси функции Ы(х) оценивается через ее с -норму на достаточно густой последовательности вещественных (или близких к ним) точек. Ниже приводится полный текст формулировок полученных теорем, причем для удобства изложения уже встречавшимся ранее формулам присвоены новые номера. Замечание. Условие (3.1.6) в формулировке теоремы можно налагать лишь на массы тех атомов ассоциированной меры, которые лежат вблизи вещественной оси, в некоторой полосе т/g Пн = {z:\Jm Z\±H,H Q Теорема Планшереля-Пойа является частным случаем теоремы 3.1, - 69 соответствующим - целая функция экс поненциального типа С г. СО. Теорема 3.2. Пусть U(Z) -логарифмически субгармоническая в (L функция экспоненциального типа, не превосходящего С Є (О ) . Пусть СО О - произвольное фиксированное число. Пусть мера (3.1.4), ассоциированная с субгармонической функцией tnll(Z) , удовлетворяет условию дисперсности в некоторой полосе Тогда для любого рє(0 ) справедливо неравенство (3.1.8), где А — А ( у Р &к , //J cx не зависит от U(Z) . Более точно, для любого р0Є (О оо) и любого числа р Р0 можно по ложить А = СР, где С = С (% Ро & , Н) . Теорема верна при любом соотношении между С7 и CJ. Из теоремы 3.2 вытекает несколько предложений, которые будут сформулированы ниже в виде теорем. Среди них - не известный ранее результат для целых функций. Для доказательства (3.3.7) к логарифмически субгармонической в С функции U() применим лемму 3.2.4 с И = -— . Имеем ИЗ (3.3.5) Следует, ЧТО ВСЮДУ В ПОЛОСе - « & оо / ._ поэтому В силу логарифмической субгармоничности функции при IQ \ Zfoj интеграл по полосе - оо 4. г. о, In I -ту: в правой части последнего неравенства можно оценить сверху интегралом от функции Ф[щ + in) по всей плоскости С . Таким образом, неравенство (3.3.7) доказано. Докажем неравенство (3.3.8). Так как для \и\ "57 Т. верна оценка (3.3.4) и = у ( і - rj J то Отсюда следует, что lira (2/ в полуплоскостях ловил (3.1.2) в формулировке теоремы), то fem " Llj л. у+со It/I &-3CCJ , і кроме того, - логарифмически субгармони ческая функция при \Ц\ -— . Поэтому по лемме 3.2. Проинтегрируем полученное неравенство по и и, пользуясь леммой Зге 3.2.4, оценим сверху интеграл по прямой U - -—— интегралом по полосе -— = Ц - п— . После несложных преобразований получим через интеграл по полосе -оо z. -х . в результате получаем неравенство Неравенство (3.3.8) доказано. 3. Построение вспомогательных разбиений и покрытий комплексной плоскости. 7Т Пусть R ) R - 3 - некоторое число, которое будет выбра - 89 но позже. Положим /?,= /? + -— . Обозначим Множество является объединением не более чем счетного числа непересекающихся открытых интервалов; назовем их интервалами первого рода. С каждой точкой -, К Є 5 свяжем интервал і с помощью следующего построения. Если Кб 52 - фиксированный индекс, то обозначим через di расстояние от точки до ближайшей слева точки — , с Є J2 » через ик обозначим расстояние от точки — до ближайшей справа точки —, сє j2 d = т in (к-1) ; d; = min (l- к) g Положим ]1нтервалы 1 , связанные с точками —— К Є +2, назовем интервалами второго рода. Множество всех интервалов первого рода обозначим через G, , множество всех интервалов второго рода обозначим через Go Из построения вытекает, что интервалы Ні Є G±U G2 / попаРно не пересекаются и их замыкания I [ I Q (J-J U Lr2/ покрывают всю вещественную ось. С каждым интервалом первого рода свяжем полосу первого рода С каждым интервалом 1= (С} о) второго рода свяжем полосу второго рода Полосы j ( ІЄ &І U Ь"21 покрывают всю комплексную плоскость. Кратность этого покрытия - не выше трех. Функция - логарифмически субгармоническая при ZE Пх , если ; функция Ф(з) - логарифмически суб гармоническая при %є flj\FK (кє 72) , если Г б: 0-2. Отметим, что построенные множества интервалов и полос определяются разбиением - J і (J j 2 и выбором числа R. 4 . Оценка интеграла от функции по прямоугольни кам первого рода. пустьIeGx, nr = {x+iy- CL-# z S+fi,-oo y 00} - полоса первого рода. Из логарифмической субгармоничности в этой полосе вытекает, что Интегрируя это неравенство по X от CL до о и изменяя поря док интегрирования, получим. Пусть функция U(%) удовлетворяет условиям теоремы 3.1 при р - 1 ; таким образом, ряд 22 LI ( Г7 ) сходится. Из схо кє Z димости этого ряда следует, что Sup U.(—-) со . Поэтому со кє 1 по теореме 2.1 (глава П) ЬС(х) ограничена при ХЄ /R . Пусть G] 4-(б + 3GL ) Имеем (7 (/ ЭССО . Рассмотрим при ) функцию фикция Uv fz) - логарифмически субгармоническая экспоненциального типа, причем и и (tyJ- i, "-и ( ty) G d если Т О достаточно мало. Так как UfX) ограничена на вещественной оси, то Ur(x) суммируема на вещественной оси. Функция 11Т(Я:) удовлетворяет всем условиям теоремы 3.1 с теми же а?, СО, что и в теореме 3.1, и с СГ± вместо О" (если Т О Так как Uv(z)- U(%) (т- +0) и константа С2І в (3.3.22) не зависит от Т , получим, что неравенство (3.3.21) выполняется для функции Н(%) без априорного предположения конечности интеграла слева. Теорема 3.1 доказана для случая р-1 Сведем случай произвольного р О к случаю р = / . Пусть Ц(%) функция, удовлетворяющая условиям теоремы 3.1. Образуем функцию 11рЫ) (и(Я)) . функция Ыр(%) - логарифмиче --97 ски субгармоническая экспоненциального типа, удовлетворяющая ус ловиям теоремы 3.1 с Р-1, Ср = р&, зе.D - рэв. ; при этом 4. Теоремы типа Планшереля-їїойа для логарифмически субгармонических функций с дисперсной ассоциированной мерой и комбинированной ассоциированной мерой Докажем теорему 3.2. Доказательство этой теоремы проводится аналогично доказательству теорем 2.2 (глава П) и 3.1 (глава Ш), Пусть выполнены условия теоремы 3.2. Предположим, кроме того, что р= 1 и \ u(x)dcc = о. Как и ранее, рассмотрим систему кругов Ц (ке 2) комплексной плоскости, і тт Ил где /71 Ч - число, выбранное из условия ( . пТ\ Гак как мера С1Ц(Х) = ±А(&1 ute)) удовлетворяет условию дисперсности и, следовательно, не имеет дискретной компоненты, то круги первого рода отсутствуют, т = 0 f 2 = 1 Обозна чим через ту часть меры которая попала в іфуг JDfs . По теореме Рисса имеет место представление где h-ц 12/ - гармоническая в D функция, a - потенциал меры uu fz) . Как и прежде, определим множество TK-{%:hKM hK(lg)}nDK ІКСІ). I к - компакт, емкость Ск которого удовлетворяет условию Ск Ъ Ь- С О . Выберем число ЭР, О Э? , из условия а? - и зафиксируем его. Положим 6 = "2 ( " эёи ) По множе" ствам Г„ (кє Z), числам а? и построим потенциал сравне \ ния S (g) , описанный в теореме I.I главы I. Положим Efe) Далее теорема 3.2 доказывается по той же схеме, что и теорема 3.1, поэтому подробное доказательство мы не приводим, а ограничимся лишь указанием изменений, которые следует внести в доказательство теоремы 3.1. Из логарифмической субгармоничности функции tl(z) и свойств потенциала следует, что является логарифмически субгармонической функцией при Z Є U к и допускает оценки кєЖ сверху и снизу для любого комплексного2(3.3.4) и (3.3.5). Имеют место неравенства (3.3.6), (3.3.7) и (3.3.8), доказательство которых упрощается по сравнению с доказательством, проведенным в 3, так как оценки для функции Ч (%) сверху (3.3.4) и снизу (3.3.5) выполняются теперь для любого из (и. С каждой точкой —- (КЄЖ) свяжем интервал I, Интервалы 1 попарно не пересекаются и их замыкания покрывают всю вещественную ось. Множество всех интервалов I обозначим через G" . С каждым интервалом I- Ш, о) свяжем полосу //j Полосы / j покрывают всю комплексную плоскость, кратность этого покрытия - не выше двух. Далее производится оценка интеграла от функции T(Z) ПО прямоугольникам [x + lu : ХЄ Г, ІУІ - "пТ] J &а оценка выполняется так же, как при доказательстве теоремы 3.1.(раздел 5 3 данной главы). Следует лишь учесть, что в данном случае на кривых Гк (К Є Z) выполнено неравенство ( L - константа из условия дисперсности (3.1.9)), вытекающее из представления (3.4.1), определения /"L и условия дисперсности (3.1.9) (подробно это описано в 3 главы П). Таким образом, где и - Є - константа, зависящая лишь от Вгп и п, па раметров из условия дисперсности. Так же, как и в разделе 5 3, вводятся прямоугольники UI? Q QI , и гармоническая мера 6J (%., Гк, Qj) в прямоугольнике Q" оценивается снизу по формуле (3.3.14), где ( /72 Ъ fTlQ Ц С - некоторые постоянные). Для логарифмически субгармонической функции U (%) выполняется неравенство справедливое при любом О 0. Неравенства (3.3.16) и (3.3.17) переносятся на рассматривавши случай с той лишь разницей, что во вторых слагаемых справа вместо множителя U(KI?J появляется множитель Е и(Ш) Формула (3.3.18) принимает вид.
1ft , 'Построение и исследование потенциала сравнения
Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой
Теоремы типа Картрайт для логарифмически субгармонических функций с комбинированной ассоциированной мерой
Теоремы типа для логарифмически субгармонических функций с дискретной ассоциированной мерой
Похожие диссертации на Субгармонические функции, допускающие оценку на последовательности точек вещественной оси
