Введение к работе
]
' і
Ц...І
--- Актуальность темы. В геометрической теории функций, одним из главных направлений исследований является постановка и решение различных экстремальных задач. При этом значительное место отводится .изучению однолистных аналитических функций. В частности, большую роль играют задачи, в которых, исходя из условия однолистности аналитической функции, требуется получить количественные оценки некоторых величин, связанных с этой функцией: оценки модуля функции, модуля и аргумента ее производной, модулей коэффициентов и т.п.
Эти и другие экстремальные задачи привели к появлению, развитию и успешному применению таких методов, как метод площадей, вариационный и параметрический методы, метод экстремальных метрик, метод симметризации и др. Актуальность экстремальных задач проявляется не только в том, что они имеют важное значение в теоретических вопросах математического анализа, но и в возможности их применения к вопросам прикладного характера.
Реферируемая работа является дальнейшим продолжением исследований по экстремальным проблемам в некоторых классах аналитических и однолистных функций.
Цель работы. Используя различные методы, применить доказанные в диссертации теоремы для логарифмических коэффициентов однолистных функций к решению экстремальных задач и исследованию гипотез, стоящих в проблематике коэффициентов и логарифмических коэффициентов однолистных функций. Исследовать экстремальные задачи для различных классов однолистных функций, определяемых с помощью операции подчинения, и классов аналитических функций, получаемых посредством свертки Адамара. Получить радиусы и порядки выпуклости, звездообразности, спиралеобразности изучаемых классов, вкладываемость одного класса в другой, оценки коэффициентов, теоремы искажения и т.д.
Методы исследования. При доказательствах широко применяется метод площадей, то есть способ решения задач теории однолистных функций, использующий теоремы площадей. Этот метод для различных классов функций использовался в работах Г.М.Голузина, И.Е.Еазилевича, Н.А.Лебедева, И.М.Милина, Ю.Е.Аленицына, В.Я.
Гутлянского, С.Л.Крушкаля, А.З.Гриншпана, Дж.Дженкиноа, Х.Пом-меренке, 3.Нехари, Р.Кюнау, М.Шяффера и др.
В первой главе для решения экстремальных задач используется вариационный метод. С помощью этого метода получены значительные результаты в теоретических и прикладных вопросах М.А. Лаврентьевым, Г.М.Голузиным, П.П.Куфаревым, Б.В.Шабатом, И.А. Александровым, В.Я.Гутлянским, В.В.Черниковым, М.Шиффером, А.Гудманом, М.Робертеоном и др.
При рассмотрении вопросов, связанных с логарифмическими коэффициентами, в диссертации используется новый подход, применяемый рядом математиков (в СССР, США и других странах) и получивший в последнее время широкое распространение. Этот подход заключается в сочетании теорем площадей и аппарата экспоненци-рования. С помощью метода площадей выражается свойство однолистности функций в виде ограничений на их логарифмические коэффициенты, а теоремы экспоненцирования позволяют перенести эти ограничения на тейлоровские коэффициенты разложения самих функций. Используя данный подход И.Е.Базилевич, Н.А.Лебедев, И.М.Милин, А.З.Гриншпан, К.Фитцджеральд, П.Дюрен, Л.де Брата и многие другие получили эффективные оценки целого ряда функционалов в различных классах однолистных функций.
Научная новизна. В диссертации получены новые неравенства для логарифмических коэффициентов однолистных функций, позволившие сделать следующее :
получить лучшие в настоящее время оценки конечных сумм модулей логарифмических коэффициентов;
уточнить неравенство А.Бернстайна для интегральных средних, в зависимости от двух первых коэффициентов разложения однолистной функции;
усилить неравенство (бывшая гипотеза И.Е.Базилевича) для логарифмической площади функций из класса р ;
решить задачу Н.А.Лебедева и И.М.Милина о точной оценке модулей коэффициентов функций из класса ? - расширения класса функций Бибербаха-Эйленберга;
доказать теорему искажения в классе >|_ и установить коэффициентные оценки для класса $L - всех однолистных функций из 'pi
Кроме того, в работе, с помощью вариационного метода Г.М.
Голузина, получено и исследовано дифференциальное уравнение для определения экстремума функционала в гипотезе Дюрена-Ленга, решением которого является функция Кебе.
Найдены порядки и точные радиусы выпуклости, звездообразнос-ти, спиралеобразное, оценки коэффициентов в классах регулярных функций, определяемых посредством условий подчинения и сверток Адамара, доказана вкладываемость одного класса в другой.
Определено множество значений комплексного параметра Л , гарантирующего однолистность J (f0(2)) dz , а также доказаны теоремы искажения для класса S„ (А,В)-функций, удовлетворяющих условию подчинения.
Все результаты являются новыми.
Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты и метода исследования можно использовать для изучения различных классов аналитических и однолистных функций, в конструктивной теории.функций комплексного переменного, а'также в приложениях, связанных с конформньми отображениями (теория упругости, газовая динамика, гидромеханика и т.п.).
Апробация работы. Результаты, содержащиеся в диссертации, докладывались на региональной Северо-Кавказской школе-конФерен-ции по теории функций и приближений, на конференциях "Герценоес-кие чтения" в Российском государственном педагогическом университете имени А.И.Герцена (г.С.-Петербург), на научной сессии Томского отделения Сибирского математического общества, на У Саратовской зимней школе по теории функций и приближений, на П Суслинских математических чтениях (г.Саратов).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 8 научных работах.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы 94 страницы машинописного текста. Библиография содержит 80 наименований работ советских и зарубежных математиков.
