Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Бассейны неподвижных точек однопараметрических семейств аналитических функций 21
1.1. Формулировка и доказательство основной леммы 22
1.2. Оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигсля бассейнами притяжения 32
1.3. Сходимость непосредственных бассейнов притяжения к диску Зигеля 36
1.4. Достаточное условие равномерности покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения 41
1.5. Области вложи мости итераций в непрерывную полугруппу 45
ГЛАВА II. Нижняя оценка размера бассейна притяжения через радиус однолистности 52
2.1. Сведение задачи к оценке функционала Rs в классе однолистных функций 52
2.2. Оценка функционала Rs 55
2.3. Точная нижняя оценка функционала Rs 62
2.4. Свойства точной нижней оценки функционала Rs как функции мультипликатора 66
ГЛАВА III. Экстремальные задачи для одного семейства функционалов 75
3.1. Формализация экстремальной задачи как задачи оптимального управления 77
3.2. Доказательство вспомогательных утверждений 81
3.3. Доказательство основной теоремы и следствия из неё 94
Список литературы 100
- Оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигсля бассейнами притяжения
- Достаточное условие равномерности покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения
- Свойства точной нижней оценки функционала Rs как функции мультипликатора
- Формализация экстремальной задачи как задачи оптимального управления
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию бассейнов непо-движетых точек методами геометрической теории функций, а также решению одной экстремальной задачи для однолистных функций.
Значительная часть исследований по геометрической теории функций так или иначе связана с классом S всех аналитических однолистных в единичном круге функций /, нормированных разложением f(z) = z-\-a.2Z2+— Эти исследования во многом были мотивированы гипотезой Бибербаха [1], сформулированной им в 1916 году и остававшейся недоказанной вплоть до 1984 года. Гипотеза состояла в том, что для всех / Є S и натуральных п справедливо неравенство \ап\ ^ п. Попытки обосновать это утверждение привели к разработке богатого арсенала методов, появлению новых направлений в геометрической теории функций.
После того, как Л. де Бранж [2] доказал гипотезу Бибербаха, интерес к изучению классов однолистных функций несколько снизился. Однако развитие теории не остановилось, исследования в данной области не потеряли актуальности. Более того, полученные результаты и разработанные в её рамках методы получили новые приложения, например, в задачах математической физики [3-5], в теории квазиконформных отображении (см.например, [6, 7]), в теории вероятностей [8-Ю]. Нашли они применение и в изучении асимптотического поведения итераций аналитических функций [11-15], что составляет одно из интенсивно развивающихся направлений в современной теории функции комплексного переменного, получившее название комплексной динамики.
Целью данной работы является исследование непосредственных бассейнов неподвижных точек, основанное на применении методов и результатов теории однолистных функций, а также решение экстремальной за-
дачи для одного семейства функционалов в классе
Изложим базовые определения и результаты комплексной динамики, используемые в основной части диссертационной работы.
Пусть 2) Є {С, С, С* := С \ {0}}, и / : 5) -> Э — мероморф-ная функция, отличная от постоянной и не являющаяся автоморфизмом области ). Обозначим через Z множество всех целых чисел, и пусть N := {п Є Ъ : п > 0}, No := N U {0}. Итерации fn : Э -> 35, п Є N, функции /, определяются рекуррентно
/>:=/, fn+i.= fofnt nN. (!)
Одной из главных задач комплексной динамики является изучение асимптотического поведения последовательности итераций {/"}. В связи с этим отправной точкой исследований по комплексной динамике является деление области > на множество нормальности и его дополнение. Определение 1. Множеством Фату J-'(f) функции / называется множество всех точек z Є 2), в которых последовательность {/n}neN образует нормальное семейство. Дополнение множества Фату S{f) '= 2^-^(/) называется MUOQicecmeoM Жюлиа функции /.
Одним из наиболее важных и глубоко изученных объектов в комплексной динамике являются неподвижные точки.
Определение 2. Точка zq є 2) называется пеподвиоісной точкой функции /, если f{zo) = zq. Число
І /'(го), если ZQ ф со, 1 ff'(0)) если ZQ = со,
где g(w) := l/f(l/w), называется мультипликатором неподвижной точки zq. Если |А| < 1 (А = О, |А| = 1, |А| > 1), то неподвижная точка zq называется притягивающей (суперпритягивающей, нейтральной, отталкивающей, соответственно).
Если А = е2тос, а Є Q, где Q обозначает множество рациональных действительных чисел, то нейтральная неподвижная точка zq называется рационально нейтральной или параболической. В противном случае (то есть при а Є Ш \ Q) нейтральная неподвижная точка называется иррационально нейтральной.
Притягивающие неподвижные точки, не являющиеся суперпритягива-гощими, называются геометрически притягивающими неподвижными точками.
Для изучения поведения последовательности итераций вблизи неподвижной точки большую роль играет существование локальной замены переменного, приводящей функцию / к нормальной (канонической) форме.
Определение 3. Говорят, что функция / линеаризуемая неподвижной точке zq, если при A := /'{zq) функциональное уравнение Шредера
(pof-Xtp, (2)
имеет нетривиальное (т.е. отличное от постоянного) решение (р, аналитическое в некоторой окрестности точки zq. При этом точку zq будем называть линеаризуемой (для функции /). Если же / не является линеаризуемой в неподвижной точке zq, то будем говорить, что точка zq иелинеаризуемая.
Замечание 1. Известно (см., например, [16, стр. 10-12] или [17, 8-11]), что отталкивающие и геометрически притягивающие неподвижные точки всегда линеаризуемы, а параболические и суперпритягивающие — всегда нелинеаризуемы. При этом притягивающие неподвижные точки лежат в множестве Фату ^F(f), а отталкивающие и параболические — в множестве Жгалиа J(f).
Если иррационально нейтральная неподвижная точка zq лежит в множестве Фату ^(/), то она линеаризуема. В этом случае она называется точкой Зигеля. Если же zq Є *7(/), то она является нелинеаризуемой и называется точкой Кремера.
Определение 4. Пусть z0 Є 3^(/) — неподвижная точка функции /. Непосредственным бассейном A*(zq,J) неподвижной точки zq называется компонента связности множества Фату ^(/), содержащая точку z$. Бассейном A(zfj, f) неподвижной точки го называется множество всех точек z Є J~{f), таких что fn(z) Є A*(za,f) для некоторого п Є N. Непосредственный бассейн точки Зигеля zq называется диском Зигеля, а сама точка zq — его центром.
Замечание 2. Известно (см., например, [18]), что диск Зигеля S конформно эквивалентен единичному кругу Ю> := {z : \z\ < 1}, причём если zq — его центр, то аналитическая функция ip, tp(zo) = 0, ^{zq) > 0, конформно отображающая S на В>, удовлетворяет уравнению Шрёдсра (2) при A := f'(zo). В частности, функция / однолистна в S.
Определение 5. Пусть п Є N. Притягивающие (нейтральные, отталкивающие) неподвижные точки функции /" называются притягивающими (соответственно нейтральными, отталкивающими) периодическими точками функции /, а число п — их периодом.
Приведём одну из классических теорем комплексной динамики.
Теорема А. Множество Жюлиа J"{f) совпадает с замыканием (относительно 1>) множества всех отталкивающих периодических точек функции /.
Первоначально этот результат был независимо получен П. Фату [19] и Г. Жюлиа [20] для рациональных функций (5) := С). Первое доказательство для целых функций (> :~ С) было дано И. Н. Бейкером [21]. В случае ) := С* Теорему А доказал П.Бхаттачария [22].
Для наших дальнейших рассуждений необходимо несколько обобщить данные выше определения. Пусть Я С > — некоторая область. Если множество С \ Я содержит не менее трёх точек, то Я называется гиперболической областью. В противном случае будем говорить, что область ІІ пегиперболическая. Рассмотрим произвольную меро-морфную функцию / : Я -+ 2), не делая никаких предположений о том, определена ли она в точках z Ъ \ it. При этом области определения итераций /", п Є N, могут отличаться от области определения функции /ив общем случае будут зависеть от п. Говоря строго, это означает, что рекуррентное соотношение (1) заменяется
следующим:
/^Я^С, /*:=/, (3)
Г+1:(/П)_1(І1)^С, /n+1 :=/<>/", ПЄМ.
Таким образом, общепринятое Определение 1 множеств Фату и Жюлиа в данном случае нуждается в замене. Введем обозначение
Определение 6. М?юэ1сеством Фату Р(/,51) функции / (относительно области Я) будем называть множество всех точек z Є Я, для которых существует открытая связная окрестность Uz, удовлетворяющая следующим двум условиям:
(і) для каждого п N функция /" определена в UZ1 то есть Uz С #(/,Я);
(ii) последовательность {/"}neN образует нормальное семейство в области Uz.
Дополнение множества Фату J"(/,it) := ii\!F(f,it) будем называть мпожестволі Жюлиа функции / (относительно области it).
С заменой F{f)% J{f), %> па ^*(/,Я), і7(/,Я), Я, соответственно, Определения 2-5 сохраняют корректность, а Замечание 1 — справедливость,
при условии, что / отлична от постоянной и fn не совпадает с тождественной функцией ии для одного п Є N. Утверждение Замечания 2 при этом будет иметь место, если в случае негиперболической области Я исключить из рассмотрения дробно-линейные функции /.
Так как одна и та же функция / : 2) —» 5) может рассматриваться и как отображение из 2) в , и как отображение из Я ф > в >, то во втором случае вместо A*{zq, /) и A(zq, /) будем писать A*(z0, f,U) и Л(г0, /,it), соответственно, указывая явно область Я, также как в обозначении множеств Фату и Жюлиа.
Случай, когда U := С, J) := С и / - трансцендентная мероморфная функция, рассмотрен в [23].
В диссертационной работе рассматривается случай, когда Я С С и / : ІІ —у С — аналитическая функция.
Замечание 3. Из Определения 6 вытекает, что множество Фату .^(/, Я) открыто, а множество Жюлиа J~(f, it) замкнуто относительно it. Условие (І) в этом определении в частности означает, что fn(Uz) С it для всех п N. Поэтому в силу признака Монтеля (см., например, [24, стр. 68-70]) условие (і) влечёт выполнение условия (и), если область Я является гиперболической. Следовательно, в этом случае множество Фату JP"(/, ІІ) совпадает с внутренностью int (?(/, Я)) множества E(f,il).
Одной из интересных проблем комплексной динамики является вопрос о существовании в заданной области U С E(f,iX) так называемых дробных итераций функции /. Будем следовать терминологии, принятой в [25]. Пусть U С E(f,iX) — некоторая область и / : U -э- U. Через 3(f,U) обозначим полугруппу относительно операции композиции, образованную множеством {(f\u)n ' п Є N}, где f\u обозначает сужение функции / на область U.
Определение 7. Полугруппа (/, U) называется вложимой (в области U) если существует семейство {/f}f^o аналитических функций f* : U — U,
удовлетворяющее следующим условиям:
(i) f(z) = z,f\z)=f(z),zeU; (ii) Is Iі = ft+s Для любых , s ^ 0; (пі) /' —> / при -> +0 в топологии равномерной сходимости внутри /.
Если S'f/j U) вложима, то /f, j^ 0, называются дробными итерациями функции / в области U. При этом, однако, вовсе не предполагается, что семейство {/f}^ot удовлетворяющее условиям (i)-(iii), единственно.
Перейдём теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из 12 параграфов, разделённых на 3 главы. Доказываемые в работе Теоремы, Леммы и Предложения нумеруются независимо друг от друга арабскими цифрами. Заимствованные утверждения обозначаются заглавными латинскими буквами.
Введём обозначения, необходимые для изложение основных результатов диссертации. Через D(wo,p) будем обозначать открытый круг {w С : \w — №q| < p}i а. через dist(-, ) — евклидово расстояние в плоскости С. Для единичного круга D(0,1) зарезервируем обозначение Р. Далее, через дА будем обозначать границу множества Л С С, и пусть А :— Аид А — замыкание множества А. Для произвольного с Є С и множества Y точек комплексной плоскости или комплекснозначных функций через 6Y будем обозначать множество {су : у Є Y}.
Пусть Д С С — область, содержащая точку z ~ 0, о; — иррациональное действительное число, и W С С — область, содержащая точку Aq := е27Па. Обозначим через W(H, W, а) класс всевозможных семейств / : W X U —> С; (A, z) ь-> f\(z) аналитических функций Д, удовлетворяющих следующим условиям:
(і) отображение /:^xil-)C; (А,г) и f\{z) является аналитическим по обоим переменным, А и z, во всей области определения;
\T
(ii) для каждого Л Є И7 и достаточно малых z справедливо разложение f\{z) = Xz-\-a2{X)z2 + ... ;
(iii) функция /л0 имеет диск Зигеля с центром в точке Z — О,
Для того, чтобы исключить возможность диска Зигеля, конформно эквивалентного комплексной плоскости, будем для случая негиперболической области Я предполагать, что
(iv) функция /д0 отлична от дробно-линейной.
Зафиксируем произвольное семейство / Є 9Л(И, W, а). Для краткости введём обозначение S = S[f] :— .Д*(0,/л0,11). Для г Є [0,1] положим 5Г := ф(гЩ, Cr := dSr. Здесь и далее ф — конформное отображение единичного круга Ш на диск Зигеля S Э 0 функции /а0, удовлетворяющее условиям нормировки ^0(0) = 0, ^'(0) > 0, и tp ;= ф~г. Далее, пусть U — некоторая область, содержащая точку z = 0. Обозначим
r{U) := max {г Є [0, l]:SrCU].
Перейдем теперь непосредственно к освещению содержания работы.
Наряду с исследованием характеристик асимптотического поведения последовательности итераций, одной из основных проблем комплексной динамики является изучение изменения этих характеристик при изменении итерируемой функции. Ряд работ по этой тематике посвящен исследованию зависимости множеств ^{/) и ${f) от функции / в классах полиномов и рациональных функций фиксированной степени [26-30], в классах целых [31-35] и мероморфных [36-38] функции. С этими исследованиями тесно связана проблема изучения свойств отображения Л v-+ Д*(0,/а,Н), А Є W, / Є ЯЛ (it, Ж, о;), которой посвящена Глава І. В качестве основной рассматривается задача о сходимости последовательности областей A*(zQ,f\n) к A*(zQ,f\) как к ядру относительно z ~ 0 при А„ —> А W, Хп є W П В, n G N. При помощи весьма элементарных рассуждений можно показать,
что указанная сходимость будет иметь место, если |А| < 1. Доказательство этого утверждения неявно содержится в ряде работ (например, [26, 32, 36]). Те же рассуждения показывают, что A*{zo,fn) сходится при п —> +оо к {zo} как к ядру, если точка 2 = 0 является иелииеаризуемой нейтральной неподвижной точкой для /д. Таким образом, наибольший интерес представляет случай, когда z = 0 является точкой Зигеля функции /д, то есть Л„ —> А = Ао :— е2та. Именно этот случай рассматривается в диссертационной работе. Изложим результаты, полученные в каждом из параграфов Главы I.
Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Основной его частью является доказательство Леммы 1, используемой на протяжении всей Главы I. Рассмотрим некоторый угол Штольца Д в точке Ао (относительно ID), и пусть IVo := W П Д. Одним из следствий Леммы 1 является
Предложение 3. Имеет место равенство
\imr{A*(0,fx,il)) = l. (*)
А—>/\о А Є Wb
В работе [34] приведено доказательство Предложения 3 для случая, когда Я:=Си число а является диофантовым, то есть существуют є > 0, к > 0, такие что \а — p/q\ > e/qK для любых взаимно простых р Є Z, q Є N. Нами используется иной метод доказательства, позволяющий избежать каких-либо условий на иррациональное число а. Более того, в качестве основного результата 1.2, получена количественная версия Предложения 3, дающая в случае 5 С ІД оценку сверху порядка малости функции є(г), такой что г(Л*(0,/л,Я)) ^ г при всех А Є W0 П D(A0je(r)) и г- Є (0,1). Эта оценка сильно зависит от свойств числа а. Обозначим через qn знаменатель п-ой подходящей дроби числа а, и пусть (х) := qna{x)-> гАе щ(х) равно наименьшему из всех п Є No, для которых 2qnqn+i/(qn -f qn+i) ^ х. Нами доказана
Теорема 1. Пусть S С il. Тогда существует постоянная С > 0 и функция є : (0,1) -» (0,+оо), удовлетворяющие следующим условиям:
(г) г (Л* (О, /л, И)) ^ г при всех А Є W0 П D(A0,e(r)) и г Є 0,1),
(іі) є{г) > C(l - r)3/^((l - г)-1-601) при всех r Є 0,1).
В явном виде функция є (г) определена в доказательстве Теоремы 1.
Главным результатом 1.3 является доказательство теоремы о том, что A*(0,f\) —^ S как к ядру, когда А —» Ао по некасательным путям (относительно Р). Приведем строгую формулировку этого утверждения.
Теорема 2. Пусть Хп Wq := W Г\ А. для всех п Є N и Хп —» Ао при п —> +СО. Тогда последовательность областей A*(0,f\n,U) сходится к области S как к ядру относительно точки z = 0.
Также в 1.3 показано, что аналогичное утверждение для сходимости по метрике Хаусдорфа
dH{X,Y) := тах{<(Х,У),d(X,Y) := sup inf \z - ш|,
в общем случае не имеет места. Иррациональное число а называется числом Брюно, если последовательность qn знаменателей его подходящих дробей удовлетворяет условию
te<+oo. (5)
п=0 Чп
Множество всех чисел Брюно обозначим через В.
Теорема 3. Пусть а Є В. Тогда существует /:—/* 9П(Ю>, С, л), такое что для всякой последовательности {Хп Є PjneNj сходящейся к Xq, последовательность областей .4*((),/ ,Ю>) не сходится к области S по метрике djj-
В 1.4 сформулировано достаточное условие равномерности достижения предела (*) относительно выбора семейства / Є Є С Wl(il,W>a). Доказана следующая
Теорема 4. Пусть & С 9Л(ІІ, W, а). Если
sup {|/a(z) - h0{z)\ : / Є 6, z Є К, |А - А0| < 5} < +со для есея к<шшігстоо К С 11 и <5 Є (0,5*), где 5* := dist(Ao,c?W), w область
Uo := U 5ІЛ /ее
является гиперболической) то
"а (^--^(0, л,«))) = 1.
AeW0
Параграф 1.5 посвящен вопросу о дробных итерациях функций семейства {/л}лєТ7- Из Замечания 2 следует, что для А :— Aq полугруппа итерации 3"{/л, -4*0, /л,Я)) функции /д вложима в непосредственном бассейне Л*(0,/д,ІІ) = 5 неподвижной точки z = 0. Если же А Є Wo \ {0}, то из общих соображений можно гарантировать вложимость полугруппы (f\, U) лишь в некоторой окрестности U точки z = 0. Главным результатом 1.5 является
Теорема 5. Для каэ/сдого г (0,1) найдётся ejr > 0, такое что для всех А Є Wo П D(Ao, jr) существует область U, Sr С U С Я, для которой полугруппа $(f\,U) влоэ/сима.
Непосредственным следствием Теорем 2 и 5 является
Теорема 6. Всякому А Є WnD\{0} люжпо поставить в соответствие область U(\) Э 0, так чтобы были справедливы следующие утверждения:
(г) для всякого А Є W ПВ \ {0} полугруппа ^(/л, U(Xfj вложима;
(И) если \п -} Ао при п —> -boo и Хп Є Wo := Wfl А, п Є N, для некоторого угла Штольца Д в точке Ао, то последовательность областей U(\n) сходится к S как к ядру относительно точки z — 0.
Одним из актуальных вопросов комплексной динамики является оценка размера бассейна неподвижной точки. Однако нам известна лишь две публикации [12, 39] по этому вопросу. В работе [39] рассматривается довольно частный случай квадратичных полиномов. В работе [12] получена нижняя оценка конформного радиуса диска Зигеля относительно его центра через мультипликатор и радиус однолистности. Глава II данной диссертационной работы посвящена точной нижней оценке расстояния неподвижной точки до границы её бассейна в классах А5е всех целых функций f(z) = \z + a,2Z2-\-..., сужение которых на единичный круг однолистно. Постановка задачи аналогична таковой в [12] и обоснована тем, что для всякой целой функции /, локально однолистной в неподвижной точке zq, функция /i :—T~lofoT, T(z) :~ ruz + z0, где ru > 0 обозначает радиус однолистности / в точке zq, принадлежит классу XSe при A := f'(zo), и для всех п Є N справедливо соотношение fn = Tofo T~l.
Полагая Л*(0, /) := {0} в случае 0 Є »/(/), введём следующие обозначения
R{f) := dist(0,a4*(0,/)), f є ASe, А ф 0,
7г(А) := inf Д(Д А ф 0.
Следует отметить, что класс Aнепрерывного функционала. Пусть
#5(/):=dist(0,cU*(0, /,)), /Є AS, А 7^ 0,
KS(X) := inf Rs(f), ХфО. Главным результатом 2.1 является
Теорема 7. Для каоїсдого А В \ {0} имеет место следующее равенство
ЩХ) = KS{X). (**)
Равенство (**) позволяет на протяжении 2.2-2.4 рассматривать вместо функционала R функционал Rs.
Параграф 2.2 имеет целью доказательство Теоремы 8, дающей (в общем случае не точную) оценку снизу функционала Rs на классе XS для А В \ [0,1). Заметим, что как следует из теоремы роста для класса S (см., например, [24, стр. 53]), справедлива оценка
Rs(f) > 1 ~ л/\М, /Є AS, АєШ>\{0}. (7)
Иными словами, 7(А) ^ 1 — л/|А| для всех А Є Ш \ {0}. Пример перенормированной функции Кёбе Xk(z) := Xz/(1 — z)2 показывает, что это неравенство обращается в равенство для всех А Є (0,1), и в этом случае оценка (7) является точной. Не формулируя здесь Теорему 8, приведём два следствия из неё, получение которых составляет содержание 2.3.
Теорема 9. Если X О\[0,1), то оценка (7) не является точной.
Теорема 10. Для всякого t Є (0, 2тг) существует //q > 0, такое что
да.) = м + 2-^Т7?
при всех fl Є (0, //q)
В 2.4 изучаются свойства точной оценки 7 (А) как функции А Є ID. (При этом полагаем 7^(0) := 1.) В частности показано, что TZs(X) непрерывна во внутренних точках круга В. В то же время известно [12], что 71(е2п1а) больше нуля если а Є В, и равно нулю если а Є Е \ В. Из этого следует, что функция 71$(А) разрывна в каждой точке множества ехр(27гШ), то есть почти всюду па Т := сШ> (см., например, [17, стр. 153-157]). Главный результат 2.4 состоит в следующем.
Теорема 13. Функция 7Zs(X), А 0, обладает в каждой точке Ао Є Т угловым пределом, совпадающим с её значением TZs{Xq) о этой точке.
Оценка скорости покрытия линий уровня диска Зигсля бассейнами притяжения
Если S f/j U) вложима, то /f, j 0, называются дробными итерациями функции / в области U. При этом, однако, вовсе не предполагается, что семейство {/f} ot удовлетворяющее условиям (i)-(iii), единственно.
Перейдём теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из 12 параграфов, разделённых на 3 главы. Доказываемые в работе Теоремы, Леммы и Предложения нумеруются независимо друг от друга арабскими цифрами. Заимствованные утверждения обозначаются заглавными латинскими буквами.
Введём обозначения, необходимые для изложение основных результатов диссертации. Через D(wo,p) будем обозначать открытый круг {w С : \w — №Q p}i а. через dist евклидово расстояние в плоскости С. Для единичного круга D(0,1) зарезервируем обозначение Р. Далее, через дА будем обозначать границу множества Л С С, и пусть А :— Аид А — замыкание множества А. Для произвольного с Є С и множества Y точек комплексной плоскости или комплекснозначных функций через 6Y будем обозначать множество {су : у Є Y}.
Пусть Д С С — область, содержащая точку z 0, о; — иррациональное действительное число, и W С С — область, содержащая точку AQ := е27Па. Обозначим через W(H, W, а) класс всевозможных семейств / : W X U — С; (A, z) ь- f\(z) аналитических функций Д, удовлетворяющих следующим условиям: (і) отображение /: xil-)C; (А,г) и f\{z) является аналитическим по обоим переменным, А и z, во всей области определения; (ii) для каждого Л Є И7 и достаточно малых z справедливо разложение f\{z) = Xz-\-a2{X)z2 + ... ; (iii) функция /л0 имеет диск Зигеля с центром в точке Z — О, Для того, чтобы исключить возможность диска Зигеля, конформно эквивалентного комплексной плоскости, будем для случая негиперболической области Я предполагать, что (iv) функция /д0 отлична от дробно-линейной. Зафиксируем произвольное семейство / Є 9Л(И, W, а). Для краткости введём обозначение S = S[f] :— .Д (0,/л0,11). Для г Є [0,1] положим 5Г := ф(гЩ, Cr := dSr. Здесь и далее ф — конформное отображение единичного круга Ш на диск Зигеля S Э 0 функции /А0, удовлетворяющее условиям нормировки 0(0) = 0, (0) 0, и tp ;= ф г. Далее, пусть U — некоторая область, содержащая точку z = 0. Обозначим Перейдем теперь непосредственно к освещению содержания работы. Наряду с исследованием характеристик асимптотического поведения последовательности итераций, одной из основных проблем комплексной динамики является изучение изменения этих характеристик при изменении итерируемой функции. Ряд работ по этой тематике посвящен исследованию зависимости множеств {/) и ${f) от функции / в классах полиномов и рациональных функций фиксированной степени [26-30], в классах целых [31-35] и мероморфных [36-38] функции. С этими исследованиями тесно связана проблема изучения свойств отображения Л v-+ Д (0,/А,Н), А Є W, / Є ЯЛ (it, Ж, о;), которой посвящена Глава І. В качестве основной рассматривается задача о сходимости последовательности областей A (zQ,f\n) к A (zQ,f\) как к ядру относительно z 0 при А„ — А W, Хп є W П В, n G N. При помощи весьма элементарных рассуждений можно показать, что указанная сходимость будет иметь место, если А 1. Доказательство этого утверждения неявно содержится в ряде работ (например, [26, 32, 36]). Те же рассуждения показывают, что A {zo,fn) сходится при п — +оо к {zo} как к ядру, если точка 2 = 0 является иелииеаризуемой нейтральной неподвижной точкой для /д. Таким образом, наибольший интерес представляет случай, когда z = 0 является точкой Зигеля функции /д, то есть Л„ — А = Ао :— е2та. Именно этот случай рассматривается в диссертационной работе. Изложим результаты, полученные в каждом из параграфов Главы I. Параграф 1.1 носит вспомогательный характер. Основной его частью является доказательство Леммы 1, используемой на протяжении всей Главы I. Рассмотрим некоторый угол Штольца Д в точке Ао (относительно ID), и пусть IVo := W П Д. Одним из следствий Леммы 1 является В работе [34] приведено доказательство Предложения 3 для случая, когда Я:=Си число а является диофантовым, то есть существуют є 0, к 0, такие что \а — p/q\ e/qK для любых взаимно простых р Є Z, q Є N. Нами используется иной метод доказательства, позволяющий избежать каких-либо условий на иррациональное число а. Более того, в качестве основного результата 1.2, получена количественная версия Предложения 3, дающая в случае 5 С ІД оценку сверху порядка малости функции є(г), такой что г(Л (0,/л,Я)) г при всех А Є W0 П D(A0je(r)) и г- Є (0,1). Эта оценка сильно зависит от свойств числа а. Обозначим через qn знаменатель п-ой подходящей дроби числа а, и пусть (х) := qna{x)- гАе щ(х) равно наименьшему из всех п Є No, для которых 2qnqn+i/(qn -f qn+i) х. Нами доказана Теорема 1. Пусть S С il. Тогда существует постоянная С 0 и функция є : (0,1) -» (0,+оо), удовлетворяющие следующим условиям: (г) г (Л (О, /л, И)) г при всех А Є W0 П D(A0,e(r)) и г Є 0,1), (іі) є{г) C(l - r)3/ ((l - г)-1-601) при всех r Є 0,1). В явном виде функция є (г) определена в доказательстве Теоремы 1. Главным результатом 1.3 является доказательство теоремы о том, что A (0,f\) — S как к ядру, когда А —» Ао по некасательным путям (относительно Р). Приведем строгую формулировку этого утверждения. Теорема 2. Пусть Хп WQ := W Г\ А. для всех п Є N и Хп —» Ао при п — +СО. Тогда последовательность областей A (0,f\n,U) сходится к области S как к ядру относительно точки z = 0.
Достаточное условие равномерности покрытия линий уровня диска Зигеля бассейнами притяжения
В случае (Hyp) имеем включение Г С .F(/A0,K), из чего в силу связности множества Г Э 0, находим, что ZQ Є Г С S. В то же время, по построению, zo $ S. Полученное противоречие доказывает утверждение (іі). На этом доказательство Теоремы 2 в случае гиперболической области it завершено.
Пусть теперь имеет место случай (Euc). Так как кривая Г соединяет точку z 0 Е S с точкой ZQ 5, то пересечение TDdS не пусто. В силу того, что dS С J(f\0}U), получаем U П 7(/A0)U) ф 0. Поэтому из Теоремы А следует, что область U := U \ {0} содержит по крайней мере одну периодическую точку z функции /д0. Обозначим её период через т N. Из равномерной сходимости последовательности /лп внутри Д = Ск функции fx0 следует равномерная сходимость последовательности hn, hn(z) := fj (z) — z, внутри той же области к функции ho, ho(z) :— f {z) — z. Следовательно, согласно теореме Гурвица, для всякого достаточно большого п функция f\n имеет по крайней мере одну периодическую точку zn Є V, С другой стороны по построению U С И. (0,/лп,И) \ {0}, п N, поэтому в силу Замечания 4, каково бы ни было п Є N, область V не может содержать периодических точек функции /дл. Полученное противоречие доказывает утверждение (іі), завершая тем самым доказательство Теоремы 2 в случае Я = С.
Остается рассмотреть случай (Cyl). Используя линейные преобразования плоскости, будем не умаляя общности считать, что Я = С \ {1}. Если /л0(Я) С И, то все аргументы, приведённые в доказательстве для случая (Euc), сохраняют силу и для случая (Cyl). Если же это условие не выполнено, то единственным неправомерным элементом доказательства будет ссылка на Теорему А.
Таким образом, достаточно показать, что область U содержит периодические точки функции f\0. Так как U П 7(/д0,Я) ф 0 и U С ?(/А„,Я), то семейство {/" }„ен пе является нормальным в области U\ причём каждая из функций /д , я 6 N, не принимает в этой области значений 1 и со. Следовательно, нормальным в области Vі не является также и семейство, образованное функциями каждая из которых не принимает там значений 1 и со. Поэтому вследствие признака Монтеля, найдётся т Є N, такое что функция фт имеет по крайней мере один пуль z в области U . Равенство фт(г ) — 0 влечет равенство f\ (z ) = , то есть точка 2 Є V является периодической для функции /д0.
Тем самым доказательство Теоремы 2 закончено и в случае (Cyl). Покажем теперь, что для сходимости по метрике Хаусдорфа утверждение, аналогичное Теореме 2 не верно, а именно, справедлива следующая Теорема 3. Пусть а В. Тогда существует /:=/ 9Л(Р,С, а), такое что для всякой последовательности {Хп Є 3D }ngN сходящейся к Ао, последовательность областей Л (0, /д , В ) не сходится к области S по метрике dn Рассмотрим семейство / : С х В — С; (A, z) t- f\{z) = Аг + 3z2. Замечание 9. Известно ([26, Corollary 7.6], см. также [37]), что отображение Р К(Р) := С \ .4(со, Р) множества Vd многочленов фиксированной степени d 1 в множество компактов на плоскости С является непрерывным относительно метрики Хаусдорфа в точке PQ Є Vd при условии, что функция PQ не имеет в С параболических периодических точек. Замечание 10. Условие а В гарантирует [G7, стр. 90, Теорема 6], что 2 = 0 является для /д точкой Зигеля. Таким образом, / Є ЯЯ(В, С, а). Замечание 11. Функции /д можно рассматривать на всей комплексной сфере С. Точка со является суперпритягивающей для каждой из них, причём /д (С \ В) С С \ В для всех А Ш. Поэтому C\Dc Л (со,/;) при А Є Р. С другой стороны, .4(оо, Р) — А (ос, Р) для всякого многочлена Р степени d 2 (см., например, [17, стр. 119, Лемма 9.4]). Таким образом, Замечание 12, Итерации квадратичных полиномов хорошо изучены. В частности, относительно семейства gc{z) := z2 + с, с Є С, известно (см., например, [60, Chapter VIII]), что если функция дс имеет притягивающую неподвижную точку или точку Зигеля, то она не имеет параболических периодических точек, 8Л {оо,дс) = дК(дс) = J(gc) и К{дс) = Ы(К(дс)), причём множество int(/C( 7c)) является объединением всех ограниченных компонент связности множества Фату F(gc), совокупность которых в первом случае ограничивается непосредственным бассейном притягивающей неподвижной точки, а во втором — множествами [д) (Si), п Є N, где S\ — диск Зигеля функции дс. Доказательство Теоремы 3. Замена переменного С, — T(z) := 3z — А/2 сводит отображение /д, действующее в плоскости (z), к отображению Т о /д о Т г = дс, с = с(А) := А(2 — А)/4, действующему в плоскости (Q. Перенося утверждение Замечания 12 на функции /д, обнаружим, что 1ОД) = ;4 (0,Я,Ш ) для всех А Є В, и K(fto) = .4(0,/ 0), причём функция /д не имеет параболических периодических точек. В силу Замечаний 9 и 11, достаточно показать, что среди ограниченных компонент множества Фату 3 {f\ ) найдётся отличная от диска Зигеля S. Для этого заметим, что /д (—А/3 — z) = /д (z), z Є С, и покажем что мно жество 5 :— {-А/3 — z : z Є 5} С .4(0, /д , В1) не лежит в 5. Предположив противное, в силу односвязности области S находим, что —А/6 5,и сле довательно функция /д не является однолистной в S, что противоречит Замечанию 2. Тем самым доказательство Теоремы 3 завершено.
Свойства точной нижней оценки функционала Rs как функции мультипликатора
Учитывая, что AJE С О при всех j Є No, из (59) получаем, что QT С П. Так как область Q, односвязна, то вместе с окружностью QT в ней лежит замкнутый круг оЖ Поэтому существует ро 0, такое что Фі(геВ) С роВ С Q. Таким образом, полагая g (z) :— (р 1 (е п+2ж1 pi(z)), t 0, z Є U .— рї (PQD), завершаем доказательство Леммы 6. Доказательство Следствия 1. Применяя Лемму б к функции g при к := NKQ, (3 := NJ3Q, получим однопараметрическую полугруппу {д } о Всякая аналитическая функция р\, (fi(0) = 0, удовлетворяющая в окрест ности точки z 0 уравнению Шредера (2) при / :— /i, А : h (0), удовлетво ряет ему и при / := д, А := д (0). Следовательно, в силу того, что решение уравнения Шредера единственно с точностью до умножения на постоян ную (см.,например, [17, стр.99, Теорема 8.2]), из доказательства Леммы б явствует, что при указанном выборе /3 имеем равенство д1 = h. Таким образом, полагая Ы := д , і 0, z Є U, завершаем доказательство След ствия 1. D Для того чтобы применить Лемму G в доказательстве Теоремы 5, необходимо следующее вспомогательное утверждение. Предложение 5. Пусть До := е2піа, а Є R\Q, u iV Є N. Тогда для всякого 5 0 существует Є\ 0, такое что если, в условиях Следствия 1, A:= /(0)eD(A0,i), то подходящую дробь p/q числа J3 можно выбрать так, чтобы ге 1 — 5. Доказательство. Зафиксируем произвольное 5Q 0. Нетрудно видеть, что достаточно показать существование чисел 2 0, є$ 0, таких что при всех 0 Є Е, /5 — Na\ 2, и к є (—єз, 0], найдётся подходящая дробь р/д числа /?, для которой ( jr — 1)к 50 и rj 6Q. Как известно (см., например, [61, стр.233]), по Є N можно выбрать, так чтобы qno{Na) 1, n(l/qno{Na) + 1/д„0+і(ЛГог)) 0 и \Na-Pno+l{Na)/qna+1(Na)\ l/(V5{qna+l{Na))2), где pj(Na)/qj(Ncx), j є No, — подходящие дроби числа Na. С другой стороны, также известно (см., например, [61, стр. 229J), что если /3—а/Ь\ 1/(262) для некоторой несократимой дроби а/Ь, то эта дробь является подходящей для числа j0. Поэтому если j/? - iVa є2 := (1/2 — l/Vb)/(qno+i(Na))2, то дробь pno+i(Na)/qno+i(Na), являются подходящей для числа /3. В силу Замечания 5 это означает, что при всех /3, \/3 — Na\ е іл справедливы равенства qj(j3) = qj(Na), j = 0,1,..., щ + 1. Таким образом, полагая 3 := S0/(qno(Na) - l), p/q := ptlQ{Na)/qno(Na)) завершаем доказательство Предложения 5. D Следующее утверждение хорошо известно. Однако нам не удалось найти его обоснования в литературе. Поэтому приведём его здесь вместе с доказательством, которое основано на применении теоремы Гурвица. Предложение 6. Если последовательность аналитических функций hn : D — С сходится равномерно внутри области D к однолистной функции h, то для всякой области G, G С D, существует по = щ(Сг), такое что при всех п щ функции hn однолистны в G. Доказательство. Предположим противное. Переходя при необходимости от последовательности hn к её подпоследовательности, можно без потери общности считать, что для каждого п Є N функция hn не является однолистной в области G, то есть существует пара точек z n,z G% таких что hn(zn) = hn(z n) — wn- Пусть ад — одна из предельных точек последовательности гпп. Опять переходя при необходимости к подпоследовательности, можно считать, что wn — w при п — -Ьоо. В силу равномерной сходимости последовательности hn на G и ограниченности предельной функции h на этом множестве, равенство ги = со не возможно. Выберем произвольно область G , так чтобы G С G и G С Д. Согласно теореме Гурвица (см., например, [66, стр.426]), для всякого достаточно большого п Є N число пулей Мп функции h n{z) := hn(z) — wn в области G (подсчитанное с учётом кратности) совпадает с числом нулей функции h {z) := h{z) — w в этой же области, а значит, не превышает единицы. С другой стороны, по построению Мп 2, я Є N. Полученное противоречие доказывает Предложение 6. Доказательство Теоремы 5. Зафиксируем произвольное г (0,1). Требуется доказать, что для всех А И о, достаточно близких к AQ, существует область U, Sr С U С И, такая что полугруппа #(/ U) вложим а. Выберем любое го Є (г, 1). Применяя Лемму 1 для тех же значений N и т, что и при доказательстве Теоремы 1, получаем, что f\(Sro) С 5Го при всех А Є И о П D(Ao, " ), для некоторого є 0. Заметим, что в силу леммы Шварца вложение f\(Sro) С Sra влечёт /ft n) С 5Г] для всех п г0 51 Так как f\(z) — f\0{z) при А - Ао равномерно внутри области Я, то f\iz) f 0(z) ПРИ — Ао равномерно внутри области 5Го. Функция /д7, согласно Замечанию 2, однолистна с 5. Поэтому в силу Предложения 6, существует Є2 Є (0, є ), такое что для всех А Є И П D(Ao, 2) функция f однолистна в области 5Гі, гі := (г + го)/2. Положим /i(z) := (р{іх{Ф{тігУі)Іг\-Как следует из доказательства Леммы 2, при А Є WQ П D(AO,2) Функции /ifc = (/ ( ( 1 ))) 1, Аг = 1,2,..., iV", определены и аналогичны в единичном круге В, причём hN(B ) С , так как f\(Sri) С Г1- Кроме того, по построению функция hN однолистна в D при указанных А. Таким образом, согласно Следствию 1 и Предложению 5, для всех А Є WQ, достаточно близких к Ао, скажем А D(Ao,/r), полугруппа 3"(Л, U) вложима в некоторой области U = U(X), (г/г\)Ш С U С Р. По лагая Jx{z) = (rLh(( (z)/ri)) 0, z ф(г\11), находим, что для всех А Є WonD(Ao, є/г) полугруппа (Д, ip{r\U)) вложима и5г С ф{г\11) С 5Г1. Тем самым доказательство Теоремы 5 завершено.
Формализация экстремальной задачи как задачи оптимального управления
Проведём доказательство по индукции относительно п. Для п — 1 соотношение (88) очевидно, так как R1ut(g) = 1 для всех g ЕІА. Пусть теперь соотношение (88) верно при п = т— 1, т 1. Докажем, что оно верно и для п = т. Предположим противное. Тогда найдётся подпо следовательность gj последовательности Д, для которой существует предел Шпу-н-оо адЧй") =: П Г (/) Зафиксируем г Є (ги Я (Я) и г Є (гь г). Имеем г /2 (/) - т-і(/)- Следовательно, найдётся р Е (0,1), такое что j/"l_1(2)l Р ПРИ всех Є г В. В силу (88) для п := т— 1, найдётся jo, такое что при j jo имеет место соотношение г Rm-i(3j)- Поэтому функции 9Т+І определены в круге г В для всех / Є N. При этом из сходимости по следовательности gj к функции / равномерно внутри единичного круга Ю следует, что последовательность gf+] сходится при I — +оо к функции fm J равномерно в круге г Р. Таким образом, при достаточно больших I (таких, для которых \fm l{z) — дТ+і( )\ 1 — р при всех z Є г В) имеет ме сто неравенство \g ]{z)\ 1 N которое означает, что R t(gj0+i) г. Полученное противоречие доказывает соотношение (88) и завершает дока зательство Леммы 12. D Замечание 19. Можно показать, что на самом деле функционал i?ut непрерывен на U для каждого п Е N. Однако, для наших рассуждений в этом нет необходимости. Следующее утверждение устанавливает связь между функционалами Rs и R. Лемма 13. Пусть f Є U. Тогда для любого щ Є N справедливо неравенство RQ{f) Rs(f), причём Доказательство. Первое утверждение леммы следует из определение функционала R0 и Замечания G. Докажем соотношение (89). Для этого заметим, что согласно опреде лению при фиксированной функции / последовательность Rnif) является неубывающей, и так как она ограничена величиной Rs{f), то предел в левой части соотношения (89) существует и не превышает Rs(f). Следовательно, достаточно показать, что для любого положительного г Rs(f) существует п(г) є N, такое что R Mif) г- Согласно определению функционала Rs, неравенство г Rs(f) означает, что гШ С Е(/,Щ и последовательность /" стремится к тождественному нулю равномерно на круге rD (см. Заме чания 3 и 4). Следовательно, найдётся к Є N, для которого справедливо вложение /fc(rD) С rD. Полагая п(г) := к, получаем R(r)(f) г. Тем самым доказательство завершено. Лемма 14. ДЛЯ каоїсдого JISN функционал R является непрерывным в классеЫ. Доказательство, Заметим, что согласно определению где R (д), д Ы, к є N, есть наибольшее г 0, такое что rD С Е(д,Щ и дк(гЩ С rD. Ясно, что достаточно показать непрерывность функционалов #п . Кроме того, заметим, что Rs(g) Rn (д) для любых д Є U и п N. Рассмотрим произвольную последовательность функций {/& Є U}keH, сходящуюся в круге Ю к некоторой функции / Є U. Покажем, что Rn {fk) сходится к R?n (/) при фиксированном п и к — +со. Предположим противное. Так как последовательность Rn (fk) 1 ограничена, то переходя при необходимости к подпоследовательности, без ограничения общности можно считать, что 1) г0 Л?Ш(/). Зафиксируем г Є (Д?(1)(/),г0) и г (г,г0). Тогда существует ко, такое что для всех к ко выполняется неравенство Rs(fk) і? Rn (fk) г г. В силу Леммы 11, из этого вытекает, что Rs(f) г. Поэтому из равномерной сходимости последовательности fk к функции / внутри единичного круга В следует, что f 0+i(z)/z сходится при I — +со к функции fn(z)/z равномерно в круге гВ. Следовательно, неравенство \fk+i(z)/z\ 1 \z\ г, f Є N, которое имеет место в силу построения, определения функционала Rn и принципа максимума, влечёт неравенство j/n( z) : \z\ г, \z\ г. Последнее означает, что Ftn (/) г. Получено противоречие. 2) го ВІЇ (/). Зафиксируем г Є (ro,i& (/)), г Є (го, г). Так как Яп (/) Rnnt(f), то вследствие Леммы 12 существует ко, такое что для всех к ко выполняется неравенство 7?ut(/fc) г. Заметим также, что R ut(f) Rn (/) г. Поэтому функции /", / определены в круге гВ для всех fc Є N. При этом из сходимости последовательности ff. к функции / равномерно внутри В следует, что последовательность fk(z)/z сходится при к — +оо к функции fn(z)/z равномерно в круге г В. Так как \fn(z)/z\ р для некоторого р (0,1) и всех z Є г В, то при достаточно больших к имеем \frkl(z)/z\ 1, \z\ г. Таким образом, го г, что противоречит построению.
![О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями](/i/i/4377/303944.png "О приближении функций класса Wap([0,1]2) билинейными функциями Меленцов Александр Александрович")