Введение к работе
/
Актуальность. В нашей стране интерес к достаточным условиям
однолистности аналитических функций проявляется в нескольких научных центрах, начиная с работ И.Е.Базилевича, В.А.Змбровича, П.П. Куфарева. Заметную роль играют исследования, проводимые в Казани и Ростове-на-Дону (Ф.Г.Авхадиев, Л.А.Аксентьев, С.Н.Кудряшов, B.C. Рогожин, П.Л.Шабалин).
Достаточные условия однолистности составляют заметное место в работах зарубежных математиков. Значительные продвижения в этом направлении получили 3.Нехари, К.Носиро, С.Одзаки, В.Паатеро, Т. Умедзава. С применением теории квазиконформных отображений, теория уравнения Левнера-Куфарева Л.Альфорс, Й.Беккер, Ф.Геринг, О.Лехто, К.Поммеренке развили новое направление. Современные достижения по достаточным условиям однолистности приведены в обзорах '' '.
Актуальные и трудные задачи по достаточным условиям однолистности связаны с конкретными оценками различных функционалов для аналитических функций. Необходимость числовых оценок диктуется в первую очередь приложениями, например, в обратных краевых задачах.
Изложение теории обратных краевых задач с указанием широкого диапазона приложений в математической физике имеются в монографиях Г.Г.Тумашева, М.Т.Нужина 3', Ф.Д.Гахова А\
Применение достаточных условий однолистности в обратных краевых задачах связано с различными оценками регулярных и гармонических функций. Во взаимодействии с признаками однолистности эти оценки порождают условия однолистной разрешимости обратных краевых задач, удобные при использовании их на практике. Последние дост'няе-
Авхаднев Ф.Г., Аксентьев Л.А. Основные результаты в достаточных условиях однолистности аналитических функций // Успехи мат. наук. - 1975. - Т.30, И- С.3-60.
Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Достаточные условия конечнолистности аналитических функций и их приложения // Итоги науки и техники: Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1987. - Т.25. - C.3-I2I.
Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения. - 2-е изд.,перераб. и доп. - Казань: Казан.ун-т - 1365,-
- 330 с.
Гахов Ф.Д. Краевые задачи. - 3-е изд., перераб. и доп. -
- М.: Наука, 1977. - 640с.
ния в теории однолистности обратных краевых задач приведены в об-зорах ^2),5),6).
Таким образом, необходимостью получения достаточных условий однолистности аналитических функций и на их основе однолистной разрешимости обратных краевых задач обусловлена актуальность темы настоящей диссертации.
Целью работы является построение достаточных условий однолистности в круговых областях и их применение к однолистной разрешимости обратных краевых задач в одно- и двусвязных областях.
Методика исследования. Основными методами исследований являются методы геометрической теории функций комплексного переменного: метод, основанный на теории уравнений Левнера-Куфарева, метод квазиконформного продолжения, метод подчиненности. Часть результатов получена с помощью методов, разработанных в теории обратных краевых задач.
Натчная новизна. В диссертации получены новые достаточные условия однолистности для регулярных в единичном круге, внешности единичного круга, за исключением бесконечно удаленной точки, а также регулярных в круговом кольце функций. Установлены новые оценки для регулярных функций, включающие ограничение на полную вариацию действительной части их граничных значений. Обоснована серия достаточных условий однолистности обратных краевых задач в одно- и двусвязных областях. Улучшена оценка снизу разделяющей постоянной в условии Липшица в достаточном условии однолистности внешней обратной краевой задачи. Найдены ограничения на исходные данные, обеспечивающие однолистную разрешимость некоторых прикладных 8адач.
Теоретическое значение и практическая ценность. Результаты и методы данной работы могут применяться при исследовании геометрических свойств аналитических функций, при проверке корректности основных обратных краевых задач и обратных задач теории фильтрации и аэрогвдромеханики.
Апробация работы. По мере получения результаты' диссертации
" Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Признаки однолистности прикладных обратных краевых задач, I // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.ун-т, 1987.- Вып.23.- С.6-24.
"' Авхадиев Ф.Г., Аксентьев Л.А., Елизаров A.M. Признаки однолистности прикладных обратных краевых задач, П // Тр. семинара по краевым задачам. - Казань: Казан.ун-т, 1990,- Вып.24.-С.14-38.
докладывались на семинаре по геометрической теории функций комплексного переменного в Казанском университете ( руководитель -профессор Л.А.Аксентьев), на ІУ Саратовской зимней школе по теории функций и приближений (1988 г.), на П конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (1988 г.) а также на итоговых научных конференциях Казанского университета (1990, 1991 гг.).
