Содержание к диссертации
Введение
Глава I Условия однолистности в канонических областях, отличных от круга . 16
1. Применение метода квазиконформного продолжения 16
2. Условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе 31
3. Функции с симметрией сдвига в полуплоскости . 42
4. Аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости 52
5. Функции класса С 63
Глава II Однолистная разрешимость обратных краевых задач в случае бесконечно удалённой точки на искомой границе 72
6. Исследование решения обратной краевой задачи по параметру ^ 72
7. Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач 82
8. Оценки разделяющих постоянных (случай полуплоскости) 88
9. Симметричные решения обратных краевых задач 98
10. Задача о двоякопериодической гидродинамической решётке 114
Литература 121
- Условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе
- Аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости
- Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач
- Симметричные решения обратных краевых задач
Введение к работе
В диссертации рассмотрены обратные краевые задачи (окз) теории аналитических функций для односвязных областей в случае, когда граница искомой области проходит через бесконечно удалённую точку. Исследованы вопросы существования и однолистности решения таких задач.
Теория окз для аналитических функций возникла из решения прикладных задач механики сплошных сред. Большой вклад в её создание и развитие внесли казанские математиіш и механики. Подробное изложение этой теории и её приложений можно найти в монографиях Г. Г. Тумашева и М. Т. Нужина [60] , Ф. Д. Гахова [28] , М. Т. Нужина и Н. Б, Ильинского [48] , Р. Б. Салимова [55] ; последние достижения изложены в обзорной статье [іб] .
Основные внутренняя и внешняя окз состоят в определении спрямляемого контура Lz и функции u?(z) , аналитической соответственно внутри или вне его, если заданы граничные значения 2e. = uJ(s) = u(s) + itr(s) искомой функции в зависимости от длины дуги S , 0 ^ s « і , ь - длина Lz . Эти задачи изучались во многих работах (см., напр., [60, 16] ). Исследованы вопросы существования, единственности, однолистности, устойчивости решения. Менее изучены окз в случае, когда искомый контур Le является неспрямляемым. М. Т. Нужин [47] дал постановку и решение окз в случае, когда Lz проходит через бесконечно удалённую точку. Однако дальнейшее исследование этих задач не проводилось.
Отметим, что окз с особыми точками на границах, когда в качестве параметра выступает декартова координата X , полярный радиус р или полярный угол у? , рассмотрены Р. Г. Авхадиевым
4 и Л. Н. Журбенко [I, 2] .
Одним из центральных моментов исследования окз является вопрос их однолистной разрешимости в силу того, что неоднолистные решения физически нереализуемы. На это указывали основоположники теории окз [60, с. 6, 22, 58; 28, с. 320] . Изучению однолистной разрешимости окз посвящено большое число работ (см. [ 9, 16] ). Л. А. Аксентьевым [із] выделено два направления исследований. В первом направлении - сильной проблеме однолистности - изучаются условия однолистной разрешимости окз в виде ограничений на данные функции u(s) и
; здесь р(0 - плотность, входящая в интегральное представление, которое дает решение окз после перехода к какой-нибудь канонической области (кругу, полуплоскости, полосе и т. д.).
Для продвижения в сильной и слабой проблемах однолистной разрешимости окз нужны признаки однолистности как в канонических, так и в других областях. Получение новых достаточных условий однолистности в различных областях представляет и самостоятельный интерес.
Всё вышесказанное определяет актуальность темы диссертации. Её целью является получение достаточных условий однолистности в областях, отличных от круга, и применение их к однолистной разрешимости окз в случае бесконечно удалённой точки на искомом контуре.
Кратко изложим основные результаты.
Диссертация состоит из двух глав, разбитых на десять параграфов. Нумерация утверждений единая по всей работе, формулы пронумерованы по главам.
Первая глава посвящена получению условий однолистности в полуплоскости, полосе и других областях, границы которых содержат бесконечно удаленную точку.
В I с помощью метода квазиконформного продолжения строятся условия однолистности в полосе, в бесконечных симметричных областях, достижшлых извне углами некоторого раствора, в двусвя-зных областях с аналогичной геометрической характеристикой. Опишем один из результатов.
Пусть функция uT(t,) отображает полосу { ' | Ут > | < А } на область 2) так, что выполняются условия:
Область JD является симметричной относительно вещественной оси и достижима углами раствора % f> ,/3 = (1-<*)&/% , биссектрисы которых параллельны мнимой оси. Пусть w = у> (и.) - уравнение образа прямой УтК - - А при отображении иГ(Ь) . Через Р (Я, <&) будем обозначать коэффициент гиперболической метрики области J0 относительно точки иТ . Справедлива
Теорема 3. Если функция -Р(иУ) регулярна в области # , f'(ur) и f"(ur) непрерывны и f'(ux) ФО в Ю \ {} , то Р(иТ) будет однолистной в Ю при выполнений условий:
а) Um. \fM\ = oo 1 lim l
где С ф -1 - некоторое комплексное число;
б) -Р((лг)= /Yur) , иг є 2
в)
с Г (иг)
iQA п (9) иг) u?=u + Lt/6%,
В 2 рассматриваются функции, определенные в полосе /7 = -{ fc;: 0 < Ъп> < к\ , обладающие симметрией сдвига, т.е.
удовлетворяющие условию
ffc + i) - f(c)*A, i>0, A ft О, ЬєЛ. (од)
Теорема 6. Если функция f(C) регулярна в /7 и удовлетворяет условию (0.1), то она будет однолистной в П при выполнении условия
№/{Щ «1^± р(Л9с), ь*П,
где В = алсіо (h/t) при i^k ,S = олсід (і/к) при і^к.
В этом же параграфе найдены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе по граничным характеристикам. Обозначим через f(%,p) угол, составленный касательной к образу прямой %п = Ъ при отображении с помощью функции f (Z) в точке f(+ip) с положительным направлением вещественной оси, тогда
Следствие 2. Если функция f(&) регулярна в /7 ,
УДОВЛеТВОряеТ УСЛОВИЮ (0.1), f"(Z) И f'(C) НепрерЫВНЫ VLf'fc)^
в П \ { } , то при выполнении условий
о о
функция -f(C) будет однолистной в П .
Получены также условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе в виде двусторонних и односторонних ограничений
на Ут\Ґ(Ь)/ґ'(]^\ , где г; = ? или г; = Z + ik .
В 3 с помощью методов подчиненности и симметризационной подчиненности найдены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полуплоскости по областям значений функционала F"(С) / f'() . Здесь использованы три подхода, связанные с ус-
7 '
ловиями однолистности в вще \Ут^\с(% ^2я, fo[eirf'(z)\ > О,
У* - вещественное число, и . Например,
получено такое
Следствие 4. Пусть функция f(c) регулярна в полу
плоскости j-l = {Z'-%nC^0j , удовлетворяет условию (0.1),
её производная Г(С) непрерывна и отлична от нуля в Н . Функ
ция f(C) будет однолистной в Н , если множество значений фун
кционала , принадлежит некоторой од-
носвязной области <0 , удовлетворяющей одному из условий:
1) область $ пересекается с каждой прямой %г и? = соплі
по системе интервалов с суммой длин, не превосходящей Ji3/(Z і G)
G » 0,916 - постоянная Каталана [ЗІ, с. 21] ;
2) %={ иг:\игл it\*R)t0*6*t, где R=ft(t) -корень
уравнения
алссоб _ -
(і^Ш?-
В 4 рассматриваются функции, регулярные в полуплоскости И . Для функций f(C) , имеющих в окрестности бесконечно удалённой точки представление
f(t) = с"(с, + -іі + ...; , (о.2)
где 0 ^ d
Теорема 12. Если выполняются условия
f'(z)-f(t) ф О, г: є Н,
jj %i Ф($ + if) СІВ, > - Ге , = +<'?#,
где <Р() = /fcK '(C) -mf'(t)/№ , * ^ і-ХМ , 5, , - ве-
8 щественные числа,
Класс функций, удовлетворяющих условиям теоремы 12, можно рассматривать как аналог класса Базилевича в единичном круте [24, 50, 76 ] . Класс Мт регулярных в И функций с нормировкой (0.2), удовлетворяющих условию
МШ -т~ш]* при ***-"*>
я» [-$!! -т -Щ\ * прй т лі- 1М>
аналогичен классу Мокану [72] . Доказано, что при т >1 или т < i- i/d. класс Л7т включается в класс звездообразных в Н функций.
Отметим ещё
Следствие 8. Если функция f() регулярна в полуплоскости Н , нормирована условием (0.2) и удовлетворяет требованиям
f'(C)-f(u) * 0, ЇЄ И,
то f(t) однолистна в H .
Нахождению условий однолистности функций, имеющих непрерывные частные производные в полуплоскости, полосе или кольце, посвящен 5. Здесь используется метод геометрических семейств, предложенный Б. Н. Рахмановым [51, 52] . В качестве геометрических семейств берутся семейства спиралей, в частности, лучей, и получаются классические условия спиралеобразности и звездооб-разности.
Во второй главе исследуется однолистная разрешимость окз в
9 случае бесконечно удалённой точки на искомой границе.
В 6 уточняется постановка окз в случае бесконечного искомого контура. Вводится класс искомых областей 171 . Будем говорить, что область 5)2 , не содержащая точек ветвления, принадлежит классу 171 , если её граница Lz является локально спрямляемой, за исключением конечного числа точек А± f ... 1 AHf которые могут находиться в бесконечности. Участки границы Lz между точками А. и &!+1 , j= 1,п ( "і = /Л*і), будем обозна-чать через L,z: .
Задача I. Требуется найти область и функцию UX(i) , аналитическую в этой области, если на каждой кривой Lz; , J = і, п , известны значения функции ^(i) ;
ЫТ(ъ) = и)' (S) = U.(S)fiO}(S) , -oo*;S*c. (0.3)
г б Lgj J J J .
Здесь \S\ - дуговая абсцисса контура, знак S указывает направление отсчёта от некоторой фиксированной точки на контуре.
Предположим, что lJ/CsA ф и?> () при любых конечных S, и
^,/,^=-^ » и uT.(st) ф cd. (SJ при 6f Ф S2 . При
этих ограничениях в плоскости иг получится область, граница которой не имеет точек самопересечения. Пусть функции U-(S) И iX(S) имеют гёльдеровые производные, которые могут одновременно обращаться в нуль лишь в конечном числе точек.Предположим, что при достаточно больших | s[ функции uX-(s) имеют следующее поведение:
urj(s) = cj6 + ls,zJcJlf s«0, (ол)
uxj (s) = Cj0 + sV Cjt s > 0,
где %. < 0 , tj = 4j+i , Cj0 , cj4 , Cj0 , Cjt - фиксированные коэффициенты такие, что с .с = c,+i0 , \с-\ = \ cj+t,i I ^ ^ I - і , п (если / = і > то вместо и + і нужно взять Ї).
Система (0.3) в плоскости иг определяет область $^ с
границей L^. - U L^. . Перейдём от области Ъ^ в плоскости иг к единичному кругу Е = {Z : \К\ <- 1/ в плоскости . Пусть при этом дугам L^j , і - і?п , соответствуют дуги единичной окружности L^j , / = /,/2, медду точками = в1 *f
Условия (0.4) позволяют выяснить поведение функции 1 (С) , отображающей крут Е на искомую область %)ё , в окрестности точек . ; оказывается, что контур L2 будет иметь в беско-нечно удалённой точке углы.
Если функции Uj(s) и ^6^ t j = іtn % имеют гёльдеровые производные, которые не обращаются одновременно в нуль при всех конечных значениях параметра S , то искомая отображающая функция имеет вид
tV- е*ІП^'ехр{±Ір(в)ф±-сІе}<1с + С, (0.5)
-где f и С - вещественная и комплексная постоянные,! С-1 = і , d; - фиксированные числа, удовлетворяющие условию -Jt ^ dj < 9 , выражающиеся через начальные данные задачи, р(9) - функция, определяемая равенством
а (в) = U<%- ± («. -i)U\0- 9j\. (0.6)
j-i^n t в конечном числе точек, получил 2<*:) = Є*Ї П(С.^-^' ^|5|^^ +С, (0.7)
-»0
где оС^ удовлетворяют условию ^^1^1^-^ t | ^ | = / , функция р (9) задаётся равенством
Допуская одновременное обращение в нуль и- (S) и 0"j (s) ,
Далее в 6 показано, что решение задачи I будет существовать (хотя и не будет единственным) при менее жестких ограничениях на функции и-: (S) и *Ъ(з) t J- 1, п Именно, справедлива
Теорема 20. для того, чтобы задача I имела решение, достаточно выполнения условий:
функции Uj(s) и Vj(s) t j - і f п , абсолютно непрерывны;
ти {s:uj.(s) = Vj(s) = 0, j = Т^їг} = 0 ;
ms{s:\uj(S)\ > M7 \tr/(s)\ > Л7, / = T^} = 0;
при достаточно больших \s\ поведение функций uX-(s) определяется равенствами (0.4).
Б 7 функция (0.5) или (0.7) исследуется на однолистность.
Один из подходов связан с применением каркасных многоугольников
[14] , другой - с включением решения в класс выпуклых или почти
выпуклых функций. Например, доказана
Теорема 24. Функция (0.5) при п =Х,3 , а- <. 0 , п.
- 1 < К ос. <г 0 будет однолистной (почти выпуклой), если фун-
/=' J
кция р (в) , определённая равенством (0.6), удовлетворяет усло
вию *
\р(9')-р«Г)\ Л2+г-і*і)к \е'-в"І 0***1,
^ І* cv
о
В 8 рассмотрен частный случай задачи из 6, когда искомый контур представляет собой одну кривую, проходящую через бесконечно удалённую точку. В этом случае в качестве канонической
12 области удобно использовать не круг, а полуплоскость. На это впервые указал М.Т. Нужин [47] . Искомая отображающая функция будет иметь вид
Z(C) = eir) expl^r] /^)- dt: + С, (0.8)
где Г и С - вещественная и комплексная постоянные, р(Е) -= ln\ds/d^\ , t;=z + lpf р>0.
Нахождение условий однолистности функции (0.8) даёт продви-жение как в слабой, так и в сильной проблемах однолистной разрешимости окз. Предварительно в этом параграфе получены оценки гармонических функций в полуплоскости, если сопряжённая гармоническая функция удовлетворяет одному из условий:
р(*УрЪ*)\*Афс*^т-т\Г}> 0<г^> (*9)
-Г
(0.10)
5*
рЪ)-р(&\ *А /ІЦ^А*-1 Vi +4f v7+
If'ft) -p'(4j\ * в AIljlIA . (o.ii)
Затем с помощью известного условия однолистности Ас[6 і(щ^О в замкнутой полуплоскости [10; 9, 4] и аналога условия Паа-теро, полученного в следствии 8, найдены условия однолистности функции (0.8) в виде ограничений на коэффициент в условиях (0.9) - (0.11). Здесь же даны приложения к окз гидромеханики, именно, к задаче построения бесконечного контура по заданной на этом контуре скорости течения жидкости. Условия однолистности выражены через данную скорость.
В 9 исследуются симметричные решения окз. Рассмотрены три вида симметрии: симметрия сдвига, зеркальная и поворотная. Полу-
чены условия на функции и/,-(s) , j = і,п 9 ПрИ которых решение окз будет обладать тем или иным видом симметрии.
Для решений окз с симметрией сдвига в теоремах 31 и 32 найдены условия однолистности, относящиеся к слабой проблеме однолистной разрешимости окз. В теореме 33 условия выражены через начальные данные: пусть граничные значения искомой функции ur(s)-- и (s) + і iT(s) удовлетворяют требованию иг (s + ) = w (s) + Tj^oj Т > 0 ; решение окз будет однолистным, если выполняются условия:
3/2
4 U'(S) U"(S)U'(S) + V*(S)V'(S)
[u'z(s) + (S'z(s)]
N,
где N удовлетворяет неравенству N'^ я (-<*)(* ~v* )/(4 I G)t G - постоянная Каталана.
В этом же параграфе с применением теорем 3 и 4 получены условия однолистности решений окз, которые обладают симметрией относительно прямой или зеркальной и поворотной симметрией одновременно. Результаты относятся к сильной проблеме однолистности. Построенным условиям даётся гидромеханическая трактовка.
Теорема 38. Пусть на искомых стенках канала задано распределение скоростей V = V^s) и V - V, (s) у - оо & s ^ t причём выполняется одно из условий:
1) V^s) = V2(s) = V(s), mcvc V(s)/min V(s) ^ e* * ;
2) V(s + L) = V;(s) S; >0} max V;(s)/nun V;(s)^ e^*,
J a d 7 d e d
где js = outoio (Q/P) при P' ^ Q , f> = мсЛд (P/Q) при / Q, Q - заданный расход жидкости, P = J ' y(s) ^s , J = ^'
Тогда задача построения стенок канала однолистно разрешима и
14 граничные кривые симметричны относительно некоторой прямой в случае і) или обладают симметрией сдвига в случае 2) .
В заключительном десятом параграфе исследуется однолистная разрешимость задачи определения формы конгруэнтных профилей, составляющих двоякопериодическую гидродинамическую решетку, по заданной на профилях скорости в функции дуговой абсциссы 5 . Получено условие однолистности, которое выражается в виде ограничения на функцию, связанную с заданной скоростью. Как предельные рассмотрены случаи, когда решетка имеет один период.
Из описанного материала выделим следующие основные результаты работы:
получены новые достаточные условия однолистности в областях с бесконечно удалённой точкой на границе;
построены условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе и полуплоскости;
решена обобщённая обратная краевая задача по параметру 5 в случае бесконечно удалённой точки на искомой границе, найдены условия однолистной разрешимости этой задачи в виде ограничений на начальные данные.
Основные результаты диссертации изложены в статьях [ 33-36] . Статья [Зб] написана в соавторстве с ш. ш. Майером, которым предложены основные идеи работы, а детальное доказательство намеченных утверждений осуществлено автором диссертации.
По мере получения результаты неоднократно докладывались на семинаре по геометрической теории функций в Казанском университете (руководитель - профессор Л. А. Аксентьев), на I Саратовской зимней математической школе по теории функций и приближений (1982 г.), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1983, 1984 г.) , на семинарах по теории функций в Вол-
15 гоградском университете (1984 г., руководитель - профессор В. М. Миклюков) и Саратовском университете (1983, 1984 г., руководитель - доцент Д. В. Прохоров) .
Автор выралсает глубокую благодарность научному руководителю профессору Л. А. Аксентьеву за полезные советы и постоянное внимание к работе.
Условия однолистности функций с симметрией сдвига в полосе
Область % называется областью с симметрией сдвига на вектор & 0 , если вместе с каждой точкой є ) точка ( + &)єЯ) . Функция f(C) , определённая в области $ , называется функцией с симметрией сдвига (напр., [21] ), если f(C + a)=f(c} + AfA 0. Пусть функция f(C) обладает симметрией сдвига в полосе П = {С = % + ip : 0 р Л j ,т. е. выполняется условие Теорема 6. Если функция -pfe) регулярна в П д удовлетворяет условию (I.I2), то она будет однолистной в П при выполнении условия где Доказательство. Поскольку коэффициент гиперболической метрики не возрастает с расширением области, то в силу (I.I3) имеет место неравенство где /6 - прямоугольник {: 0 %nt Afd #ec o( + t}, Ж - произвольное вещественное число. Поэтому на основании результата Л. А. Аксентьева [15] , согласно которому функция ffc) будет однолистной в полосе /7 тогда и только тогда, когда она однолистна в кавдой области вида 3 , достаточно показать, что условие (І.із ) обеспечивает однолистность функции /V) в области Вы . Коэффициент гиперболической метрики не зависит от сдвига области, поэтому вместо прямоугольника В будем рассматривать прямоугольник симметричный относительно начала координат. Доказательство однолистности проведём, пользуясь методом квазиконформного продолжения Л. Альфорса [65, гл. б] функции f(t) из В на всю плоскость. Будем считать, что -Р (Z) и f"fc) непрерывны в Выполним отражение относительно границы прямоугольника, уравнение которой в полярных координатах имеет вид R - R (f) , - полярный угол в плоскости . Пользуясь результатами [69, 19], запишем это отражение в виде (1.9) с заменой их на с, . Напомним, что для формальных производных справедливы оценки (1.10), где fi определяется соотношением (I.I4). (Заметим, что при f-fi , f=Ji±fl и у = 2я- 5 существуют лишь односторонние производные функции К(ч ) ). Построим функцию () следующим образом: и покажем, что #() является локально однолистной в , Для В это следует из того, что Ґ() непрерывна и не обращается в нуль в В . Покажем локальную однолистность Q(t) в С \ 6 . Для этого предварительно оценим величину
Предположим, что п и А є В , Впишем в 3 круговую двоякосимметричную луночку следующим образом. Проведём прямую через центр прямоугольника и точку Д . Отрезок этой прямой, содержащийся внутри прямоугольника, примем за хорду луночки. Пусть внутренний угол между окружностями в луночке G равен f t й . Легко видеть, что G с:В при Д = — алоy — Поскольку коэффициент гиперболической метрики не возрастает с расширением области, то Р (б, X) f (G,X) . Теперь воспользуемся результатом работы [20] , где показано, что Эту оценку будем использовать для обоснования локальной однолистности функции Q() В С \ Ь . Введём обозначения: AL = {К: Ь е В , д/ дъсф ( /0} , A {t, : С е#; OActcj(h/i) VtcjK K-№tcj(h/l)) , Д и Л - образы треугольников At si Д2 ПРИ отражении А (С) относительно границы прямоугольника (рис. 4). Аналогичная оценка имеет место, когда С A N {о] образом, функция о () будет локально однолистной в А {] и Д \ [оо] . Локальная однолистность ft) в точках луча = _ е«лгв ( /0 -/ 2 4 А /2 - общего участка границы областей 4, и Zlt - вытекает из следующей леммы Ф. Г. Авхадиева. Лемма I [7] . Пусть непересекающиеся области Д), и І0Л имеют общую часть границ, включающую открытую жорданову ду ry L , причём 3)U 2 ZU L - область. Если fj(t) , j- 1,1 , одинаково ориентированные внутренние в смысле Стоилова [ 57] отображения $)? являются непрерывными, за исключением конечного числа полюсов, и локально однолистными на 2),- V Lfj=l,2, ft () = fz (t) для всех » й » то Функция осуществляет внутреннее локально однолистное отображение области В силу симметрии прямоугольника в можно теперь утверждать, что функция Q(t) локально однолистна в С ч Ь . Применяя ещё раз лемму I, получим локальную однолистность функции Q () в С за исключением точек , / = 1, 1 , - вершин прямоугольника. Для них проведём отдельное исследование. Рассмотрим окрестность точки : ={:5" »J }, Имеем Из (1.10) дляХ(с)получимА(с) = + ге + ?(Ц = ге П(д;иДр Тогда ... ... , „ ч Значит, для всех е и справедливо равенство откуда следует, что #fe) взаимно однозначно отображает достаточно малую окрестность точки " . Аналогичный вывод сделаем, рассмотрев окрестности точек г , 3 и . Таким образом, функция 0f) локально однолистна во всей плоскости.
Поскольку любая последовательность, стремящаяся к бесконечности, отображается функцией о() в такую же, то по теореме Адамара [57, с, 164] Q() - полный гомеоморфизм евклидовой плоскости на себя. Отсюда следует однолистность функции -р(С) в & В случае і к при оценке комплексного отклонения надо учесть, что уЗ = (Vbttcj(l/h) и в (I.I5) д= /х . Неравенство (I.I6) будет справедливо, еолв\Ґ(с)/{ (к)\ - ha о (/7, z)t где 6 - QAcicj ( і/к) . Теорема доказана в предположении, что непре рывны в 3 и f (%+СА/2)Ф 0 . Если эти предположения не выполняются, то проведём аппроксимацию. Выбрав в качестве аппроксимирующих областей прямоугольники &(п) = { : I %nt\ к/2. - i/2n f , рассмотрим последовательность к -квазиконформных отображений ( А і ) сходящуюся к отображению 0(C) .По теореме 5. II [58] Q(&) есть гомеоморфизм всей плоскости на себя. Теорема доказана. Замечание 4. В упоминавшейся уже работе [19] получено условие однолистности в ot -звездообразных областях в виде (I.I3). В [20] для двоякосимметричных (X -звездообразных областей это условие улучшено. В теореме 6 мы рассмотрели частный случай двоякосимметричной А -звездообразной области -прямоугольник. Это позволило увеличить коэффициент в условии (І.із ). Например, в случае квадрата коэффициент в (1.13 по сравнению с [20] увеличился в 2 раза. Построению условий однолистности в oi -звездообразных областях посвящена работа [44] .В теореме I эти условия выражены в виде ограничений на производную Шварца {/,} =/ "()// ()--(3/2)[f"()/f ()\ Конкретным значениям мажоранты S (і) из теоремы I [44] соответствуют признаки однолистности, выраженные в следствий. Для их получения проводилась оценка величины
Аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости
В работах [5, 64] получены необходимые и достаточные условия выпуклости и звездообразности функций, регулярных в полуплоскости Н -{ =5 +і? р 0] . Мы приведём необходимое и достаточное условие принадлежности функций f(C) с нормировкой классу функций с ограниченным вращением в Н и получим аналоги классов Базилевича и Мокану в полуплоскости. Класс функций f (t) , удовлетворяющих условию 9 - фиксированное вещественное число (причём Jl—- Q - / если 0 d 1 , и Г -—jr , если 1 d 2. )t будем называть классом функций с ограниченным вращением в Н и обозначать через Я (р) . Функции этого класса однолистны в Н [9, 4] . Равенство нулю в (1.38) возможно лишь для функций вида f(C) - -/- С , С = сайт . Исключая из рассмотрения эти функции, будем считать, что Класс функций можно охарактеризовать геометрически. Для этого рассмотрим класс регулярных в Н и нормированных условием (1.37) функций, которые отображают Н на области, достижимые извне параллельныгли лучами, наклонёнными к вещественной оси под углом 0 , причём 0 & %-, если 0 г і, и (d-2.)fi ft 0 , если 1 t 2 . Будем называть этот класс классом функций, выпуклых в направлении ft , и обозначать через L (ft) . Поясншл название класса L (ft) . Пусть функция f(Z) б L (ft) отображает Н на область iu .
Тогда вместе с каждыми двумя точками из 3) , лежащими на концах отрезка, который составляет с положительным направлением вещественной оси угол ft , все точки отрезка принадлежат области 3) . Выведем необходимое.и достаточное условие принадлежности функций классу . Пусть 0 1 . Обозначим через образ прямой УтС = у0 0 при отображений с помощью функции f(C) L(ft) . Из определения класса L (ft) следует, что каждая прямая семейства параллельных прямых пересекает іу0 в единственной точке. Следовательно, параметр (X в равенствах (1.39) является строго монотонной функцией от . При изменений от - оо до ею на прямой Tmt, =1?0 Of параметр (X убывает в случае 0 ft %/2, т. е. cta/dg z0, или возрастает в случае ft/2. zft c 7L, т. e, d&/d% О . Дифференцируя (1.39) по , придём к условию Случай / d 2 рассматривается аналогично и даёт то же условие (1.40). Обратно, пусть дано условие (1.40). Тогда каждая прямая семейства (1.39) пересекает 6»0 в единственной точке, поэтому f(C) принадлежит классу функций, выпуклых в направлении & . При О z d . і условие (1.40) получено в [64] с использо ванием последовательного подчинения функций. Полагая & = Я-/2-9 , из условия (1.40) получим (1.38). Таким образом, если функция f() принадлежит классу , то образ полуплоскости Н линейно достижим лучами, наклонёнными к вещественной оси под углом я/2-в . Пусть . Необходимое и достаточное усло Є вие принадлежности функции классу л даёт Теорема II. Функция f() с нормировкой (1.37) принадлежит классу И тогда и только тогда, когда -р (с)ф 0 в И и для любых у и , , выполняется неравенство Доказательство. Пусть -f() R , тогда из (1.38) следует, что при фиксированном /? 0 справедливо неравенство откуда следует (I.4I). Покажем, что если -Р ()ф 0 в Н и справедливо условие (I.4I), то найдётся вещественное число 9 , при котором справедливо условие (1.38). Положим 0. = я/2 - sup аьдҐ +щ), р, 0. Отсюда и из условия (1.39) следует, что т. е. Яг [с 1Ґ(%+1% ) \ 0 . Следовательно, образ прямой ЪпК = р± при отображении с помощью функции F(c) = 6l f () лежит в правой полуплоскости. Неравенство гіЄ[ 6е 1 / (С)\ и справедливо для всех , удовлетворяющих условию ЪпСъ р±
В саглом деле, предположив обратное, мы получшл, что образ полуплоскости Ъп К 2r при отображении с помощью функции F() содержит в себе левую полуплоскость ЙА F 0 , что невозможно, т. к. f () О . Возьмём теперь последовательность (пн), /?, /рг ; ,,, ip ,,, f сходящуюся к нулю. Ей будет соответствовать ограниченная последовательность чисел (6h) . Устремляя п к бесконечности и переходя, если нужно к подпоследовательности, найдём 9 = tim 9п . И— со В силу приведённых выше рассуждений неравенство справедливо для всех " Є И . Теорема доказана. Геометрически условие (I.4I) означает, что изменение угла касательной к образу прямой Ъп, - cotui 0 при изменении от - оо до оо не может быть меньше -X и больше Л Приведём пример, который показывает, что при любом фиксированном /? , /? 0 , константа % в неравенстве (I.4I) не может быть уменьшена. В самом деле, рассмотрим функцию f0() = = (Z-A2) , h положительное число. Эта функция отображает полуплоскость Н на угол раствора & с вершиной в начале координат и разрезом, идущим из вершины угла по биссектрисе до точки 6с п .На прямой у = сои О возьмём точки щ + ip и -% + Ср , О . Тогда Положим = пр ,/=/? , n ifz , тогда при достаточно большом п правая часть равенства (1.42) как угодно близка к-. Отметим, что для функций f(z) , определённых в круге "-= {\Е\ і} , нормированных условиями -f (0) --р(О)- і и удовлетворяющих неравенству О 92- 9 2% , О г :/ , 0 f / .которое вполне аналогично неравенству (I.4I), величина f зависит от радиуса г Эта зависимость для некоторых классов функций найдена автором в [32] . Сделаем ещё замечание о функциях, выпуклых в полуплоскости Н , нормированных условием (1.37).
Известно, что любая функ ция /(2) класса о однолистных в единичном круге и норми рованных условиями функций отображает всякий круг z 1 , 0 1 2- V5" , на выпуклую область (напр. [30 с. 166 ] ). Для функций класса SH , однолистных в Н и нор мированных условием (1.37), 0 о( /, не существует такого i?o 0 , чтобы всякая функция класса SH отображала полуплоскость гт ро на выпуклую область. Действительно, предположим, что такое па существует. Тогда для любой функции f() класса SH и любого , , Ъп р0 , справедливо неравенство . Но для функции fc(C) в точке C = i t , если только h п1 -/7-7 . Рассмотрим далее функции, регулярные в полуплоскости Н , с нормировкой, отличной от нормировки (1.37). Пусть функция -f(t) отображает область - достаточно большое число) на область бу , граница которой состоит из лу
Условия однолистной разрешимости обратных краевых задач
Исследуем на однолистность решение окз (2.10), полученное в предыдущем параграфе. Один из подходов связан с применением каркасных многоугольников [14] . Предварительно рассмотрим вопрос об однолистном изменении интегралов Кристоффеля-Шварца. Пусть производная функции .F(.) Имеет ВИД постоянные, а функция Q(Z) регулярна в круге С і , непрерывна в замкнутом круге JC і и д( ) =р(0)- - (9). Введём обозначение а = \ 2ide-(n-2)\ /Z . Напомншл определение каркас ні я J ного многоугольника [14] . Каркасным многоугольником называется такой прямолинейный многоугольник, вершинами которого являются все точки А - ($) или их часть, соединённые последовательно. Пункт 1 теоремы I из [14] может быть распространён на случай, когда некоторые являются отрицательными числами. Именно, справедлива Теорема 21. Функция F(c) будет однолистной в замкнутом круге і , если выполняется любая из двух групп условии: 1. каркасный многоугольник с вершинами Ац, - F (С/ ) является выпуклым или его выпуклая оболочка получается присоединением к нему несмежных (не имеющих общих сторон) фигур трёх типов: а) треугольников с конечными вершинами, б)треугольников с вершиной в со и двумя параллельными сторонами, одна из которых не является стороной каркасного многоугольника, в) двуугольников 2. каркасный многоугольник со всеми вершинами Ад= () должен быть однолистным и Доказательство пункта 1 проводится так же, как в [14] . Пршлеры каркасных многоугольников, удовлетворяющих требованию 1 теоремы 21, приведены на рис. 5. Пунктирной линией показана выпуклая оболочка каркасного многоугольника. Рис. 5
Пункт 2 теоремы 21 доказан в [14] . Заметим, что при Q( ) &оп Л условия (2.12) и (2.13) выполняются , и теорема 21 даёт достаточное условие однолистности интегралов Кристоффеля-Шварца. Применим теорему 21 к представлению (2Л0 ), дающему решение обратной краевой задачи. Теорема 22. Пусть функция р(0) , определяемая равенством (2.87). является дифференцируемой и 2% -периодической. Если каркасный многоугольник с вершинами в точках 2 (С1 fy, k--iN 1(C)- функция (2. 10 ) - удовлетворяет требованиям 1 или 2 теоремы 21 и выполняется одно из условий то решение окз (2.10 ) однолистно. В условиях б), в) иг) функция р(9) предполагается дифференцируемой дважды, ш жт+ї раз соответственно. Доказательство. Пусть %(Єі6) = р(8) +1%(В). Нужно показать, что при выполнении одного из условий теоремы справедлива оценка I ty (@)\ lw , которая обеспечивает (2.12) или (2.13). Обоснование этого факта осуществляется применением теоремы 2 [її] , лешш I [4] или леммы 6.1 [4б].Теорема доказана. Замечание 9. Если -і OfO -d i, к = 2, Nt то требования на каркасный многоугольник не нужны (он автоматически получается выпуклым). Если все d O t к - , /v t то каркасный многоугольник вырождается (все его вершины оказываются в бесконечности). В этом случае нужно применить другой подход, связанный с включением решения в класс выпуклых или почти выпуклых функций. Рассмотрим решение окз в виде (2.10). Очевидно, о выпуклости функции (2Д0) можно говорить лишь в случае одного бесконечного искомого контура с углом в бесконечно удалённой точке,равным d(R , - і - 0 t Рассмотрим этот случай. Найдём угол касательной к кривой Lz с положительным направлением вещественной оси: (в формуле (2.10) взяли = і ). Дифференцируя последнее равенство, получим у (9) = (d + i)/2 + (9) . при/ касательная к LB вращается в положительном направлении, когда в меняется от 0 до 2TL , т. е. контур L2 будет выпуклым. Таким образом, выпуклость Lz будет наверняка, если \Q (B)\ ( + i)/2 . Последнее можно обеспечить, налагая ограничение на Р(9)
Например, если Р (9) удовлетворяет условию Гёльдера М(V) определяется формулой (2.14), то, как следует из теоремы 2 [її] , имеем точную оценку \Q (Q)\ (d+i)/Z t что и требовалось . Напомним, что функция z() называется почти выпуклой в единичном круге Е , если существует выпуклая в Е. функция д(С) такая, что (напр., [9, 4 ] ). В качестве выпуклой функции возьмём функцию ()=(-О /Ж , - 1 с и , которая отображает Е на неограниченную область с выпуклой границей. Тогда \asta [z te)/ fe)]l = е = I $ (W Если \р(в )-р(Є")\ )\Є -вГ , то \cj/(Q)\ л/1 [И] . Таким образом, доказана Теорема 23. Пусть функция/?(9) = bi(ds/d9)-(o(-i)u i\9\ является дифференцируемой и 25Г -периодической. Если выполняется условие то функция (2.10) будет выпуклой в Е ; при условии функция (2.10) почти выпукла в Е . Пусть теперь п Z . Регулярная в единичном круге Е функция () называется почти выпуклой порядка jf , 0 / 1, [75] , если \алл[ у ()/#()] 1 У /2- . $() - выпуклая в Е функция. Если У () - почти выпуклая порядка у функция, то что
Следовательно, функция Z(С) будет однолистной (почти выпуклой) в ZF , если существует такая почти выпуклая порядка у функция ip() n (ji. - 0 , -2. d? 0. Эта функция отображает единичный круг Е- на область, ограниченную /г бесконечными (с концами в бесконечно удалённой точке) кривыми L, j tj=itn , ко.торые являются вогнутыми. Наіідем изменение угла касательной к кривой Lyj , КОГДа в МеНЯеТСЯ ОТ в: ДО В:+ , І- 1,П \ Отсюда и из вогнутости L j следует их простота. Из равенства TtL / (п \ - уЗ с определим порядок Y почти выпуклости функции р (&) : Вернёмся теперь к исследованию однолистности функции (2.10). Пользуясь тем, что при п о точки : - У в формуле (2.10) можно выбирать произвольно, возьмём их так, чтобы - Q l) , J=tn . Тогда справедлива Теорема 24. Решение окз (2.10) при /? = , , сК: 0, - -( ; U , будет однолистным (почти выпуклым), если функция Р (Q), определённая равенством (2.8), удовлетворяет ус ловию М (if) определено равенством (2.14). Доказательство. Рассмотрим функцию у() , определённую формулой (2.16) при п =2.,3 , Имеем ало [2 (z)/4 (t;)\= 1т X(). Из (2.18) по теореме 2 [її]
Симметричные решения обратных краевых задач
Применим условия однолистности, полученные в I, 2 и 3 к исследованию однолистной разрешшлости окз .Найдём условия, при которых решения окз обладают тем или иным видом симметрии. 1. Рассмотрим сначала задачи, в которых искомая граница области представляет собой одну кривую с концами в бесконечно удалённой точке или две такие кривые. Мы сохраняем обозначения, используемые в задаче I 6. Будем предполагать, что граничные значения искомой функции удовлетворяют условию 99 если область Х) ограничена одним бесконечным контуром Ls ,или w.-Cs+g.-) =ur.(s)+T, Т 0, L 0} 1=1,2., -с ±s±oo, (2.40) в случае двух контуров. Теорема 30. Решением окз будет область, обладающая симметрией сдвига, и функция с симметрией сдвига в этой области тогда и только тогда, когда граничные значения uX(s) или u?-(s) і =1,2, , удовлетворяют условию (2.39) или (2.40). Доказательство. Необходимость очевидна. Докажем достаточность. Для определённости будем считать, что дано условие (2.39). Для дуговой абсциссы контура L r имеем формулу tfs) = [\иг (т)\ dr . обозначив $ \иг Ш &=1 , в силу (2.39) Введём вспомогательную функцию % (их) = Sn (dz/du?) , значения действительной части которой на L . ш.звеоиші:р(а )- еХ( г)\иГбі_ -к tn. Ids/del . Поскольку из (2.41) вытекает равенство 1 ( Г+Є) = jlL (о-) , то p( T+t) = p( r) . Покажем, что % (uX-f) = %(ur) Действительно, /te[%(ur+T)-%(&)[-р( + 0--p(cr) = 0 . Следовательно, %((# ± Т)-%(иг) = it, С -вещественная константа. Но, устремляя LV в бесконечность, слева в последнем равенстве получим нуль, поэтому % (иГ+Т) = %(&) . Теперь легко показать, что i(uf) обладает симметрией сдвига.
Вое станавливая функцию % (их) с помощью оператора Шварца Slp( r\ и?], решение задачи запишем в виде где В - / -еяср%(т + Т)с(т+п - константа. Теорема доказана. а В ходе доказательства теоремы 30 мы получили решение окз в виде (2.42). В дальнейшем нагл удобнее иметь дело с такой областью, для которой известно явное выражение оператора Шварца. Предположим, что выполнено условие (2,40). Построим решение рассматриваемой окз, взяв в качестве канонической области полосу /7= {% = Ц + ір: 0 р п}. Пусть функция иг = у?() отображает /7 на %)ur . Очевидно функция if(c) будет функцией с симметрией сдвига в П , т. Q.ip( +i)=lf(c,) + f". Сравнивая граничные значения функций иТ uff (s) и иХ = (?(,) , ыТ= u?2(S) и uX=if (+t) , найдём зависимость s = s.(%) % 1=.1,2 . тогда для функции Х(С) - &г (о/г/dz) на сторонах полосы L d и LJ2 известны значения действительной части: причём, как в теореме 30, легко показать, что р;(В,- t/2) -= pj ( + t/2) % j=i,Z , .Следовательно, %(-і/2) ї( + іІ2) и X(Z) можно восстановить, пользуясь формулой Вудса [2б] : rt - вещественная постоянная, 2 , - тэта-функции с периодом Тс [62, гл. 2l] , при этом должно выполняться условие і/2 Решение задачи выразится формулой В частности, устремляя к в бесконечность, получим решение задачи, когда контур Lzl отсутствует. В этом случае для функции %(С) имеем формулу d - вещественная постоянная, с условием J" р(%) , =0. /2 Обозначим + « где т =Z , если l i ; т =1 , если j-2. . Достаточные признаки однолистности функции (2.44) выражает следующая Теорема 31. Решение окз (2.44) в полосе /7 будет однолистным, если выполняется одно из следующих условий: и область значений коэффициентов N: задаётся системой неравенств и область значений коэффициентов /4 определяется системой неравенств Mj (А ,)!л;/\гу2)е 2 /t, j = і, 2 ; где / определяется соотношением (1.14). Доказательство. І). В (2.43) сделаем заїдену перейдёт в кольцо{ : 1в \со\ } ; гс = &хр(-2ик/-Ь).
Поскольку на боковых сторонах прямоугольника значения функции X (с) совпадают, то функция Х(С(ш)) будет регулярной в кольце, и из результатов [12] следует, что при выполнении условия (2.47) ДЛЯ О. () = аЛ Z (Z)\zeLKj ; / = % ; ШЄЄМ ПЄНКу где M:(NU ) f ,/VZ)Vz) определяется формулой (2.46). Требуя выполнения условия I оло z (z)\ 31/2 , которое гарантирует однолистность 2(C) в /7 [ Ю ] » получим ограничение на множество значений коэффициентов N и N2 . 2). Рассуждая, как в случае I), из (2,48) получим где М: (A1)ti1; /\Z)\ 2) определяется по формуле (2.46). Поскольку то по следствию 2 функция z() будет однолистной в П , если 3). Поскольку pj{z) = RetmX)\KeLt.-i } = Л то из У ловия (2.49) следует, что образы прямых L i и L z при отображении с помощью функции %() - w г () лежат в полосе Пі ={%:-pi fieX р2},2Еатт, и весь образ полосы /7 лежит в П±) т. е. -р± fit In ґ() Pz , , П По принципу гиперболической метрики (напр., [30, с. 326] ) имеем неравенство где & - образ полосы /7 при отображении Х() , G с . Если воспользоваться свойством невозрастания коэффициента гиперболической метрики при расширении области и тем, что минимум коэффициента гиперболической метршш полосы достигается в точках, равноотстоящих от её сторон, то последнюю оценку можно продолжить следующим образом z"(C)/? (){ (pi + pz) Q(П )/Я Для завершения доказательства осталось применить теорему 6. Обратимся теперь к окз, когда искомая область ограничена одним бесконечным контуром. Теорема 32. Решение окз (2.44) с функцией Z() , определённой формулой (2.45), будет однолистным в полуплоскости И , если выполняется одно из условий: (2.14), # 0,916 - посто-янная Каталана [ЗІ, с. 2l] . Доказательство.
aПункты I) и 2) являются предельными случаями при к — оо пунктов I) и 2) теоремы 31. Для обоснования однолистности функции 2() в Н при выполнении условия 3) заметим, что р (%) -Яг [z"()/2 (z)\ и, как при доказательстве пункта 3) теоремы 31, найдём, что Применяя пункт I) следствия 4, получим требуемое утверждение. Подобным же образом с привлечением пункта 2) следствия 6 доказывается однолистность функции (2.44) в случае 4). Рассмотрим условие 5). Поскольку 2 ()4 0 в Н , то полосы {t /hnc 0,0 ЯлК (] перейти к единичному круту и воспользоваться теоремой о среднем. Следовательно, имеем Тогда, применяя неравенство Шварца и условие 5), получим и однолистность функции (2.44) вытекает из следствия 2. Условия однолистной разрешимости окз, полученные выше, выражены в виде ограничений на вспомогательную функцию р($) и относятся к слабой проблеме однолистности [із] , проведём теперь построение таких условий, которые обеспечивают однолистность решений окз и выражаются через начальные данные, т. е. обратимся к сильной проблеме однолистности [із] . 2. Один из первых результатов в сильной проблеме однолистности принадлежит Ф. Г. Авхадиеву[4] . Мы применим его подход к изучению однолистной разрешимости окз, решения которых облада
