Введение к работе
Актуальность темы. Исторические сведения. Римановы поверхности, возникнув первоначально как естественная область определения а'ігалігппїссктїх функций, многозначных а плоских областях, бнстпп превратились в один из мощнейших инструментов анализа. В теории римановых поверхностей лежат истоки многих фундаментальных направлений математики: анализа, топологии, алгебры, алгебраической топологии, алгебраической геометрии и др. .
С работы Г. Вейля1 началось изучение абстрактных римановых поверхностей — одномерных комплексных многообразий — и существенная доля современных публикаций по данной тематике посвящена исследованию абстрактных римановых поверхностей. Тем не менее, представление о римановой поверхности как о разветвленном накрытии сферы или, в более общем случае, другой абстрактной римановой поверхности N не теряет своей актуальности. Это связано в первую очередь с тем, что большинство задач на плоскости, в которых возникают проблемы с многозначностью аналитических функций, естественно формулируются и решаются с использованием разветвленных накрытий. В качестве примера укажем на применение римановых поверхностей в теории распределений значений мероморфных функций2 , в краевых задачах3, в
'См.: Weyl Н. Die Idee der R.iemannschen Flachen. - Stiitgart: Teubner, 1955.
2См., напр.: Гольдберг А. А. Об одном классе римановых поверхностей // Мат. сб. - 1959. - Т. 49(91), No 4. - С. 448-458; Гольдберг А. А. Считающие функции последовательностей а-точек для целых функций // Сиб. мат. ж. - 1978. - Т. XIX, No 1. - С. 28-36; Гольдберг А. А., Заболоцкий Н. В. Об а-точках функций, мероморфных в круге // Сиб. мат. ж. - 1983. - Т. XXIV, No 3. - С. 34-46.
3См., напр.: Монахов В. Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений. - Новосибирск, 1977. - 424 с.
теории алгебраических функций4, а также "внутренние" проблемы теории разветвленных накрытий, такие, например, как проблемы Гур-вица о существовании и числе различных разветвленных накрытий с заданным типом ветвления5, проблема определения типа римановой поверхности6.
Особый интерес для приложений представляют римановы поверхности, ограниченные кривими. Лело в том, что в процессе решения многих задач механики и физики вводятся вспомогательные области D в плоскостях комплексного потенциала, годографа скорости, функции Жуковского и др. . Информация об этих областях представлена, как правило, лишь на границе "физической" области: известно, что соответствующий участок границы во вспомогг тельной области D должен лежать на заданной прямой, окружности и т.п. . В отличие от "физической" области, неоднолистность области D не противоречит физической реализуемости решения задачи7, а зачастую является даже необходимым условием для его существования.
Сказанное выше определяет актуальность следующих двух задач, исследуемых в диссертации:
Задача 1. Пусть /?i,...,/?„ — кривые, ограничивающие некоторую риманову поверхность (разветвленное накрытие) <т — (М,р) над N, где М — некоторая абстрактная римснова поверхность, р: М ~+ N — вну-
4См., напр.: Зверович Э. И. Алгебраический метод построения основных функционалов римановой поверхности, заданной в виде ко-нечнолистной накрывающей сферы // Сиб. мат. ж. - 1987. - Т. 28, No 6
- С. 32-43; Зверович Э. И. О построении поля алгебраических функций
соответствующих заданному накрытию сферы // Докл. АН БССР. -
1985. - Т. XXIX, No 2. - С. 104-107.
5См., напр., Медных А. Л. Неэквивалентные накрытия римаковыэ поверхностей с заданным типом ветвления// Сиб. мат. ж. - 1984. -Т. 25, No 4. - С. 120-142.
6Волковыский Л. И. Исследования по проблеме типа односвязноі римановой поверхности // Тр. МИАН СССР. - М.-Л., 1950. - Т. 34. -172 с.
7См., напр.: Ентов В. М. Решение задач фильтрации с предельны? градиентом в случае неоднолистности отображения // Изв. АН СССР Сер. мех. жидкости и газа. - 1972. - No 1. - С. 45-49; Ильинский Н. Б. Шешуков Е. Г. Задача нелинейной фильтрации с неоднолистной обла стью годографа скорости // Изв. вузов. Математика. - 1972. - No 1С
- С. 34-40.
треннее отображение. Определит* соотношения, которым удовлетворяют топологические характеристики а и N. (Как правило, эти соотношения обобщают классические принцип аргумента и формулу Римана-Гурвица.)
Задача 2. Для заданных кривых /?!,...,/?„ на N определить, существует ли по крайней .мере одна риманова поверхность а над N, ограниченная этими кривыми. Если существует, то описать все римановы поверхности а, ограниченные кривыми /?].,...,/?„.
Формулировка задачи 2 допускает различные уточнения. Например, можно потребовать дополнительно, чтобы искомая риманова поверхность а а) имела заданный род р\ б) имела заданное число листов п — п(а) над некоїйрон фиксированной точкой а поверхности Л>'(для сферы Римана это, как правило, бесконечно удаленная точка); в) имела и фиксированный род, и заданное число листов п над точкой а. Можно также задать и проекции точек ветвления римановой поверхности" о- на. N. В этом случае полученные задачи являются обобщением проблем Гурвица, цитированных выше, на случай разветвленных накрытий с краем.
Задачи 1 и 2 давно привлекали внимание видных ученых, таких как X. Хопф.'Л. Левнер, М. Морс, Лж. Френсис, А. Хефлигер, X. Леви.
Опишем основные исторические этапы в исследовании задач 1 и 2.
1) Первым нетривиальным результатом, по-видимому, следует считать формулу Морса и Гейнса8, связывающую суммарную разветвлен-ность V(o~) римановой поверхности сг ~ (М,р) над С рода рм — 0, имеющей v компонент края, с числом листов <х над бесконечно удаленной точкой и суммарным угловым порядком (или, по-другому, индексом Уитни) граничных кривых /?і,...,Д„. Ф. Л. Гахов и Ю. М. Крикунов 9 рассмотрели случай наличия у функции р логарифмических особенностей. В работах Т. А. Коломийцевой, А. И. Поволоцкого, В. Г. Таировой и др. исследовались различные обобщения и уточнения принципа аргумента а формулы Римана-Гурвица для поверхностей рода нуль над С. Ситу-
8См.: Морс М. Топологические методы теории функций комплексного переменного. - М.: ИЛ, 1951. - 248 с.
9Гахов Ф. Л., Крикунов Ю. М. Топологические методы теории функцій комплексного переменного и их приложения к обратным краевым іадачам // Изв. АН СССР. Сер. Мат. - 1956. - Т. 20, No 2. - С. 207-»40.
ация рм > 0, pn = 0 при V(a) = 0 была рассмотрена Хефлигером10, а Френсис11 обобщил его результат на случай V(a) > 0 (когда все точки ветвления внутренние, граничные кривые нормальные, т. е. гладкие с конечным числом трансверсальных самопересечений). Наконец, Куайн12, Эзелль и Маркс13, а также Френсис14 получили соотношения для произвольного рода рн (кривые топологически нормальны, точки ветвления внутренние).
2) Сначала обсудим ситуацию, когда число листов п(о) римановой поверхности над фиксированной точкой а не задано. Эффектный результат Морса и Гейнса15 утверждает, что всегда существует односвязная риманова поверхность над С, ограниченная заданной аналитической кривой. Ф. Г. Авхадиев [2] обобщил его на случай, когда <т имеет произвольный наперед заданный род, граничных кривых несколько и они являются квази локально простыми в С.
Изучая интегралы Крисгоффеля-Шварца, Пикар16 поставил вопрос о существовании функции, аналитической в единичном круге и непрерывной в его замыкании, отображающей единичную окружность на заданную ломаную в С. Позднее Левнер и Хопф сформулировали аналогичную задачу для нормальных кривых. Очевидно, что это, по-существу, есть задача 2 при условиях рм — О, N — С и n(oo) = О, где п(оо) — число листов римановой поверхности а над бесконечно удаленной точкой. Первое решение задачи Левнера-Хопфа было дано Титусом17, который построил алгоритм, позволяющий за конечное число шагов определить, является ли заданная нормальная кривая гра-
,0Haefliger A. Quelques remarques sur les applications differentiables d'une surface dans le plan // Ann. Inst. Fourier. - 1960. - V. 10. - P. 47-60.
"Francis G. K. Spherical curves that bound immersed disks // Proc. Amer. Math Soc. - 1973. - V. 41. - P. 87-93.
"Quine J. R. Tangent winding numbers and branched mappings // Pacific 3. Math. - 1977. - V. 73. - P. 161-167.
"Ezell С L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaces // Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.
"Francis G. K. Polymersions with nontrivial targets // 111. J. Math. - 1978. - V. 22, No 1. - P. 61-170.
"См.: Морс M. Топологические методы теории функций комплексного переменного. - М.: ИЛ, 1951. - 248 С.
16Picaid Е. Traite d'Analyse, V. 2. - Paris: Gauthier-Villars, 1905. - 585 p.
17Titus C. J. The combinatorial topology of analytic functions on the boundary of a disk К Acta Math. - 1961. - V. 106. - P. 45-64.
шодей односвязной римановой поверхности над С. X. Леви18 предложил свой алгоритм, менее удачный и эффективный. Развивая подход Титуса, М. Маркс изучил случаи кольца (и = 2,рм = 0), тора
[і'^ 1,рм'= 1)Гкривых в "С 19.—Другой подход к задаче Л евнера-Хопфа
основан на использовании так называемых слов Бланка-Маркса20. С использованием определенных комбинаторных структур, связанных со словами Бланка-Маркса, Бланком получена классификация неразвет-зленных сдносвязных накрытий плоскости С с заданной нормальной границей. М. Маркс21 назвал эти структуры ассемблиджами и рас-:мотрел с их помощью разветвленные односвязные накрытия плоско-;ти, Френсис 22исследовал случай сферы (я(оо) > 0), Тройер23 изучил іорерхности. иі'раїшчсшшь псс::слілс:~г:? кркзь-*к. Б*»йли24 —- неразвет-зленные накрытия плоскости, когда р,ц > О, В рйботе Френсиса*-' ис-зледован довольно общий случай, когда рм > 0, N = С, п(оо) > 0, v > 1 і граничные кривые топологически нормальны. Его подход основан на «учении перестановок листов римановой поверхности в окрестности точек ветвления, которые можно рассматривать как своеобразное об->бщение систем Гурвица, используемых при изучении разветвленных іакрьітий компактными римановыми поверхностями сферы или другой
18Levy Н. Uber die Darstellung ebener Kurven mit Doppelpunkten // Nachr. \xad. Wiss. Gottingen II. Math.-psys. Kl. - 1981. - No 4. - S. 109-130.
19Marx M. L. Normal curves, arising from light open mappings of the annulus 7 Trans. Amer. Math Soc. - 1965. - V. 120. - P. 45-56; Marx M. L. Light >pen mappings on a torus with a disk removed // Mich. Math. J. - 1968. -/. 15. - P. 449-456; Marx M. L. Extensions of normal immersions of 51 into I2 /I Trans. Amer. Math Soc. - 1974. - V. 187. - P. 309-326.
20Blanc S. Extending immersions of the circle / Dissertation, Brandeis Jniversity, 1967. См. также:. Poenaru E. Expose 342, seminaire Bourbaki, 967-1968. - Benjamin: New York, 1969.
21 Marx M. L. A combinatorial invariant that characterizes normal immersions >f 51 into!2 // Duke Math. J. - 1974. - V. 41, No 1. - P. 145-149.
22Francis G. K. Spherical curves that bound immersed disks // Proc. Amer. rtath. Soc. - 1973. - V. 41. - P. 87-93.
23Troyer S. Extending a boundary immersions to the disk with n holes. )issertation, Northeastern University, 1973.
24Bailey K. D. Extending closed plane curves to immersions of the disk with і handles II Trans. Amer. Math. Soc. - 1975. - V. 206. - P. 1-24.
25Francis G. K. Assembling compact Riemann surfaces with given boundary urves and branch points on the sphere // 111. J. Math. - 1976. - V. 20, No 2.
P. 198-217.
компактной поверхности. Кроме того, в этой работе дается описание всех римановых поверхностей над С с заданными граничными кривыми и проекциями точек ветвления на С.
Случай ры > 0 рассматривался Френсисом26, а также Эзеллем и
Марксом27. -^
Другой важной проблемой в теории разветвленных накрытий является исследование сходимости к ядру последовательностей римановъи поверхностей. Изучая сходящиеся последовательности {/т} аналитических функций в единичном круге, Каратеодори28 заметил, что соот ветствующие им односвязные римановы поверхности {о-т} сходятся I некотором смысле к некоторой римановой поверхности, соответствую щей предельной функции, которую он назвал ядром последовательное!! {
2eFtancis G. К. Polymersions with nontrivial targets // III. J. Math. - 1971
- V. 22, No L - P. 61-170. 2TEzell C. L., Marx M. L. Branched extensions of curves in orientable surfaci
Jl Trans. Amer. Math. Soc. - 1980. - V. 259, No 2. - P. 514-532.
2*Caratheodory C. Untersiichungen fiber die konformen Abbildungen vc festen urxd veranderlichen Gebieten // Math. Ann. - 1912. - Bd. 72. S. 107-144.
^Волковыский Л. И. Сходящиеся последовательности римановых п верхностей // Мат. сб. - 1948. - Т. 23(65), No 1. - С. 361-382.
30Трохимчук Ю. Ю. К теории последовательностей римановых п верхностей // Укр. мат. ж. - 1952. - Т. IV, No 1. - С. 49-56.
"Трохимчук Ю. Ю. О последовательностях аналитических функщ и римановых поверхностей // Укр. мат. ж. - 1952. - Т. IV, No 4. С.431-435.
Цель работы. При достаточно общих предположениях относительно граничных кривых и римановой поверхности N получить необходимые и достаточные условия для существования римановой поверхности,
над Ny ограниченной заданными кривыми. Изучить пространство раз-
ветвленных накрытий заданной поверхности N, наделенное различными сходимостями, являющимися .модификациями понятия сходимости к ядру по Каратеодори, исследовать его топологические свойства, метризуемость. С помощью развитых в диссертации методов доказать разрешимость некоторых обратных и смешанных обратных краевых задач (краевых задач со свободной границей) для аналитических функций на римановых поверхностях.
Научная позпзяа, В диссертации впервые введены и исследованы топологические и метрические пространства римановых поверхностей, предложены новые методы решения известных задач теории разветвленных накрытий, связанных с построением по границе римановых поверхностей.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Кубанских летних школах-конференциях по теории функций (1985,1987, 1990, 1991), на Саратовских зимних школах-конференциях по теории функций (1988, 1990, 1992, 1994), на Всесоюзной конференции молодых ученых Сибири и Дальнего Востока (Новосибирск, 1987), на школе-конференции "Алгебра и анализ" (Томск, 1988), на Всесоюзной конференции по геометрической теории функций (Новосибирск, 1988), на I Европейском конгрессе математиков (Франция, Париж, 1992), на Международной конференции и VII румынско-финском семинаре по комплексному анализу (Румыния, Тимишоара, 1993), на Воронежских зимних шьолах-конференциях по теории функций (1993, 1995), на Казанских летних школах по теории функций (1993, 1995), на Всемирном конгрессе математиков (Швейцария, Цюрих, 1994), на международной конференции "Алгебра и анализ", посвященной 100-летию со дня рождения Н. Г. Чеботарева (Казань, 1994), на итоговых научных конференциях Казанского университета (1984-1995), на семинаре Института математики СО АН СССР под руководством проф. П. П. Белинского (Новосибирск, 1985), на семинаре Института математики АН Украины под руководством Ю. Ю. Трохимчука (Киев, 1987), на семинаре под руководством проф. А. А. Гольдберга (Львов, 1991) на семинарах МГУ под руководством акад. РАН А. Г. Витушкина (1992, 1994), член.-корр. РАН П. Л. Ульянова (1993), проф. Е. П. Лолженко (1992, 1993), на семинаре института математики с ВЦ Уральского отделения РАН под руководством член-корр. РАН В. В. Напалкова (Уфа, 1995) и неодно-
кратно на семинаре по геометрической теории функций при Казанским университете под руководством проф. Л. А. Аксентьева (1984-1995) .
Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, шести глав, разделенных на 20 параграфов, и списка литературы, состоящего из 223 наименований.
