Введение к работе
Актуальность темы. В данной работе, отправляясь от резольвенты простейшего дифференциального оператора первого порядка, построены семейства интегральных операторов, позволяющих равномерно аппроксимировать непрерывные функции и их производные любого порядка на отрезке [0,1]. Затем эти семейства используются для аппроксимации решений некорректно поставленных задач.
Математическая задача называется корректно поставленной, если решение ее существует, единственно и непрерывно зависит от исходных данных.
Если хотя бы одно из этих условий не выполняется, то задача называется некорректно поставленной. Особый интерес представляют некорректно поставленные задачи, в которых не выполняется третье требование корректности. В данной работе рассматриваются именно такие задачи, то есть некорректность понимается в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность решения предполагаются заранее.
Теория некорректно поставленных задач начала разрабатываться сравнительно недавно - с 60-х годов прошлого века: со времен Адамара ошибочно считалось, что такие задачи не представляют интереса для исследований. Однако, оказалось, что неустойчивые (некорректные) задачи возникают при описании многих физических явлений: в геофизике, спектроскопии, астрофизике и т.д., а также в теоретических исследованиях, например, в теории приближений.
Основоположниками теории некорректно поставленных задач являются российские ученые: А. Н. Тихонов, М. М. Лаврентьев, В. К. Иванов. В их работах [1-3] были заложены основы методов приближенного решения таких задач.Эти методы получили дальнейшее развитие как в нашей стране, так и за рубежом.
Большой вклад в теорию некорректно поставленных задач внесли Агеев А. Л., Апарцин А. С, Арестов В. В., Бакушинский А. В., Васин В. В., Васильев Ф. П., Денисов А. М., Мельникова И. В., Морозов В. А., Романов В. Г., Ягола А. Г. и многие другие математики.
Из работ близких к исследованиям данной работы, укажем публикации [4-9] (см. также цитированную литературу в указанных работах).
В данной работе рассматриваются две хорошо известные некорректно поставленные задачи: задача восстановления непрерывных функций и их производных в случае, когда функция задана ее приближением в среднеквадратичной метрике и задача решения уравнения первого рода с приближенно заданной правой частью.
В качестве пространств Х\ и Xпри решении уравнения первого рода берутся конкретные пространства: Х\ = Ср[0,1], р > 0 целое, а для Х2 рассматривается два случая: а) Х2 = ^[0,1], б) Х2 = С[0,1].
Основным отличием данных исследований от работ других авторов является то, что здесь получены некоторые модификации методов регуляризации по сравнению с традиционным. Именно, приближающие функции берутся из более широкого пространства, чем пространство, которому принадлежит точное решение.
Интерес к некорректно поставленным задачам постоянно поддерживается их разнообразными и многочисленными приложениями.
Поэтому всегда актуальной является задача построения методов приближенного решения, простых по конструкции, эффективных с точки зрения исследования их приближающих свойств.
Цель работы.
Исследовать приближающие свойства интегральных операторов, базирующихся на резольвенте оператора дифференцирования.
Применить указанные операторы для решения некорректно поставленных задач.
Методика исследования.
В работе используются методы теории приближения функций, функционального анализа, теории интегральных уравнений и теории некорректно поставленных задач.
Научная новизна.
Результаты данной работы являются новыми и состоят в следующем:
Построены семейства интегральных операторов с разрывными образами и исследованы их приближающие свойства в задаче равномерного приближения непрерывных функций и их непрерывных производных любого порядка на отрезке [0,1].
Построены новые аппрокисимации решения задачи восстановления функций и их производных в случае, когда функция задана среднеквадратичным приближением.
Для интегрального уравнения Фредгольма второго рода с неограниченным обратным оператором получены равномерные приближения к непрерывному точному решению и к производным любого порядка в случае, когда правая часть уравнения задана приближенно.
Получены равномерные приближения к непрерывному решению интегрального уравнения Вольтерра первого рода.
5.Во всех рассмотренных некорректных задачах даны условия согласования параметра с погрешностью исходных данных, обеспечивающие сходимость приближенных решений к точному.
Теоретическое значение и практическая ценность.
Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применение 1) в задачах приближения непрерывных функций и их непрерывных производных любого порядка на отрезке; 2) в теоретических исследованиях методов решения неустойчивых задач; 3)при решении прикладных задач.
Апробация работы.
Основные результаты диссертационной работы докладывались на семинаре кафедры математической экономики Саратовского гос. университета (руководитель - проф. Дудов С. И.) (2009г.) на научной конференции сотрудников механико математического факультета Саратовского гос. университета (2009г.); на 14-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2008г.), на Воронежских весенних математических школах "Понтрягинские чтения - XIX", "Понтрягинские чтения - ХХ"(Воронеж, 2008г.,2009г.); на объединенном научном семинаре математических кафедр Саратовского гос. университета (2009г.).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах , список которых приведен в конце автореферата. Работы 1,2,7 входят в список ВАК, рекомендуемый для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации.
Диссертационная работа содержит 103 страницы машинописного текста и состоит из введения, трех глав и списка литературы (36 названий).
