Содержание к диссертации
Введение
1 Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами 31
1.1 Операторы с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций вместе с производными 31
1.2 Решение задачи Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах 42
1.3 Построение расширенных операторов 54
2 Применение интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами в теории некорректно поставленных задач 68
2.1 Задача восстановления функции вместе с производными 68
2.2 Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка 72
2.3 Регуляризация уравнения Абеля в пространстве С1 [0,1] 73
2.4 Регуляризация одного класса уравнений Вольтерра I рода в пространстве Cq[0,1] 94
Литература 101
- Операторы с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций вместе с производными
- Решение задачи Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах
- Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка
- Регуляризация одного класса уравнений Вольтерра I рода в пространстве Cq[0,1]
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена исследованию одного семейства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами, построению на базе этих операторов методов решения некорректно поставленных задач и нахождению оценок погрешностей полученных решений.
В начале XX века французским математиком Адамаром были сформулированы три условия (условия корректности по Адамару), которым должна удовлетворять каждая задача, имеющая разумную физическую интерпретацию.
Определение 0.0.1. Математическая задача называется корректно поставленной (корректной) , если её решение 1) существует, 2) единственно и 3) непрерывно зависит от начальных данных.
Последнее требование, естественно, предполагает, что исходные данные задачи и ее решение являются элементами некоторых метрических пространств. В то время, как первое и второе требования корректности характеризуют математическую определенность задачи, третье требование обусловлено тем, что в реальных задачах математической физики исходные данные получаются в результате измерений и поэтому всегда бывают заданы приближенно.
Поскольку при нарушении условия 3) сколь угодно малые погрешности исходных данных могут привести к сколь угодно большим изменениям в решении, было высказано мнение, нашедшее широкое применение в литературе (см., например,[1], [36]), что задачи, не удовлетворяющие условиям 1) - 3) и называемые некорректно поставленными задачами, практически не интересны, физически бессодержательны и в принципе не могут быть решены. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений ( см.[26], [44], [21]) в геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии. Методам решения некорректных задач посвящены основополагающие работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [43], [26], [27], [19], [21]), а также исследования В.Я. Арсенина, В.А. Морозова и многих других авторов (см. обзор [34], [45]).
В дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori.
Изложим базовые определения, результаты и методы теории некорректно поставленных задач, используемые в диссертационной работе.
Приведем общую постановку задачи приближенного решения уравнения первого рода.
Пусть Xi, X
Обозначим через и - точное решение, через / - точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана ее ^-приближениями fs в метрике пространства Х^. ||/<5 — /Ц^ ^ 5. Требуется построить по fs последовательность элементов us такую, что \\щ — и\\х —> 0 при 8 —> 0.
К такой задаче сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи.
Определение 0.0.2. Методы решения уравнений I рода называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов:
1) построения семейства линейных операторов Ra, зависящих от па раметра а, действующих из пространства Хі в пространство Х\ и облада ющих свойствами: а) каждый из операторов Ra определен на всем пространстве Хъ, б) || ДаИх -+Xi < ПРИ каждом значении а, в) для любого и Є Xi \\RaAu - u\\Xi -»> 0 при а -+ 0; (0.2)
2) согласования параметра а с погрешностью 5 (а = а(5)) такого, что S\\Ra(S)\\x^Xl^0 при 6-+0. (0.3)
Определение 0.0.3. Семейство линейных операторов Ra (а - положительный параметр), удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регу-ляризирующим семейством для уравнения (0.1); параметр а называется параметром регуляризации; оператор Ra при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором.
Определение 0.0.4. Если соотношение (0.2) выполняется не на всем пространстве Х\, а для и Є М С Xi, где М - некоторый класс элементов из Х\, то семейство Ra называется регуляризирующим на классе М.
Определение 0.0.5. Если стремление к пределу в (0.2) равномерно относительно и Є М, то семейство Ra называется регуляризирующим равномерно на классе М; сам класс М называется классом равномерной регуляризации.
Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближенного решения уравнения (0.1). Действительно, из оценки - u\\Xl ^ 5 \\Ra\\X^Xl + \\^аАи -u\\Xl , (0.4) следует, что параметр а можно так согласовать с погрешностью исходных данных 5 (а = а(5)), что будет выполняться (0.3), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.4) при а = а(5) 5 —> 0.
Таким образом, метод регуляризации (или метод Ra(S)) ~ это метод приближенного решения уравнения (0.1) с помощью регуляризирующего семейства Ra при согласовании а = а(5), обеспечивающем предельные соотношения (0.3). Условия же (0.2) и (0.3) являются достаточными для сходимости приближенного решения Ra(S)fs к точному.
На данный момент теория некорректно поставленных задач сильно развита, и существует довольно много методов регуляризации в гильбертовых пространствах, но в банаховых пространствах их достаточно ограниченное количество. Поэтому актуальным является построение новых методов регуляризации именно для банаховых пространств.
Г.В. Хромовой был предложен общий метод построения семейства регуляризирующих операторов для уравнения (0.1) в банаховых пространствах в случае, когда известен вид обратного оператора.
Этот метод заключается в следующем [58]:
Пусть для уравнения (0.1) известен обратный оператор А~1 и имеется семейство операторов Та такое, что \\Таи — u\\Xi —> 0 при а —> 0, тогда семейство операторов Ra = ТаА~1 будет регуляризирующим для исходного уравнения в случае, если Ra является ограниченным оператором, действующим из Хч в Х\.
Другой актуальной задачей в теории уравнений I рода является задача получения оценок погрешностей приближенных решений, при исследовании которой рассматриваются величины:
А(6,Ra,u) = sup{\\Raf5 - u\\Xi : \\f5 - f\\X2 ^ 5} , характеризующая погрешность приближения решения уравнения (0.1) при неточном задании правой части; а если и принадлежит некоторому классу
М С Хі, то - A{6,RcnM) = sup{\\Raf5-u\\Xi: «еМ, \\f5 - f\\Xi < 5} , характеризующая погрешность приближения решения уравнения (0.1) на классе М при неточном задании правой части, и Ai(RaA, М) = sup {\\RaAu - u\\Xi : и Є М} , характеризующая скорость аппроксимации функции и(х) функциями Raf на классе М.
Определение 0.0.6. Будем называть величину А(<5, Ra^,u) погрешностью метода Ra(s) в точке; величину А(5, Ra($), М) - погрешностью метода Ra(s) на классе равномерной регуляризации М С Х\.
Определение 0.0.7. Метод будем называть оптимальным по порядку и обозначать R-p\ если существует константа к, не зависящая от 5, такая, что при 0 ^ S < So A(S, Rop\ М)^кinf{A(S, R,M): Rep}, где p - множество всех операторов ИЗ Х2 В Х\.'
Наиболее законченными в теории оценок погрешностей приближенных решений в методах регуляризации являются результаты, полученные для компактных классов М, которые задаются с помощью вполне непрерывного оператора В Є (Х$ —> Х{), где Х$ - некоторое дополнительное пространство, и шара в этом пространстве:
М = {и Є Хг : и = Bv, \\у\\Хз ^ R} .
Для этих классов были получены (см. [21]) оценки для величины А(<5, RaiM) сверху и снизу через модуль непрерывности обратного оператора и сделан вывод об оптимальности по порядку, в частности, метода регуляризации Тихонова [43] при а = С б2.
Этот метод [43] является одним из наиболее известных методов регуляризации. В нем рассмотрен случай, когда А - интегральный оператор с непрерывным ядром, Х\ = Cr~l[a, Ь], Х2 = ^[а, Ь], а решение удовлетворяет некоторым дополнительным условиям гладкости: и Є W%[а, Ъ] (г -натуральное), где WJ[а, Ь] - одномерное пространство Соболева с нормой: [a,4=(/(Efc-W("(i)W)2)^ ь . . \ х12 lwllwj[o,q = , . к{(х) - непрерывны. В этом методе в качестве операторов Ra выступают операторы Raf = argMMa[u,f], и где
М>,/] = ||А«-/||^ + ог|Н|^.
Теорема 0.0.1. (Тихонова). Если в уравнении (0.1) А - интегральный оператор с непрерывным ядром, Raf = arg'mf Ма[и, f], а 71 и 72 ~ к0^-станты, не зависящие от а и 5, такие, что Ъ52 < а < 72<52, (0.5) Ra(6)fs - м||С(г-і) ~> 0 пРи 5 ->> 0.
Согласование (0.5) или согласование a = С52, называют тихоновским согласованием, а сам метод, определяемый теоремой 0.0.1, называется методом регуляризации (г — 1)-го порядка гладкости, поскольку он дает приближение к точному решению вместе с производными до (г — 1)-го включительно.
В 1974 году Франклин [46] исследовал метод Ra^) на предмет получения неулучшаемых по порядку оценок погрешности на классах:
М — MJ[а, Ъ] = < и(х) Є WJ[a, b] : \\u\\Wr ^ 1, г — натуральное > , которые являются наиболее естественными для метода регуляризации Тихонова, так как сходимость приближенных решений в этом методе получается за счет их принадлежности, вместе с точным решением, некоторому шару в Wr~l[a, Ь] наименьшие точные по порядку оценки погрешностей для нескольких типов уравнений первого рода с указанием величины порядков получены Г.В. Хромовой [56, 59].
Исследованию методов, оптимальных по порядку, посвящено довольно много работ ([6], [11], [21], [41], [42] и др.), тем не менее, при исследовании оценок погрешностей для того или иного метода регуляризации, как правило, указывается величина порядка по S в оценке сверху (см., например, [15],[16],[29],[39]). Что касается исследований по величине оптимального порядка, то они известны лишь в немногих случаях для гильбертовых пространств ([7], [6], [22]). Для нескольких типов уравнений I рода в случае метрики пространств Сг-1[а, 6] и классов М^а^Ь] получены величины оптимальных порядков [56, 59].
Приведем две теоремы, являющиеся классическими в теории уравнений первого рода:
Теорема 0.0.2. (см., например, в [21]) Для того, чтобы A(S,Ra,u) —> О при 5 —> 0 необходимо и достаточно выполнение условий (0.2) и (0.3).
Теорема 0.0.3. При любых а > 0 и S > 0 имеет место следующая двусторонняя оценка [8, 20]: \р{5, Ла, М) ^ Д(<5, Да, М) ^ <р(6, Ra, М), (0.6) <р{6, Ra, М) = 5 \\Ra\\x^Xl + Ді(#аА М).
Двусторонняя оценка (0.6) является источником получения точных по порядку оценок погрешностей приближенных решений. При этом получение таких оценок требует специального исследования для каждого конкретного класса решений.
В [56, 59] Г. В. Хромовой было предложено связать задачу получения двусторонних оценок для А(6, Ra, М) с задачей Колмогорова-Никольского.
Определение 0.0.8. Если Та - семейство операторов, для которого \\Таи — и\\х —> 0 при а —> 0 равномерно на некотором классе М, то задачей Колмогорова-Никольского [59] называется задача получения для величин Аі (Та, М) асимптотических представлений вида: Ai(TQ,M) = ^i(a) + ViW, (0.7) фі(а) = o((fi(a)) при а —> 0, где Определение 0.0.9. Задачей типа Колмогорова-Никольского [59] называется задача нахождения точных по порядку а при а —> 0 оценок величин Ді (Та> М) вида: >!(«) + ф[{а) ^ Ai (Та, М) ^ ірх(а) + фі(а), (0.8) Ф'і(а) = 0Ml (<*))» Фі(а) = o( Задача Колмогорова-Никольского является обобщением известной задачи нахождения асимптотически точных верхних граней отклонений периодических функций из некоторого класса от их приближений, полученных с помощью операторов из теории рядов Фурье (работы А. Лебега, А.Н. Колмогорова, СМ. Никольского, Б. Надя, С.Б. Стечкина, С.А. Теля-ковского, Ф.М. Ефимова, Н.П. Корнейчука и др.). Краткий обзор результатов по этому направлению см. в [18]. Г.В. Хромова рассмотрела [56, 59] обобщение задачи Колмогорова-Никольского на непрерывные не обязательно периодические функции и на их производные. Ею получено интегральное представление функций из одномерного пространства Соболева WJl^, b] с нормой: Ik =(/f(t*W)2+(««(*)): и на базе этих интегральных представлений - формулы для величин A? (Та, Mr2) = sup { Т*ч - «М : и{х) Є М[а, 6]} , I С[а,Ъ] ) г = 1,2,..., р = 0,г-1, (Та - интегральный оператор с непрерывно дифференцируемым по х ядром Ta(x,t) такой, что \\Т%и-и^\\с[аЬ]^ 0 (р = 0,...,г - 1) при а -» О, Т - интегральный оператор с ядром —— ) характеризующих скорость аппроксимации Ф^(х) с помощью операторов Т? на классе М2[а,Ь] (см. стр. 8): Теорема 0.0.4. [59] Справедливы представления: <р)„р д,п І і дРТа{х,)&>д(х,Ьа) А?> (Та, Ml) = sup d2Pg(x,,a) (0.9) $(, &<*) = / Ta(x, v)G(t, r,)dr) - G(, ), (0.10) С?(,ж) - функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением *y = (-i)Vr(t) + vW (0.11) и краевыми условиями: у(a) = y{i)(b) = О, і = г,..., 2т - 1. (0.12) Лемма 0.0.1. [59]Для функции Грина дифференциального оператора (0.11) - (0.12) справедливо представление: 1 2г / 2г \ G& v) = Tr . Xie~Xlv ±еЫ+Ec-<eAm* ' (-13) Г 1=1 \ m=l J где A/ = "%/{—1)г+1, Сш / — некоторые константы, зависящие от краевых условий; знак „+" соответствует < г\; знак „-" - > г). Теорема 0.0.4 дает базу для решения задачи Колмогорова-Никольского на классах М^а, Ь] в метрике пространства Х\ = Сг~\а, Ь]. Вернемся к задаче получения точных по порядку оценок для величины A(S,Ra,M). На основе (0.6) в [56, 59] предложен общий метод получения таких оценок, а также" выбора согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 5, который заключается в следующем: Пусть для уравнения (0.1) мы имеем регуляризующее семейство Ra и класс М равномерной регуляризации, которому принадлежит точное решение. Тогда для величины А(5, Ra, М) при каждом фиксированном а справедлива двусторонняя оценка (0.6). Пусть для оператора RaA и класса М решена задача Колмогорова-Никольского или типа Колмогорова-Никольского. Тогда в первом случае мы имеем для Ai(RaA, М) представление (0.7), а во втором - двустороннюю оценку (0.8). Пусть, далее, для нормы Ra тоже получены либо представление вида: 11^11x^=^)4-«<*), (0.14) 02(a) = ofa^M) ПРИ а ~* 0, либо асимптотическая по а при а —> 0 оценка: ^г(а) + 1ЙМ < 11^11^ < ^г(а) + ^(а), (0.15) ф'2(а) = о((р'2{а)), ф2{а) = о(<р2(а)) при а -> 0. Пусть существует а = а(<5) такая, что а(5) = arginf((/?i(a) + 6(р2(а)), (0.16) тогда справедлива Теорема 0.0.5. Если существует зависимость a = oi(S) такая, что метод Ra(S) является оптимальным по порядку, то метод В,щ) таксисе будет оптимальным по порядку. Таким образом, результатом выбора условия согласования с* = а(5) из (0.16), подстановки его и представлений (0.7) и (0.14) (либо оценок (0.8) и (0.15)) в двустороннюю оценку (0.6), будут точные по порядку 5 оценки погрешностей задачи решения уравнения первого рода, имеющие тот же порядок, что и величины inf Л (5, Ra, М). Этот метод был реализован для нескольких классов некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции (см., например, [50, 51, 57]), задач для интегральных уравнений I рода с ядром Грина [52, 59] и разрывным ядром [56], задачи восстановления решения уравнения Абеля [60, 59]. Данная работа представляет собой развитие изложенных методов для построения регуляризирующих операторов, выбора согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и получения двусторонних оценок погрешностей полученных решений в пространствах гладких функций применительно к нескольким некорректно поставленным задачам. Перейдем теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из двух глав, разделенных на 7 параграфов. В первой главе исследуются аппроксимативные свойства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций с их производными в равномерной метрике во внутренних точках отрезка; решается задача Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах; на базе операторов с полиномиальными финитными ядрами строятся расширенные операторы, приближающие функцию вместе с производными на всем отрезке. Во второй главе рассматривается применение рассмотренных в главе 1 операторов при построении методов решения некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции вместе с ее производными в случае, когда функция задана приближенно; обратной задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения n-го порядка; задачи нахождения приближений решения и производной от решения уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью; задачи нахождения приближений к решению вместе с производными для одного класса интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Указываются условия согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и находятся точные по порядку оценки погрешностей решений этих задач с указанием величины этого порядка. В параграфе 1.1 вводится в рассмотрение семейство интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами [49]: Ь х+а Taku= / Tak{x,t)u{t)dt = ak I ((t - х)2 - а2)кu(t)dt, = 1,2,..., а х—а где а > 0 - параметр, ак выбираются из условия: Так1 = 1 и имеют вид: Аш~{2к+1) Аь = f_r)fc(2fe + 1)! Через T%k (р = 0, к) обозначается интегральный оператор, ядро которого есть р—я производная по х от ядра оператора Так, то есть rriO f dPTak(X,t) , . , ak J Qxp TLu = I fv ' Ju(t)dt, (0.17) TakU = TakU, а через C[a, b] - пространство непрерывных функций на отрезке [а+є, b—є], є > а. Главными результатами параграфа 1.1. являются: Теорема 1.1.1. Если функция и{х) Є Ck[a,b], mo Т> - и^ с —>0 (р = 0, к) при а —> 0. Теорема 1.1.2. Справедливы равенства: IKJU^V^.^o.* Ккк = у/(-1)к(2к)\Ак, Ккк-1 — ^-іМ^'Н'Ч^ Р {-1)кАк к{2к - 2)! + к + - 2(/c-s) + 3 г і \ 112 &_р [^-2J / -і \n+srmcisriV C'V **,= 2>1ї(р!)2Х; , p = 0,fc-2. 2(/fe-s)w2(/b-n) ^^ 2(fc-n) + 2(fc-S)-2p+l Параграф 1.2. посвящен решению задачи Колмогорова-Никольского для операторов Т^к и классов М2*+1[а,Ь]. Для величин ЛГ (ТаЬ M|+1) - snp ?> - ^ а и(я)єМ*+1[а,ЬП, доказана Теорема 1.2.2. Имеют место асимптотические по а при а —> О представления1: A(!fc) (ТаЬMtl) = PkkCL1'2 + 0(аУ% At1} (Tat, M|+1) = Рк,_!а3/2 + 0(а5/2), Af-2) (Tefcj М*+1) = Рк к.2а2 + 0(а3), Д<р) (Т^ M2fc+1) = Pfcpa2 + 0(а4), р = М = 3, где (( и*а. М] * f-l^*C-C* Р - І-1;1 ^ ОҐЬП2/!2 W л\*г3Пк V^ І -U fc4fc-2n+2 2(fc+l) 4& - 2n - 2s + З ^ (2fc + 1 - i)!i!(2(fc - n) +1 + 1) 12(fc + l)(A: + 2) k(h + l)2 [k-*p] -Pfc fc-1 = (~1)к+1Ак A\ [kjA] (-1) 2(fc-s) + 3 fe / -і Лп+Л/'чп/^А;—1 (~1)г ^ (2ЛЯ-1 — г)!г!(2(А; - n) + г + 1) (p+l)(p + 2)j 2(fc-s) + 3 ^2(fc-n) + 3 -*кр — (-1)^24 Ml (-i)-c|cf(jfc_3) * (_1ГСп і_^ 9f- _ с"» М 3 2_^ Grf+2) (x,,) , p = 0,fc-2, 1Всюду далее константы в выражениях, обозначенных через 0(...), зависят от є Gi^iV) ~ функция Грина дифференциального оператора, порожденного дифференциальным выражением ly = (-l)k+1y2(k+l)(t)+y(t) и краевыми условиями: у (а) = у(0(ь) = о, і = к + 1,.., 2к + 1. Ркр (р — О? &) ~ отличны от нуля. Следует отметить, что доказательство теоремы 1.2.2 начавшись в параграфе 1.2, продолжается и заканчивается в параграфе 2.1 главы 2, поскольку оно опирается на теорию некорректно поставленных задач. Операторы Т^к определены лишь во внутренних точках отрезка [а, 6], поэтому параграф 1.3 имеет целью построение на базе операторов Т%к расширенных операторов Т^к, дающих приближение к функции и производным на всем отрезке [а, 6]. Вид этих операторов дается теоремами 1.3.1 и 1.3.3. Теорема 1.3.1. Операторы ь Таки = / fak(x,t)u(t)dt, где при х Є [а, а + а] : Tak{x,t) = ак < Aak(x,t) + Cak(x,t), t Є [a, 2a- x + a] Cak(x,t), t Є [2a — x -f- a, x + a] 0, t E[x + a, b] при x Є [a + a, b — a]: ,Cak(xit), t Є [x — a,x + a] Tak{x,t) = ak 0, t Є [a, ж — a] U [ж + a, 6] при x Є [b — a,b]: 0, t Є [a, x — a] Tak(Xjt) = ak < Cak(x,t), t Є [x — a, 26 — x — a] Bak{x,t) + Cak(x,t), ' t Є [2b — x — a,b] Aak(x,t) = ((2a - t - x)2 - a2)k , Bak(x,t) = ({2b-t-x)2-a2)\ Cak(x,t) = ((t-x)2-a2)k, дают равномерное приблиоюение к любой непрерывной функции и{х) на всем отрезке [a, b]. Теорема 1.3.2. Справедливо равенство: J-а к (2fc)!(2fc + l)! а 2. L2^C (fc!)V(4* + l)! Теорема 1.3.3.Пусть функция и(х) Є Ck[a,b]. Тогда операторы i> = <- (-1)?/ dPTak(x,t) dtP u(t)dt, р = 0, &, где Tak(x,t) - ядра операторов Так из теоремы 1.3.1 , а > О - параметр, дают равномерное приблиоюение кр-ой производной функции и(х) на всем отрезке [a, Ь] 7> - «W (р-з) Оприа-} О;, если «^"^(а) = u^-l\b) = u^~3\a) = = „(р-і)ГМ = (Ч = и(а) = u(b) = 0 при р нечетном и и^ l\a) = и^ *)(&) u(p 3)(а) = и^ Ъ\Ь) = ... = и'(а) = и'(6) = 0 при р четном. Теорема 1.3.4. Справедливы двусторонние оценки: -2р-1 \[2Кк р сх 2 ^ L2->C -2р-1 ^ Ккр а 2 , р = 0, к ( [*-$] [*-!] \ s=0 n=0 \ 1/2 2(k-n)-p 02(к-п)-р-Іґ-іІ Ч V^ U2(fc-n)-p j 2(fc-e)-p + i+l Xfcp определены в теореме 1.1.2. Однако, как показали дальнейшие исследования, неустойчивые задачи возникают при описании многих реальных физических явлений ( см.[26], [44], [21]) в геофизике, гидродинамике, гидромеханике, астрономии, спектроскопии. Методам решения некорректных задач посвящены основополагающие работы А. Н. Тихонова, М. М Лаврентьева, В. К. Иванова (см. [43], [26], [27], [19], [21]), а также исследования В.Я. Арсенина, В.А. Морозова и многих других авторов (см. обзор [34], [45]). В дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori. Изложим базовые определения, результаты и методы теории некорректно поставленных задач, используемые в диссертационной работе. Приведем общую постановку задачи приближенного решения уравнения первого рода. Пусть Xi, X i- банаховы пространства. Рассмотрим уравнение Au = f, (0.1) где А - линейный ограниченный оператор, действующий из Х\ в Х2, и такой, что А-1 существует, но неограничен. Обозначим через и - точное решение, через / - точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана ее -приближениями fs в метрике пространства Х . / 5 — /Ц 5. Требуется построить по fs последовательность элементов us такую, что \\щ — и\\х — 0 при 8 — 0. К такой задаче сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи. Определение 0.0.2. Методы решения уравнений I рода называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов: 1) построения семейства линейных операторов Ra, зависящих от па раметра а, действующих из пространства Хі в пространство Х\ и облада ющих свойствами: а) каждый из операторов Ra определен на всем пространстве Хъ, б) ДаИх -+Xi ПРИ каждом значении а, в) для любого и Є Xi 2) согласования параметра а с погрешностью 5 (а = а(5)) такого, что Определение 0.0.3. Семейство линейных операторов Ra (а - положительный параметр), удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регу-ляризирующим семейством для уравнения (0.1); параметр а называется параметром регуляризации; оператор Ra при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором. Определение 0.0.4. Если соотношение (0.2) выполняется не на всем пространстве Х\, а для и Є М С Xi, где М - некоторый класс элементов из Х\, то семейство Ra называется регуляризирующим на классе М. Определение 0.0.5. Если стремление к пределу в (0.2) равномерно относительно и Є М, то семейство Ra называется регуляризирующим равномерно на классе М; сам класс М называется классом равномерной регуляризации. Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближенного решения уравнения (0.1). Действительно, из оценки следует, что параметр а можно так согласовать с погрешностью исходных данных 5 (а = а(5)), что будет выполняться (0.3), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.4) при а = а(5) 5 — 0. Таким образом, метод регуляризации (или метод Ra(S)) это метод приближенного решения уравнения (0.1) с помощью регуляризирующего семейства Ra при согласовании а = а(5), обеспечивающем предельные соотношения (0.3). Условия же (0.2) и (0.3) являются достаточными для сходимости приближенного решения Ra(S)fs к точному. На данный момент теория некорректно поставленных задач сильно развита, и существует довольно много методов регуляризации в гильбертовых пространствах, но в банаховых пространствах их достаточно ограниченное количество. Поэтому актуальным является построение новых методов регуляризации именно для банаховых пространств. Г.В. Хромовой был предложен общий метод построения семейства регуляризирующих операторов для уравнения (0.1) в банаховых пространствах в случае, когда известен вид обратного оператора. Этот метод заключается в следующем [58]: Пусть для уравнения (0.1) известен обратный оператор А 1 и имеется семейство операторов Та такое, что \\Таи — u\\Xi — 0 при а — 0, тогда семейство операторов Ra = ТаА 1 будет регуляризирующим для исходного уравнения в случае, если Ra является ограниченным оператором, действующим из Хч в Х\. Теорема 0.0.4 дает базу для решения задачи Колмогорова-Никольского на классах М а, Ь] в метрике пространства Х\ = Сг \а, Ь]. Вернемся к задаче получения точных по порядку оценок для величины A(S,Ra,M). На основе (0.6) в [56, 59] предложен общий метод получения таких оценок, а также" выбора согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных 5, который заключается в следующем: Пусть для уравнения (0.1) мы имеем регуляризующее семейство Ra и класс М равномерной регуляризации, которому принадлежит точное решение. Тогда для величины А(5, Ra, М) при каждом фиксированном а справедлива двусторонняя оценка (0.6). Пусть для оператора RaA и класса М решена задача Колмогорова-Никольского или типа Колмогорова-Никольского. Тогда в первом случае мы имеем для Ai(RaA, М) представление (0.7), а во втором - двустороннюю оценку (0.8). Пусть, далее, для нормы Ra тоже получены либо представление вида: тогда справедлива Теорема 0.0.5. Если существует зависимость a = oi(S) такая, что метод Ra(S) является оптимальным по порядку, то метод В,щ) таксисе будет оптимальным по порядку. Таким образом, результатом выбора условия согласования с = а(5) из (0.16), подстановки его и представлений (0.7) и (0.14) (либо оценок (0.8) и (0.15)) в двустороннюю оценку (0.6), будут точные по порядку 5 оценки погрешностей задачи решения уравнения первого рода, имеющие тот же порядок, что и величины inf Л (5, Ra, М). Этот метод был реализован для нескольких классов некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции (см., например, [50, 51, 57]), задач для интегральных уравнений I рода с ядром Грина [52, 59] и разрывным ядром [56], задачи восстановления решения уравнения Абеля [60, 59]. Данная работа представляет собой развитие изложенных методов для построения регуляризирующих операторов, выбора согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и получения двусторонних оценок погрешностей полученных решений в пространствах гладких функций применительно к нескольким некорректно поставленным задачам. Перейдем теперь к освещению структуры и содержания основной части рукописи. Диссертационная работа состоит из двух глав, разделенных на 7 параграфов. В первой главе исследуются аппроксимативные свойства интегральных операторов с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций с их производными в равномерной метрике во внутренних точках отрезка; решается задача Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах; на базе операторов с полиномиальными финитными ядрами строятся расширенные операторы, приближающие функцию вместе с производными на всем отрезке. Во второй главе рассматривается применение рассмотренных в главе 1 операторов при построении методов решения некорректно поставленных задач: задачи восстановления функции вместе с ее производными в случае, когда функция задана приближенно; обратной задачи для обыкновенного линейного дифференциального уравнения n-го порядка; задачи нахождения приближений решения и производной от решения уравнения Абеля с приближенно заданной правой частью; задачи нахождения приближений к решению вместе с производными для одного класса интегральных уравнений Вольтерра первого рода. Указываются условия согласования параметра регуляризации с погрешностью исходных данных и находятся точные по порядку оценки погрешностей решений этих задач с указанием величины этого порядка. При получении оценок в утверждении теоремы будем применять метод, описанный на стр. 12. Конкретизируем его для нашего случая. Сначала нужно получить асимптотические представления для величин Aj (Tak, М\+1) вида (1.19) и аналогичные представления для (2.3) После следует найти согласования а = а(6) из условий: Найденные выражения а = а(5) и представления (1.19), (2.3) необходимо подставить в двусторонние оценки: результатом чего будут точные по порядку S оценки погрешностей задачи восстановления, имеющие тот же порядок, что и величины inf А (5, Т М 1)[56]. Асимптотические представления (1.19) и (2.3) для величин А } (Так, M2fc+1) и Из условия (2.4) получаем согласования параметра регуляризации а с погрешностью исходных данных д при р = к : Подставляя полученные выражения в двусторонние оценки (2.5), имеем (2.2). Известно, что метод регуляризации А.Н. Тихонова на классах, задаваемых в виде: М = BSR, где В - вполне непрерывный оператор, SR - шар в некотором гильбертовом пространстве с радиусом R, является оптимальным по порядку [21]. Поскольку класс функций М2+1[а, Ь] указанного вида, где В - оператор вложения из W 1 , Ь) в Ск[а, b], a R = 1, то утверждение справедливо и в нашем случае. Сравнивая оценки, полученные в задаче восстановления функции и ее производных методом Тихонова [56], с оценками (26) получаем утверждение теоремы. Теорема доказана. Продолжим доказательство теоремы 1.2.1. Покажем, что константы Rkk и Rkk-1 из теоремы 1.2.1 отличны от нуля. Предположим противное: Rkk = 0, Rkk-і = 0. Тогда величины Д (Так, M2fc+1) и Д _1) (Так, M2fc+1) будут иметь порядок меньший, чем а1/2 в первом и а3/2 во втором случаях. Аналогично, как и в доказательстве теоремы 2.1.2, выбирая соответствующие согласования а = а(5) и подставляя их в двусторонние оценки (2.5), придем к порядкам по 5 величин Д (5, T «fc, М+1) (р = к, к — 1) меньшим оптимальных, что противоречит определению оптимальности и последнему утверждению теоремы 2.1.2. Теорема 1.2.1 доказана. Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка Рассмотрим линейное дифференциальное уравнение n-го порядка: - вещественны. Пусть нам заданы коэффициенты РІ(Х) (і = 2, п) и известны приближения у six) к точному решению у{х) этого уравнения в среднеквадратичной метрике: Построим равномерное приближение к правой части f(x) дифференциального уравнения (2.6). Эта задача сводится к некорректной задаче восстановления функции вместе с производными до n-го порядка включительно по ее 5-приближению в метрике пространства L . Теорема 2.2.1. Для того, чтобы имела место сходимость sup {/(Тап уз) - f\\Ce[aM : \\уб - y\\L2 б)-+0при5- 0 (2.7) необходимо и достаточно выбрать согласование а = а() из условий: 1) а{5) - 0 при 5 - 0; 2) 6 {а(5))= =1 -» 0 при 6 -+ 0. Доказательство следует из теорем 0.0.2, 1.1.2 и того, что из сходимости: В дальнейшем мы будем понимать некорректность именно в смысле отсутствия непрерывной зависимости решения от исходных данных, а существование и единственность будем предполагать a priori. Изложим базовые определения, результаты и методы теории некорректно поставленных задач, используемые в диссертационной работе. Приведем общую постановку задачи приближенного решения уравнения первого рода. Пусть Xi, X i- банаховы пространства. Рассмотрим уравнение Au = f, (0.1) где А - линейный ограниченный оператор, действующий из Х\ в Х2, и такой, что А-1 существует, но неограничен. Обозначим через и - точное решение, через / - точную правую часть уравнения (0.1). Пусть правая часть / задана ее -приближениями fs в метрике пространства Х . / 5 — /Ц 5. Требуется построить по fs последовательность элементов us такую, что \\щ — и\\х — 0 при 8 — 0. К такой задаче сводится ряд важных задач математической физики, вычислительной математики, теории функций, теории интегральных уравнений, а также многие прикладные задачи. Определение 0.0.2. Методы решения уравнений I рода называются методами регуляризации и состоят из двух принципиальных моментов: 1) построения семейства линейных операторов Ra, зависящих от па раметра а, действующих из пространства Хі в пространство Х\ и облада ющих свойствами: а) каждый из операторов Ra определен на всем пространстве Хъ, б) ДаИх -+Xi ПРИ каждом значении а, в) для любого и Є Xi 2) согласования параметра а с погрешностью 5 (а = а(5)) такого, что Определение 0.0.3. Семейство линейных операторов Ra (а - положительный параметр), удовлетворяющее условиям а), б), в), называется регу-ляризирующим семейством для уравнения (0.1); параметр а называется параметром регуляризации; оператор Ra при фиксированном значении а называется регуляризирующим оператором. Определение 0.0.4. Если соотношение (0.2) выполняется не на всем пространстве Х\, а для и Є М С Xi, где М - некоторый класс элементов из Х\, то семейство Ra называется регуляризирующим на классе М. Определение 0.0.5. Если стремление к пределу в (0.2) равномерно относительно и Є М, то семейство Ra называется регуляризирующим равномерно на классе М; сам класс М называется классом равномерной регуляризации. Существование регуляризирующего семейства является условием, достаточным для разрешимости задачи приближенного решения уравнения (0.1). Действительно, из оценки следует, что параметр а можно так согласовать с погрешностью исходных данных 5 (а = а(5)), что будет выполняться (0.3), а отсюда следует стремление к нулю правой части (0.4) при а = а(5) 5 — 0. Таким образом, метод регуляризации (или метод Ra(S)) это метод приближенного решения уравнения (0.1) с помощью регуляризирующего семейства Ra при согласовании а = а(5), обеспечивающем предельные соотношения (0.3). Условия же (0.2) и (0.3) являются достаточными для сходимости приближенного решения Ra(S)fs к точному. На данный момент теория некорректно поставленных задач сильно развита, и существует довольно много методов регуляризации в гильбертовых пространствах, но в банаховых пространствах их достаточно ограниченное количество. Поэтому актуальным является построение новых методов регуляризации именно для банаховых пространств. Г.В. Хромовой был предложен общий метод построения семейства регуляризирующих операторов для уравнения (0.1) в банаховых пространствах в случае, когда известен вид обратного оператора. Этот метод заключается в следующем [58]: Пусть для уравнения (0.1) известен обратный оператор А 1 и имеется семейство операторов Та такое, что \\Таи — u\\Xi — 0 при а — 0, тогда семейство операторов Ra = ТаА 1 будет регуляризирующим для исходного уравнения в случае, если Ra является ограниченным оператором, действующим из Хч в Х\.Операторы с полиномиальными финитными ядрами в задаче приближения гладких функций вместе с производными
Решение задачи Колмогорова - Никольского на некоторых компактных классах
Обратная задача для линейного дифференциального уравнения п—го порядка
Регуляризация одного класса уравнений Вольтерра I рода в пространстве Cq[0,1]
Похожие диссертации на Интегральные операторы с полиномиальными финитными ядрами и их применение в некорректно поставленных задачах
