Введение к работе
Актуальность работы. В последнее время активное .развитие получило применение математических методов в теории финансов. По существу создана новая научная дисциплина - финансовая математика. Активно развиваются в частности стохастические методы в теории финансов (А.Н.Ширяев, А.В.Мельников, Ф.Блэк, М.Шсулз, Дж.Кокс, С.Росс М.Рубинштейн).
Одной из основных задач финансовой математики является проблема анализа сложных инвестиционных проектов. Теории инвестиций посвящены в частности исследования В.Шарпа, Г.Марковица, Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера, Ф.Модильяни и др.
Классические работы Г.Марковица в частности посвящены формированию оптимального с точки зрения безопасности портфеля ценных бумаг.
В настоящей работе ставятся и анализируются преимущественно детерминированные задачи формирования оптимального инвестиционного портфеля, учитывающие те или иные ресурсные ограничения. К задачам формирования оптимального портфеля инвестиций сводятся в частности следующие проблемы:
а) анализа финансового риска в страховой деятель
ности;
б) сравнения различных финансовых инструментов в
банковской практике;
в) выбора оптимальной стратегии на рынке ценных
бумаг.
Следует отметить, что методы математического анализа сложных инвестиций (т.е. с большим числом чередующихся доходов и расходов) развиты слабо. То же относится и к анализу инвестиционных проектов в условиях переменной во времени (в том числе - случайной) процентной ставки. В этой связи важной и актуальной представляется задача математического описания таких проектов и разработка методов их анализа. Недостаточность методической базы является одним из факторов, сдерживающих решимость потенциальных инвесторов при вложении средств.
В настоящей работе к анализу инвестиционных проектов применяются методы современного выпуклого анализа. В частности выделены и описаны выпуклые объекты, возникающие в теории инвестиционных проектов, и проанализирована их экстремальная структура.
Широкое применение теория выпуклых множеств в целом и теоремы о представлении типа Крейна - Мильмана и Шоке находят и в чисто математических исследованиях
(теория функций, функциональный анализ, теория меры). В теории оптимизации важную роль играет также аппроксимация выпуклых тел многогранниками.
Об актуальности проблематики - свидетельствует и интерес к этим вопросам весьма широкого круга математиков, экономистов и финансистов из разных стран, о чем свидетельствуют публикации в мировой математической и экономической печати. Упомянем здесь работы Дж.Линденштраусса, Р.Фелпса, Я.Штернфельда, А.Лазара, Дж.Шепарда,. В.Кли, Р.Шнейдера, В.Шарпа, Г.-Марковица, Е.Элтона, М.Грубера, М.Миллера и др.
Цели работы. Постановка, анализ и численное решение оптимизационных задач теории сложных инвестиций с использованием методов выпуклого анализа, изучение экстремальной структуры выпуклых объектов, возникающих в теории инвестиций, исследование топологической структуры экстремальных элементов выпуклых тел, изучение многогранной аппроксимации выпуклых тел.
Научная новизна заключается в
- применении методов выпуклого анализа к
теории инвестиций;
постановке и численном решении задач формирования оптимального портфеля инвестиций;
разработке методики учета ненадежности проектов при формировании портфеля;
- применении теории планарных графов к задаче
распределения двумерного ресурса;
- получении новых и усилении известных ре
зультатов о топологических свойствах экстремаль
ных границ выпуклых компактов в евклидовом и
гильбертовом пространствах;
получении слабой асимптотики метрической энтропии компактов, составленных из выпуклых множеств и функций;
установлении свойств экстремальных точек выпуклых конусов и компактов, состоящих из выпуклых множеств и функций при наделении их различными структурами выпуклости;
- исследовании экстремальных точек в типичных
выпуклых компактных множествах.
Значение результатов работы определяется их возможным применением для исследования широкого круга теоретических и прикладных задач в частности в финансовых структурах, ориентированных на инвестиции. Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты 94-01-01286 Топологическая структура экстремальных границ выпуклых компактов» и 97-06-80063 «Оптимизационные задачи в инвестиционной и страховой деятельности») в рамках Федеральной целевой программы "Интеграция".
Апробация работы. Результаты работы докладывались на Всесоюзном симпозиуме по геометрии в целом (Новосибирск-1982), на VI, VII, XI, XII Всесоюзных школах по теории операторов в функциональных пространствах (Иркутск-1981, НовосиОирск-1982, Челябинск-1986,. Тамбов-1987), на 10 конференции "Нелинейная оптимизация" (ГДР, Галле-1989), на 1 и 2 Сибирских конгрессах по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск-1994, 1996), на Международной конференции "Комплексный анализ, дифференциальные уравнения и смежные вопросы" (Уфа-1996), на Международной геометрической школе - семинаре памяти Н.В.Ефимова (Абрау-Дюрсо-1996), на Уральских конференциях "Функционально-дифференциальные уравнения" (Пермь-1983, Челябинск-1985), на Международной конференции "Математическое программирование и его приложения" (Екатеринбург-1997), на II Международной научно-практической конференции "Математические методы и компьютеры в экономике" (Пенза-1997), на Международной конференции "Применения математики в экономике" (Омск-1997), на Международной конференции по геометрии в целом (Украина, Черкассы-1997), на Международной конференции "Актуарная наука: теория, образование и приложения" (Москва-1997), на научных семинарах в институте математики СО РАН, в Институте математики и механики УрО РАН, в Институте математики с вычислительным центром УНЦ РАН, в Московском государственном университете, в Харьковском институте инженеров коммунального строительства, в Башкирском государственном университете, в Уфимском государственном авиационном техническом университете, в Стерлита-макском государственном педагогическом институте.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, шести глав, и списка литературы, занимает 343 стр. машинописного текста, список литературы включает 122 назв. В диссертации 22 рисунка и 19 таблиц.
