Введение к работе
-- - - ~ 3 — Общая характеристика работы
Актуальность темы.
Единичный шар Вп С С" является модельным примером строго псевдовыпуклой области и поэтому играет особую роль в теории голоморфных функций, заданных на гчких пбласхл*.. С другой стороны, шар является классической областью, а его граница, сфера S, есть однородное пространство унитарной группы Ы{п), именно, S = U(n)/U(n — 1). Последнее наблюдение позволяет развить спектральную теорию функций, определенных на сфере. Один из основных вопросов такой теории — соотношение спектральных и метрических свойств функций (и мер). Изучение этого вопроса приводит к задачам о множествах единственности и нулевых множествах, интерполяционных множествах и множествах пика. Для функций, заданных в шаре, естественно ставить задачи о граничном поведении, в частности, об исключительных множествах.
Вышеперечисленные задачи достаточно давно интенсивно изучались для пространств голоморфных функций (многие результаты собраны в монографии [1]), в последнее время вырос также интерес к плюригармонической интерполяции (см. [2]). Одно из быстро развивавшихся направлений дальнейших исследований было связано с задачей построения внутренних функций в шаре (необходимо отметить работы [3-6], а также обзоры [7] и [8]).
Традиционные обобщения обсуждаемых вопросов основаны на рассмотрении областей, граница которых имеет более сложную геометрию, чем сфера. В диссертационной работе исследования ведутся в ином направлении — изучаются функции, близкие к голоморфным в спектральном смысле.
Особый интерес для теории функций в шаре представляют меры с плюригармоническим спектром (кратко, РМ-меры). В частности, имеет место прямое соответствие между положительными сингулярными РМ-мерами и внутренними функциями. Интересные результаты о РМ-мерах были получены уже в работах [9, 10]. Далее эта тема развивалась при решении задач о внутренних функциях, однако многие вопросы о сингулярных частях РМ-мер остаются открытыми (см.[7]).
Цель работы.
Изучить унитарно инвариантные пространства функций на сфере, близкие к классам граничных значений голоморфных в шаре функций (воспроизводящие ядра и интегральные операторы, порожденные такими ядрами, множества пика, интерполяционные и исключительные множества). Исследовать носители мер, интеграл Пуассона которых плюригармоничен.
Общая методика исследования.
Используется аппарат вещественного гармонического анализа (классы Харди, сингулярные интегралы) и гармонического анализа на однородных пространствах компактных групп, общие методы многомерного комплексного анализа и линейного функционального анализа."
Научная новизна.
Все основные результаты диссертации являются новыми.
Практическая и теоретическая ценность.
Работа имеет теоретический характер. Результаты и методы диссертации могут быть использованы в спектральной теории функций (в частности, при получении утверждений типа прин-
ципа неопределенности), для изучения проекторов типа Коши-
Ссгс, пространств типа Бергмана-Соболева.
Апробация работы.
Результаты диссертации докладывались на семинаре ПОМИ-СПбГУ по спектральной теории функций, ня грмипяпр тт" нескольким комплексным переменным университета Бордо (Франция) и на семинарах по анализу университетов Барселоны (Ис- панил).
Публикации.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [ЛІ], [Д2], [ДЗ].
Структура и объем работы.
