Введение к работе
Актуальность темы
В различных областях математической физики возникают постановки вопросов о локализации собственных значений краевых задач для сингулярно возмущенных дифференциальных уравнений и распределении спектра операторов, заданных матрицами или зависящими от параметра матричными семействами. Эффективным средством, используемым для изучения этих вопросов, являются асимптотические и численно-аналитические методы. Применение и развитие этих методов составляют предмет настоящей диссертации.
Способы построения асимптотических формул для решений дифференциальных уравнений второго порядка вне окрестностей точек поворота восходят к Ф. Карлини, Ж. Лиувиллю и Дж. Грину, заложившим основу подхода, названного впоследствии квазиклассическим или методом ВКБ (в честь Дж. Вентцеля, Г. Крамерса и Л. Бриллюэна); дальнейшее развитие этот подход получил в работах Дж. Стокса, Дж. Биркгофа, В.П. Маслова, М.В. Федорю-ка. Поведение решений дифференциальных уравнений вблизи точек поворота исследовали Е.Р. Лангер, Ф. Олвер, В. Вазов и др. Соответствующие результаты для разностных уравнений были получены А. Пуанкаре, О. Перроном, Дж. Биркгофом и К. Р. Адамсом.
Исследованию спектральных свойств краевых задач с помощью асимптотических методов посвящено большое количество работ (см. [1], [2], [3], [4] и цитируемую там литературу). Особый интерес, как в теоретическом, так и в прикладном отношении, представляют несамосопряженные дифференциальные операторы (см., например, [5]), для которых изучение вопроса о распределении и локализации спектра является трудной проблемой. В настоящей диссертации рассматривается задача Штурма-Лиувилля для уравне-
[1] Дородницын А. А. Асимптотические законы распределения собственных значений для некоторых особых видов дифференциальных уравнений второго порядка. // УМН, 1952, т. 7, в. 6, с. 3-S6.
[2] Маслов В. П. О предельном поведении некоторых квантово-механических величин. // ДАН СССР, 1954, т. 94, JM, с. 623-626.
[3] Днестровский Ю. Н-, Костомаров Д. П. Об асимптотике собственных значений для несамосопряженных краевых задач. // ЖВМ и МФ, 1964, т. 4, в. 2, с. 267-277.
[4] Федорюк М. В. Асимптотические методы для обыкновенных линейных дифференциальных уравнений. — М.: Наука, 1983.
[5] Федорюк М. В. Асимптотика собственных функций и собственных значений задачи Штурма-Лиувилля с комплекснозначным потенциалом-полиномом. // Дифферент;, уравнения, 1972, т. 8, №5, с. 811-816.
ния с малым параметром при второй производной и комплексным потенциалом, зависящим от спектральной переменной. В ситуации, когда спектральная переменная входит в уравнение линейно, указанная постановка является в определенном смысле модельной по отношению к краевой задаче Орра-Зоммерфельда, возникающей при изучении устойчивости плоскопараллельного течения вязкой жидкости (см. [б]), а в контексте сингулярной теории возмущений служит моделью перехода от дискретного спектра к непрерывному в несамосопряженном случае (см. [7]).
Методы асимптотического анализа применительно к разностным уравнениям используются для изучения операторов, заданных якобиевыми матрицами (см. [8], [9]). В этой связи определенный интерес представляют дискретные аналоги формул ВКБ.
Исследование квазиклассической локализации спектра краевых задач для дифференциальных уравнений второго порядка основано на использовании асимптотических формул, дающих равномерные по спектральному параметру аппроксимации решений рассматриваемых уравнений решениями соответствующего уравнения сравнения и на оценке точности таких аппроксимаций (см. [1]- [б], [7], [10]). Применительно к задаче Штурма-Лиувилля, рассматриваемой в настоящей работе, оказывается эффективным подход, предложенный Вазовом (см. [11]) и развитый в диссертации. Этот подход позволяет в "больших" окрестностях точек поворота построить требуемые приближения к решениям исходного уравнения, которые используются для вывода правил квантования, определяющих местоположение собственных значений.
Примеры задач рассматриваемого в работе типа, изученных как аналитическими способами (см. [6], [7], [10]), так и с помощью численно-аналитических методов, показывают, что при малых значениях параметра при старшей производной в уравнении собственные числа группируются в серии, находящиеся вблизи ветвей одномерного ориентированного комплекса, причем при уменьшении к нулю параметра собственные числа перемещаются в соответ-
[6] Morawetz С. S. The eigenvalues of some stability problems involving viscosity. // J. Rational Mech. Anal., 1952, v. 1, p. 579-603.
[7] Степин С. А. Несамосопряженные сингулярные возмущения: модель перехода от дискретного спектра к непрерывному. // УМН, 1995, т. 60, в. 6, с. 219-220.
[8] Khan S., Pearson D. В. Subordinacy and Spectral Theory for Infinite Matrices. // Helv. Phys. Acta (1992), 65, p. 505-527.
[9] Janas J., Naboko S. Jacobi Matrices with Absolutely Continuous Spectrum. // Proc. Amer. Math. Soc, 127 (1999), p. 791-800.
[10] Степин С. А., Аржанов А. А. Квазиклассические спектральные асимптотики и явление Стокса для уравнения Вебера. // ДАН, 2001, т. 378, №1, с. 18-21.
[11] Wasow W. Linear turning point theory. Applied mathematical sciences, 54. New-York: Springer-Verlag, 1985.
ствии с ориентацией комплекса. Модельной ситуацией, в которой это удается пронаблюдать, является задача на собственные значения для уравнения Эйри с мнимым параметром при второй производной: здесь бифуркация спектра происходит с образованием двукратного собственного значения, отвечающего жордановой клетке. В этом контексте представляют интерес восходящие к работам [12] и [13] постановки вопросов о возмущении кратного собственного значения в абстрактной ситуации.
Цели работы
-
Исследование асимптотических свойств решений дифференциальных уравнений с простой точкой поворота и разностных уравнений, ассоциированных с матрицами Якоби.
-
Разработка и применение методов локализации спектра несамосопряженной задачи Штурма-Лиувилля для дифференциального уравнения с малым параметром при второй производной и потенциалом, зависящим от спектральной переменной.
-
Исследование механизма расщепления изолированного кратного собственного значения, которому отвечает жорданова цепочка из собственного и присоединенных векторов, а также количественное описание соответствующих бифуркаций.
Научная новизна
Все основные результаты диссертации являются новыми. В работе
-
С помощью модификации подхода Вазова для дифференциальных уравнений второго порядка с потенциалами, зависящими от спектрального параметра и близкими к линейным в равномерной метрике, получены аппроксимации решений спецфункциями в достаточно больших окрестностях точек поворота с оценками остатков, равномерными по спектральному параметру. Построены формулы типа ВКБ для решений разностных уравнений второго порядка, поведение коэффициентов которых регулярно на бесконечности.
-
Разработан метод локализации спектра обобщенной краевой задачи Штурма-Л иувилля для уравнения с малым параметром при второй производной, Для некоторого класса потенциалов, зависящих от спектральной переменной, обоснованы правила квантования, определяющие местоположение собственных значений задачи. С использованием численно-аналитического
[12] Вишяк М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач о возмущении в случае матриц е самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений. // УМН, 1960, т. 15, в. 3, с.3-80.
[13] Лидсккй В. Б. К теории возмущений яесамосопряженаых операторов. // ЖВМ и МФ, 1966, т. 6, №1, с. 52-60.
метода указаны новые типы комплексов, вблизи ветвей которых группируются собственные значения рассматриваемых краевых задач.
3) Для деформаций жордановых клеток, удовлетворяющих определенным требованиям невырожденности, получена аналитическая классификация типов ветвлений собственных значений и явно вычислены первые ненулевые поправки соответствующих разложений Пюизо. Применительно к краевой задаче Штурма-Лиувилля для уравнения Эйри изучена бифуркация спектра в зависимости от мнимого параметра при второй производной и найдены условия, при которых задача обладает двукратной точкой спектра.
Методы исследования
В работе используются асимптотические методы исследования дифференциальных и разностных уравнений, результаты комплексного анализа, техника теории возмущений и аналитической теории дифференциальных уравнений, а также численно-аналитический метод отыскания собственных значений краевых задач.
Практическая и теоретическая ценность
Диссертация имеет теоретический характер. Полученные здесь результаты могут быть использованы в спектральной теории операторов, при изучении краевых задач для дифференциальных уравнений, а также вопросов, возникающих в гидродинамике.
Апробация работы
Результаты диссертации докладывались на заседаниях научно-исследовательских семинаров механико-математического факультета МГУ под руководством проф. Р.А. Минлоса, проф. А.И. Аптекарева и проф. В.Н. Сорокина, на конференции "Современные методы теории краевых задач", посвященной 100-летнему юбилею академика СМ. Никольского (Воронеж, 2005 г.), и на международных конференциях по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2004 и 2006 г.г.).
Публикации
Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах. Их список приведен в конце автореферата.
Структура диссертации
Диссертация состоит из введения, трех глав (первая из которых содержит пять параграфов, вторая разделена на шесть параграфов, а третья состоит из пяти параграфов и приложения); список литературы насчитывает 54 наименования. Имеются 16 иллюстраций, восемь из которых являются гра-
фическими представлениями результатов численного анализа. Общий объем диссертации — 136 страниц.
