Введение к работе
Актуальность темы. Теория фредгольмовых уравнений традицион-вклвчаетсяв 'Н Є Л И Н Є й Н'и"-Й :ф у пкционвмний н а л и з ;'Многие ее методы-имеит корни в топологии, дифферен-альных уравнениях и уравнениях математической физики. Объектом изучения является уравнение
/(-х) = , х М , є ^,
е j?: Лі —> Ar - дифференцируемое отображение дифференциру-ых банаховых многообразий, для которого касательное отображение
g.C*) : ТК(М-) > / (JY) х * ЛІ
еет конечномерные ядро и коядро. Если ЛІ связно, та число
ль пеп-^с*) - сІспт-Ськег j(к) не зависит от х и называется
едгольмовым индексом ^ (обозначается tn-df ). Если і/У=/^ г -нейное банахово пространство и С : -fa —> F - локально ком-ктное дифференцируемое отображение, то отображение ^ с будет едгольмовым вместе с f и при этом (Slot (?+ с) = ISX^t-f ,
Фредгольмовы отображения были вызваны к жизни проблемой раз- і'имости нелинейных эллиптических уравнений в частных производ-х. В реботах Р.Каччиополи (30-в годы) был дан набросок теории епени для них. Затем, в связи с прикладными успехами более прос-й теории отображений Лере-і'аудера (отображения вида + С , где 1- вполне непрерывно), интерес к фредгольмовим отображениям опал и возобновился линь в 60-е годы (особенно после опубликова-я знаменитой рабсты С.Смейла, посвященной бесконечномерному обоб-нип теоремы Сарда). К настояаеиу времени теория фредгольмовых ображений стала весьма развитой и ее прикладная значимость обще-изнана. С помоцьв принципов обратимости и теории степени фред-льмовых отображении удалось исследовать разрешимость ряда ааяных аевых задач с нелинейными дифференциальными уравнениями. Особен-большое количество результатов имеется в облает.і локального ализа и теории бифурквций. Наиболее заметные достижения поолед-х лег здесь связаны с рассмотрением зквивврионтных уравнений !.А.Треногий, Б.В.Логинов, Д.Сэттпнгер, А.Л.Вандербойдо, М.Голу-цкий, Д.Шеффер и др.) и с привлечением идей и методов feopstn
особенностей дифференцируемых отображении (В.И.Арнольд, Р.Том, М.Голубиц".иЙ, Д. !!!еффер, Т.Постон, Д.Чиляингворт, Дж.Молле-Парэ, Дж.Хейл и др.). Связующим звоном между теорией особенностей и фредгольмовыми уравнениями является метод конечномерной редукиии; представленный большой частью в вило схемы Ляпунова-Шмидта с ее модификациями и аналогами. В теории топологической степени, в бесконечномерной теории Морса, в глобальных краевых задачах используются различные конечномерные редукции. Выбор способа редукции определяется как природой задачи, так и уровнем соответствующей математической техники, Разработка новых и у с о вериенств'ование старых мето-дов ко и о ч н о м о р и о й редукции представляет интерес с і оротической и вычислительной точек зрения.
Использование на основе конечномерных редукций современных достижений топологии гладких многообразие и теории особенностей дифференцируемых отображений открывает перспективу ресения про. б'лены многомодсвых бифуркаций.
В работах Л.С.Срубщика выделен класс упругих оболочек, для которых изучение потери устойчивости по нескольким модам сводится к анализу ветвления экстремалей функции вида
Я- л. п l * Л- >? l3- /-L 4 s
«/ = / <.*+*/<* * t,j=t S L +
Для таких функций им дана оценка количества бифурцирующих экстре-ьаг.зй (с учетом кратности и комплексных решений) и, в некоторых 'случаях, указаны асимптотические формулы решений. В работах Г. Кс.'.тли, Э.Холдера, Д. Шеффера вычислялись асимптотики речений уравнения Кармана на основе облей методики построения решений системы уравнений вида
.(<(*)+2Г a,- l Ca)^S + o(tt/3)-c,J- = />" >'"
с одномерным параметром " . Аналогичные системы уравнений исследовались в работах Ю.Н. Бибикова, Н.И.Николонко, Б.В.Логинова и других математиков. Представляет интерес изучение всех допустимых типов, индексов Морса и асимптотик бифурцирующих критических точек указанной выно функции в зависимости ст типа матрицы И- (а;;
Целы) работы является развитие методов конечномерной редук-и |редгольмовых уравнений и речение на основе ?тих методов рл-задвч нелинейного анализа: проблема LS -приводимости фред-льмова отображения (приводимости к форме Лере-Івудера), построив степени фредгольмова отображения с минимальной гладкостьв, зработка вычислительных редуцирующих процедур для вариационных дач с симметрией, анализ клвчевнх маргинальных функций с особои-стьп многомерной сборки, проблема многомодовых бифуркаций упру-х равновесий.
Объект исследования - гладкое фредгольмово уравнение, пред-ввляющее раэнообрвзные_виды уравнений математической физики.
Общая методика исследования. В диссертации использованы эло-нтарние методы К-теории и топологии дифференцируемых многообра-I, теорема Банвха-Мазурв-Каччиополн о полной обратимости локвль-обратимого собственного отображения односвязных топологических зстранств, теорема Абрахама о трансверсализуглцей деформации, год Ляпунова-ІЕмидта, теория нормальных форм полуквызиоднород-t функций и их версальных деформаций (по В.И.Арнольду.), теория Г-)""- эквивариантных и угловых особенностей, метод приведон-о потенциала на приведенном фазовом пространстве (для дииа-<еских систем с симметрией).
Научная новизна. В диссертации получены следуощив новые ре-іьтатн:
-
Остановлен критерий LS -приводимости фредгольмова С -ібраяения в окрестности компактного подмногообразия.
-
вазработан вариант определения степени фредгольмова отоб-[ЄЖ1Я минимальной гладкости С' (у С.Скейлв, К. ЭдворТИ и А. імбн требовалась гладкость С ). Идея этого варианта восхо-
1 к Р.Каччиополи (в построениях которого имелись технические белы). Аналогичное определение позяё было предложено К.Иснар-
J. Найдены условия нелокальной продолжимости уравнений раз-вления и ключевых Функции.
ч.; Установлена аппроксимируемость произвольного нечетного бственного фредгольмова отображения нечетным отображением с улярным нулевым значением.
5. Получены формулы для вычисления квартичной частп клпчевой
функции в условиях симметрии параллелепипеда (эквивариантности относительно системы инволюций, коммутирующих на линейной обол ке основных мод бифуркации). В частности, выяснены условия, пр которых главная часть ключевой функции определяется рктцевсксй аппроксимацией функционале действия, построенной по основним м лам бифуркации,
-
|оно описание стратификации бифуркационной диаграммы і ций для полурегулярной угловой особенности.
-
Получены оценки кратностей примыкающих одномерных особ ноствй к точкам страта /к-« con^t, содержащего особенность многомерной сборки. В частности, установлено топологическое не сгоянство бифуркационной диаграммы функций вдоль стратаук-сл многомерной сборки. Формулировки соответствующих теорем дополи известные результаты Ф.Фвма, С.М.Гусейн-Заде и Н. Н. Иехорошевп,
8. Для П=2,3 описаны все допустимые варианты мягкой по
' ри устойчивости в нуле (для полурегулярных угловых особенносте
и описаны распределения бифурцирущих точек условного минимума по граням конуса (R+ . Изучены и важнейшие случаи для произ вольного П. .
9. Описан эффект возникновения многоступенчатой каскадной
бифуркации при разрушении симметрии параллелепипеда.
-
Получоны достаточные условия конечной іГ -определенно фродгольновых уравнений положительного индекса.
-
В рамках функционально-операторной трактовки уравнений равновесия упругих систем сформулированы теоремы существования
'Многомодовых бифуркаций и указаны асимптотические представлони бифурцирусщих ветвей решений. Б ряде случаев описаны рвепредел кия значений индекса Корса по ответвившимся регулярным решения
12. Описаны асимптотики и индексы Мопса решений уравнения
Кармана для прямоугольной продольно сжатой пластины, бифурциру
щих.из точки двукратного вырождения. Полученные утверждения до
полняют известные результаты Г,Найтли, Э.Холдера, Д.Рефферв и
' З.Садовского.
^ 13. Изучена задача о закпитическом равновесии Кирхгофовв \.стерхня с упругим подкреплением,
Ik, Получены условия устойчивости стационарных врааений ди
мически несимметричного многомерного волчка вокруг вертикали.
5 - ,
учены бифуркации стационарных вращений из режима спящего волч-. Аналогичные вопросы' в классическом (трехмерном) случае под-бно были изучены В.Н.Рубановским, В многомерном случае появятся дополнительные переменные, отвечавшие за расположение под-уппы симметрии многообразия уровня относительного кинетического мента в группе вращений, сохранявших вертикаль.
Все сформулированные в диссертации теоремы, которым присво-"персоналышй"номер, принадлежат автору диссертации или, за болыим исклвчением, автору и его ученикам.
Теоретическая и практическая ценность. Списанные в диссерта-и результаты knxbt теоретическую направленность. Теореми о макальной конечномерной редукции могут быть использованы при ис-едованки разрешимости нелинейных краевых задач, в теоремы о огонодовых бифуркациях - при исследовании закритическсго пове-нял упругих систем. Результаты о топологической структуре си-ркацнонных диаграмм функций ' особенности многомерной сбор-it угловой особенности с кгадлатичной главной частьп представит интерес для теории особенностей гладких функций. Результаты ссертвции могут быть использованы в монографиях и спецкурсах нелинейному функциональному анализу и теории нелинейных крае-х задач.
Апробация работы. Отдельные результаты диссертации доклади-лись на международных топологических конференциях в Тбилиси 972 г.), Москве (1979 г.), Ленинграде (1932 г.), Баку (1987 г.), всесоюзной топологической конференции в Минске (1977 г.), во есоезних школах по теории операторов в функциональных прострен-вах в Минске (1978 г..), Новосибирске (,'979 г.) и Челябинске 985 г.), в Кемеровской всесоюзной сколе "Оптимальное управлв-е, геометрия и анализ" (1986 г.), на 71 Республиканской кон-ренции "Нелинейные задачи математической физики" в Донецко 987 г.), в Воронежских зимних математических школах (1981—68 гг. совместных заседаниях семинара имени !!.Г. Петровского и Носкового математического общества (1985 г.), на семинаре академика УССР И.В.Скрипника в Донецком институте прикладной математики механики (1988 г.), в ИГ7 на семинарах профессоров Н.И.Внпіко, М.Ландиса, В.А.Кондратьева, академика СП.Новикова и члока-кор-спондента А.ТЛомонко. Большинство результатов докладывалось
Б Воронежском университете на семинарах профессора Г.Г.Борисовича и профессора И.Е.Соболевского.
Публикации. Основные результати диссертации опубликованы в fl " 19] .
Объем и структура работы. Диссертация изложена на 231 страницах к состоит из введения, пяти глав и списка литературы из 139 наименований.
