Введение к работе
1. Исследование вопроса об аппроксимации данной функции финитными функциями в некоторой интегральной метрике, берет начало от работ С. Л. Соболева и 'трает важную роль в ряде вопросов уравнений с частными производными и теории вложения функциональных пространств.
Б іірУСір«ІІІСііі*ІА
тематиками изучались дв з различные задачи аппроксимации гладкими финитными функциями, исторически названные "спектральным синтезом" и "стабильностью".
Впервые задача спектрального синтеза была сформулирована С. Л. Соболевым в 1950 г. в виде теоремы единственности решения задачи Диріг іе для полигармонического уравнения на ограниченной области G, ограниченной конечным объединением гладких многообразий, на которых заданы допустимые граничные значения.
При более общих предположениях отпосителі та области G в 1968 г. В. Фугледе показал, что если и решение полигармонического уравнения
|or|=m * "
j G и Dau = 0 (m - |а|,2)-квазивсюду на Gc, то функция u тождественно равна пулю в G тогда и только тогда, когда каждая <рунк-
ция и W2m(RN) такая, что Dau — 0 (т— |а|,2)-квазивсоду па Gc,
о ириладлежи~ W{G)t определения и обозначения см. в главе 0.
Итак, если замыкание пространства Cq(G) в W(P v) состоит из
фу: кг И и Є W(RN) таких, что D"u = 0 (т - |а|,р)-квазивсюду
на Gc для всех а, 0 < }а\ < тп - 1, то говорят, что G' допускает
(т,р)-спектральньій синтез. Таким образом, В. Фугдеде устапо-
_ г
вил, что тонкая задача Лирихле для полигармонического уравнения в области G имеет единственное решение, тогда и только тогда, когда G" допускает (го,2)-спектральный синтез.
Первые результаты в решении задачи (т,р)-спектралыюго синтеза при тпр > N были получены Д. Р. Полкингом и В. И Бу-репковым. В дальнейшем, вопросы, связанные с этой задачей аппроксимации в пространствах W(RN), изучались в работах А. Бёрлинга и Дж. Деии, В. П. Хавипа, Т. Бегби. В серии известных работ Л. И. Хедберг установил, что любое компактное подмножество из KN допускает (т,р)-спектральный синтез.
Решение этой задачи состояло в детальном изучении поведения функции из W(RW) вблизи ее нулей. Это исследование зависит от свойств (гп, р)-емкостей и соответствующих нелинейных потенциалов (ири р ф 2), которые изучались в работах В. Фугле-де, Ю. Г. Решетняка, Д. Р. Адамса и Н. Г. Мейерса, В. Г. Мазьи и В. П. Хавина, Л.И.Хедберга.
Вторая задача аппроксимации в пространствах Соболева, тесно связанная с проблемой спектрального синтеза, возникает и задаче 1,,-ашіроксимадии па компактных множествах решениями эллиптических уравнении. Эта задача берет начало от фундаментальной работы 1941 г. М. В. Келдыша но исследованию устойчивости задачи Дирихле и равномерной аппроксимации гармоническим1' функциями.
Пусть К С RA' — компакт. М. В. Келдыш установил, что если чдача Дирихле разрешима в К", и внешнее решение задачи Ди-
рихле совпадает с внутренним при всех непрерывных граничных
данных, то задача Дирихле устойчива и К отпс "ительно верна-
ции границы компакта К.
В 1961 г. И. Бабушка вновь обратился к проблеме аппроксимации в Li решениями эллиптичг «их уравнений в связи с изучением стабильности задачи Дирихле для полигармонического ураішешіЛ Дтт: гг 0 о пйласти G, равной внутренности своего замыкания (С? = (
И. Бабушка доказал, что замыкание G (гп,2)-стабильно, если каждая функция / Є W2m(RA'), зануляющаяся вне G, может быть аппроксимирована в W.?(B.N) функциями из C(G).
Будем говорить, что компакт К из Rw — (т,р)-стабильный, если пространство
W?(K) Uf f) W?(G) = {/ Є Wpra(R") : f(x) .- 0 на Kc}.
совпадает с пространством W?(К").
В случае т = 1 при рассмотрении оператора Коши — Рима-на задача адпроксш.іащін в Lq решениями изучалась в работах С. О. Синаньяна, Л. Верса, В. П. Хавина, Т. Вегбии Л. И. Хедберга. Дальнейшие исследования в теории аппроксимации решениями систем дифференциальных уравнений см. работу Н. Н. Тдр-"анова.
В 1972 г. Д. С. Полкипг установил, что задача апнроксим.- im в ЬЧ{К) решениями эллиптических уравнений эквивалентна проблеме (т,р)-стабильности компакта К. Р работа Д. С. Полкинг и Л. И. Хедберга приведены необходимые и достаточные услоь.^я стабильности компакта К.
2. Цель настоящей работы заключается в исследовании задачи спектрального синтеза и проблемы стабильности в весовых пространствах Соболева с весами Лр-класса Махенхаупта и выявлении связи между задачей аппроксимации в La решениями вырождающихся эллиптических уравнений и (т, р, ^-стабильностью в весовых пространствах И^*(Н",ш).
3. В дисертационной работе используются методы теории вложения функциональных пространств и весовой нелинейной теории потенциала.
4. Все результаты, представленные в диссертации являются новыми. Отметим, что в случае весов степенного роста задача, близкая к проблеме спектрального синтеза, рассматривалась в работах О. В. Бесова, Л. Л. Кудрявцева, П. И. Лизоркина. Однако, с более общими весами Лр-класса Макенхаупта такие задачи рассматриваются впервые. В работе получены следующие результаты.
Теорема о спектральном синтезе, устанавливающая, что всякое компактное подмножество из It" допускает (т,р, и?)-спектраль-ный синтез в весовых пространствах Соболева Wp(IlN,w). Весовые интегральные оценки типа неравенства Пуанкаре. Теоремы единственности решения задачи Дирихле для вырождающегося полигармонического уравнения. Эквивалентность задачи аппроксимации в з решениями вырождающегося полигармонического уравнения и поблемы (т, 2, и»)-стабилг ности. Необходимые и до-статоч ые условия (т,р,«^-стабильности компакта К в весовых пространствах Соболева W(HN,w). В диссертации также рассмотрены вопросы, связанные с граничным поведением функций
из Wp"(G,w), с привлечением понятий тонкого предела и квази
предела. —
5. Диссертация имеет теоретический характер. Ее результаты могут быть применены в ряде вопросов вырождающихся эллиптических уравнений с частными пр оводными и теории весовых пространств Соболева.
fi. Результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры, на Сибирски" конференции по ггркхлліпюі* и иилу-стриальной математике памяти Л. В. Канторовича (Новосибирск, 1994) и на семинаре по геометрии и анализу ИМ СО РАН под руководством академика Ю. Г. Решетняка.
7. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1,2], указанных в коппе автореферата.
8. Диссертация состоит из введения, трех гл\\в и списка литературы, занимает 72 страницы печатного текста, обработанного издательской системой Aj^S-T^X.. Библиография включает 45 наименований.
