Введение к работе
Актуальность темы. В основе качественной теории дифференциальных уравнений лежат вопросы устойчивости и оценок решений, при этом важную роль играет построение функции Ляпунова для уравнениях = Ах, где A : D(A) Є И —> И - генератор сильно непрерывной полугруппы операторов Т : R+ = [0, оо] —> EndH из банаховой алгебры EndH линейных ограниченных операторов, действующих в гильбертовом пространстве T-L. При этом важную роль играют гиперболические полугруппы операторов для которых выполнено условие
a(T(l))f|T = 0,
где сг(Т(1)) - спектр оператора Т(1) и Т = {z Є С : \z\ = 1} - единичная окружность. Если сг(Т(1)) С {А Є С : |А| < 1}, то такая полугруппа будет называться устойчивой.
Красивое истолкование второго метода Ляпунова с использованием нового скалярного произведения в T-L было дано в монографии Ю.Л. Да-лецкий, М.Г. Крейн г для случая, когда А Є EndH и T(t) = exp(tA), t Є R, - группа операторов. Там же было установлено, что гиперболичность этой группы операторов эквивалентна существованию самосопряжённого оператора W Є ЕпсЩ такого, что А равномерно І/Г-дисспативен, т.е. A*W + WA = F <С 0, где символ F < 0 означает равномерную отрицательность оператора F Є ЕпсЩ. В этом случае оператор W определяет квадратичную функцию Ляпунова L : % —> Ш, L(u) = (u,u)w = (Wu,u) такую, что функция t Н> L(u(i),u(i)) монотонно убывает для каждого решения и : R —> И дифференциального уравнения х = Ах.
1Далецкий Ю.Л. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве Ю.Л. Далецкий, М.Г. Крейн.- М.: Наука, 1970.- 535 С.
В статьях С. Chicone, Yu. Latushkin были сделаны попытки перенести результаты М. Г. Крейна для генераторов инфинитезимальных полугрупп операторов класса Cq. Однако имеющиеся там неточности привели к тому, что соответствующие результаты не были достигнуты.
В диссертации результаты М.Г. Крейна распространяются для генераторов сильно непрерывных групп операторов. Приведен пример полугруппы операторов, для которых теорема М.Г. Крейна оказывается неверной.
В последнее время была установлена глубокая связь между теорией линейных дифференциальных уравнений с неограниченными операторными коэфициентами и теорией разностных операторов в пространствах последовательностей векторов. Переход от рассмотрения дифференциального уравнения к разностному позволяет получить эффективные оценки ограниченных решений, которые могут быть использованы в вопросах робастности систем управления, а так же в активно развивающейся в настоящее время теории марковских процессов.
Вопрос оценки ограниченных решений разностных уравнений сводится к оценке норм степеней ограниченного оператора через максимальное значение нормы резольвенты на единичной окружности. При этом возникает необходимость использовать техники гомоморфных функций. Точность полученных оценок играет важную роль в вопросах разрешимости нелинейных разностных уравнений.
Диссертация посвящена распространению метода Ляпунова на дифференциальные уравнения с постоянными неограниченными операторными
2СЫсопе С. Hyperbolicity and dissipativity in Evolution equations / C. Chicone, Yu. Latushkin // Appl.
Math.- 1995. V168.- P.95-106
3Chicone C. Evolution semigroups in dynamical systems and differential equations / C. Chicone,
Yu. Latushkin // Amer. Math. Soc- 1999.- 361 p.
коэффициентами сильно непрерывных групп операторов, а так же оценкам решений разностных уравнений. Таким образом, исследуемая тема является актуальной. Цель работы.
Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
Получить необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоулэнда.
Получить условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.
Получить оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
Получить оценки норм степеней матрицы с известным спектром.
Методика исследований. Основные результаты диссертации получены с использованием методов теории полугрупп операторов, дифференциальных уравнений, методов функционального анализа, голоморфных функций, теории функций вещественного анализа.
Научная новизна. В диссертации получены следующие новые результаты:
1. Необходимые и достаточные условия гиперболичности групп операторов, используя операторное уравнение Ляпунова, построенное по ее генератору.
Необходимые и достаточные условия гиперболичности группы Хоул-энда.
Условия разрешимости нелинейных разностных уравнений.
Оценки ограниченных решений линейных разностных уравнений.
Оценки норм степеней матрицы с известным спектром.
Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут быть использованы в развитии теории операторов и дифференциальных уравнений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на конференциях "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2008 г.), на "20 Крымская осенняя математическая школа-симпозиум" (г. Севастополь, 2009 г.), "Воронежская зимняя математическая школа С. Г. Крейна"(г. Воронеж, 2009 г.), "21 Крымская осенняя математическая школа-симпозиум"(г. Севастополь, 2010 г.) и на ежегодных научных сессиях факультета прикладной математики, информатики и механики Воронежского государственного университета.
Публикации работы. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1]-[6]. Из совместных публикаций [1], [6] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие лично автору.
Работы [5], [6] соответствуют списку ВАК РФ для кандидатских диссертаций.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, и списка цитируемой литературы, содержащего 80 источников. Общий объем диссертации - 81 страница.
