Содержание к диссертации
ГЛАВА I. СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ РАССЛОЕНИЙ И ОПЕРАТОРОВ
НА ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ 13
I, Предварительные сведения о функциональных
многообразиях диффеоморфизмов 13
2. Векторные расслоения на группе диффеоморфизмов дубля многообразия с краем ..... 22
3. Оператор ортогонального проектирования С7 29
ГЛАВА II. НЕИНТЕГРЙРУЕМАЯ СВЯЗЬ НА ГРУППЕ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ ДУБЛЯ И ЛАГРАНЖЕВА ГИДРОДИНАМИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ДЛЯ МНОГООБРАЗИЯ С КРАЕМ .... 35 I. Оператор "J^di^ и его свойства ... 35
2. Проектор Р 42
3. Построение связи uIL 46
4. Лагранжева гидродинамическая система
идеальной несжимаемой жидкости, подчиненная
связи JZ. на 2) мі И) 49
ГЛАВА III. РЕГУЛЯРНОСТЬ РЕШЕНИЙ ЛАГРАНЖЕЮЙ ГЙДРО -
ДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ
ЖИДКОСТИ И ТРАЕКТОРИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ НА
ГРУППАХ ДИФФЕОМОРФИЗМОВ 58
I. Регулярность решений лагранжевой гидро -
динамической системы идеальной несжимаемой
жидкости на многообразии с краем и произ
вольными внешними силами 58
2. Механические системы на группах диффеоморфизмов
и регулярность их траекторий 61
ГЛАВА ІУ. ДВУХТОЧЕЧНАЯ "КОНЦЕВАЯ" ЗАДАЧА ДЛЯ ЛАГРАНЖЕ -
ВОЙ ГИДГОДИНАМИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИД -
КОСТИ 67
I. Двухточечная "концевая" задача для решений лаг
ранжевой гидродинамической системы идеальной
несжимаемой жидкости 68
2. Двухточечная "концевая" задача для лагранжевой
гидродинамической системы вязкой несжимаемой
жидкости 76
ЛИТЕРАТУРА 80
Введение к работе
Диссертационная работа посвящена одной из новых ветвей современного анализа: теории бесконечномерных многообразий, векторных расслоений и операторов на них. В качестве бесконечномерного многообразия рассматривается группа диффеоморфизмов данного компактного риманова многообразия М Эта группа интересна тем, что используется при изучении уравнений гидродинамики на основе современного подхода, предложенного В.И.Арнольдом [ I] , [2] , [46] , и развитого на базе функционального анализа Д.Эбином и Дж.Марсденом [44 J , 145] .
В течение двух последних десятилетий возникла довольно обширная литература, посвященная изучению группы диффеоморфизмов и связанных с ней объектов. Историю вопроса можно проследить по работам Дж.Иллса [25Т , С.Смейла и Р.Абрахама (см. L25] , [ Зі]/, Дж.Лесли [55] и др., в которых исследуется многообразие отображений класса С ; Х.Элиассона [54], р.Пале [67]. , где определено гильбертово многообразие отображений Соболевского класса Н Дифференциальная структура на группе В С м) соболевских. Н -диффеоморфизмов компактного многообразия И без края ( S > a Oli'm М + О впервые была определена Х.Омори [61 ] и Д.Эбином [50]. В работах [44], [.453 введена структура С ~ дифференцируемого многообразия на группе
Н - диффеоморфизмов компактного многообразия с краем, в том числе, на группе И - диффеоморфизмов М , сохраняющих рима-нов объем или симплектическую структуру.
Как уже говорилось выше, столь пристальное внимание к многообразию диффеоморфизмов объясняется, во-многом, тем, что оно является подходящим конфигурационным многообразием при лагранже-
вом описании гидродинамики, использующем современные геометрические методы в механике. Соответствующее дифференциальное уравнение второго порядка на многообразии диффеоморфизмов мы будем в дальнейшем называть лагранжевой гидродинамической системой. Отметим, что здесь форма кинетической энергии задается слабой рима-новой метрикой, и это усложняет проведение аналогии с хорошо развитыми конечномерными теориями.
Лагранжева гидродинамическая система, описывающая течение идеальной несжимаемой жидкости на компактном римановом многообразии (возможно, с краем) построена в работах [44І ,[45] ,
[46] . Построение аналогичных систем, учитывающих вязкость, сжимаемость дано в работах [40-41], [44-45], [52- 53І . Рассматривались также механические системы на группе диффеоморфизмов, основанные на использовании римановой метрики см., например, [ 52 - 531).
В настоящее время продолжается интенсивное изучение различных свойств многообразия диффеоморфизмов и уравнений на нем; назовем только работы Х.Омори [62 - 66 1 , М.Кантора [47] , Д.Ше валле [48J , Н.Наканиси [60] , А.Тромба [71] , Р.Чернова [49], А.М.Лукацкого [32 - 34 ] .
В диссертационной работе изучаются некоторые операторы и расслоения на группах диффеоморфизмов, связанные с геометрическими методами в механике. В частности, исследуются упомянутые выше два класса дифференциальных уравнений на этих многообразиях, важные для приложений. Именно, один класс - лагранжева гидродинамическая система несжимаемой жидкости, другой - бесконечномерные механические системы, у которых кинетическая энергия порождается сильной римановой метрикой.
Работа состоит из четырех глав. В первой главе рассма-
триваются специальные классы векторных расслоений на группах диффеоморфизмов и действующих в них операторов, связанных с переходом от многообразия М с краем к его дублю И .
В I дается краткая сводка исходных результатов, опре
делений и обозначений. Пусть _Л ( М) -* расслоение к-форм на
многообразии М , [X,V] — "* ( X Л * Y) /здесь Х- - обычный опе
ратор "звездочка", сопоставляющий к-форме (К)~К)-форму (см., напри
мер, [38]) /; М- -некоторая форма риманова объема на М » гла-
дко продолженная с М . Обозначим Н С А С М)) ~ гильбертово
пространство П -сечений ) -под-
многообразие і)( П) -диффеоморфизмов, сохраняющих риманов объем (U . СХ> YJq везде означает п -скалярное произве-дение: ()(д)е _ J 1х>у] СЫт)
В 2 исследуется структура векторного расслоения
ч>
Ф (А с М)) над С 14} С здесь и далее с( -целое, ^/Я где слой Ф>? ^ получен правым сдигом п С А С М)") в точку h; Определяется векторное расслоение Ь ( Д с М>) нал ZTcM):
,—4 г-<< і ^
где |- и -", слой Ff А > в точке Ь 7 получен правым сдвигом в точку /і ей ( М) подпространства Н -сечений У\ с М ) равных нулю на JM :
Доказано, что сужение Рс/\*) f/« С И) является гладким векторным подрасслоением Ф*і2)^і М) (теорема I.2.I) .
рассматривается сильная риманова метрика С > j » полученная правыми сдвигами следующей билинейной формы С , )е :
где . Построено нормальное к г с
относительно римановой метрики с,г правоинвари-антное векторное подрасслоение Lr /<: :
Основным результатом 3 является теорема 1.3.2, где показано, что
правоинвариантный ортогональный проектор Э Фс/ІЗі/У^и-">
*" G- к сохраняет гладкость элементов ф ^ Д ) \ L Проектор
J в слое над единицей индуцирует оператор _[ к продолжения к-форм с г/ на \Уі , сохраняющий их гладкость.
Во второй главе показано, что для случая идеальной несжимаемой жидкости лагранжеву гидродинамическую систему на?) сМ), где ГІ -многообразие с краем, можно рассматривать как лагранжеву гидродинамическую систему на Ц,сЮ ,гДе И - дубль НС то есть многообразие без края) , подчиненную определенной связи Г tZj. Здесь использовано понятие связи в смысле работ [18] , fl9] ,
[20] , где оно дано для конечномерных многообразий. В нашем слу-чае связь I uHj в смысле Вершика - Фаддеева задается как каса-
тельное расслоение некоторого векторного подрасслоения , . в
TH^n.L п\ В дальнейшем подрасслоение JZj также будем называть связью С отметим, что ~ неинтегрируемое распределение
на Ю пл С М) ) . Для построения JZ^ и доказательства глад-кости ,~~ . как подрасслоения в I TJm С И) требуется детальное изучение подрасслоений и операторов в G- , порожденных правыми сдвигами внешнего дифференцирования (J и кодифференцирования О . Опишем подробнее эти операторы. Обозначим ~T"rx h -касательное отображение к правому сдвигу (* , йлб)-вс » ( б>, ^ Є В5( МО и пУСть X ' Ф6С Л "с МО -^6с М) -каноническая проекция. Определим
d : ф5с К\ МО —* Ф^сЛ^с м»э
по правилу:
Аналогично определяется u . __
В I изучаются свойства оператора J ol J . При этом строится подрасслоение G1 , на котором J ор(о J ; ~\Д/ ——> J w ^ Ы "7 --биективно, и оператор
обратный к J о tf о J на его образе. В утверждении 2.2.5 показана гладкость Q ,
В начале 2 определяется гладкий оператор I - некоторый конечномерный проектор <-Р с Л ) I О л ( п.) на подрасслоение в G х , полученное правыми сдвигами пространства 1^^3^ где ov-t - конечномерное пространство гармонических полей на 14 , касательных к краю. Затем строится оператор Р 3
и изучаются его свойства. Пусть Ре - сужение Р в слой над единицей ~ Cd ft , <0 t С М) - подпространство Н с ЛК) козамкнутых касательных к краю к-форм на М , t^ к)~ ( 1Д-оператор сужения к-форм с М на $\ . В основной теореме 2.2.2
показано, что суперпозиция ^ге1к НсЛсМО"""*'^**. М> дает П -ортогональную проекцию,
В 3 на основе полученных ранее соотношений произво-дится построение гладкого подрасслоения u—. в ~ТЯ^у сМ ) (утверждение 2.3.2 ) и гладкого оператора проектирования Р , Р'TTD/u ** , ~ - (теоремы 2.3.1, 2.3.2*) ; тем самым завершается построение связи, соответствующей рассматриваемой лагранже-вой гидродинамической системе для дубля М многообразия _М с краем.
В 4 рассматривается лагранжева гидродинамическая сис-
I—і
тема идеальной несжимаемой жидкости, подчиненная связи . на
1J у С г! ) . Выведено уравнение Эйлера, соответствующее указанной системе (предложения 2.4.1, 2.4.2}. Показано, что решения этого уравнения, суженные на М , являются решениями уравнения Эйлера идеальной несжимаемой жидкости на М ( теорема 2.4.3) .
В третьей главе доказывается регулярность решений указанных ранее двух классов дифференциальных уравнений второго порядка в следующем смысле. Пусть Ч^^ , "Ь [0) Г)^ - решение уравнения второго порядка на группе Н - диффеоморфизмов многообразия М с начальной скоростью X в единице группы. Если
Л - векторное поле на г) класса -диффеоморфизм М класса Н при всех t Є L О, I ) #
В I мы устанавливаем регулярность решений лагранже -вой гидродинамической системы идеальной несжимаемой жидкости. В отличие от работ [45] , [58] , [68-69] нами доказана регулярность, по-видимому, в наиболее общей ситуации: для произвольного риманова многообразия М с краем и произвольной ( возможно, непотенциальной ) внешней силы (_теорема 3.1.i") . При этом решающую
роль играет использование построенной во второй главе лагранже
вой гидродинамической системы на т їй) со связью . , . При-
менение группы и ju С М) позволяет преодолеть трудности, возникающие при доказательстве регулярности в нормальных к краю О М направлениях.
В 2 показана регулярность траекторий механических си-
стем на группах с кинетической энергией, по-
рожденной сильной римановой метрикой, и с произвольной (непотенциальной") внешней силой (теоремы 3.2.1 - 3.2.3). Рассматривается риманово многообразие М без края. В случае 9 МФ Ф регулярность показана в Uft-t г! , а на 0П - в направлениях, касательных
В четвертой главе изучается двухточечная "концевая" задача для лагранжевой гидродинамической системы, описывающей несжимаемую жидкость. Задача ставится следующим образом: можно ли диффеоморфизм, сохраняющий объем, соединить решением системы с тож- ' дественным отображением.
Пусть (,) - слабая риманова метрика на у) ju С И) ,
полученная правыми сдвигами билинейной формы ( } )е , определен
ной ранее. Обозначим - экспоненци
альное отображение геодезической пульверизации слабой римановой
метрики (,) . Известно, (см. [45]), что существует окрестность
нуля и окрестность единицы такие, что ото
бражение с х Р диффеоморфизм. Таким образом, по
крывается решениями лагранжевой гидродинамической системы, описы
вающей течение идеальной несжимаемой жидкости без внешней силы.
В I показана разрешимость двухточечной "концевой" задачи ( теоремы 4.I.I - 4.1.2*) для случая идеальной несжимаемой жидкости при наличии внешней силы и И6 ТА/ . Отметим, что даже
в конечномерных механических системах из разрешимости двухточечной задачи без внешней силы не следует разрешимость двухточечной задачи с внешней силой Сем. примеры в [21 - 22]}.
При доказательстве используется теорема о регулярности 3.1Л и одна топологическая лемма (4.1.3) , которая устанавливается стандартными методами теории степени и относительного вращения векторных полей в линейном топологическом пространстве, восходящими к работам Ю.Г.Борисовича [13 - 14] . Приведем ее формулировку.
Пусть В с_& - замкнутые выпуклые шары в 1 ?)« См). S> t/2, + &> е $ В, А у гДе А открыто в Я-1 . Предположим, что существует открытая окрестность @cle/u С М)д такая, что ) ^Sl^ , и непрерывное отображение Р' Ах "* -*Те 2^' такое, что Р С О, X) = X при X , и
РСХ,)ЛЄ.І1, когда Хе Ъ> О^Х*Х4 , Х^>0. Тогда существует Ао^О такое, что при всех О^А<Хо найдется вектор X ^ О » удовлетворяющий равенству Р (" \ X ) ~
В 2 показана разрешимость указанной задачи Стеоремы 4.2.1 - 4.2.2} для лагранжевой гидродинамической системы вязкой несжимаемой жидкости на многообразии \\ без края и л 6 W, где VV описано выше. При этом названная система в соответствии с [_ 45 ] рассматривается как лагранжева гидродинамическая система, описывающая идеальную несжимаемую жидкость при наличии "внутренних" сил (учитывающих вязкость). Для доказательства разрешимости особую роль играет лемма 4.1.3.
Отметим некоторые технические особенности текста. В работе принята нумерация утверждений тремя индексами: первая цифра означает номер главы, вторая - номер параграфа в этой главе, третья - порядковый номер в данном параграфе. Материал каждого
параграфа разбивается на пункты, занумерованные внутри параграфа римскими цифрами. При изложении применяются обозначения, соответствующие общепринятым.
Основные результаты диссертации опубликованы в работах [3 - 12] и докладывались на Ленинградской международной топологической конференции (1982 г.}, на ХУ - ХУІІІ Воронежских зимних математических школах ( 1981 - 1984 г.\ на научных сессиях ВГУ, на научном семинаре кафедры алгебры и топологических методов анализа ВГУ 1979 - 1984 г.
Автор выражает глубокую благодарность доктору физико-математических наук, профессору Ю.Г.Борисовичу и кандидату физико-математических наук, старшему научному сотруднику Ю.Е.Гликли-ху за постановку задач и руководство работой.
