Введение к работе
Актуальность теми.Линейные-ограниченные операторы о конечномерной областью значений (конечномерные операторы) широко используется в качестве инструмента приближения компактных операторов и возмущения спектральных свойств замкнутих операторов. Конечномерные возмущения оставляют без изменения существенный спектр оператора, но могут вызвать значительные изменения в дискретном спектре, что имеет важное прикладное значение.;
Минимальный ранг конечномерного оператора в задаче приближения компактного оператора с заданной точностью определяет для задачи дискротизации минимальную размерность, характеризуючу» степень сложности изучелія дискретного аналога нэпро-< рывной модели, В работах Дж.Э.Аллахвердиева, Г.йейля, А.Пича и др. была раскрыта важная роль сингулярных и аппроксимативных чисел в задаче определения минимального ранга конечномерных операторов, приближавших компактные операторы с заданной точностью. Знание асимптотики стремления к нулю аппроксимативных чисел компактных операторов не всегда позволяет получить эффективные оценки минимального ранга в задаче приближения. Поэтому.разработка способов получения точных значений аппроксимативных чисел для специальных классов компактных операторов и методов получения двусторонних оценок аппроксимативных чисел для достаточно широких классов операторов представляетсяважной и является трудной проблемой I)-
Возможность изменения спектральных свойств компактных операторов посредством конечномерных возмущений используется, например, для ускорения сходимости итерационных процессов отыскания редений операторных уравнений 2). Величина минимального порядка алгебраической системы, к которой приводится
-
Прёсдорф 3- Линейные интегральные уравнения //Итоги науки и техники. Совре??енные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 27. !!.: ВИНИТИ, 1986. С. 5Є-6-'*.
-
Лучка А.Ю. Проекционно-итеративныо алгоритмы реиения дифференциальных и интегральных уравнений. Киев: Наукова думка, 1980. 263 с.
- 4 -' уравнение с конечномерным оператором, - важная характеристика "ускоренного" итерационного процесса. Она определяется минимальным рангом конечномерного возмущения, сдвигавшего определенные точки спектра исходного оператора в окрестность нуля.
Проблема управления дискретным спектром динамической системы с замкнутым оператором методом обратной связи общеизвестна 3). Вопрос о минимальном числе входов управляемых динами-' ческих систем,' допускающих требуемое изменение спектра методом обратной связи, сводится к минимизации ранга конечномерных возмущений замкнутого оператора системы, вызывавших ото изменение спектра.
Таким образом, представляется целесообразным изучение всего комплекса вопросов, возникавших при рассмотрении проблемы минимизации ранга конечномерных операторов, используемых в качестве инструмента приближения компактных операторов и возмущения спектральных свойств замкнутых операторов с дискретным спектром.
Цель работы:
-
описать классы замкнутых функционально-дифференциальных операторов с дискретным спектром, представляющие интерес для математического моделирования;
-
сформулировать основные задачи общей проблемы управления спектром замкнутых операторов посредством конечномерных возмущений минимального ранга ;
-
описать классы компактных операторов, для кот.орых могут быть получены двусторонние оценки скорости аппроксимации конечномерными операторами.
Методика исследования. При формализации исследуемых в диссертации проблем используется идеология теории "абстрактного функционально-дифференциального уравнения" 4) и применяется язык теории функций и функционального анализа. Это позволяет сформулировать результаты, степень общности которых огра-
-
Буткоэсккй А,Г., Самойленко Ю.И. Управление квантово-меха-шческимк процессами. М.і Неука, 1984. 256 с.
-
Аэбелев H.JJ., Максимов 3.П., Рахматуллнна Л.$. Введение в теорию функциоьалькотдифференциальных уравнений. М.: Наука, 1991/240 с. . >
ничена утверждениями теории линейных уравнений в банаховых пространствах, выпуклого анализа и теории функций- В диссертации используются методи теории краевых задач для функцио-нально-дифференцналышх уравнений, теории функций, спектральной теории операторов в банаховых пространствах и положительных операторов в банаховых решетках, теории приближения и теории мери.
Научная новизна работы, теоретическое значение и практическая ценность-работы:
-
получены утверждения о замкнутости и обобщенной сходимости (в .смысле графика) операторов, порожденных краевыми задачами для Функционально-дифференциальных (ф.д.) уравнений;
-
установлены критерии существования рекекий ф.д. уравнений, удовлетворяющих совместно? системе краевых равенств и неравенств. Эти критерии обобцапт известные утверждения о нормальной разрепииос'ти краевых задач для ф.д. уравнений и могут бить использованы при доказательстве дискретности спектра замкнутых операторов краевых задач для ф.д. уравнений ;
-
сформулирована и доказана теорема об оценке спектрального радиуса слабо' компактного оператора в пространстве непрерывных функций, определенных на компактном топологическом пространстве. Эта теорема служит источником аффективных утверждений об однозначний разрешимости краевых задач и сохранения знака Функции Грина 5) ;
;0 вычислен минимальный порядок алгебраической системы, которую приходится решать многократно в итерационном процессе Х„ = О - ^k'-Hi< -(A-H)xK.L+^ . сходящемся в эквивалентной норме )| Ц б) к решении системы алгебраических уравнений X = А X + f- со скоростью )|ХК-Х||Т< < ЦК \\х\\г , где < (0,1) ;
5) А.збелев 1J.В., Домошницкий Л.И. К вопросу о линейных дифференциальных неравенствах.П//диффорснц. уравнения. 1991. Т. 27, 6. С. 923-931.
5) Самарский А.А.,- Гулин А.В. Численные методы. Н.: Наука, 1969. '(32 с.
~ 0.- .
-
-указано минимальное число входов динамических систем, допускавших путем введення'обратной связи требуемое изменение спектра ;
-
предложена процедура построения факторизации
g = (л + юр" -1.. ; а)
кётерового оператора & ' : В ~> 0 индекса (-тх ) по заданной системе'пг (тп. >^гъ у базисных дефектных функционалов оператора Q>- и системе функционалов из сопряженного пространства 8 » биортогональной базису ядра оператора Q- , .. в случае 77Ь>п, (случай т. < П- невозможен). Здесь 53 .-.,-. подпространство банахова пространства В , иэсморфное.В X fy,
/I : В —> <Й - кнъективиий оператор с образом конечно-пко-
размэрностн, К : В ~* <$ - кокечномерини, а Р ; В — * >
(iiuipepuisно обратный!: дннейннй оператор. Для операторов -Q- с
нуленим ядром ("случай тгъ = ть ). предлагаемая факторизация -
оптимальна в їсм смисле, что. оператор !( с разложении (I)
икеет минимально-возмогший ранг. Получен критерий факториза
ции. На основе разложения (I) доказаны необходимые и достаточ
ные условия принадлежности интегральных операторов, повышав
ших гладкость, классам Шэттепа (q: (L,-, ) Кроне того, факто
ризация (I) ка основе известішх теорем М.В.Келднка и-А.С.Мар
куса приводит к ряду новых утверждений о полноте системы кор
невых векторов петоровых ^операторов G- : В ~* 2) индекса
(.-«-)« Наконец, факторизация (I) позволила получить'двусто
ронние оценки минимального-ранга-конечномерных операторов,
аппроксимирующих операторы Грина ф.д. уравнений .с заданной
точностью ; ' . .
?) исследован бесконечномерный случай, задачи управления спектров посредством конечномерных ьсзиуцениН минимального . ранга. Доказан аналог соотношения'двойственности для замкнути операторов п пселсдовапи свойства оптимальних возмущений. Влипни дополнением к теореме двойственности слукат оценки геометрической кратності! собстваш-их значений, доказанные для ;'".'Оол»/;но р гсуммируг.апх опораторот) (р>2, ), и конструкции о.г;!г.';-.лын1х вегнущгн'пр., подученные для'операторов Риееа в терт
- 7 - минах "удаляемых" собственных значений и отвечавших им корневых векторов. Эти формулы позволяет оценить норму оптимальних возмущений и могут бить использованы з алгоритмах приближенного построения таких возмущений. Особо исследован случай управления периферическим спектром положительного неприводимого компактного оператора. Указану оценки норм одноранговых возму-яений и установлен характер поведения их в зависимости от числа "удаляемых" собственных значений.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на Ижевском и Пермском матем. семинарах /І9Є6-І992 г.г./, на совместном заседании семинара им. И,Г.. Петровского и МЯО /Москва, МГУ, 1989 г./, на семинаре проф. Литвикчука Г.С. /Одесса, МГИ, 1989 г./, на семинаре проф. Ченцова Л.Г. и Субботина Ю.Н. /Екатеринбург, ИММ-'УрО-РЛН, 1989 г./, на семинаре чл.-корр. АН-Укр. Корнейчука Н.П. /Киев,.КМ АН Укр., 1990 г./, на конференции "Экстремальные задачи теории приближения и их приложения" /Киев, 1990 г./, на семинаре "Прикладные аспекты теории операторов" /Ульяновск, іїкола по теории операторов в функциональных пространствах, 1990 г./, на семинаре "Теоретические основы и. конструирование алгоритмов реиения задач математической физики" /Москва, ИПМ им..М.З.Келдыша, 1990 г./, на семинаре чл.-корр. РАН Похокаева СИ. /Москва, МЭИ, 1991 г./, на семинаре проф. Треногина 3.Л. /Москва, МИСиС, 1991 г./, на совместном семинаре проф. Кашина Б.С. и Тенлякова й.Н. /Матем. ин-т 'им. В.А.Стеклова, 1992 г./, на семинаре проф. Хромова А. П. /Саратов, СГУ, 1992 г./.
Публикации. Основные.результати диссертации опубликована в работах [1-20]..
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глг:В и списка цитированной литературы. Объем - 255 страниц машинописного текста. Библиограф;!; содержит II'* наименований.
Похожие диссертации на Экстремальные возмущения линейных операторов
