Введение к работе
Актуальность темы исследования. Оператор L, действующий в некотором гильбертовом пространстве Н, условимся называть близким к самосопряженному, если L = L0 + V, где L0 самосопряжен, V компактен относительно L0, то есть D(V) D D(L0) и оператор V{L0 + і)-1 компактен. Если L0 полуограничен снизу и при некотором г > 0 оператор (L0 + r)~1'2V{L0 + г)-1/2 компактен, то оператор L = L0 + V, где сумма понимается в смысле квадратичных форм, будем называть близким к самосопряженному в смысле квадратичных форм К настоящему времени спектральная теория операторов, близких к самосопряженным, разработана достаточно полно: имеющиеся результаты практически полностью решают вопросы об асимптотике спектра и полноте или базисности системы корневых векторов (см. 20 обзора1 и имеющиеся там ссылки). Так, согласно известной теореме М.В.Келдыша, любой оператор L, действующий в гильбертовом пространстве Н и близкий к самосопряженному оператору L0, спектрально устойчив в следующем смысле: если спектр L0 дискретен и функция N(r, L0) (число собственных значений L0 (с учетом кратности) в интервале (—г}г)) удовлетворяет тауберовым условиям Келдыша - Коренблюма, то
P1) система корневых векторов L полна в Н;
Р2) при любом є > 0 спектр оператора L вне углов {|argA| < є} и {|argA — 7г| < є} конечен и для функции N(r,L) — количества собственных значений оператора L, с учетом их алгебраических кратностей, в круге |А| < г — справедливо соотношение N(r, L) ~ N(r, L0 ), г —> +оо.
Теорема Келдыша утверждает, что любой самосопряженный оператор L0, удовлетворяющий ее условиям, определяет класс эквивалентности операторов, близких к L0 и обладающих свойством Ра := Р1 А Р2-
Предположим теперь, что L0 не удовлетворяет какому-то из условий теоремы Келдыша. Поставим вопрос: можно ли выбрать какое-либо спектральное свойство Ра оператора L0 так, чтобы существовал нетривиальный класс возмущений V, сохраняющих это свойство?
Как показывают многочисленные примеры , операторы, не являющиеся близкими к самосопряженным (для краткости: — операторы, далекие от самосопряженных), как правило спектрально неустойчивы: резольвентная норма ||(L — z)_1|| может быть большой даже при z, далеких от спектра L. Поэтому в случае, когда L — далекий от самосопряженного дифференциальный оператор,
1 Розенблюм Г. В., Соломяк М. 3., Шубин М. А. Спектральная теория дифференциальных операто
ров. Уравнения в частных производных - 7. Итоги науки и техники. Сер. соврем, пробл. Мат. Фунд. напр.
Т. 64. М.: ВИНИТИ. 1989. С. 5-242.
2 Келдыш М. В. О собственных значениях и собственных функциях некоторых классов несамосо
пряженных уравнений II ДАН СССР. Т. 77, № 1. 1951. С. 11-14.
3 Коренблюм Б. И. Общая тауберова теорема для отношения функций // ДАН СССР. Т. 88, № 5.
1953. С. 745-748.
4 См., например, обзоры Davies Е. В.Non-self-adjoint differential operators // Bull. London Math. Soc.
V. 34, № 5. 2002.; Sjostrand J. Spectral instability for поп-self adjoint operators. Palaiseau Cedex. 2002.
для получения некоторой нетривиальной информации о спектре приходится на коэффициенты соответствующего дифференциального выражения накладывать дополнительное (гораздо более жесткое по сравнению с самосопряженным или близким к самосопряженному случаем) условие аналитичности в некоторой окрестности соответствующего промежутка. Технически требование аналитичности обусловлено тем, что при отказе от него пришлось бы «ловить» экспоненциально малые члены на фоне степенных ВКБ-разложений. Коль скоро мы собираемся описывать классы возмущений, сохраняющих какое-либо спектральное свойство Ра, то должны ответить на вопрос: вызвано ли это дополнительное условие только недостатком метода или связано с существом дела (спектральной неустойчивостью)? В рамках традиционных методов ответ на этот вопрос не представляется возможным. В связи с этим актуальной становится разработка новых методов, пригодных для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра.
Степень разработанности темы исследования. В работе рассматриваются 4 различных типа обыкновенных дифференциальных операторов, не удовлетворяющих условиям теоремы Келдыша. Эти операторы были предметом исследований многих математиков. Так же, как в теореме Келдыша, для них получены достаточные условия на возмущения, при которых сохраняются некоторые спектральные свойства Ра. Однако характер этих условий (аналитичность) сразу порождает вопрос о степени их необходимости. Нам удалось показать, что после незначительного ослабления эти условия становятся необходимыми и достаточными для выполнения соответствующего свойства Ра. Приведем список этих операторов.
1) Оператор Дирака на кривой. Пусть 7 — кривая с параметризацией
X 1
* = *(,) = /г(*)е*«*,*Є[0,1], /г(«)е««>* = 1, (1)
О О
г, а Є С[0,1], г{х) > 0, а(х) — монотонна и |а(1) — ск(0)| < 7Г. (2) Обозначим через L (7, С ) гильбертово пространство 2-компонентных вектор-
функций со скалярным произведением (/, д) = ^ J fkfjk|dz|.
k=1 7 Оператором Дирака на кр(ой 7 )удем называть оператор, действующий
в гильбертовом пространстве L (7, С J по правилу
ЩУ = { Д 0 J У, (3)
D(D*) = {у Є И1(7, С2) : h1y1(0) + h2y2(0) = 0,H1y1(l) + H2y2(l) = 0},
где штрих означает дифференцирование вдоль 7 ( см. ()), W21 (7, С2 ) — про-
странство Соболева,
Іц ф ±ih2} Их ф ±Ш2. (4)
2) Комплексный ангармонический осциллятор Hq :
Нву = Ііву:=-у" + егЄхау, D{He) = {2/GL2(0,+oo): 2/,2//єЛаос[0,оо),/і,2/ЄЬ2(0,+оо),2/(0) = 0},
где а > 0, \9\ < 7г.
3) Оператор Шредингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШ-
КУП) Lp:
Lpy = Цу := -у" - /Зж~7?/, (5)
D(Lp) = {у Є L2(0, ос) : у' Є АСІОС[0, ос), Цу Є L2(0, ос), 2/(0) = 0},
где 0 < 7 < 2, |arg/3| < 7Г.
4) Модельный оператор L:
Ly = ie2y" + qy, D(L) = {у є L\-l,l) : у'єАС[0,1},у"єЬ2(-1,1),у(-1) = у(1) = 0},
где функция q — непрерывна, вещественна и монотонна на [—1,1].
Оператор 2) является семейством, зависящим от 2 параметров # и а, но в обозначении мы выделяем только в, имея в виду зависимость именно от параметра 9, определяющего величину отклонения от самосопряженного оператора Но. По той же причине оператор 3) обозначаем Lp.
Рассмотрим оператор D1 = D + Q, где Q — оператор умножения на матрицу Q(z) с суммируемыми на 7 элементами. Переходя в уравнении D^y = Ху к переменной х = x(z)} гЕ], где x(z) — обратная к () функция, легко убедиться, что спектр оператора D1 лишь постоянным множителем отличается от спектра оператора вида Л, действующего в пространстве L2 ((0,1); С2) по формуле
Ли = Aqu' + А\и
и имеющего область определения
D(A) = {uh2 Є АС[0,1] : Aqu' + Ащ Є L2 ( (0,1); С2 ) : Su{0) = Ru{l) = 0}.
Здесь S = (l,s),R = (l,r), s r ^ 0, Aq1 = di&g(a(x),—a(x)), элементы матрицы A\ суммируемы на (0,1), функция а(х) непрерывна, не имеет нулей на [0; 1], arg а(х) непрерывен и монотонен на [0,1].
Спектральная теория операторов видаД восходит к классическим работам Дж.Д. Биркгофа5 и Я.Д. Тамаркина, в которых изучались системы вида
ВоУ' + ВХУ = ХУ,У = (Ш,... ,уп)Т, х Є [0,1], (6)
5 Birkhoff G. D. On the asymptotic character of the solutions of certain linear differential operations contain
a parameter // Trans.Amer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 219-231.; Boundary value and expansion problems of ordinary
linear differential equations // Trans.Amer.Math.Soc. V. 9. 1908. P. 373-395.
6 Тамаркин Я.Д. О некоторых общих задачах теории обыкновенных дифференциальных уравнений и
о разложении произвольных функций в ряды. Петроград. 1917.
где Во}В\ — достаточно гладкие матрицы п х n, Bq(x) при каждом х Є [0,1] невырождена, диагонализуема и собственные значенияd\}... , dn матрицы Bq (х) удовлетворяют условиям
aig(di(x) — dj(x)) = otij = const, i,j = l,n, і ф j. (7)
Независимо друг от друга Биркгоф и Тамаркин показали, что если соотношения () верны, то фундаментальная матрица решений (ФМР) системы ) при больших А допускает асимптотические разложения, равномерные по argA их Є [0,1]. Это позволило определить для системы () важный в вопросах разложения класс регулярных краевых условий
SY{0) + RY{1) = 0, (8)
где S,R — квадратные матрицы n-го порядка. В дальнейшем краевые задачи для систем вида () изучались многими авторами с различных точек зрения. За редким исключением во всех этих исследованиях неизменно присутствовало условие (). Между тем задачи вида (), (), для которых условие ) не выполняется, представляют как практический, так и теоретический интерес (см. главу X монографии и дальнейшие ссылки).
Если отказаться от условия (), то возникают трудности, связанные с отсутствием асимптотических разложений для ФМР системы ): непонятно, как определять краевые условия, что понимать под регулярностью. Обратимся к тем результатам, которые были получены без предположения условия ). Первая попытка отказаться от этого условия была предпринята Р.Е. Лангером в работе, в которой взамен условию () требуется аналитичность матриц Во и В\ в некоторой окрестности Q отрезка [0,1], такой, что для любой точки z Є Q и пары (i,j) существует кривая Jij(z), лежащая целиком в Г2, соединяющая точку z с 0 или 1, при движении вдоль которой точки ( аргумент функции Jc (di(t) — dj(t))dt постоянен. При выполнении этого условия Лангер получает те же результаты, что Биркгоф и Тамаркин. Отметим также работы, в которых найдена асимптотика спектра (всего или только части, расположенной в определенном угле) оператора второго порядка, порожденного в L2 ((0,1); Сп)
& ( d \
дифференциальным выражением Си = —— I taA(t)—u(t) ) + Q(t)u(t), а Є
[0,2), А Є C([0;1]), Q Є C([0;1]), и граничными условиями типа Дирихле в случае, когда собственные числа матрицы А (все или только часть из них) меняются на фиксированных лучах. В работе показано, что в случае, когда
7 Mennicken R., Moller М. Non-Self-Adjoint Boundary Eigenvalue Problems. Elsevier, Amsterdam - London.
2003.
8 Langer R. E. The boundary problem of an ordinary linear differential system in the complex domain //
Trans. Amer. Math. Soc. V. 46. 1939. P. 151-190.
9 Бойматов К. X., Костюченко А. Г. Распределение собственных значений несамосопряженных диф
ференциальных операторов второго порядка // Вести. МГУ. Сер. матем., мех. № 3. 1990. С. 24-31.; Бой-
матов К. X. Асимптотика спектра несамосопряженных систем дифференциальных операторов второго
порядка И Мат.заметки. Т. 51, № 4. 1992. С. 8-16.
10 Davies Е. В., Eigenvalues of an elliptic system // Math. Zeitschrift. V. 243. 2003. P. 719-743.
матрица -Во кусочно постоянна и В\ = О, характеристическая функция спектра краевой задачи (), () является квазиполиномом, так что спектр допускает представление
т оо
а = А%'> lim агё(Му) =
где т Є N. При некоторых дополнительных условиях представление ) сохраняет силу и в случае бесконечного числа «кусков» (т = оо) []. Класс матриц >о,>1 для которых спектр задачи (), () удовлетворяет (), не исчерпывается рассмотренными выше. В работе ] показано, что формула ) верна (при В\ = 0) для
ад=Ц)о)' (іо)
где функция q кусочно аналитична на [0,1] и бесконечно дифференцируема в точках «склейки».
Как показано в упомянутой выше работе Дэвиса, в случае, когда 7 не является отрезком, невозмущенный оператор D является спектрально неустойчивым. Поэтому мы ожидаем, что спектр оператора D7, а значит, и А может иметь вид () лишь для весьма узкого класса матриц Ао,А\. Эта гипотеза для оператора Л с матрицей А$ вида () и А\ = 0 была высказана М.В.Федорюком еще в 1983 году11. Решая задачу описания классов возмущений D7, мы фактически подтверждаем эту гипотезу.
Рассмотрим оператор Нд. Известно (см., например,), что собственные числа Нд простые, лежат на луче argA = 29/(2 + а) и имеют асимптотику:
2ві 2а ,
лп ~ Со е2+«п2+«, Со > 0, (11)
система собственных функций {/n}i полна в L2(0,oo). При 9 = 0 {/n}i образуют ортонормированный базис в L2(0,oo), оператор Щ согласно теореме Келдыша является спектрально устойчивым: если V — оператор умножения на функцию V(x), удовлетворяющую условию
V Є Llc[0, +оо), V(x) = о (ха), х -+ +оо, (12)
то собственные числа {Цк}Т оператора Lq = Hq + V при надлежащей нумерации имеют асимптотику
цп ~ Лп, п -> оо. (13)
11 Федорюк М. В. Асимптотические методы для линейных обыкновенных дифференциальных урав
нений. М.: Наука., 1983.
12 Лидский В. Б. Несамосопряженный оператор типа Штурма-Лиувилля с дискретным спектром
II Тр. ММО. Т. 9. 1960. С. 45—79.
ЕСЛИ 0 < \\ < , то13
п = тт^х > 0^, (14)
\n, n)
где * — нормированная собственная функция, соответствующая собственному числу п оператора *, о, і — положительные числа. Так как почти норми-рованность некоторого базиса влечет почти нормированность биортогонально-го ему базиса, то из () следует, что при 0 < \\ < никакой базисности нет. Оценка () означает, что оператор д является спектрально неустойчивым. В работе показано, что если = г/3, где 0 < / < 1, то
||(? — )~l\\ —> оо, —> оо. (15)
Из результатов работы следует, что соотношение () при = 2 верно и тогда, когда уходит в оо по кривой = + а, 1/3 < < 1. Численные расчеты, полученные в этой же работе, показывают, что постоянная 1/3 является оптимальной. Аналогичная картина имеет место вблизи луча arg = 2/(2 + ).
Таким образом, оператор д при ф 0 является спектрально неустойчивым. Поэтому так же, как в случае с оператором , следует ожидать, что класс возмущений , при которых имеет место (), весьма узок.
Оператор вида g, где вместо ~7 в качестве потенциала выступает произвольная комплекснозначная локально суммируемая на [0, +оо) функция , стремящаяся к 0 на +оо, условимся также называть оператором Шредингера с комплексным убывающим потенциалом (ОШКУП). Спектральная теория ОШ-КУП берет свое начало в работе М.А. Наймарка, в которой впервые были обнаружены так называемые спектральные особенности и их особая роль в теоремах разложения. В дальнейшем результаты М.А. Наймарка уточнялись и обобщались В.Э. Лянце, B.C. Павловым, Б.Я. Левиным , Дж. Шварцем, Х.Х. Муртазиным и др. (подробную библиографию см. на с.490 книги ).
Особый интерес к ОШКУП обусловлен, прежде всего, потребностями квантовой механики. Как известно, рассеяние в квантовой механике описывается волновыми операторами Q±(,o), где о, — гамильтонианы свободной и взаимодействующей систем соответственно. Одна из основных задач теории рассеяния — доказательство существования и (слабой) асимптотической полноты операторов Q . Ключевую роль при решении этой задачи играют оценки граничных значений резольвенты оператора : ( — ± 0)-1, Є ess. Существует весьма изящная и эффективная конструкция, позволяющая не только исследовать поведение резольвенты вблизи вещественной оси, но и построить (в
13 Davies Е. В. Wild spectral behaviour on anharmonic oscillators // Bull. London Math. Soc. V. 32.
14 Davies E. B.Pseudo-spectra, the harmonic, oscillator and complex resonances /J Proc. R. Soc. Lond. 1999.
V. 455. P. 585-599.
15 Boulton L. S. The Non-self-adjoint harmonic, oscillator, compact semigroups and // J.
Oper. Theory. V.47. 2002. P. 413-429.
16 Наймарк M. А. Исследования спектра и разложения по собственным функциям несамосопряжен
ного дифференциального оператора 2-го порядка на полуоси // Тр. ММО. Т. 3. 1954. С. 181-270.
17 Наймарк М. А. Линейные, дифференциальные операторы. М.: Наука. 1969.
случае аналитичных потенциалов) мероморфное продолжение резольвенты на нефизический лист, выявлять собственные числа , погруженные в существенный спектр, а также резонансы — полюса резольвенты на нефизическом листе. Речь идет о методе комплексного скейлинга18, в процессе применения которого и возникают ОШКУП. Этот метод позволяет доказать, что резольвента ОШКУП /з, а значит, и его функция Вейля допускают мероморфное продолжение с области C\(g) через луч ess(p) = [0, +оо) на нефизический лист. Этот факт (еще до появления метода комплексного скейлинга) был установлен В.Э. Л яйце (1966 г.) для ОШКУП в классе достаточно быстро (порядка(-7), > 2) убывающих потенциалов, допускающих аналитическое продолжение в некоторый угол. В 1982 г. результат В.Э. Лянце был распространен Х.Х. Муртазиным на случай потенциалов с произвольной скоростью убывания. Как в вышеупомянутых работах, непосредственно посвященных ОШКУП, так и в огромном числе работ, где применяется метод комплексного скейлинга (см.,например, обзор и имеющиеся там ссылки), неизменно присутствует требование аналитичности коэффициентов соответствующих дифференциальных выражений. В связи с этим возникает вопрос о необходимости этого условия.
Оператор принято рассматривать в качестве упрощенной модели для известного в гидродинамике оператора Орра - Зоммерфельда. Правомерность такой трактовки впервые была обоснована в работе, в которой было доказано, что при () = или 2 спектры операторов Орра - Зоммерфельда при больших > 0 и при малых > 0 накапливаются около одного и того же множества, называемого предельным спектральным графом (ПСГ) и состоящего из трех кривых, соединяющих некоторую точку о Є П := { : Im < О, < Re < }, = min (), = max (), с точками , и
жє[-1,1] жє[-1,1]
-оо («спектральный галстук»). В дальнейшем в работе этот результат был распространен на класс функций , которые
-
вещественны и строго монотонны на отрезке [-1,1];
-
допускают аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [—1,1] такую, что () D П, непрерывна на замыкании области := -1( - ); отображение : —> П биекция.
Если условие монотонности нарушается, то ПСГ операторов может иметь более сложную структуру. Однако и в том и в другом случае часть ПСГ, лежащая в области Пс = {єП: | - ( + )/2| > }, при достаточно
18 Aguilar J., Combes J. M. A class of analytic, pertubations for one-body Schrodinger Hamiltonians //
Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 268-279.; Balslev E., Combes J. M. Spectral properties of many body
Schrodinger operators with dilation - analytic, interactions // Commun. Math. Phys. V. 22. 1971. P. 280-294.
19 Sjostrand J. A trace formula and review of some estimates for resonances // NATO Adv. Sci. Inst. Ser.
С Math. Phys. Sci. V. 490. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht. 1997. P. 377-437.
20 Туманов С. H., Шкаликов А. А. О локализации спектра задачи Орра-Зоммерфелъда для больших
чисел Рейнолъдса // Мат. заметки. Т. 72, № 4. 2002. С. 561—569.
21 Шкаликов А.А. Спектральные портреты оператора Орра-Зоммерфелъда при больших числах Рей
нолъдса. Труды международной конференции по дифференциальным и функционально-дифференциальным
уравнениям (Москва, 11-17 августа, 2002). Часть 3. СМФН. Т. 3. М.: МАИ. 2003. С. 89-112.
больших с > 0 состоит из единственной кривой. Более того, если q Є AM, то это утверждение остается справедливым и в том случае, когда є —> 0 по любому лучу arge = 9 (это свойство назовем /^-свойством):
существует достаточно большое с > 0, что множество Г(с, 9) — часть ПСГ операторов L, arge = 9, лежащая вне круга {\z — (т + М)/2\ > с}, — состоит из единственной кривой ^(с, 9) = 7j(X){9) П {\z — (т + М)/2\ > с}, где кривая 7оо(#) определена по формуле
7ос(#) = {A: arg(Q(A)) = # + 7r/2}, і
Q(X) = / \/^(^(ж) ~ >)dx, (argQ(m) = 7г/4),
mo есть ^лл любого т > 0,\9\ < 7г/2 найдется h(9,r) > 0, такое, что при всех 0 < h < h(9,r) часть спектра оператора L,e = he%e, лежащая вне круга {\z — (т + М)/2| > с}, содержится в т-окрестности кривой 7(с, 9).
С другой стороны, ПСГ операторов Ьє с кусочно постоянным потенциалом состоит из конечного или бесконечного числа лучей вида,ра = {z = а — it, t > 0},m < а < М []. Наличие разрывов функции q не по существу: из двух аналитических кусков можно склеить бесконечно гладкую функцию q так, что Г (с, 9) при всех достаточно больших с > 0 будет состоять из двух гладких кривых, имеющих единственную общую точку — ioo (см. Пример 1 из ]).
Отсюда возникает предположение: ПСГ операторов Ь с потенциалом q обладает {^-свойством лишь в том случае, когда q допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность отрезка [—1,1].
Цели и задачи. Основная цель диссертации — разработка нового метода, пригодного для изучения спектральных свойств операторов, далеких от самосопряженных, в частности, для описания классов возмущений, сохраняющих некоторые свойства спектра. На основе этого метода предполагается решение следующих задач:
-
Выяснить, насколько необходимо условие кусочной аналитичности матрицы Q, фигурирующее в работах Р.Е. Лангера, Э.Б. Дэйвиса, длят-локализации спектра операторов А или D1 в смысле ().
-
Найти необходимое и достаточное условие на возмущения V оператора Hq, сохраняющих асимптотику спектра.
-
На примере оператора Lg выяснить, как «работает» метод в условиях наличия непрерывной компоненты спектра.
-
На примере оператора Ь выяснить эффективность метода для исследования спектра далеких от самосопряженных дифференциальных операторов в в квазиклассическом пределе.
Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми. В работе получены следующие основные результаты:
См. Лемму 2.6 из цитированной на с. 9 работы А.А. Шкаликова.
-
Разработан новый метод, который позволяет впервые в ситуации, когда не работает теорема Келдыша, получить для различных типов дифференциальных операторов полное описание классов возмущений, сохраняющих определенное спектральное свойство Ра. Этот метод с одинаковым успехом применим как к регулярным, так н к сингулярным дифференциальным операторам, спектр которых может быть как чисто дискретным, так и содержать непрерывную часть. Метод полезен и в задачах, связанных с локализацией спектра дифференциальных операторов в квазиклассическом пределе.
-
Получено необходимое и достаточное условие на матрицу-потенциал Q, при котором спектр оператора Дирака D1 на бесконечности т-локализован (в смысле ()).
-
Дано полное описание класса возмущений V комплексного ангармонического осциллятора Hq, сохраняющих асимптотику спектра.
-
Для оператора Lg доказана необходимость известных достаточных условий Х.Х. Муртазина существования мероморфного продолжения функции Вей-ля на некоторый угол из нефизического листа.
-
Доказана необходимость (в существенной части) достаточных условий А.А. Шкаликова, при которых бесконечная компонента предельного спектрального графа оператора Ьє состоит из одной кривой. Кроме того, в самосопряженном случае найдено необходимое и достаточное условие экспоненциально малого расщепления спектра.
Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации носят теоретический характер и могут быть использованы в теории операторов, теории дифференциальных уравнений, квантовой механике, акустике, теории гидродинамической устойчивости. Методика исследования, применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении других далеких от самосопряженных дифференциальных операторов.
Методология и методы исследования. В связи с тем, что рассматриваемый класс операторов по определению неустойчив относительно малых возмущений, стандартные методы, используемые при решении прямых задач для операторов, близких к самосопряженным (ВКБ, теории возмущений) становятся непригодными для наших целей. Поэтому на первый план выходит метод обратных задач. Однако, спектрально неустойчивые дифференциальные операторы L характеризуются тем, что для решений уравнения Ly = Ху асимптотика при больших А не «выбивается», поэтому классический метод, основанный на уравнении Гельфанда - Левитана - Марченко (ГЛМ), в данном случае не применим. Мы предлагаем принципиально новый подход, основанный на некотором нелинейном уравнении q = qQ+A(q). Это уравнение, по сравнению с уравнением ГЛМ, более приспособлено к случаю операторов, далеких от самосопряженных, в следующем смысле: свободный член qo допускает аналитическое продолжение в некоторую окрестность соответствующего промежутка (точнее: принадлежит классу Смирнова Ep() при некотором р > 1) тогда и только тогда, когда имеет место т-локализация спектра(в смысле ()) и Ep() инвариантен отно-
сительно (нелинейного) оператора А, что позволяет к указанному уравнению применить метод последовательных приближений и показать принадлежность q классу EP(Q).
Степень достоверности и апробация результатов. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинаре кафедры математического анализа БашГУ (руководитель проф. Муртазин Х.Х.), на семинаре кафедры дифференциальных уравнений БашГУ (руководитель проф. Султана-ев Я.Т.), на семинаре кафедры теории функций и функционального анализа Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель проф. Костюченко А.Г.), на семинаре лаборатории операторных моделей и спектрального анализа Московского государственного университета им. М.В. Ломоносова (руководитель проф. Шкаликов А.А.), на семинаре лаборатории динамических систем Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (руководитель академик Тайманов И.А.), на семинаре кафедры математической физики и вычислительной математики Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского (руководитель проф. Юрко В.А.), на семинаре отделов дифференциальных уравнений и комплексного анализа Института математики с вычислительным центром Уфимского научного центра Российской Академии Наук (руководители член-корреспондент РАН Напалков В.В., проф. Калякин Л.А., проф. Новокшенов В.Ю.). Отдельные результаты были доложены на международной конференции «Спектральная теория дифференциальных операторов и смежные вопросы», посвященной 70-летию академика A.M. Ильина (Стерлитамак, 1998), на международной конференции «Дифференциальные уравнения и смежные вопросы», посвященной памяти академика И.Г. Петровского (Москва, 2004, 2007, 2011), на международной конференции «Функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ», посвященной столетию академика СМ. Никольского (Москва, 2005), на международной конференции «Весовые оценки дифференциальных и интегральных операторов и их приложения (Астана, 2007), на международной конференции «Современные проблемы математики, механики и их приложений», посвященной 70-летию академика В.А. Садовничего (Москва, 2009), на Третьем конгрессе Всемирного математического общества тюркоязычных стран (Алматы, 2009), на международной конференции «Спектральная теория операторов и ее приложения», посвященной памяти проф. А.Г. Костюченко (Уфа, 2011), на международной конференции «Функциональный анализ и его приложения» (Астана, 2012), на международной конференции «Нелинейные уравнения и комплексный анализ» (Уфа, 2013), на международной конференции «Нелинейный анализ и спектральные задачи» (Уфа, 2012, 2013).
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [] — [], из которых ] — ] входят в «Перечень ведущих рецензируемых научных журналов и изданий, выпускаемых в РФ, в которых должны быть опубликованы основные научные результаты диссертаций на соискание ученой степени доктора наук», утвержденный ВАК РФ. Из работы ], выполненной
совместно с Х.Х. Муртазиным, в диссертацию включены только результаты, полученные автором лично.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 139 наименований. Общий объем диссертации — 208 страниц.
Похожие диссертации на О классах возмущений спектрально неустойчивых операторов
