Введение к работе
Актуальность темы. Исследование новых классов нелинейных задач, построение и изучение разрешимости адекватных им классов операторных уравнений и включений традиционно включается в нелинейный функциональный анализ.
При изучении вопросов, связанных с разрешимостью различных нелинейных уравнений и включений, важную роль играют качественные методы, в частности, теоремы о неподвижной точке, принципы продолжения решений по параметру и топологические методы.
Теория уплотняющих отображений представляет собой теорию операторов, свойства которых характеризуются как промежуточные между свойствами сжимающих и вполне непрерывных отображений. Впервые операторы такого типа были рассмотрены в работах М.А. Красносельского, G. Darbo и Б.Н. Садовского.
Свойства мер некомпактности изучались К. Куратовским, A. Ambro-setti, М. Furi, A. Vignoli, R.D. Nussbaum, Б.Н. Садовским, Ю.Г. Борисовичем, Ю.И. Сапроновым и многими другими.
В Воронеже изучение уплотняющих отображений было начато работой Б.Н. Садовского в 1967 г. В дальнейшем изучением уплотняющих отображений в Воронеже занимались Б.Н. Садовский, Ю.Г. Борисович, Ю.И. Сапронов, P.P. Ахмеров, А.Е. Родкина, А.С. Потапов, М.И. Каменский, В.В. Обуховский и многие другие.
В результате изучения уплотняющих отображений были опубликованы монографии и несколько обзоров. В 1980 г. был опубликован обзор Б.Н. Садовского "Уплотняющие операторы", библиография которого содержала 426 источника.
Отметим также работы, связанные с обобщением понятия уплотняющего отображения на случай многозначных отображений. В Воронеже изучением таких отображений занимались В.В. Обуховский, его ученики и М.И. Каменский. Эти работы были подытожены в монографии В.В. Обуховского, М.И. Каменского и P. Zecca.
В 70-х годах прошлого века появились работы, посвященные изучению уплотняющих возмущений некоторых непрерывных однозначных отображений. Этим вопросам были посвящены работы G. Hetzer, Ю.Г. Борисовича, В.Т. Дмитриенко, В.Г. Звягина. В них изучалась гомотопиче-
екая классификация таких возмущений и на этой основе строились новые топологические инварианты. Отметим работы G. Hetzer, в которых изучались возмущения, у которых главной частью являлся линейный фредгольмов оператор.
С другой стороны, в 1997 г. появилась работа В. Ricceri, посвященная изучению компактных возмущений линейных непрерывных сюръектив-ных операторов. В дальнейшем в работах Б.Д. Гельмана рассматривались липшицевы и вполне непрерывные возмущения замкнутых линейных операторов и рассмотрены приложения полученных теорем к проблеме разрешимости операторных уравнений и включений.
Естественно возникает идея изучить уравнения, главной частью которых является замкнутый линейный сюръективный оператор А: а отображение / является уплотняющим относительно этого оператора. Заметим также, что в этом случае гомотопическая классификация, построенная в работах Ю.Г. Борисовича, В.Т. Дмитриенко, В.Г. Звягина, G. Hetzer, оказывается неприменимой. Изучению таких уравнений и посвящена данная работа.
Цель работы. Целью данной работы является изучение разрешимости операторных уравнений вида А(х) = f(x) в банаховых пространствах, где А - линейный сюръективный оператор (главная часть), а / - уплотняющее отображение относительно главной части, и применение доказанных теорем к изучению разрешимости некоторых новых классов дифференциальных уравнений.
Научная новизна. Все результаты, включенные в диссертацию, являются новыми. Наиболее значимые из них перечислены в следующем ниже списке.
-
Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений линейных непрерывных сюръективных операторов.
-
Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный непрерывный сюръективный оператор. Получены приложения доказанных теорем к проблеме существования решений задачи Коши для дифференциальных уравнений неразрешенных относительно производной.
-
Дано определение и изучены примеры уплотняющих возмущений
линейных замкнутых сюръективных операторов.
-
Доказаны теоремы о разрешимости операторных уравнений, главной частью которых является линейный замкнутый сюръективный оператор.
-
Опираясь на доказанные теоремы, исследованы новые классы задач для уравнений нейтрального типа и вырожденных дифференциальных уравнений.
Методы исследования. В работе использованы методы функционального анализа и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.
Теоретическая и практическая ценность. Данная работа носит теоретический характер. Представленные в ней результаты могут быть использованы для изучения новых классов операторных и дифференциальных уравнений в конечномерном и бесконечномерном банаховом пространстве.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научной конференции по итогам работы за 2011 г. в Воронежском государственном педагогическом университете, в Воронежских зимних математических школах (2012 г., 2013 г.), на семинаре профессора В.В. Обу-ховского в Воронежском государственном педагогическом университете (2013 г.).
Публикации по теме диссертации. Результаты диссертации опубликованы в 7 работах [1] - [7]. Работы [1], [2] опубликованы в журналах из перечня рецензируемых научных журналов и изданий, рекомендованных ВАК Минобрнауки РФ. Из совместных работ [1], [6] в диссертацию включены результаты, принадлежащие лично автору.
Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, разбитых на пункты, и списка литературы, содержащего 51 наименование. Объем работы составляет 91 страницу текста.
Похожие диссертации на Об уплотняющих возмущениях сюръективных операторов
