Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА I. Банаховы модули и неквазианалитические операторы 22
1.1. Банаховы модули 23
1.2. Теоремы аппроксимации 30
1.3. Решение операторного уравнения АХ-ХА-В 33
ГЛАВА 2. Возмущения треугольного типа 39
2.1. Пространство треугольных возмущений 39
2.2. Возмущение диагональных операторов 45
2.3. Приводимость почти периодических систем 51
2.4. Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов 55
2.5. Примечания к главе 2 59
ГЛАВА 3. Слабые возмущения дискретных спектральных операторов . 63
3.1. Пространство слабых возмущений 63
3.2. Диагонализация и блочная диагонализация возмущенного спектрального оператора 71
3.3. Примечания к главе 3 95
ГЛАВА 4. Вольтерровы возмущения д№еренциальных и разностных операторов 99
4.1. Метод ускоренной сходимости в задаче нормализации (абстрактная схема) 100
4.2. Приведение интегро-дифференциального оператора с квазипериодическими коэффициентами к автономному виду 105
4.3. Возмущение оператора правых сдвигов в пространствах 114
4.4. Спектральный анализ одного класса разностных операторов 127
4.5. Примечания к главе 4 137
Литература 140
- Решение операторного уравнения АХ-ХА-В
- Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов
- Диагонализация и блочная диагонализация возмущенного спектрального оператора
- Приведение интегро-дифференциального оператора с квазипериодическими коэффициентами к автономному виду
Введение к работе
Один из наиболее известных способов изучения дифференциальных уравнений основан на преобразовании исследуемого уравнения к уравнению более специального вида, свойства которого считаются хорошо изученными. Среди многообразия используемых здесь методов важнейшее место занимает метод усреднения, используемый в небесной механике со времён Лагранжа и Лапласа для определения эволюции орбит планет под влиянием их взаимных возмущений.
Обоснование метода усреднения - трудная задача, решению которой до сих пор посвящены работы многих математиков. Принципиальную роль в её решении сыграли работы Н.Н. Боголюбова, основанные на замечательной идее преобразования (замены) Крылова - Боголюбова.
Основу метода усреднения составляют две теоремы Н.Н. Боголюбова, устанавливающие соответствие между решениями исходного и усреднённого дифференциального уравнения соответственно на конечном и бесконечном интервалах. Дальнейшие усилия математиков были сосредоточены на обосновании этих теорем для различных классов дифференциальных уравнений (интегро-дифференциальных, с частными производными и т.д. ; см. монографию Ю.А. Митропольского [46 ] где имеется подробный обзор работ до 1971 г.) . Естественным образом возникла необходимость создания соответствующей теории для абстрактных операторов в банаховом пространстве.
Созданию такой теории положили начало работы А.Г. Баскакова [б,7,9] . Проведённый им анализ классического метода усреднения показал, что этот метод включает три главных этапа :
#) Аналогичные этапы были выделены Ю.А. Митропольским и A.M. Самойленко [47] при рассмотрении нелинейных возмущений оператора дифференцирования /І т .
і) построение пространства Ц/ возмущений для невозмущен-
ного линейного оператора А D(A)c 1-1 ( 1 - ком-
плексное банахово пространство) , 2) построение усреднённого опе
ратора (выделение подпространства 4flc JJ/ операторов,
просто устроенных относительно А ) , 3) построение преобра
зования (замены) Крылова - Боголюбова, в абстрактной форме озна
чающее некоторую операцию
где Lnd X - алгебра эндоморфизмов (линейных ограниченных
операторов) пространства X
Оказалось, что все эти этапы тесно связаны с оператором коммутирования
и его спектральными свойствами, а замена Крылова - Боголюбова есть не что иное, как преобразование подобия исследуемого семейства операторов А+fB (с - малый параметр, Be % ) в семейство операторов вида А + В0+г В/о » где
. Последовательное применение преобразования
Крылова - Боголюбова к оператору ведет
(при условии сходимости получаемых рядов в Ц/ ) к подобию
оператора А+«В оператору
» где
Таким образом, небольшая модификация построения высших приближений позволяет сделать вывод о глубоком сходстве метода усреднений с методом подобных операторов ( "диагонализацией"
А + і (З в том же "базисе", в котором является "диагональным"
А ) и, в частности, с теорией Пуанкаре нормальных форм, методом Ляпунова кинематического подобия, методом Штокало, методом Фридрихса - Тернера подобных операторов.
Все перечисленные методы объединяет общий формальный аппарат, с помощью которого проводится нормализация возмущённого оператора. Но каждый из них приспособлен к изучению конкретного класса операторов и прямой возможности распространения его на другие классы операторов не даёт. Привлечение методов спектральной теории банаховых модулей ( методов абстрактного гармонического анализа) к
изучению свойств оператора коммутирования л позволило в значительной мере решить этот вопрос и таким образом существенно продвинуться в развитии метода подобных операторов. Открылась возможность для пересмотра ряда результатов аналитической теории возмущений (см.[б-9]). В свете такого подхода актуальной задачей стало распространение метода подобных операторов на новые классы операторов, уточнение прежних границ его применения, выявление новых приложений.
Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию метода подобных операторов. Основными методами исследования являются методы спектральной теории банаховых модулей ( методы абстрактного гармонического анализа) и спектральной теории операторов.
Материал диссертации изложен в четырёх главах. Каждая из них, за исключением первой, имеет следующую структуру. В начале для
невозмущённого оператора А осуществляется аксиоматическое
построение пространства возмущений М/ ; его свойства опре-
деляют метод доказательства абстрактной теоремы о подобии
. Затем эта теорема применяется к исследованию конкретных классов операторов. Установленный нормальный вид возмущённого оператора используется в приложениях для изучения его спектральных свойств: геометрической структуры спектра, полноты системы собственных и присоединённых векторов, спектральности, структуры ядра. Глава заканчи-
вается примечаниями, в которых даётся обзор ранее известных результатов, сравниваются различные методы исследования, указывается ряд возможных приложений.
Отметим, что смысл общепринятых обозначений, не указанный в тексте, приводится отдельно в специальном списке используемых обозначений.
Перейдём к подробному изложению основных результатов диссертации. В главе I, имеющей вспомогательный характер, сформулированы используемые в дальнейшем понятия и результаты из спектральной теории банаховых модулей и теории неквазианалитических операторов. Особо важным ( для изложения результатов последующих глав) служит вопрос о разрешимости операторного уравнения
АХ = АХ-ХА = В-5/ , (1)
рассматриваемого в пространстве возмущений Ц, , относитель-
но оператора А є tfiu X Равенство (і) понимается на век
торах . Здесь п - неквазианалитический опе
ратор, т.е. оператор, представимый в виде
- производящие
операторы сильно непрерывных групп операторов коммутирующих между собой и удовлетворяющих условию неквазианалитичности (в терминологии авторов статьи [39] )
J - с*о
1 + t
Так введённый класс неквазианалитических операторов является основным классом невозмущённых операторов, которые рассматриваются в диссертации.
Положим У U=(ll1,Uz)e\l ^(U)- сС^)оСг(иг)7 0)(0)= oi(iL)oL(-U\ 1.(16) = tfai) '20О Введём представление
Tw X - Т> X 7>): Кг~Ы(Ы Ї), ьш,
и на банаховом пространстве Lttu X зададим структуру L^tll /~
модуля ( L \К ) - банахова алгебра суммируемых на К с весом со функций со свёрткой в качестве умножения) по формуле
(сходимость интеграла понимается в сильной операторной топологии). Задание этой модульной структуры позволяет ввести понятие спектра
Бёрлинга любого оператора Хє End $ . А именно, через SPX
обозначим дополнение в ft к множеству j J1 є К " J # ^оД^ '
. Понятие спектра Бёрлинга создаёт удобный
понятийный аппарат, в терминах которого легко формулировать основ
ные результаты диссертации. Так, используя это понятие, легко вы
делить треугольные возмущения неквазианалитического оператора А
операторы диагонального вида и т.д.. Однако более глубокое исполь
зование этого понятия связано с теоремами аппроксимации ( 1.2) -
аналогами известных теорем Бернштейна и Джексона, - на основе
которых получены условия разрешимости уравнения (i) . Сформули
руем некоторые из этих результатов ( 1.3) . Мы будем предпола
гать, что группа \л (т) ограничена, а группа > z^' имеет
полиномиальный рост степени 171 ^ cons
, їй - некоторое натуральное число. Достаточное условие разрешимости уравнения (I) заключается
в возможности сильно сходящегося на D(A) разложения
- II -
в= И в
J »
(2)
где Dj є LltcJ X , Jp О:с 6} , множества Oj удовлетворяют условию jf- = aist({0} G:^> 0 и, кроме того, имеет место нера-
венство
h
-(zm+O
Bjl *ZZ УГ'ІВУІ
(3)
Теоремы I.3.1-2 устанавливают признаки существования такого
определим вели->0
разложения. Введём представление
( Xе tfia J^iu К ) и для каждого Д Lna X
чину 12^ (X , т) = sixp Т T/s) X ds
Теорема І.З.І. Оператор Вє End $ допускает
разложение (2-3) , если В= A^Q , где QeDl^) и
при некотором V> -/ .
Для неограниченного оператора аналогичный
признак сформулирован в теореме 1.3.2. В лемме I.3.I проводится дальнейший анализ условий выполнения асимптотических соотношений, указанных в теоремах 1.3.1-2.
Перед изложением результатов последующих глав напомним
Определение. Операторы
с областями определения D(A) „ ЖВ) соответственно называются подобными, если существует ограниченный вместе с
обратным оператор , отображающий JXA) на
Ш) такой>ЧТо UAIT=B.
Вторая глава посвящена изучению возмущений треугольного типа
неквазианалитического оператора п . Пространство ЛІ+
таких возмущений состоит из операторов , в разложе-
нии которых (2) спектры Бёрлинга всех операторов О? лежат
в правой полуплоскости из
Д1 > } , где = 2J j = 0,±i,i2,„. . Кроме этого "алгебра-
R ического" ограничения на D в бесконечномерном пространстве
X требуется ещё одно условие типа условия (з) :
где f(y) = 5«р X/ -в условии I) - это модульная константа (см. определение I.I.l) .
В 2.2-3 рассматриваются иллюстрирующие эту теорему примеры. Мы ограничимся указанием одного такого примера для случая, когда X - банахово пространство ьр (-f - ІЗ - ронних последовательностей С - | Crt} со стандартным базисом; - диагональный оператор, определённый формулами: A lift/ =UnftJ V{ft}GlXA) , и возмущение D ограниченный оператор. Теорема 2.2 Л. Пусть ограниченный оператор LHCL гр удовлетворяет условиям: х) Кп= при Jm"^r<() ; 2) матрица {ътп (hm~}a) Ш (Лт~Л)} при некотором VM представляет матрицу ограниченного оператора /L^LYldip . Тогда операторы А + В и А подобны. В 2.2 рассматривается также специальное пространство -vt+\vr/ монотонности нормы ІГII ri означает, что V А = l^mn}^ ^7 матрица | І^гмпч представляет матрицу ограниченного оператора Л є vr ; 2) из условия l^rnnl ^ ^ l^mnl V т,П следует І є Ь- и II I II ^ II Л II ^ . Спецификой возмущений является несколько иной характер подчинённости оператору А (утверждать, что он слабее или сильнее условия 2) , в общем случае нельзя) . Так, если в теореме 2.2.1 алгебру LMU ьр всюду заменить алгеброй Lr у то можно взять V = 0 , но дополнительно потребовав, чтобы Z" Z,+ Z2 , где IIZJI^ и м\к-к-гл*о\. В 2.4 получены приложения этих результатов на случай одной специальной алгебры (jr к исследованию спектральных свойств оператора L , порождённого в пространстве L (-00.00) диф- zm-i п т (zm) у- ференциальным выражением t L J/J =\i) У- + Z_ PSW Ч ' у-1 Лид; Рс W - 2 л -периодические функции с рядом Фурье Z_, Ри с ^ Теорема 2.4.1. Спектр оператора L чисто непрерывный, заполняет полуось [0, ) , а на непрерывном спектре могут быть спектральные особенности первого порядка в точках Лл = (м/2) , П= І, г, 3,... . При дополнительных ограничениях на коэффициенты р (X) ти-па гладкости это утверждение было доказано М.Г. Гасымовым [19] . Возмущение компактных диагональных операторов А«Ы L операторами с нижнетреугольным матричным представлением изучал О.И. Сойбельман [53] . Введённый им класс возмущений был близок к пространству с алгеброй Vj- одного специаль- ного вида. В третьей главе диссертации изучаются возмущения дискретного спектрального оператора скалярного типа. Относи- тельно возмущения D є Л 1 X ) основным требованием является включение D(A)cD(B) и подчинённость его дробной степе до ограниченного оператора В*ЕаП. Множество всех таких возмущений с фиксированным в= V.,/^ выделяется в пространство АІ « слабых возмущений оператора А с нормой 1-І, : IBI,- IIB II V В* 9/,. Показатель V определяется асимптотикой чисел /%= 5(хр Ш , dn= disi (<зп ,а\вл) , где б (п = 1,2,3,...) - ограниченные непересекающиеся множества, объединение которых даёт О (А) (=6). Пусть L - разложение единицы оператора А . Теорема 3.2.1. Предположим, что спектр б (А) удовлетворяет условию а) йт /я <С, -С<~- Выберем последовательность {^5)5=0 (Л=^' так' чт0^ы ПРИ при некотором є (0,1-V) выполнялись неравенства /С - /*,.,у til - J"»,., ^»3 Tf < К -JV, 5^2 Положим Ls=t(.U 0п . Тогда можно указать такие константы 0< ^(Д ) < \ f 0 < 6 (A)<^ » что если б) Вей, и clBlj, <Н(А) ; в) при р 0 3 Х0єр(А) такое, что 18 Rtf„, А) II < г(А) D(A) рядом S=fCH У-!! EJL-Q.YQ. , где К - некоторое натуральное число, U^. = __, L-. Теорема 3.2.1 показывает, что при определённых условиях возмущенный оператор можно привести к блочно-диаго- нальному виду в базисе, составленном из собственных векторов оператора А . Другой основной результат главы - теорема 3.2.2- устанавливает подобие А + и оператору, который в случае одноточечных множеств б^ (для всех ft , начиная с некоторого Ц ) имеет диагональный вид. Первые результаты о приведение возмущенного оператора к диагональному виду были получены Р. Тернером [70] для случая, когда А - самосопряженный компактный оператор в гильбертовом пространстве, dim L(6n) І = і КИ>й0 и A Q h (^W2=V)-достаточно малый оператор Гильберта - Шмидта. Затем эти результаты применялись Р. Тернером для изучения неграниченных возмущений дифференциальных операторов в гильбертовом пространстве. А.Г. Баскаков [б] , используя методы абстрактного гармонического анализа, рассмотрел и случай неограниченного невозмущенного неквазианалитического оператора А с дискретным спектром б:(А) = |ЛҐІ/ , не требуя каких-либо дополнительных ограничений на кратность собственных чисел 1 п . Теорема 3.2.1 обобщает результаты А.Г. Баскакова в следую Полученные в главе результаты позволяют существенно усилить теорему Шварца - Краммера [25, гл. XIX, 2] о спектральности возмущенного спектрального оператора А и теорему Шварца [25, гл. А IX, 5] о полноте его корневых векторов. Отметим, что наши результаты близки к теоремам В.Э. Кацнель-сона [29] , А.С. Маркуса и В.И. Мацаева [44] ? в которых утверждалась сходимость (со скобками) спектральных разложений возмущенного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве при условии, что спектр 6 ( А ) имеет некоторое "регулярное" распределение ( это распределение - частный случай условия а) теоремы 3.2л). В [44] свойства этого распределения позволили освободиться от условия малости возмущения, которое мы используем в виде условия б) теоремы 3.2.1. Справедлив ли аналогичный факт в нашей задаче - остаётся невыясненным. Четвёртая глава диссертации посвящена изучению возмущений дифференциальных и разностных операторов, действующих в некоторых функциональных пространствах, операторами вольтеррова типа [62] . В первых двух параграфах исследуется вопрос о приводимости уравнения со г + Us 0,5)] X(i-S) =0 (5) с квазипериодической по I функцией lp(t,S) к автономному уравнению Uy(5)] ytf-5) = 0 . (6) Эта.приводимость аналогична приводимости по Ляпунову, но осуществляется не над всем пространством решений (оно в общем случае бесконечномерно) , а над подпространством тех из них, которые имеет конечный экспоненциальный рост (^ % ) на - . Условия на функцию 1|У по аргументу стандартны: требуется, чтобы l|J(f,5) имела вид Ц)(1, 5)= If^tyt,^,...,^! ; 5) , где ф(^, fa,...,fa;S) - 25Г - периодическая по каждому аргументу t?s(S=ittl) функция, допускающая аналитическое продолжение в область (2>0) , и базис частот u)s(u>f,<0j,..., ІЩ = supw е |ds^(z,s)| 'г ^ ZeO, Из доказанной в 4.2 теоремы 4.2.1 вытекает , что, выбирая проз вольные 0<ї< Z , 0 < jf < |f и требуя достаточную малость нормы ІЧ^Цр » уравнение (5) с помощью обратимой замены оо J Ц(Ъ = \[ds U({S)] X(i-S) ?где IIU I = < «>, p=(z, j) f можно привести к виду (б) , в котором ||у || р<0 Следствием этого является базисность решений Флоке уравнения (5) в указанном выше подпространстве, а в случае конечного запаздывания б(и Wi,S) = 0 V5>6) и в предположении II У 1 (о jf) < ^ " следующее асимптотическое представление решений Х(}) уравнения (5) на полуоси [0, ) с начальным условием ReJ\„.W -к + 0(е yt), (7) oo С -PS _ где \% - нули квазиполинома u(P) = р + е uij;(s) , щ -кратность нуля %к , ^ (і) - квазипериодические функции о (К) с базисом частот О) , Ls - произвольные постоянные. Вопрос о приводимости систем дифференциально-функциональных уравнений с квазипериодическими коэффициентами и конечным запаздыванием в другой постановке (и в других предположениях) рассматривался М.С. Бортеем и В.И. Фодчуком [12] . Формула асимптотического представления решений, полученная в этом случае, оказывается менее точной, чем (7) . В следующих параграфах главы изучаются возмущения разностных операторов. В 4.3 продолжены исследования Фримэна [67] о возмущении оператора . J правого сдвига, действующего в пространстве ір(0,)(1^р ^) односторонних последовательностей С={Сп\ _ операторами с нижнетреугольным матричным представлением. Наше обобщение состоит, главным образом, в нормализации возмущенного оператора на "всей оси", в пространстве ір двусторонних последовательностей >=(Wi/n= (прямое перенесение результата Фримэна на этот случай с дополнительным условием малости возмущения осуществил О.И. Сойбельман [54]). Здесь имеет место почти приводимость и уже не к самому оператору J ( или \) см. (8) ) , а к оператору более сложной структуры. В качестве невозмущенного мы рассматриваем оператор ]kS*Ea;s":^ где (Ь { Сп\ )^= Cm_i v{Cn\^bp , коэффициенты ак удов ї+ Г* Т п p1s^ Р Kf-bSK. Dt^. f I + Z__- —* 1 с c її Ь не обращается в /С= Я/ 5= О нуль и спектр функции 1/f расположен в квадранте [0,)* [0,«*»)ш Пространство возмущений Цг (t^i) оператора 1/ в алгебре $* = {8 = (^]}е ЕмсІ р - 1{.-0 \/i 1В1г= max ( sup 12 \ll}\ *'"J , sap II \1ц\г1~'}) <} . Обозначим через \a ' In—* tp (-^^CUfc^00) проектор на подпространство /p (а,і) = { {Crt} e Cp ' Cn = 0 vae (->a) U (k <~)} Теорема 4.3.3. Пусть для некоторого 0<И< #к "0 . Тогда для любого наперёд заданного 6>0 можно построить оператор И()^$гг , осуществляющий подобие Где V- L к SK* С', Xwff, IWIT. и lfofc/ЇН — о. На основе этой теоремы в 4.4 исследуется геометрическая {\\x)(i)'X(Uh) + J2 aKx(UKt) + aK(t)a:rt+/cfo, K = Z KM где Z < її < от , ft = СОЛ SI < 0 ; коэффициенты QK ъ удовлетворяют условию 2) ; GLe С (ft) Vic? 1 fl (t) не обращается в - "/ оо со и при некотором %>] /_, /_, max |fl tf+ji)|2 <о , Пусть П0 - автономная часть оператора п , 6^ (Н0) (вольтерров спектр оператора П0 ) - множество тех 1^ Ь , для которых оператор Н0"Л I не имеет вольтер- рова обратного, бк(Н0) (кратный спектр оператора Н0 ) множество точек самопересечения кривой G ( Н ) Теорема 4.4.1. Спектр оператора П состоит из спектра о(Н0) и, возможно, непрерывных кривых, расположенных в бДН0) Число кривых, лежащих внутри бДН0/ и проходящих (целиком или частично) вне произвольно малой окрестности кратного спектра оДНо) , конечно. Спектральные свойства оператора П (более общего вида) , связанные с вольтерровой обратимостью, исследовал И.С. Фролов [64], Из его результатов следует, в частности, что 6g Настоящая диссертация написана под руководством проф. А.И. Перова и доц. А.Г. Баскакова, которым автор выражает глубокую благодарность . Все перечисленные методы объединяет общий формальный аппарат, с помощью которого проводится нормализация возмущённого оператора. Но каждый из них приспособлен к изучению конкретного класса операторов и прямой возможности распространения его на другие классы операторов не даёт. Привлечение методов спектральной теории банаховых модулей ( методов абстрактного гармонического анализа) к изучению свойств оператора коммутирования л позволило в значительной мере решить этот вопрос и таким образом существенно продвинуться в развитии метода подобных операторов. Открылась возможность для пересмотра ряда результатов аналитической теории возмущений (см.[б-9]). В свете такого подхода актуальной задачей стало распространение метода подобных операторов на новые классы операторов, уточнение прежних границ его применения, выявление новых приложений. Настоящая диссертация посвящена дальнейшему развитию метода подобных операторов. Основными методами исследования являются методы спектральной теории банаховых модулей ( методы абстрактного гармонического анализа) и спектральной теории операторов. Материал диссертации изложен в четырёх главах. Каждая из них, за исключением первой, имеет следующую структуру. В начале для невозмущённого оператора А осуществляется аксиоматическое построение пространства возмущений М/ ; его свойства опре деляют метод доказательства абстрактной теоремы о подобии . Затем эта теорема применяется к исследованию конкретных классов операторов. Установленный нормальный вид возмущённого оператора используется в приложениях для изучения его спектральных свойств: геометрической структуры спектра, полноты системы собственных и присоединённых векторов, спектральности, структуры ядра. Глава заканчивается примечаниями, в которых даётся обзор ранее известных результатов, сравниваются различные методы исследования, указывается ряд возможных приложений. Отметим, что смысл общепринятых обозначений, не указанный в тексте, приводится отдельно в специальном списке используемых обозначений. Перейдём к подробному изложению основных результатов диссертации. В главе I, имеющей вспомогательный характер, сформулированы используемые в дальнейшем понятия и результаты из спектральной теории банаховых модулей и теории неквазианалитических операторов. Особо важным ( для изложения результатов последующих глав) служит вопрос о разрешимости операторного уравнения рассматриваемого в пространстве возмущений Ц, , относитель но оператора А є tfiu X Равенство (і) понимается на век торах . Здесь п - неквазианалитический опе ратор, т.е. оператор, представимый в виде - производящие операторы сильно непрерывных групп операторов коммутирующих между собой и удовлетворяющих условию неквазианалитичности (в терминологии авторов статьи [39] ) Так введённый класс неквазианалитических операторов является основным классом невозмущённых операторов, которые рассматриваются в диссертации. и на банаховом пространстве Lttu X зададим структуру L tll / модуля ( L \К ) - банахова алгебра суммируемых на К с весом со функций со свёрткой в качестве умножения) по формуле (сходимость интеграла понимается в сильной операторной топологии). Задание этой модульной структуры позволяет ввести понятие спектра Бёрлинга любого оператора Хє End $ . А именно, через SPX обозначим дополнение в ft к множеству j J1 є К " J # оД . Понятие спектра Бёрлинга создаёт удобный понятийный аппарат, в терминах которого легко формулировать основ ные результаты диссертации. Так, используя это понятие, легко вы делить треугольные возмущения неквазианалитического оператора А операторы диагонального вида и т.д.. Однако более глубокое исполь зование этого понятия связано с теоремами аппроксимации ( 1.2) аналогами известных теорем Бернштейна и Джексона, - на основе которых получены условия разрешимости уравнения (i) . Сформули руем некоторые из этих результатов ( 1.3) . Мы будем предпола гать, что группа \л (т) ограничена, а группа z имеет полиномиальный рост степени. В замечании 2.2.1 мы приводим условие, более общее, чем (2.5.1) . Насколько оно точнее - видно из рассмотренного в 2.4 примера треугольных возмущений диагонального оператора А0 + действующего в i2(0,o) : условие (2.5.1) для таких возмущений не выполняется. Приводимость почти периодических систем с однотипным спектром к автономным системам в условиях изолированного резонанса изучал В.И. Варламов [17] . Последнее условие заключалось в том, чтобы множество І\б(А0) б( A0)J было отделено от множества S(B(b) - полумодуля показателей Фурье функции всевозможных линейных комбинаций ft; 1\ + ГЬ J; + —+ It: А; Прямая и обратная задача спектрального анализа оператора L рассмотренного в 2.4, была решена М.Г. Гасымовым [19] , но с дополнительными ограничениями на коэффициенты р. (X) типа гладкости. Кроме того, оператор L "" А \ А \ di/ / имел более сильную подчиненность оператору А : 2 ЇЇІ - і - я производная в дифференциальной операции ІІЧ] отсутствовала. Операторы в частных производных с периодическими коэффициентами того же типа, что и в 2.4, изучали В.Б. Лидский [37] , В.А. Садовничий и В.В. Дубровский [52] , П.А. Кучмент [35] . Здесь также оказывается возможным применение метода подобных операторов. Один такой пример - возмущение оператора Лапласа Д (= А) в гильбертовом пространстве оператором умножения на (й. , az) - периодическую функцию - рассмотрен в работе [56] . В отличие от [52] мы установили равенство б(А + Ь) = б(А) (но не включение без каких-либо предположений об арифметичес-ких свойствах отношения йА /dz и с более точной оценкой на норму возмущения I D II Операторы с возмущениями треугольного типа служат удобной моделью для выявления каких-либо свойств возмущенного спектра (см. [37] , [35] ) . Однако имеются примеры из физики твёрдого тела, где они возникают по существу. Так, системы, рассмотренные в 2.3, возникают при описании гироскопических явлений (в.Г. Ште-лик, 1958) . Интересный пример, приводящий к таким системам, был указан еще A.M. Ляпуновым в знаменитой работе "Общая задача об устойчивости движения" (гл. 3, п. 53) . Мы приведём этот пример в расширенном варианте для случая нелинейных систем (в пространстве L ) : система с регулярной особой точкой где (Z,W) аналитична в области i(Z,W H С IZ! , IIWIHf J и i(Z,0)-0 , заменой Z=6l приводится к системе в которой f(t,W") - Ъ% - периодическая по тє Г1 функция с положительным спектром. Систему (2.5.3) при определённых условиях [17] можно линеаризовать на шаре IIWII 5 (т.е. привести к линейной автономной системе) или же добиться, чтобы в эквивалентной на этом шаре системе [7] разложение правой части по степеням W начиналось с членов более высокого порядка. Такой приём может быть полезен при изучении структуры и асимптотических свойств решений системы (2.5.2) . В этой главе речь пойдёт о возмущениях дискретного спектрального [25] оператора л , действующего в банаховом пространстве X , операторами ваш , подчиненными некоторой дробной степени л (0 V 1) оператора А Последнее означает, что оператор Р В Ал 7 где V., V2 0 и V,+ V2= V допускает расширение до ограниченного оператора Возмущения подобного типа выделяются в класс слабых возмущений оператора л Основной вывод, к которому мы приходим, состоит в том, что если возмущение и достаточно мало по отношению к некоторой спектральной характеристике оператора л , то возмущенный оператор л + D преобразованием подобия приводится к блочно -диагональному виду в базисе, составленном из корневых векторов оператора /\ (теорема 3.2.1) . другой важный случай приведения возмущённого оператора /\ + и к диагональному виду (когда размерности всех блоков, начиная со второго, равны 1 ), рассмотрен в теореме 3.2.2. Такая" нормализация возмущённого оператора оказывается весьма эффективной при нахождении условий его спектральности и сходимости разложений по корневым векторам. Исходным пунктом для исследований этой главы стали задачи возмущения спектральных операторов, рассмотренные в монографии[25] и касавшиеся получения достаточных условий спектральности и полноты системы корневых векторов возмущенного спектрального оператора А Использования метода подобных операторов в этих задачах оказалось весьма эффективным и позволило основные результаты главы XIX [25] существенно дополнить и уточнить. Так, в следствии 3.2.1 мы установили не только полноту, (теорема XIX 5.6[25]), но и безусловную базисность со скобками системы корневых векторов возмущенного спектрального оператора Д , В следствии 3.2.2 спектральность А + D мы получили В применении к возмущенным дифференциальным операторам г\ \dt) это означает, что мы увеличили порядок возмущения D с ttl 2 до 171 - і , потребовав "малость" возмущения с порядком Ш -Н . Наконец, подчиненность возмущения D оператору А в нашем случае имела двусторонний характер , а в теоремах главы XIX ы она была только односторонней ( v., = 0 ) . В наших теоремах .предполагалось, что невозмущенный оператор А имеет скалярный тип. В силу рассуждений, приведенных на стр. 386 монографии [25.] , это не ограничивает возможности предполагать, что у А имеется конечное число кратных собственных значений с присоединенными собственными функциями. Отметим, что условие на асимптотическое распределение спектр и является несколько более общим по повнению с условием а) теоремы 3.2.1. Для ограниченных возмущений (при v = 0) аналогичные выводы о спектральных свойствах возмущенного оператора А + D тем же методом подобия сделал А.Г. Баскаков [9] . Из-за рассмотрения им более общего класса неквазианалитических операторов Д его условия не всегда эквивалентны нашим. В случае неограниченного возмущения А.Г. Баскаков требовал ограничен; функция f (г) определяется таким образом: где {бц}, - множества из теоремы 3.2.1, не обязательно ограниченные, B(t) = {ZeC:IZI t}. При этих условиях А.Г. Баскаков получил безусловную базис-ность со скобками системы корневых векторов возмущенного оператора А+ О , а если ба - одноточечные множества, - его спектральность. Рассмотрим случай, когда ба - концентрические кольца с центром в нуле, причем последовательность j a =aist (бЛ,6\С а) монотонно возрастает. Из условия (3.3.1) следует существование У Л подпоследовательности {ft;}. . такой, ЧТО Z-. ГП; П: і Условия сходимости разложений по корневым векторам возмущенного самосопряженного оператора А в гильбертовом пространстве изучались в работах многих авторов. Здесь требование на асимптотику спектра формулируется, обычно, в терминах функции распределения \( , А) , а подчинённость возмущения и оператору М носит более общий, чем в теореме 3.2.1 характер. Большой интерес представляет работа А.С. Маркуса и В.И. Маца-ева [44] , в которой условие на функцию распределения дано в в окончательном виде: йїїі t гі(ї, А) . Согласно заме чанию 3.2.1 такое распределение спектра (5(A) можем исполь зовать и мы, но в случае О необходимо ещё потребовать и малость возмущения (условие б) теоремы 3.2.1) . Представляется,однако, что в данном случае это условие не являет ся необходимым и от него можно освободиться. Методы настоящей главы можно с несложной модификацией применить для изучения вопроса о базисности решений Флоке в пространстве всех решений периодической системы заданной в банаховом пространстве X , где А - дискретный спектральный оператор, а оператор ОСО подчинён V - й степени оператора А равномерно по І Є it . Для этого исходную систему нужно расщепить на конечномерные подсистемы так, как это делалось в теореме 3.2.1 (но числа dn теперь следует вычислять иначе: как расстояние между проекциями на действительную ось множеств бп и (А)\ б"л, ). Метод приводимости, рассмотренный в 4.2, представляет модификацию метода приводимости систем обыкновенных дифференциальных уравнений с квазипериодическими коэффициентами [II] . Развитие этого метода проходило особенно интенсивно после работы В.И. Арнольда [4] и связано с работами Н.Н. Боголюбова, Ю.А. Митрополь-ского, A.M. Самойленко, О.Б. Лыковой, В.Х. Харасахала и др. Многие вопросы приводимости ещё ждут своего решения и продолжают оставаться в центре внимания математиков (см. [7] ,[2б],[б9]). Вместе с тем сейчас стоит и другая важная задача-распространить метод приводимости на новые классы уравнений, включая класс дифференциально-функциональных уравнений. Эта задача достаточно сложная и её решению посвящено пока мало работ (см. [12] , [іб]). Отдельные частные случаи её решения содержатся в 4.2 настоящей главы и в работах [55], [бо] . В 4.2 в качестве невозмущенного можно было бы взять уравнение достаточно сильное. Другое обобщение состоит в замене скалярного уравнения системой дифференциально-функциональных уравнений (см. по этому поводу [60]). Приведём здесь ещё один результат[55] для разностных операто пусть в ь\П ) задан разностный оператор где (1 ЦК) - 1% -периодические функции, допускающие ана-литическое продолжение в область Ll„ , г 0, и Z_ SUp fl (Z) число z 5i медленно приближается рациональными дробями: Тогда при достаточно малых оператор П подобен оператору с постоянными коэффициентами 0 (6). Остановимся на работе [12]. В основе предложенного в ней подхода лежит идея интерпритации дифференциально-функционального уравнения (или системы) как обыкновенного дифференциального уравнения в бесконечномерном "фазовом" пространстве конечное запаздывание . Это пространство раскладывается в прямую сумму двух инвариантных для невозмущенной системы подпространств С, и и (первое из них конечномерно). Из возмущенной системы выделяется конечномерная система в С и обычным способом приводится к автономному виду. Затем её решениями аппроксимируются решения исходной возмущенной системы. Однако более естественным представляется в начале "расщепить" L([-G,,0], К ) на два инвариантных для возмущенной системы подпро-странства L., и L , а уже затем привести возмущенную систему на L., к каноническому виду. Так удастся получить асимптотическую формулу решения задачи Копій с порядком приближения U(e ) (см. следствие 4.2.2) . В [12] этот порядок имеет абсолютный характер и не зависит от величины возмущения. Отметим, что для дифференциально-функциональных уравнений с периодическими коэффициентами и конечным запаздыванием асимптотическое представление Флоке решений, справедливое при любом е К, хорошо известно [48]. Однако здесь стоит другая проблема: выяснить, когда представление Флоке решений является не только асимптотическим, но и точным. Для некоторых частных случаев эта проблема решена в работах [22] , [41] .(заметим, что в [22] можно также использовать метод приводимости без каких-либо ограничений на малость возмущения ) . В связи с этим естественно возникает вопрос об аналогах теоремы Флоке-Ляпунова для класса дифференциально-функциональных уравнений. Теперь о вольтерровых возмущениях разностных операторов. Исследование спектральных свойств и обратимость разностных операторов со стабилизирующимися на і коэффициентами и сдвигами одного знака изучали В.И. Бреннер [15] , И.С. Фролов [64], Э.И. Гольденгершель [21] (последний - в дискретном случае) . В первых двух работах спектральный радиус и вольтерров спектр такого оператора были вычислены через аналогичные характеристики для предельных на ± операторов. Обратимость дискретного разностного оператора, по характеру близкого к рассмотренному в лемме 4.4.3, исследовал А.Б. Антоне-вич [2] . Метод его исследования (тоже связанный с некоторой формой нормализации) прямого вывода о спектральных свойствах, указанных в лемме 4.4.3, не даёт. По-видимому, наш метод наиболее близок к методу расщепления, использованному Ф.С. Рофе-Бекетовым [50] в задаче о возмущении спектра одномерного оператора Шрёдин-гера с периодическим потенциалом.
треугольных возмущений с монотонной нормой 1*1н диагонально
го оператора . Определение этого пространства свя
зано с некоторой подалгеброй р , которая является
банаховой алгеброй со своей (монотонной) нормой || || с ; свойство
rn (2wi) у- (я
ни А , О ^V < і , оператора А . Последнее означает,
что при некотором Л0еР(А] оператор (А ~ Л 01/ D vA~^0lJ
( где V^, Уг > 0 фиксированы и V,, + Vfc = V ) допускает расширение
и т—. v
то оператор А+В подобен оператору A+Y , где
оператор У є Uй представляется сильно сходящимся на
щих направлениях: і) снято ограничение & = 0 ,2) для неко
торых случаев увеличено значение показателя )) (т.е. ослаб
лена подчинённость возмущения D оператору /\ ) .
летворяют условиям: i) /_^ fC|flKl< ,2) функция f(^,^)=
множество операторов и "{о;;/ , ^; = 0 V MJ » ограничен
но норме . Оператор преобразования строится
структура спектра разностного оператора видаРешение операторного уравнения АХ-ХА-В
Спектральный анализ одного класса дифференциальных операторов
Диагонализация и блочная диагонализация возмущенного спектрального оператора
Приведение интегро-дифференциального оператора с квазипериодическими коэффициентами к автономному виду
Похожие диссертации на Метод нормализующих преобразований в теории возмущений линейных операторов
