Содержание к диссертации
Введение
Глава 1. Резольвенты простейших операторов и их свойства 13
1. Обращение конечномерного возмущения простейшего интегрального оператора А0 15
2. Построение резольвенты простейшего дифференциально-разностного оператора L0 24
3. Свойства резольвенты оператора L0 33
4. Резольвента дифференциально-разностного оператора L и ее свойства 47
5. Резольвента Фредгольма оператора А0 и ее свойства 60
Глава 2. Теоремы равносходимости 76
1. Теоремы равносходимости для оператора А0 76
2. Теорема равносходимости для оператора А 90
Глава 3. Суммируемость по Риссу спектральных разложений операторов А0 и А 108
Список литературы 119
- Построение резольвенты простейшего дифференциально-разностного оператора L0
- Резольвента дифференциально-разностного оператора L и ее свойства
- Резольвента Фредгольма оператора А0 и ее свойства
- Теоремы равносходимости для оператора А0
Введение к работе
Спектральный анализ несамосопряженных дифференциальных, интегральных и интегро-дифференциальных операторов играет фундаментальную роль в различных разделах математики и имеет много приложений. Так, например, данная теория традиционно применяется в граничных задачах математической физики, квантовой механике, в обратной задаче спектрального анализа и т.п. Исследования в этой области предполагают изучение вопросов обращения указанных операторов, асимптотического представления резольвенты при больших значениях спектрального параметра, расположения спектра, суммируемости разложений по собственным и присоединенным функциям (с.п.ф.), равносходимости разложений по с.п.ф. и по известным системам функций, базисности, полноты системы из с.п.ф. и т.п.
Настоящая работа посвящена получению теорем равносходимости разложений по с.п.ф. конечномерных возмущений интегральных операторов, некоторая производная ядра которых имеет разрыв на диагоналях, и разложений в обычный тригонометрический ряд Фурье, а также вопросу суммируемости обобщенных средних Рисса этого класса операторов.
Исследование равносходимости спектральных разложений представляет собой интенсивно развивающееся направление, начало которого было положено в работах В.А. Стеклова [1], Е. Гобсона [2], А. Хаа-ра [3] для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля и Я.Д. Тамаркина [4], М. Стоуна [5] для дифференциального оператора произвольного порядка Ы = у{п) + $>МЛ Рк(х) є с[о, і], (o.i) с произвольными краевыми условиями
Щу) = Т,[^У{к)(0)+ W*}(1)]=0, j = l,... ,п, (0.2) удовлетворяющими условию регулярности Биркгофа ([6], с. 66-67). Эти условия заключаются в отличие от нуля некоторых определителей, составленных из коэффициентов при старших производных в Uj(y) (после приведения их к нормированному виду ([6], с. 65-66)). Вообще говоря, условия регулярности снять нельзя.
Приведем один из результатов Я.Д. Тамаркина1.
Теорема. Для оператора (0.1) с регулярными краевыми условиями (0.2) существует такая последовательность номеров {к{]} что для всякой f(x) Є [0,1] и любого 8 Є (0,1/2)
Нт||ЗД)-Ы/)1Ьд-*] = 0, (0-3) г-+оо где Sk(f) и ak(f) ~ частичные суммы рядов Фурье функции f(x) по с.п.ф. и обычной тригонометрической системе (к - число членов).
Развитию спектральной теории операторов послужили многочисленные работы В.А. Ильина (основополагающие статьи [7]-[9]). Он разработал новый метод получения теорем равносходимости, когда дифференциальный оператор не привязывается к граничным условиям, а лишь используется дополнительная информация о поведении собственных значений и собственных функций.
Теорема равносходимости для интегрального оператора впервые была получена А.П. Хромовым [10]. Рассматривая оператор і Af = / A(x,t)f(t) dt, он ввел следующие требования на ядро A(x,t): !В [5] М. Стоуном получен схожий результат при Рк(х) L[0,1]. а) производные Ах.»(х, t) = aatjMx> 0 (5'І = > »ra) непрерыв ны при Кжиі>і2; б) Vsj(t) = ДЛ..у(я,*)І*=* = Ax4J(x,t)\x=t+0 - Ax.tj{x,t)\x=t-0 Є ЄС—^[0,1] (і = 0,... ,n-l; S = 0,...,п); в) А-1 существует; г) AAxs(x,t)\t=x =^(^)1^-0-4^,01^+0 = <Уя>п_і (в = 0,... ,n, uj - символ Кронекера).
В работе [10] было показано, что условие в) необходимо для равносходимости, условия а) и б) точны, а условие г) говорит о каноническом виде интегрального оператора, для которого имеет место рассматри ваемая равносходимость.
В связи с отсутствием конструктивного перехода к каноническому виду встал вопрос о поиске других классов интегральных операторов, для которых имеет место указанная равносходимость. И такие классы были найдены. Начиная с 1998 года (см. [11]), стали исследоваться интегральные операторы, ядра которых или некоторые их производные имеют скачки не только на линии t = х, но и на линии t = 1 — х. В общем виде такие операторы записываются следующим образом: Af(x) = fA1(x,t)f(t)dt + a2 j A2(x,t)f(t)dt + (0-4) + «з f A3(l-x,t)f(t)dt+ f A4(l-x,t)f(t)dt.
0 1-х
Одним из основных требований (см. [10]) теоремы равносходимости является регулярность краевых условий. Но чаще всего коэффициенты краевых условий в явном виде получить не удается и поэтому проверить 23десь и в дальнейшем в аналогичных ситуациях под непрерывностью f(x,t) при t < х понимаем следующее: f(x,t) непрерывна при t < х в обычном смысле, f(x,x — 0) существует, и если доопределить f(x,t) на линии t — х как f(x,x — 0), то f(x,t) становится непрерывной в обычном смысле в замкнутом треугольнике 0 < t < х < 1. Аналогично понимаем непрерывность f(x,t) при t > х. их регулярность затруднительно. Например, Е.Н.Назаровой [12] была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда скачок имеет само ядро, но при этом регулярность краевых условий лишь предполагается. Поэтому вызывает интерес рассмотрение частных случаев оператора (0.4), когда возможна проверка регулярности краевых условий. Так в [13] А.П. Хромовым совместно с В.В. Корневым была получена теорема равносходимости для оператора (0.4) в случае, когда A\(x,t) = Аз(х,Ь), а два других слагаемых отсутствовали: Af(x) = J А(\ - х, t)f(t) dt + a I А(х, t)f(t) dt. (0.5)
Отметим, что полученное ими основное соотношение теоремы равносходимости отличается от обычного, а именно, впервые сравнение разложений в ряд по с.п.ф. идет не с одним, а с двумя тригонометрическими рядами.
В диссертационной работе рассматривается оператор вида: Af(x)=al A(x,t)f{t)dt + a2 / A(l - x,t)f{t)dt + о о (0.6) + (/,1/*ЫаО, * Є [0,1], і где (/,t/fc) = ff(t)vk(t)dt, vk(t) Є Cn[0,l], gk{x) C"*[0,1], системы функций {g[n'(x)} и Щ ()}]" линейно независимы, /3 = а\ - а\ ф 0, ядро А(х, t) непрерывно дифференцируемо п раз по х и один раз по t и выполняется условие г).
Оператор (0.6) является одним из частных случаев оператора (0.4). Этот оператор замечателен тем, что в данном случае условия регулярности выписываются в явном виде, хотя и имеют более сложный вид, чем в случае оператора (0.5). Отметим также, что рассматривать че-
1 1 x 1 1 1-а; тыре слагаемых нет необходимости, так как f = f — J" и f = f — J , ж 0 0 1-х О О а / можно добавить к (/> V*)0*M- о &=1
Теоремы равносходимости для оператора (0.6) при A(x,t) = 1 и »1 = 1, »2 = 0 были получены А.П. Хромовым в [14]. Но для обобщения этого результата нами был использован другой метод, развитый в [13].
Что касается вопроса суммируемости, то для интегрального оператора і Af(x) = jA(x,t)f(t)dt, я? Є [0,1], о в случае, когда A(x,t) - функция Грина дифференциального оператора тг-го порядка с регулярными по Биркгофу краевыми условиями, М. Стоун [5] исследовал средние по Риссу спектральных разложений, представимых в виде -i/^-S'^/>о' (о-7) |А|=г и показал, что на каждом [а, Ь] С (0,1) имеет место равносуммируе-мость их с такими же средними обычных тригонометрических разложений в ряды Фурье. Далее, А.П. Хромовым в [15] было установлено, что данный результат имеет место при достаточно больших /ив том случае, когда условия регулярности не выполняются, но ядро G(x, t, А) резольвенты при больших |А| имеет рост, не выше некоторой степени |А|. В работах [16], [17] В.В. Тихомировым данный результат был перенесен на случай дифференциальных операторов, для которых основные требования не связаны с краевыми условиями, а формулируются в терминах ограничений на спектр и систему с.п.ф. такого же вида, что и в известных исследованиях В.А. Ильина по равносходимости спектральных разложений. В [18] А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым были найдены необходимые и достаточные условия на f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] средних вида ~ J g(\,r)Rxfd\, (0.8) |А|=г где функция д(\, г) удовлетворяет следующим условиям: а) д(А, г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0; б) существует такая константа С > 0, что | 0 и |А| < г; в) существуют положительные /З, (3\ и h такие, что
0(1^), если \(р\
0(|у —7г|^), если \(р — 7г| < h,п = 4щ + 2,
0(|<р - ||^), если |^ — 11 < /г, п — нечетное,
0(\ір + 11^1), если |у? + 11 < ^, n — нечетное (оценки равномерны по г); г) при фиксированном A lim g(\,r) = 1.
Г->00
Отметим, что (0.8) обобщают средние по Риссу (0.7).
Для оператора (0.6) в случае ядра А(х, t) = 1 результаты по суммируемости по Риссу были получены А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым в [19].
Целью данной диссертационной работы является получение теорем равносходимости и исследование вопроса суммируемости по Риссу для оператора (0.6).
В работе используется метод, основанный на методе контурного интегрирования резольвенты Фредгольма оператора А по расширяющимся контурам в комплексной плоскости спектрального параметра.
Диссертация содержит 123 страницы, состоит из введения, трех глав, разделенных на 7 параграфов, и списка литературы.
Вся первая глава посвящена изучению оператора X 1 — X лт =ai I feSr/(i) dt+а> I {1~ы-!)Гт dt+ о о (0.9) + 5^(/, «і)^(ж), * Є [0,1], fc=l
Оператор (0.9) является простейшим оператором вида (0.6) и замечателен тем, что именно в этом случае условия существования оператора Aq1 выписываются в явном виде.
В 1 решается задача обращения оператора (0.9). В лемме 1 найдены условия существования оператора Aq1, а в теореме 1 выписан его явный вид. Далее, считая, что линейные формы в краевых условиях, полученных при обращении оператора Aq, приведены к нормированному виду, вводятся операторы: U : Ly(x), U;-(y) = 5>j4yW(0) + bjky^(l)] = 0, j = 1,... ,n; ^ : Ly(x), Vj(y) = Vj(y) - (у,щ) = 0, j = 1,... ,n. где Ly - главная часть оператора Aq1.
В 2-3 при больших значениях спектрального параметра изучается поведение резольвенты і?о,а простейшего дифференциально-разностного оператора Lq.
Весь 2 посвящен построению резольвенты і?о,а- С этой целью вводится краевая задача в пространстве вектор-функций: z^{x)-XBQz{x) = B0F(x), ^(^) = ^^(0) + ^^(1)1 = 0, i = l,... ,n, ifc=0 где Bq - неособая постоянная матрица 2x2, составленная из аг-, РД, Qjk - матрицы из коэффициентов Uj(y), А - спектральный параметр, F(x) = (/(^),/(1 — ))т, т - знак транспонирования. После диагонали-зации матрицы Во и приведения краевой задачи к виду v{n)(x)-XVv{x) = BF(x), (0.10)
ВД = Yi.p*v{k) + ft*u(ft)(i)] = о, і = і, - - - ,п, (сії) где V — Y lBT - диагональная матрица, P^ = РЯ.Г, ( = QjiT, в теореме 2 получена формула для резольвенты R0\:
До,а/М = «i(x,A) + V2(^,A), где v(ж, А) = (^і(ж, A), v2(x,X))T - решение задачи (0.10)-(0.11), имеющее вид: ф, А) = -(V,(х, A),... ,K(z, А))Д^(А) JU,($(z,, A))P(i) dt + + g(x,t,X)BF(t)dt. о
Входящая в формулу квадратная матрица g(x,t,X) неоднозначна. Ее компоненты выбираются так, чтобы при больших значениях |А| ohl были ограничены.
В 3 резольвента Ро,л исследуется при больших значениях |А|. Для этого выполняется замена рп = X и строится область Ss0 путем удаления нулей некоторой функции вместе с круговыми окрестностями одного и того же радиуса Sq. В теореме 3 в области Sg0 при больших значениях \р\ получены следующие оценки:
11^^/1100 = 0(1^1^11/111, \\DsR0,xf\\oo = o(\p\l-n+siP(p))
Я-Дм/Иі = o(W1_n+s \\DsRo,xX\\oo = o(\pr+s), n I _ е-У где s = 0,... ,n - 1, V(p) = E ae(Re/>uj)» ae(y) = , у > 0, х(ж) - j=i У характеристическая функция отрезка [щ^щ] С (0,1).
В 4 рассматривается резольвента Д^д простейшего оператора L\. В лемме 21 устанавливается ее связь с резольвентой і?о,а- Для резольвенты Rit\ получаются оценки, аналогичные оценкам резольвенты і?о,а-В теореме 5 устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов Lq и L\. Кроме этого, в данном параграфе найдены условия регулярности по Биркгофу.
В 5 рассматривается резольвента Фредгольма Д2,а оператора Aq. В леммах 23-25 доказывается существование и единственность решения уравнения для #2,а> а также справедливость представления:
Д2.А/М = Ді,а/М - Ri,xN[B-lDn-lR,,xf{x) + 0(011/11!, где В = Е + Dn~1Rii\N't, Е - единичный оператор, D = —, Nj. -интегральный оператор. В теореме б доказывается равносходимость спектральных разложений операторов L\ и LQ. Затем последовательными приближениями в теореме 7 устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов Aq и Lq.
Основные результаты диссертации содержатся в главах 2 и 3.
Построение резольвенты простейшего дифференциально-разностного оператора L0
Аналогичные оценки получаются и для остальных интегралов в (2.107) при f{x) = х(х)- Таким образом, утверждение теоремы получено для f{x) = х(х)- А тогда в силу (2.110) и теоремы Банаха-Штейнгауза оно имеет место и для произвольной функции f(x) Є L[0,1]. Теорема доказана. D
Отсюда, учитывая теоремы 5 и И, приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана. Замечание 4. Так как &2,rf равняется разности частных сумм разложений по с.п.ф. операторов А и LQ для тех характеристических значений, которые попадают в круг А г, то теорема 12 дает равносходимость спектральных разложений для этих операторов. Далее, повторяя рассуждения праграфа 5 получаем, что для оператора (2.46) основная теорема выглядит следующим образом. Пусть п - четное и выполняются следующие условия: 1) А ф 0; 2) 0 ф 0; 3) А ф 0; 4) - 2( ,0) и N2(x,l) - непрерывные функции ограниченной вариации. Тогда справедливо заключение теоремы 9 с заменой оператора А0 на оператор А. Доказательство теорем аналогично доказательству теоремы 9. Аналогичным образом получаем Пусть п - нечетное и выполняются следующие условия: 1) А ф 0; 2) 0102 ф 0 3) А ф 0; 4) N2(x,Q) и 2(ж,1) - непрерывные фг/нкции ограниченной вариации. Тогда справедливо заключение теоремы 10 с заменой оператора AQ на оператор А. 1 В настоящей главе найдены необходимые и достаточные условия на f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида: где функция д(Х, г) удовлетворяет следующим условиям: а) д(Х, г) непрерывна по А в круге А г и аналитична по А в круге при любом г 0; б) существует такая константа С 0, что g(A,r) С при всех в) для каждого сектора 7j-i argP 7j (І = 1? 4)) области Ss0 существуют положительные числа hj, fy, такие, что при имеет место оценка где у = arg р, a = arg ип (оценки равномерны по г); г) при фиксированном A lim g(X,r) = 1. Для получения необходимых оценок используются некоторые результаты, полученные А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым в [18]. Для удобства изложения приведем их. Лемма 4 [18]. Справедливо включение Dk С Dk-i (к = 2,... , я + 1). Лемма 5 [18]. Множество DK+i представляет собой множество D0 всех непрерывных на [О,1] функций, удовлетворяющих условиям Vj{y) = 0, j = K + l,... ,п. Теорема 1 [18]. Справедливо соотношение R = D. Здесь D = {у(х) Є С"[0,1], Vj(y) = 0, j = ,... ,n}, D - замыкание Djt по норме пространства С[0,1], R - замыкание области значений оператора А. Для доказательства основной теоремы сначала получим недостающие оценки резольвенты І?2,А
Резольвента дифференциально-разностного оператора L и ее свойства
В 4 рассматривается резольвента Д д простейшего оператора L\. В лемме 21 устанавливается ее связь с резольвентой І?О,А- Для резольвенты Rit\ получаются оценки, аналогичные оценкам резольвенты І?О,А-В теореме 5 устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов LQ и L\. Кроме этого, в данном параграфе найдены условия регулярности по Биркгофу.
В 5 рассматривается резольвента Фредгольма Д2,А оператора AQ. В леммах 23-25 доказывается существование и единственность решения уравнения для #2,А а также справедливость представления: единичный оператор, D = —, Nj. -интегральный оператор. В теореме б доказывается равносходимость спектральных разложений операторов L\ и LQ. Затем последовательными приближениями в теореме 7 устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов AQ И LQ.
Глава 2 посвящена получению теорем равносходимости для операторов (0.9) и (О.б). Отметим, что в случае четного п так же, как и в [13], в основном соотношении сравнение спектральных разложений идет с двумя тригонометрическими рядами, а в случае нечетного п основное соотношение имеет обычный вид. Кроме того в четном и нечетном случае условия регулярности разные.
В главе 3 найдены необходимые и достаточные условия на /(я), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида: где функция д(\,г) как и ранее (см. с. 8) удовлетворяет условиям а), б), г), а условие в) имеет вид: в) для каждого сектора 7j-i arg/ jj (j = 1,... ,4) области SsQ существуют положительные числа hj, ft, такие, что при имеет место оценкаОсновные результаты диссертации опубликованы в [20]-[32] и докладывались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова); на 10-13 Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2000, 2002, 2004, 2006), на конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ (Саратов, 2000-2003, 2005, 2006).
Автор выражает искреннюю и глубокую признательность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и большое внимание к работе. функций { 7& (я)} и 1 (t)} линейно независимые, /5 = а\ — а\ ф 0. Для получения основных результатов равносходимости и равносум-мируемости спектральных разложений интегрируемой на отрезке [0,1] функции удобнее исследовать обратный оператор. В 1 получены условия существования оператора AQ1 И выписан его явный вид. Этот оператор представляет собой интегро-дифференциальный оператор, определенный на множестве всех абсолютно непрерывных функций, удовлетворяющих краевым условиям. Затем, предполагая, что полученные краевые условия приведены к нормированному виду, вводятся где Ly - главная часть оператора Л 1.
В 2 рассматривается резольвента ДО,А простейшего оператора LQ. С этой целью вводится краевая задача в пространстве вектор-функций первой компонентой решения которой является R0\. В этом же параграфе получены оценки для ДО,А в пространстве Ss0 при больших значениях А по нормам пространств L\ и Ь , а также получены оценки для #О,АХ5 гДе X характеристическая функция отрезка [щ, т/і] С (0,1).
В 4 рассматривается резольвента Я д простейшего оператора Lx и устанавливается ее связь с резольвентой R0i\. Для резольвенты Rit\ в области Ss0 получаются оценки, аналогичные оценкам резольвенты /?О,А- Затем устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов LQ И L\.
В 5 рассматривается резольвента Фредгольма #2,А оператора AQ. Доказывается существование и единственность решения уравнения для Д2,А5 и получены оценки для остаточного члена в формуле, связывающей ее с резольвентой Ri\. Затем последовательными приближениями устанавливается равносходимость спектральных разложений операторов А0 И LQ.
Резольвента Фредгольма оператора А0 и ее свойства
Аналогичные оценки получаются и для остальных интегралов в (2.107) при f{x) = х(х)- Таким образом, утверждение теоремы получено для f{x) = х(х)- А тогда в силу (2.110) и теоремы Банаха-Штейнгауза оно имеет место и для произвольной функции f(x) Є L[0,1]. Теорема доказана. D
Отсюда, учитывая теоремы 5 и И, приходим к утверждению теоремы. Теорема доказана. Замечание 4. Так как &2,rf равняется разности частных сумм разложений по с.п.ф. операторов А и LQ для тех характеристических значений, которые попадают в круг А г, то теорема 12 дает равносходимость спектральных разложений для этих операторов. Далее, повторяя рассуждения праграфа 5 получаем, что для оператора (2.46) основная теорема выглядит следующим образом. Пусть п - четное и выполняются следующие условия: 1) А ф 0; 2) 0 ф 0; 3) А ф 0; 4) - 2( ,0) и N2(x,l) - непрерывные функции ограниченной вариации. Тогда справедливо заключение теоремы 9 с заменой оператора А0 на оператор А. Доказательство теорем аналогично доказательству теоремы 9. Аналогичным образом получаем Теорема 14. (Теорема равносходимости.) Пусть п - нечетное и выполняются следующие условия: 1) А ф 0; 2) 0102 ф 0 3) А ф 0; 4) N2(x,Q) и 2(ж,1) - непрерывные фг/нкции ограниченной вариации. Тогда справедливо заключение теоремы 10 с заменой оператора AQ на оператор А. В настоящей главе найдены необходимые и достаточные условия на f(x), обеспечивающие равномерную сходимость к ней на всем отрезке [0,1] обобщенных средних Рисса вида: где функция д(Х, г) удовлетворяет следующим условиям: а) д(Х, г) непрерывна по А в круге А г и аналитична по А в круге А г при любом г 0; б) существует такая константа С 0, что g(A,r) С при всех в) для каждого сектора 7j-i argP 7j области Ss0 существуют положительные числа hj, fy, такие, что при имеет место оценка где у = arg р, a = arg ип (оценки равномерны по г); г) при фиксированном A lim g(X,r) = 1. Для получения необходимых оценок используются некоторые результаты, полученные А.П. Гуревичем и А.П. Хромовым в [18]. Для удобства изложения приведем их. Лемма 4 [18]. Справедливо включение Dk С Dk-i (к = 2,... , я + 1). Лемма 5 [18]. Множество DK+i представляет собой множество D0 всех непрерывных на [О,1] функций, удовлетворяющих условиям Vj{y) = 0, j = K + l,... ,п. Теорема 1 [18]. Справедливо соотношение R = D. Здесь D = {у(х) Є С"[0,1], Vj(y) = 0, j = ,... ,n}, D - замыкание Djt по норме пространства С[0,1], R - замыкание области значений оператора А. Для доказательства основной теоремы сначала получим недостающие оценки резольвенты І?2,А
Теоремы равносходимости для оператора А0
Аналогичным образом рассматриваются остальные интегралы из (3.12), и тем самым мы доказали справедливость оценок (3.10). Оценка (3.11) следует из (3.12) и (3.10). Лемма доказана. Обозначим через R o область значений оператора AQ, а через R -замыкание R 0 в С[0,1]. Учитывая вид оператора AQ1 ЯСНО, что R 0 состоит из всех функций, имеющих абсолютно непрерывные производные до (п — 1)-го порядка включительно и удовлетворяющих условиям:
Пусть к; удовлетворяет условию 0"« 1, a crK+i = 0. Введем в рассмотрение множества Dj. = {у(х) : у(х) 6 Cn[0,l], Vj(y) = 0, j = к,... ,п}. Тогда DK+i состоит из функций, принадлежащих Сп[0,1] и удовлетворяющих тем условиям из (3.13), которые не содержат производных (очевидно, что таких условий не более двух). Обозначим через Dfc замыкание D& по норме С[0,1].
Аналогично теореме 2 из [18] получаем формулу для остаточного члена. Теорема 15. Пусть f{x) Є С[0,1], a f0(x) Є Cn[0,1] и удовлетворяет условиям (3.13). Тогда если на окружности Л = г нет характеристических чисел оператора AQ, то где fi - произвольное комплексное число (// г), не являющееся характеристическим значением оператора А, и /0 = #2,/ 0 Рассмотрим второй интеграл из правой части (3.19). В силу второй оценки леммы 33 имеем Таким образом, из (3.19) с учетом (3.20), (3.21) и того, что \д(ц,г)\ С, получаем: где С не зависит от г и є. Отсюда, учитывая, что д(ц,г) — 1 при г - со, получаем требуемое. Теорема доказана. Обобщим полученный результат на случай оператора А. Для этого рассмотрим R\f. Доказательство. При доказательстве леммы 31 мы показали, что решение уравнения (2.51) у(х) = R\f(x) можно записать в виде Действуя также, как и при доказательстве леммы 31, но используя вместо первой оценки теоремы 4 вторую, получим Следовательно, qk = 0(ip(p))\\f\\0O, qkj = 5kj + 0(ip{p)) {k,j = 1,2). Тогда, решая систему (3.25), получим Zj = 0(ф(р))оо (j = 1,2). Учитывая эти оценки и (3.26), (3.27) из (3.24) приходим к утверждению леммы. Лемма доказана. Аналогично лемме 33 получаем Лемма 35. Пусть г таково, что образ окружности А = г при отображении р = Л1//п принадлежит Ss0. Тогда имеет место оценка Формула для остаточного члена, полученная в теореме 15, справедлива и для оператора А, надо только вместо R2jX писать Rx. Теорема 17. Для того чтобы выполнялось соотношение
Похожие диссертации на Конечномерные возмущения интегральных операторов с ядрами, имеющими скачки производных на диагоналях
