Содержание к диссертации
Введение
ГЛАВА 1. Предварительные сведения 15
1.1. Необходимые определения 15
1.2. Результаты Видома - Аптекарева 20
1.3. Связь между ортогональными многочленами, операторами Якоби и мерами на действительной оси 25
1.4. Теорема Вейля 29
ГЛАВА 2. Асимптотика ортогональных многочленов 31
2.1. Сильная асимптотика многочленов, ортогональных на системе дуг по мере, имеющей дискретную часть 31
2.1.1. Экстремальная задача и массы 31
2.1.2. Сильная асимптотика ортогональных многочленов 34
2.1.3. Явные формулы для экстремальных функций 40
2.2. Асимптотика отношения многочленов, ортогональных на наборе отрезков, при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс 42
2.2.1. Предельно-периодический случай 42
2.2.2. Относительная асимптотика многочленов, возмущенных добавлением масс 45
ГЛАВА 3. Компактность возмущения оператора Якоби 51
3.1. Компактность возмущения предельно-периодического оператора Якоби 51
3.1.1. Вспомогательные результаты 51
3.1.2 Необходимое и достаточное условие компактности возмущения при добавлении конечного набора масс 54
3.1.3.Пример. 61
3.2. Компактность возмущения оператора Якоби при комбинированном возмущении спектральной меры 65
3.2.1. Необходимое и достаточное условие компактности возмущения, р < 3 69
3.2.2. Условия компактности возмущения, р > 3 73
3.2.3. Условия компактности возмущения для случая спектральной меры с сингулярной составляющей 77
Заключение 81
Публикации по теме диссертации 83
Литература 84
- Связь между ортогональными многочленами, операторами Якоби и мерами на действительной оси
- Асимптотика отношения многочленов, ортогональных на наборе отрезков, при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс
- Необходимое и достаточное условие компактности возмущения при добавлении конечного набора масс
- Условия компактности возмущения для случая спектральной меры с сингулярной составляющей
Введение к работе
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории ортогональных многочленов и теории операторов Якоби. Эти две области тесно связаны между собой. Многочлены, ортогональные по мере на действительной оси, удовлетворяют рекуррентным соотношениям, коэффициенты которых можно рассматривать в качестве элементов бесконечной трехдиагоиальной матрицы Якоби. И наоборот: по матрице Якоби можно восстановить систему многочленов, ортогональных по некоторой мере на подмножестве действительной оси. При изучении спектральных свойств операторов Якоби большую роль играют асимптотические свойства ортогональных многочленов. В настоящей работе получены формулы сильной асимптотики для многочленов, ортогональных на подмножестве комплексной плоскости, состоящем из конечного набора контуров и точек, по мере, удовлетворяющей условию Сегё. В частности, они верны и для многочленов, ортогональных на подмножестве действительной прямой. С использованием асимптотических формул исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при изменении его спектральной меры (добавлением конечного числа дискретных масс и/или изменением весовой функции) с сохранением существенного спектра. Для некоторых классов операторов Якоби получено необходимое и достаточное условие компактности такого возмущения.
Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Т. Стильтьеса и ряда других авторов XIX века в процессе исследований по классической теории
непрерывных дробей. Ортогональные многочлены играют важную роль в различных областях математики и физики, что объясняет постоянный интерес ученых к этой теме. Следует отметить тесную связь теории ортогональных многочленов с такими областями, как теория непрерывных дробей, теория рациональных аппроксимаций, теория операторов Якоби, теория случайных матриц. Ортогональные многочлены также нашли применение при решении прямой и обратной спектральных задач, при изучении проблемы моментов, решении интегральных уравнений, исследовании различных задач электростатики, статистической квантовой механики и т.д.
Пусть \i — положительная мера с компактным носителем в комплексной плоскости. Определим последовательность многочленов Qn{z) — zn + . .., ортогональных по мере /і:
№», **)м := f Qn(OC% = 0, к = 0,1, 2,..., п - 1.
J supp(fi)
Фундаментальной проблемой теории ортогональных многочленов ч является изучение их асимптотического поведения при неограниченном возрастании степени.
Слабой асимптотикой ортогональных многочленов принято называть асимптотические свойства величины |Qn(^)|1//n- Слабая асимптотика тесно связана с распределением нулей многочленов Qn (z), определяется носителем меры /і и свойствами регулярности меры на своем носителе. Основным инструментом исследования при этом является теория логарифмического потенциала [35].
Асимптотика отношения Qn+i(z)/Qn(z). Задача об асимптотике
\ отношения в последнее время привлекает все большее внимание.
Основные результаты были достигнуты с использованием метода
\
вариации веса, развитого Г. Лопесом и др. [25]. Из асимптотики отношения очевидно следует слабая асимптотика, но не наоборот,
"' условия регулярности меры уже недостаточно. Наилучшее известное условие, при котором для многочленов, ортогональных на отрезке действительной оси, можно построить асимптотику отношения, это так называемое условие Рахманова: ц' > 0 почти всюду на отрезке.
Задачей о сильной асимптотике (асимптотика типа Сегё) называют задачу об асимптотическом поведении многочленов Qn(z) вне носителя меры и на самом носителе. В классическом случае supp(fi) = [—1,1] сильная асимптотика ортогональных многочленов определяется теорией С. Н. Бернштейна и Г. Сегё [15]. Теория Бернштейна - Сегё была развита на случай системы кусочно-гладких дуг и контуров в фундаментальной работе Г. Видома [39]. Основным инструментом исследования в этом случае является теория многозначных функций комплексного переменного и пространства Харди аналитических функций. Результаты
ч Г. Видома были уточнены в работе А. И. Аптекарева [1], где получены явные формулы сильной асимптотики в терминах стандартных тэта-функций Римана на римановой поверхности, определяемой геометрией дуг и контуров. Основное условие, накладываемое при этом на меру — это так называемое условие Сегё (см. далее). Это условие позволяет строить пространства Харди, ассоциированные с весом, и получать асимптотические формулы исходя из экстремальных свойств ортогональных многочленов. Случай несвязного носителя меры ортогональности был рассмотрен также в работе Ю. Я. Томчука (см.
, [17]). Кроме того, прогресс в изучении асимптотики ортогональных многочленов был достигнут при использовании метода матричной
задачи Римана-Гильберта (см., например, [29], [22]).
В последние годы привлекает к себе внимание вопрос об исследовании асимптотических свойств ортогональных многочленов при возмущении меры ортогональности. Задача о нахождении асимптотики при возмущении меры добавлением масс впервые была рассмотрена в неявном виде в работе А. А. Гончара [6] для случая одного отрезка действительной оси. Е. А. Рахманов рассмотрел случай набора отрезков действительной оси, используя свойство квазиортогональности соответствующих ортогональных многочленов [13]. Позднее Е. М. Никишин изучал эту задачу в явном виде для
4 единичной окружности в работе, посвященной задаче рассеяния для разностных операторов Штурма - Лиувилля второго рода [10]. В. А. Калягин и Р. Бензин [27] и В. А. Калягин [26] получили асимптотические формулы для случая абсолютно непрерывной меры, носителем которой является произвольная комплексная кривая, при добавлении к мере конечного набора дискретных масс вне носителя меры. К. Ли и К. Пан [30] получили более точные результаты для случая единичной окружности. Ф. Марчеллян и П. Марони [31] развили формальную теорию возмущения многочленов при
' добавлении функции Дирака к линейному функционалу в пространстве многочленов. А.И. Аптекарев [1] использовал сильную асимптотику многочленов, ортогональных относительно набора действительных отрезков с конечным набором дискретных масс, для получения формулы периодического движения цепочки Тода. Ф. Пехерсторфер и П. Юдицкий [33], [32] рассмотрели случай меры Сегё на однородном подмножестве Е действительной прямой с добавлением сингулярной
составляющей на том же множестве и не более чем счетным набором дискретных масс, принадлежащих множеству Ш \ Е, точками сгущения которых могут являться только точки множества Е. Ф. Пехерсторфер, А. Вольберг и П. Юдицкий в [4] рассмотрели случай добавления счетного числа дискретных масс к мере, сосредоточенной на окружности.
Как было отмечено выше, теория многочленов, ортогональных на действительной прямой, тесно связана с теорией операторов Якоби. В частности, асимптотические свойства ортогональных многочленов применяются для изучения спектральных свойств этих операторов. В свою очередь прямая и обратная спектральные задачи играют фундаментальную роль в некоторых исследованиях по математической физике. Например, при изучении вполне интегрируемых нелинейных цепочек (в частности, цепочек Тода и Ленгмюра, см. [1], [36]). Конечно-разностный подход при решении обратной задачи рассеяния для уравнения Шрёдингера, приводящий к использованию матриц Якоби, является удобной моделью при исследовании ряда вопросов квантовой теории (см. [9]), при этом матрица Якоби играет роль гамильтониана системы, собственные значения соответствуют энергиям резонансов. Е. М. Никишиным в [10] было предложено использовать результаты и методы теории ортогональных многочленов для изучения спектральных свойств дискретных операторов Штурма - Лиувилля в связи с некоторыми вопросами теории рассеяния (см.также [2]). Мера ортогональности системы ортогональных многочленов является спектральной мерой соответствующего оператора. Возмущение меры приводит к возмущению оператора. Исследованием связи между изменением спектральной меры и изменением оператора занимались
Н. И. Ахиезер, Ю. А. Березанский, В. Ван Ассе, А. Вольберг, Дж. Джеронимо, Т. Като, А. Лаптев, С. Набоко, П. Неваи, Е. М. Никишин, Ф. Пехерсторфер, Е. А. Рахманов, Б. Саймон, П. Юдицкий и другие. Одна из основных задач, рассматриваемых в настоящей диссертации — влияние возмущения спектральной ме-
, ры на свойства оператора Якоби. Результаты существенно зависят от геометрии спектра оператора. Для случая простой геометрии существенного спектра (отрезок) известно необходимое и достаточное условие компактности возмущения для широкого класса операторов. В настоящей работе рассматривается случай более сложной геометрии спектра.
Рассмотрим последовательности чисел {an}^Lo' {bn}%Lo такие, что ап > О, Ъп є Ж. Оператором Якоби мы будем называть оператор в пространстве /2(Z+), действие которого на векторах стандартного
ч ортонормированного базиса {еп}^=о определяется следующим образом (см. [11]):
Ае0 = Ь0е0 + aoei, Аеп = an-ien-.i + bnen + ОпЄп+i, п ^ 1.
Соответствующая бесконечная трехдиагональная матрица называется матрицей Якоби:
Ь0 а0 О О
а0 Ьі аг 0
Л:= . (1)
О а\ >2 а2 '''
Vі : ' '/
Таким образом, оператор Якоби — это симметрический разностный оператор второго рода. Можно рассматривать его как
дискретный аналог непрерывного оператора Штурма - Лиувилля. Описанные выше операторы Якоби обычно называют односторонними (полубесконечными, или определенными на полуоси). Часто изучают также двусторонние операторы Якоби, действующие в пространстве 12{Ъ). Во многих работах при изучении свойств двусторонних операторов Якоби используют операторы, определенные на полуоси, и наоборот (см. [36], [21], [20]). Среди операторов Якоби выделяют класс конечнозонных операторов, существенный спектр которых состоит не более чем из конечного числа отрезков (см. [20], [16]). В свою очередь среди конечнозонных операторов выделяют класс предельно-периодических операторов Якоби (см. [21], [34]), т.е. таких, что для некоторого числа р подпоследовательности апр+ь и bnp+f. имеют предел при п —> со, к = 0,... ,р—1. По теореме Вейля существенный спектр оператора Якоби не изменяется при компактном возмущении [28]. Таким образом любое компактное возмущение конечнозоиного оператора Якоби является конечнозонным оператором Якоби с возможно другим дискретным спектром. С другой стороны, любое возмущение спектральной меры влечет некоторое возмущение оператора. При этом основной проблемой является исследование влияния возмущения спектральной меры на возмущение оператора и наоборот. В частности, как влияет добавление конечного количества точечных масс к спектральной мере конечнозоиного оператора Якоби и/или изменение меры на ^ существенном носителе на соответствующее возмущение исходного оператора.
Для однозонных операторов Якоби решение этой задачи известно для широкого класса мер, известного как класс Рахманова [12]. Говорят,
что мера ц принадлежат классу Рахманова, если supp(//) = [—1,1] и /л,' > 0 почти всюду на отрезке [—1,1]. Как следует из результатов Рахманова и Денисова (см. [12, 23]), в случае, когда спектральная мера (л, оператора Якоби принадлежит классу Рахманова и имеет не более чем счетное число точечных масс на М \ [—1,1], предельными точками которых могут быть только концы отрезка [—1,1], то ап —» 1/2, Ъп —> О при п —> оо. Следовательно, любое изменение меры, не выводящее из описанного класса (мера Рахманова со счетным набором масс), приводит
- к компактному возмущению соответствующего оператора Якоби.
Это не верно для двух- и более зонных операторов. Например, если существенный спектр является объединением двух непересекающихся отрезков действительной оси, а спектральная мера оператора удовлетворяет на нем условию Сегё, то, как будет показано ниже, возмущение оператора Якоби добавлением одной массы в точке, не принадлежащей существенному спектру оператора, никогда не является компактным. В настоящей работе мы подробно исследуем вопрос о компактности возмущения конечнозонного оператора при добавлении
4 конечного числа масс к его спектральной мере, а также при изменении меры на существенном носителе.
Целью работы является решение следующих задач.
Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе конечного набора дуг и замкнутых контуров в комплексной плоскости по мере, имеющей дискретную часть.
Исследовать асимптотику отношения многочленов, ортогональных на конечном наборе отрезков действительной оси с
дополнительными дискретными массами. Исследовать компактность возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры добавлением конечного числа дискретных масс и/или домножением весовой функции на непостоянный множитель. Исследуемые в диссертации задачи относятся к актуальным и активно развивающимся направлениям современного математического , анализа.
Методы исследования. В работе используются методы теории пространств Харди, теории римаиовых поверхностей и тэта-функций Римана, спектральной теории операторов.
Научная новизна. Сформулированы и доказаны необходимое и достаточное условия компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры для некоторых классов операторов; получены и доказаны асимптотические формулы для многочленов, ортогональных относительно меры Сегё с конечной дискретной ч составляющей. Все основные результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая ценность полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в различных областях математики и физики, связанных с теорией операторов Якоби и асимптотикой ортогональных многочленов.
Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются достоверными научными фактами, все утверждения строго доказаны и обоснованы.
Личный вклад соискателя. Доказательства всех основных
положений получены соискателем лично. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их . решения.
Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в Universite des Sciences et Technologies de Lille, (1998 г., Лилль, Франция), на международной научной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи"(2002 г., Казань), на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(2008 г., Новороссийск), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (Санкт-Петербург, 2008 г.), на XVII конференции по математическому анализу (Санкт-Петербург, 2008 г.), на семинаре чВ Московском государственном университете (Москва, 2008 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" Нижегородского государственного технического университета (Нижний Новгород, 2009 г.).
Материалы диссертации отражены в 4 работах и тезисах конференций (1 статья в журнале из списка ВАК). Список публикаций приведен в конце работы.
Работа построена следующим образом.
В главе 1 приводятся предварительные сведения, необходимые -- для дальнейшего изложения. В главе 2 рассматривается вопрос об асимптотике многочленов. Глава разбита на два параграфа. Первый параграф посвящен сильной асимптотике многочленов, ортогональных относительно меры, абсолютно непрерывной на объединении конечного числа комплексных дуг и кривых с добавлением конечного числа дискретных масс при условии, что весовая функция удовлетворяет
\
условию Сегё. Найдены формулы сильной асимптотики для этого случая. Во втором параграфе изучается асимптотика многочленов, ортогональных по мере на подмножестве действительной оси. Получены формулы асимптотики отношения для многочленов, полученных возмущением меры ортогональности добавлением коненого набора дискретных масс при условии, что исходной мере ортогональности соответствовала предельно-периодическая матрица Якоби. В главе 3 исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры. Глава разбита на два параграфа. В первом параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения предельно-периодического оператора Якоби при добавлении к спектральной мере оператора конечного набора дискретных масс. С помощью формул сильной асимптотики и асимптотики отношения, полученных во второй главе, найдено необходимое и достаточное условие такого возмущения. Во втором параграфе исследуется вопрос о компактности возмущения ограниченного конечнозонного оператора Якоби. При этом предполагается, что спектральная мера оператора (исходного и возмущенного) имеет абсолютно-непрерывную составляющую, сосредоточенную на существенном спектре оператора, с весом, удовлетворяющим условию Сегё, не более чем конечный набор дискретных масс, расположенных на деиствительои оси вне носителя абсолютно-непрерывной составляющей спектральной меры, возможно также присутствие сингулярной составляющей.
Автор благодарен своему научному руководителю В. А. Калягину за постановку интересной задачи и многочисленные обсуждения и советы в ходе ее решения.
Связь между ортогональными многочленами, операторами Якоби и мерами на действительной оси
В диссертации рассматриваются задачи, относящиеся к теории ортогональных многочленов и теории операторов Якоби. Эти две области тесно связаны между собой. Многочлены, ортогональные по мере на действительной оси, удовлетворяют рекуррентным соотношениям, коэффициенты которых можно рассматривать в качестве элементов бесконечной трехдиагоиальной матрицы Якоби. И наоборот: по матрице Якоби можно восстановить систему многочленов, ортогональных по некоторой мере на подмножестве действительной оси. При изучении спектральных свойств операторов Якоби большую роль играют асимптотические свойства ортогональных многочленов. В настоящей работе получены формулы сильной асимптотики для многочленов, ортогональных на подмножестве комплексной плоскости, состоящем из конечного набора контуров и точек, по мере, удовлетворяющей условию Сегё. В частности, они верны и для многочленов, ортогональных на подмножестве действительной прямой. С использованием асимптотических формул исследуется вопрос о компактности возмущения оператора Якоби при изменении его спектральной меры (добавлением конечного числа дискретных масс и/или изменением весовой функции) с сохранением существенного спектра. Для некоторых классов операторов Якоби получено необходимое и достаточное условие компактности такого возмущения.
Основы теории ортогональных многочленов были заложены в работах П. Л. Чебышева, А. А. Маркова, Т. Стильтьеса и ряда других авторов XIX века в процессе исследований по классической теории непрерывных дробей. Ортогональные многочлены играют важную роль в различных областях математики и физики, что объясняет постоянный интерес ученых к этой теме. Следует отметить тесную связь теории ортогональных многочленов с такими областями, как теория непрерывных дробей, теория рациональных аппроксимаций, теория операторов Якоби, теория случайных матриц. Ортогональные многочлены также нашли применение при решении прямой и обратной спектральных задач, при изучении проблемы моментов, решении интегральных уравнений, исследовании различных задач электростатики, статистической квантовой механики и т.д.
Пусть — положительная мера с компактным носителем в комплексной плоскости. Определим последовательность многочленов Qn{z) — zn + . ортогональных по мере /і: Фундаментальной проблемой теории ортогональных многочленов ч является изучение их асимптотического поведения при неограниченном возрастании степени. Слабой асимптотикой ортогональных многочленов принято называть асимптотические свойства величины Qn( )1//n- Слабая асимптотика тесно связана с распределением нулей многочленов Qn (z), определяется носителем меры /і и свойствами регулярности меры на своем носителе. Основным инструментом исследования при этом является теория логарифмического потенциала [35]. Асимптотика отношения Qn+i(z)/Qn(z). Задача об асимптотике отношения в последнее время привлекает все большее внимание. Основные результаты были достигнуты с использованием метода вариации веса, развитого Г. Лопесом и др. [25]. Из асимптотики отношения очевидно следует слабая асимптотика, но не наоборот, условия регулярности меры уже недостаточно. Наилучшее известное условие, при котором для многочленов, ортогональных на отрезке действительной оси, можно построить асимптотику отношения, это так называемое условие Рахманова: ц 0 почти всюду на отрезке. Задачей о сильной асимптотике (асимптотика типа Сегё) называют задачу об асимптотическом поведении многочленов Qn(z) вне носителя меры и на самом носителе. В классическом случае supp(fi) = [—1,1] сильная асимптотика ортогональных многочленов определяется теорией С. Н. Бернштейна и Г. Сегё [15]. Теория Бернштейна - Сегё была развита на случай системы кусочно-гладких дуг и контуров в фундаментальной работе Г. Видома [39]. Основным инструментом исследования в этом случае является теория многозначных функций комплексного переменного и пространства Харди аналитических функций. Результаты ч Г. Видома были уточнены в работе А. И. Аптекарева [1], где получены явные формулы сильной асимптотики в терминах стандартных тэта-функций Римана на римановой поверхности, определяемой геометрией дуг и контуров. Основное условие, накладываемое при этом на меру — это так называемое условие Сегё (см. далее). Это условие позволяет строить пространства Харди, ассоциированные с весом, и получать асимптотические формулы исходя из экстремальных свойств ортогональных многочленов. Случай несвязного носителя меры ортогональности был рассмотрен также в работе Ю. Я. Томчука (см. , [17]). Кроме того, прогресс в изучении асимптотики ортогональных многочленов был достигнут при использовании метода матричной задачи Римана-Гильберта (см., например, [29], [22]). В последние годы привлекает к себе внимание вопрос об исследовании асимптотических свойств ортогональных многочленов при возмущении меры ортогональности. Задача о нахождении асимптотики при возмущении меры добавлением масс впервые была рассмотрена в неявном виде в работе А. А. Гончара [6] для случая одного отрезка действительной оси. Е. А. Рахманов рассмотрел случай набора отрезков действительной оси, используя свойство квазиортогональности соответствующих ортогональных многочленов [13]. Позднее Е. М. Никишин изучал эту задачу в явном виде для
4 единичной окружности в работе, посвященной задаче рассеяния для разностных операторов Штурма - Лиувилля второго рода [10]. В. А. Калягин и Р. Бензин [27] и В. А. Калягин [26] получили асимптотические формулы для случая абсолютно непрерывной меры, носителем которой является произвольная комплексная кривая, при добавлении к мере конечного набора дискретных масс вне носителя меры. К. Ли и К. Пан [30] получили более точные результаты для случая единичной окружности. Ф. Марчеллян и П. Марони [31] развили формальную теорию возмущения многочленов при
Асимптотика отношения многочленов, ортогональных на наборе отрезков, при добавлении к мере ортогональности конечного набора масс
Штурма - Лиувилля. Описанные выше операторы Якоби обычно называют односторонними (полубесконечными, или определенными на полуоси). Часто изучают также двусторонние операторы Якоби, действующие в пространстве 12{Ъ). Во многих работах при изучении свойств двусторонних операторов Якоби используют операторы, определенные на полуоси, и наоборот (см. [36], [21], [20]). Среди операторов Якоби выделяют класс конечнозонных операторов, существенный спектр которых состоит не более чем из конечного числа отрезков (см. [20], [16]). В свою очередь среди конечнозонных операторов выделяют класс предельно-периодических операторов Якоби (см. [21], [34]), т.е. таких, что для некоторого числа р подпоследовательности апр+ь и bnp+f. имеют предел при п — со, к = 0,... ,р—1. По теореме Вейля существенный спектр оператора Якоби не изменяется при компактном возмущении [28]. Таким образом любое компактное возмущение конечнозоиного оператора Якоби является конечнозонным оператором Якоби с возможно другим дискретным спектром. С другой стороны, любое возмущение спектральной меры влечет некоторое возмущение оператора. При этом основной проблемой является исследование влияния возмущения спектральной меры на возмущение оператора и наоборот. В частности, как влияет добавление конечного количества точечных масс к спектральной мере конечнозоиного оператора Якоби и/или изменение меры на существенном носителе на соответствующее возмущение исходного оператора.
Для однозонных операторов Якоби решение этой задачи известно для широкого класса мер, известного как класс Рахманова [12]. Говорят, что мера ц принадлежат классу Рахманова, если supp(//) = [—1,1] и /л, 0 почти всюду на отрезке [—1,1]. Как следует из результатов Рахманова и Денисова (см. [12, 23]), в случае, когда спектральная мера (л, оператора Якоби принадлежит классу Рахманова и имеет не более чем счетное число точечных масс на М \ [—1,1], предельными точками которых могут быть только концы отрезка [—1,1], то ап —» 1/2, Ъп — О при п — оо. Следовательно, любое изменение меры, не выводящее из описанного класса (мера Рахманова со счетным набором масс), приводит - к компактному возмущению соответствующего оператора Якоби. Это не верно для двух- и более зонных операторов. Например, если существенный спектр является объединением двух непересекающихся отрезков действительной оси, а спектральная мера оператора удовлетворяет на нем условию Сегё, то, как будет показано ниже, возмущение оператора Якоби добавлением одной массы в точке, не принадлежащей существенному спектру оператора, никогда не является компактным. В настоящей работе мы подробно исследуем вопрос о компактности возмущения конечнозонного оператора при добавлении 4 конечного числа масс к его спектральной мере, а также при изменении меры на существенном носителе. Целью работы является решение следующих задач. Исследовать асимптотические свойства многочленов, ортогональных на системе конечного набора дуг и замкнутых контуров в комплексной плоскости по мере, имеющей дискретную часть. Исследовать асимптотику отношения многочленов, ортогональных на конечном наборе отрезков действительной оси с дополнительными дискретными массами. Исследовать компактность возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры добавлением конечного числа дискретных масс и/или домножением весовой функции на непостоянный множитель. Исследуемые в диссертации задачи относятся к актуальным и активно развивающимся направлениям современного математического , анализа. Методы исследования. В работе используются методы теории пространств Харди, теории римаиовых поверхностей и тэта-функций Римана, спектральной теории операторов. Научная новизна. Сформулированы и доказаны необходимое и достаточное условия компактности возмущения оператора Якоби при возмущении его спектральной меры для некоторых классов операторов; получены и доказаны асимптотические формулы для многочленов, ортогональных относительно меры Сегё с конечной дискретной ч составляющей. Все основные результаты диссертации являются новыми. Теоретическая и практическая ценность полученных результатов. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в различных областях математики и физики, связанных с теорией операторов Якоби и асимптотикой ортогональных многочленов. Достоверность результатов. Все результаты диссертационной работы являются достоверными научными фактами, все утверждения строго доказаны и обоснованы. Личный вклад соискателя. Доказательства всех основных положений получены соискателем лично. В совместной работе научному руководителю принадлежат постановка задач и намеченная методика их . решения. Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на семинаре в Universite des Sciences et Technologies de Lille, (1998 г., Лилль, Франция), на международной научной конференции "Геометрическая теория функций и краевые задачи"(2002 г., Казань), на V международном симпозиуме "Ряды Фурье и их приложения"(2008 г., Новороссийск), на Санкт-Петербургском семинаре по теории операторов и теории функций (Санкт-Петербург, 2008 г.), на XVII конференции по математическому анализу (Санкт-Петербург, 2008 г.), на семинаре чВ Московском государственном университете (Москва, 2008 г.), на научном семинаре кафедры "Прикладная математика" Нижегородского государственного технического университета (Нижний Новгород, 2009 г.). Материалы диссертации отражены в 4 работах и тезисах конференций (1 статья в журнале из списка ВАК). Список публикаций приведен в конце работы.
Необходимое и достаточное условие компактности возмущения при добавлении конечного набора масс
Таким образом, в случае дискретных масс вне системы дуг и контуров в формулы Аптекарева нужно внести два изменения: параметры hv заменяются на b = bv + Ylk=\u)vizk)- а сама функция домножается на аналог произведения Бляшке B(z).
Замечание. Для случая многочленов, ортогональных относительно меры, носителем которой служит набор конечного числа отрезков действительной оси с добавлением конечного числа действительных масс, аналогичная формула была получена А.И. Аптекаревым в [1]. В той же работе приведена формула и для случая произвольных дуг и контуров, но в работе Рахманова, на которую ссылается автор при выводе этой формулы, используются свойства квазиортогональных многочленов, верные только на наборе отрезков.
Предельно-периодический случай. В предыдущем параграфе была найдена сильная асимптотика многочленов, из которой могут быть выведены и формулы асимптотики отношения. Однако на меру при этом накладывалось сильное ограничение — она должна быть абсолютно непрерывной, а весовая функция должна удовлетворять условию Сегё.
В настоящем параграфе мы перейдем к рассмотрению многочленов, ортогональных на подмножестве действительной прямой. При этом ограничения на меру будут сильно ослаблены. Нам будет удобно описать класс рассматриваемых мер на языке соответствующих операторов Якоби.
Пусть задан некоторый предельно-периодический ограниченный оператор Якоби А. Так как он является компактным возмущением некоторого периодического оператора Л0, то по теореме Вей ля их существенные спектры совпадают. А спектр периодического оператора можно вычислить, зная его матрицу (см. [1]). Хорошо известно (см. [1]), что если спектр оператора с периодом р является объединением р непересекающихся отрезков действительной оси (т.е. р = г), то гармонические меры этих отрезков в бесконечности совпадают: cjfc(oo) = -.
В более общем случае, когда период оператора больше или равен числу отрезков, соответствующие гармонические меры будут рациональны (можно представить, что некоторые из отрезков, составляющих спектр, склеены в граничных точках). Таким образом, если оператор является предельно-периодическим, то его существенный спектр состоит из объединения конечного числа отрезков aess — Е = \Jrj=1Ej, Ej П Ek = 0, j ф к таких, что числа a (oo) являются рациональными. В этом случае период оператора будет равен наименьшему общему кратному знаменателей (со).
Рассмотрим предельно-периодический оператор Якоби А. Пусть AQ — соответствующий чисто периодический оператор Якоби (матрица этого оператора составлена из пределов через период элементов матрицы А). По периодической матрице А0 можно восстановить меру, относительно которой ортогональны соответствующие многочлены Q (см. [1]). Абсолютно непрерывная часть этой меры будет удовлетворять условию Сегё на существенном спектре оператора. Помимо абсолютно непрерывной составляющей мера периодического оператора может также содержать дискретную составляющую. Для 4 многочленов, ортогональных относительно такой меры, в предыдущем параграфе получены асимптотические формулы, из которых следует, что:
Условия компактности возмущения для случая спектральной меры с сингулярной составляющей
Напомним, что мы находимся на римановой поверхности. Пусть ZQ — точка, в которой многочлен Qp_! обращается в ноль. Тогда на одном листе римановой поверхности числитель Qp3 + Р _\ — у/? + )2 - 4Q?21PP(i) = QPi] + Р\ ± (Q{pj) + Р г) будет иметь ноль в точке ZQ.
Может ли он также иметь ноль и на другом листе римановой поверхности? Нет, так как если точка удовлетворяет каждому из уравнений Q{pj\z0) + P \(zQ) = 0 и Q zo) = 0, то z0 Є Е. А это не может быть верным для нуля функции Q„Jli, т.к. Qp_i имеет ровно один ноль в каждом из интервалов [/ ajfc+i], & = 1, ...,р — 1.
В том случае, когда точка ZQ является одним из концов отрезков из Е, для многочлена, стоящего под квадратным корнем, точка ZQ будет являться простым нулем и следовательно р,(її будет иметь также и полюс в точке ZQ.
Итак, функция р, имеет ровно р — 1 полюс на римановой поверхности. Эти и только эти точки являются полюсами функции z-bj- ft{j). Так как (3.2) и (3.3) — асимптотические формулы для одной и той же дроби, то это завершает доказательство теоремы для случая периодических операторов Якоби.
Предельно-периодические операторы Якоби и тэта-функции Римана. Пусть теперь весовая функция p(Q соответствует некоторому предельно-периодическому оператору Якоби А, т.е. и пусть А0 — соответствующий периодический оператор Якоби (соответствующий матрице Якоби, составленной из пределов через период матрицы оператора А). Весовая функция, соответствующая оператору А0, может быть вычислена следующим образом: но носитель меры ортогональности соответствующих многочленов может отличаться от множества Е — он также может содержать дискретную составляющую. Для определения точек, в которых следует добавить массы, нужно подсчитать значения Q(xk) для каждого нля многочлена Qp_i- Если Qp(a;fc) a\a\...aQp (где a — поддиагональные элементы матрицы, соответствующей А0), то в точке Xk должна быть добавдена масса.
Заметим, что добавление масс не нарушает доказательства того факта, что у соответствующих тэта-функций нет совпадающих нулей в периодическом случае, т.к. мы нигде в доказательстве не использовали факт отсутствия дискретной составляющей у спектральной меры (мы пользовались только периодичностью соответствующей матрицы).
Покажем теперь, что OntP(z) и Qn+i p(z) не имеют общих нулей, используя аналогичный факт для периодических операторов Якоби. Так как а priori известно, что оператор А — Аявляется компактным, то
Где в правой части равенства к j-ым аргументам тэта-функций 0 следует добавить слагаемое Y k ji ) (суммирование производится по точечным массам). А так как мы уже доказали, что нули тэта-функций в одной из дробей, входящих в равенство, не сокращаются, то это верно и для остальных участников равенства. Это завершает доказательство.
В качестве примера рассмотрим ортогональные многочлены, заданные следующими рекуррентными соотношениями Известно, что мера ортогональности этих многочленов удовлетворяет условию Сегё, можно показать, что дискретных масс эта мера не имеет, а носителем ее является набор отрезков Е = [—3,-1] U [1,3], симметричный относительно начала координат.
Соответствующая матрица Якоби имеет вид Добавим к имеющейся мере дискретную массу в некоторой точке z\ Є R \ conv( ). Так как uJi{z\) ф 0 (mod 1),г = 1,2, то соответствующее возмущение матрицы Якоби не будет компактным. Получим этот результат, используя асимптотическую формулу из 4 теоремы 2. Имеем: И если наше предположение верно, то Хо С(Е)Ф(г)Еі(г) — \itiC(E (z)Fi(z), т.е. Ло,і = Лід. Следовательно Но тогда -fiTi і( г) — Hbi(z) — ЗАод/22, что противоречит условию oi С-2!) - 11) 0- Таким образом, предположение о компактности возмущения неверно. Добавим теперь еще одну массу в точке —z\. В этом случае Ui{z\) + ші( zi) — 0 (mod 1),г = 1,2 и, следовательно, возмущение матрицы Якоби, соответствующее добавлению двух масс в симметричных относительно начала координат точках, будет компактным. Покажем это, используя асимптотическую формулу из теоремы 5 предыдущей главы. Так как теорема сформулирована для случая добавления одной массы, нам надо применить ее дважды:
Похожие диссертации на Асимптотика ортогональных многочленов и компактные возмущения оператора Якоби
