Введение к работе
з
Актуальность темы. Изучение свойств линейных операторов, действующих в пространствах непрерывных функций, является одной из основных задач в теории приближения функций. Наиболее широкое применение в теоретических исследованиях п в прикладных областях математики получили линейные положительные операторы, многие важные свойства которых были открыты П.П. Коровкпным.
Недостатком этих операторов является их медленная сходимость к приближаемой функции. П.П. Корвкппым [1] было доказано, что порядок приближения полиномиальными линейными положительными операторами степени п не может быть выше п~2 в пространстве С[о,Ь].
В 1962 году П.П. Коровкпп [2] впервые ввел понятие операторов класса Sm. Не являясь положительными, эти операторы voryT обладать лучшими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций. П.П. Коровкпп также сформулировал и доказал теорему об условиях сходимости последовательности таких операторов ко всякой непрерывной функции. Кроме того, пм было установлено [3], что порядок приближения линейными полиномиальными операторами класса Sm на системе из т + 'З функций 1, х, х2,... , хт+2 по норме пространства С[а;6] не может быть выше, чем и,}+2
В дальнейшем теория линейных положительных операторов и операторов класса Sm развивалась в двух основных направлениях: получение алалогов н ообщенпп классических результатов П.П. Коровкипа п построение конструкций операторов класса Sm с хорошими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций.
Одной из других возможностей построения линейных операторов, обладающих лучшими аппроксимативными свойствами па классах -дифференцируемых функций ио сравнению с линейными положительными операторами, является построение операторов в виде конечной линейной комбинации линейных положительных операторов.
Цель работы. Привести конструкции линейных операторов конечного ранга класса 5т с оптимальным порядком приближения, исследовать аппроксимативные свойства предложенных операторов. На основе операторов В.А. Баскакова [4] построить линейные операторы с хорошими аппроксимативными свойствами на классах дифференцируемых функций.
Общая методика выполнения исследований. Используются классические методы конструктив поп теорпп функций, идеи, указанные П.П. Коровкиным в работах [1-3] и получившие дальнейшее ра:витпе в работах других математиков.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми, они приведены с полными доказательствами.
Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер, разработаны новые положения, развивающие классические результаты. Полученные в диссертации результаты могут быть использованы в исследованиях аппроксимативных свойств линейных операторов конечного ранга класса Sm, а также в вычислительной математике.
Апробация работы. Результаты работы докладывались на 6-ой, 7-ой, 8-ой Саратовских зимних школах по теории функций и приближений (1992, 1994, 199G гг), на Международной конференции, посвященной памяти М.П. Кравчука (Киев, 1992), а также на семинарах
А.Л.Привалова и А.П. Хромова в Саратовском государственном уни-
верситете пм. Н.Г. Чернышевского.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах автора [1-5].
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения и двух глав. Список литературы содержит 53 наименования. Общий объем работы 100 стр.
