Содержание к диссертации
Введение
1 Представления полиномиальных соотношений и суммы проекторов в С-алгебрах 14
1.1 Представимость соотношений в С-алгебрах специальных классов . 16
1.1.1 Представления в алгебрах типа I 16
1.1.2 Представления в AF-алгебрах 17
1.1.3 Представления в С*-алгебрах со следом 18
1.2 Представления проекторных соотношений 20
1.2.1 Е „(Л) для С*-алгебр типа I 20
1.2.2 Следы на универсальных алгебрах соотношений (1.8) 21
1.2.3 Е„(Л) для AF-алгебр 22
1.2.4 Ядерность и точность 24
1.2.5 Дополнительные результаты об алгебрах Vn,\ 26
1.2.6 Операторы, представимые в виде суммы проекторов 28
2 Асимптотическая эквивалентность некоторых С-алгебр 32
2.1 Предварительные сведения 32
2.1.1 Некоторые определении из теории категорий 32
2.1.2 Бифунктор Каспарова 33
2.1.3 Асимптотические гомоморфизмы и Е-теория 35
2.1.4 Расширения С*-алгебр 36
2.2 Асимптотическая эквивалентность С*-алгебр qA 0 К и Со(М2) 0 А 0 К 37
2.2.1 Конструкция асимптотического гомоморфизма из Co(R2)A0K в qA 0 К 37
2.2.2 Построение обратного отображения 42
2.2.3 Доказательство основного утверждения 42
2.3 Случай А = С 51
2.3.1 Со(К2) 0 К не являются гомотопически эквивалентными 51
2.3.2 Геометрические свойства асимптотической эквивалентности между qC0K и СО(К2)0К 53
3 Унитарно-ковариантные отображения в С-алгебрах 57
3.1 Унитарно-ковариантные отображения в алгебре матриц 57
3.1.1 Функциональная реализация 58
3.1.2 Непрерывность унитарно-ковариантных отображений 60
3.1.3 Непрерывные унитарно-ковариантные отображения и симметрические многочлены 64
3.1.4 Условия лнншицевости унитарно-ковариантного отображения . 68
3.1.5 Дифференцируемость по Фреше 70
3.2 Унитарно-ковариантные отображения в конечномерных С*-алгебрах . 72
3.3 Ковариантные отображения и алгебре компактных операторов 75
3.4 Унитарно-ковариантные отображения в UHF-алгебрах 80
3.5 Отображения, ковариантные относительно подобия 85
3.5.1 Функциональная реализация 86
3.5.2 Непрерывность на fflo 87
3.5.3 Локальная лиишицевость на Шо 90
3.5.4 Непрерывность на 91 91
3.5.5 Непрерывность отображений, ковариантных относительно подобия, в случае пространства размерности 2 94
- Представления проекторных соотношений
- Операторы, представимые в виде суммы проекторов
- Геометрические свойства асимптотической эквивалентности между qC0K и СО(К2)0К
- Непрерывные унитарно-ковариантные отображения и симметрические многочлены
Введение к работе
Актуальность темы. Теория С*-алгебр, бурно развивающаяся в настоящее время, призвана выработать адекватный математический аппарат для квантовой физики и, в то же время, исследовать алгебраическую основу задач и конструкций операторной теории. Хотя главной особенностью этой теории является некоммутативность, так что ее разделы даже носят названия некоммутативная геометрия, некоммутативная теория вероятностей, одним из основных технических средств остается функциональное исчисление. Аппарат функционального исчисления, связывающий С*-алгебры с теорией функций, используется как в основных конструкциях, так и в оценках норм и спектров, операторных неравенствах и т.д.. По существу, возможность применения функционального исчисления в С*-алгебраической ситуации основана на спектральной теореме Гильберта-Шмидта-Вейля-фон Неймана. Эта возможность с успехом использовалась уже в первой, основополагающей работе И.М.Гельфанда-М.А.Наймарка. Ряд дальнейших глубоких результатов, основанных на использовании функционального исчислении был получен Арвесоном, Педерсеном, Хаагерупом, Войкулеску, Кунцем и многими другими исследователями.
Другим важным методом получения нужных объектов и необходимых оценок является метод асимптотических конструкций, состоящий в получении точных соотношений с помощью последовательностей приближенных и дальнейшей факторизации. Его основоположниками следует, пови-димому, считать Риффела и Макдафф, но истоки он берет в известных результатах Вейля и фон Неймана, а наиболее важные применения были получены в известной работе Конна о классификации факторов фон Неймана. Дальнейшее развитие метод получил в работах Конна, Хигсона, Войкулеску, Блакадара, Лоринга, Киршберга, Томсена и других исследователей.
В данной работе оба эти метода применяются в задачах классификации представлений соотношений (первая глава работы) и в задачах гомотопической теории С*-алгебр (вторая глава). В третьей главе функциональное исчисление становится не только методом, но и объектом исследования. Здесь отображения вида a i—> f{a) (функциональные отображения) включаются в более широкий класс отображений, ковариантных относительно унитарной эквивалентности, и их свойства изучаются в соответствующем более широком контексте.
Задачи расширения области применимости обоих методов, исследования их внутренней природы являются весьма актуальными.
Цель диссертации. Применение функционального исчисления и использование асимптотических конструкций для решения конкретных задач теории С*-алгебр и теории операторов.
Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них отметим следующие:
Классификация по сложности теории представлений универсальных алгебр проекторных соотношений.
Доказательство существования асимптотического гомоморфизма из С*-алгебры Со (К2) <8> А <х) К в С*-алгебру qA
К , который индуцирует естественное преобразование КК-функтора Каспарова в Е-функтор Конна и Хигсона (все указанные объекты будут определены ниже). Доказательство асимптотической эквивалентности С*-алгебр C0(R2)
K; как следствие, дана характеризация Е-функтора Конна-Хигсона в терминах свободных С*-произведений. Описание и исследование унитарно-ковариантных отображений в конечномерных и аппроксимативно-конечномерных С*-алгебрах.
Научная и практическая ценность. Работа имеет теоретическую направленность. Полученные результаты могут быть использованы при изучении устойчивости полиномиальных соотношений, в теории представлений *-алгебр, теории операторных неравенств, в гомотопической теории С*-алгебр, теории операторно-гладких классов функций, теории мультипликаторов Шура.
Методы исследования. В диссертации используются методы теории операторов, теории функций, теории представлений, теории С*-алгебр (в частности, С*-алгебраической К-теории, теории расширений, теории операторного КК-функтора Каспарова, теории свободных С*-произведений, Е-теории Конна-Хигсона).
Публикации и апробирование. Результаты диссертации докладывались на конференции МФТИ (2001), на школах-симпозиумах по спектральным задачам КРОМШ (Крым 2002, 2003, 2004), на семинаре Мехмата МГУ по некоммутативной геометрии и топологии (руководитель — А.С.Мищенко) (2003), на Санкт-Петербургской конференции по математическому анализу (2004), на международной конференции по операторным алгебрам в Словении (Блед 2005).
По теме диссертации опубликовано 5 работ.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Объем работы — 113 страниц.
Представления проекторных соотношений
Полиномиальным соотношением мы будем называть равенство вида где / — многочлен от 2п некоммутирующих переменных, то есть, элемент соответствующей свободной алгебры. Представлением такого соотношения называется любой набор операторов (Ті,...,Т„) в гильбертовом пространстве, удовлетворяющий условию где под Т понимается оператор, сопряженный к Т .
Поскольку всякая С -алгебра может быть реализована операторами в гильбертовом пространстве, мы будем говорить и о представлениях соотношений в С -алгебрах, понимая под представлением соотношения (1.1) в С -алгебре А любой набор элементов сії, ...,ап Є А, удовлетворяющий условию
Универсальной С -алгеброй соотношения (1.1) называется С -алгебра А с выделенной системой образующих (ai,...,a„), такая что для элементов щ и их сопряженных выполнено равенство (1.1) и любому представлению (Ті, ...,ТП) соотношения (1.1) соответствует -представление ж алгебры А, такое что п(щ) = Т,.
Аналогично определяются представления и С -алгебры наборов соотношений. Принципиального различия между случаем одного соотношения и случаем набора из нескольких соотношений нет, поскольку имеется простая возможность переписать набор в виде одного соотношения Поэтому мы будем, для краткости, говорить о представимости соотношений, подразумевая, что результаты относятся и к наборам соотношений.
Не всякое соотношение имеет универсальную С -алгебру. Необходимым и достаточным условием существования такой алгебры является неравенство где верхняя грань берется но множеству всех представлений соотношения.
В первой части этой главы рассматриваются некоторые общие вопросы теории представлений полиномиальных соотношений. Как и в теории представлений любых алгебраических систем, основной задачей является классификация представлений с точностью до (в данном случае, унитарной) эквивалентности. Полная классификация, разумеется, может быть сложной (иногда говорят "дикой") задачей. Вопрос о степени сложности описания представлений соотношения можно изучать в терминах принадлежности его универсальной С -алгебры А к тому или иному классу С -алгебр (алгебры типа I, аппроксимативно-конечные, ядерные). Связанной с этим подходом является и задача существования представлений данного соотношения в алгебрах того или иного специального класса.
Вторая часть главы посвящена приложениям общей теории к исследованию конкретных соотношений, введенных в рассмотрение в работе [29]. В этой работе исследовались С -алгебры, порожденные наборами ортогональных проекторов Рі, Рг» ) Рщ связанных условием где А Є С. Пусть „ — множество всех А, для которых такие проекторы существуют. Было доказано, что Еп представляет собой объединение "основного" отрезка [а„,/?„] и двух последовательностей точек, сходящихся к его концам. Первостепенный интерес вызывают задачи описания, для каждого А Є „, всех наборов проекторов, удовлетворяющих (1.7) (и, прежде всего, вопрос о возможности такого описания). В точной постановке их удобно формулировать на языке теории представлений соотношений. Рассмотрим соотношение Любое его представление — это набор проекторов, удовлетворяющих (1.7). Очевидным образом, условие ограниченности (3.5.6) выполнено, и потому существует универсальная С -алгебра Р„д. В [29] ставился вопрос о принадлежности алгебры Vn,\ при А = ап и А = Д, к классу С -алгебр типа I. Ниже мы дадим отрицательный ответ на этот вопрос. Более того, будет показано, что при этих значениях А не существует унитальных гомоморфизмов алгебры Vn,x в алгебру типа I. Если, для произвольной С -алгебры А, обозначить через Т,п(А) множество тех значений А, для которых в этой алгебре найдутся п проекторов, в сумме дающих А1, то сформулированный результат означает, что числа ап и j3n не принадлежат Ип(А), если А — алгебра тина I. Мы получим ряд результатов о строении множества Т п{А) для других классов С -алгебр. Затем будут рассмотрены вопросы об аппроксимативной конечномерности, ядерности и точности алгебр Vn,\- В завершающем разделе этой главы будут получены некоторые результаты о структуре множества операторов, нрёдставимых в виде суммы заданного числа проекторов. Напомним некоторые определения . Определение 1.1.1 С -алгебра А называется CCR-алгеброй (сокращение от словосочетания completely continuous representations), если для любого ее ненулевого неприводимого представления (Я, 7г) множества 7г(А) и К(Н) совпадают. Определение 1.1.2 С -алгебра А называется С -алгеброй типа I, если для любого ее ненулевого неприводимого представления (#,7г) выполнено включение К(Н) С тг(Л). С -алгебра тина I допускает эквивалентное определение, которое мы тоже будем использовать. Чтобы сформулировать его, нам понадобится понятие композиционного ряда. Определение 1.1.3 Пусть А — С -алгебра. Возрастающее семейство замкнутых двусторонних идеалов (1р)о Р а алгебры А, занумерованное трапфинитными числами, лежащими между 0 и некоторым трапсфинитным числом а, называется композиционным рядом алгебры А, если оно удовлетворяет следующим условиям: 1)10 = 0,1а = А; 2) если р а — предельное трансфинитное число, то Ip = (Jp pV Определение 1.1.4 С-алгебра А называется С -алгеброй типа I, если она обладает композиционным рядом (1р)о р а, таким, что все Ip+i/Ip являются CCR-алгебрами. Эквивалентность определений 1.1.2 и 1.1.4 даказана в [7]. Далее в этой главе все С -алгебры пред иол агаются унитальными и все представления — переводящими единицу в единичный оператор (единичный элемент). Условимся называть соотношение (1.1) регулярным, если оно не имеет нулевого представления, то есть, /(О,..., 0) ф 0. Нетрудно видеть, что это означает нетриви-алыюсть вхождения единицы в /.
Предложение 1.1.5 Регулярное соотношение представимо в С -алгебре типа I тогда и только тогда, когда оно представимо операторами в конечномерном пространстве. Доказательство. Пусть 7Г — представление соотношения (1.1) в С -алгебре А типа I. Пусть {1Р)о р а " композиционный ряд алгебры А, и «о — наименьший трансфинит, такой что все элементы я(щ) содержатся в 1ад. Тогда и 1 принадлежит 1ао, то есть lao — la = Л. Предположим, что а является предельным трансфинитным числом, так что A = \Jp a 1р- Тогда единица алгебры является пределом последовательности элементов, лежащих в собственных идеалах, что невозможно, в силу того, что множество обратимых элементов открыто. Следовательно а не может быть предельным, и, значит, в композиционном ряду есть предпоследний идеал /Q_i.
Фактор-алгебра А/1а-\ — это CCR-алгебра с единицей. Значит, все ее неприводимые представления конечномерны (образ единицы, то есть, единичный оператор, компактен). Пусть р — какое-то из неприводимых представлений алгебры А/1а-\, q : А — A/Ia-i — канонический эпиморфизм, тогда композиция poqon — конечномерное представление соотношения (1.1).
Мы доказали, что если регулярное соотношение представимо в С -алгебре тина , то оно конечномерно представимо. Обратное очевидно.
Операторы, представимые в виде суммы проекторов
Доказательство. Пусть А — универсальная С -алгебра тройки проекторов, то есть, универсальная С -алгебра набора соотношений {pf = РІ = p ,i = 1,2,3}. В [8], Теорема 54, показано, что алгебра А является дикой. По Предложению 66 той же работы, из этого следует, что существует замкнутый идеал J алгебры А, такой что фактор-алгебра A/J изоморфна тензорному произведению МпС { 2) (здесь п = 1,2,..., со, причем иод ІІ/зо понимается алгебра К(Н) всех компактных операторов в сеиарабельном гильбертовом пространстве Я).
Отсюда следует, что алгебра А не является точной. В самом деле, если А точна, то точна и любая ее фактор-алгебра. С другой стороны, алгебра С (р2), как уже говорилось, точной не является. То же справедливо и в отношении MnC (J:2), поскольку подалгебра точной алгебры точна, а МпС {р2) содержит подалгебру, изоморфную C {J-2j.
Так как алгебра А сепарабельна, то она имеет точное представление 7Г в сеиара бельном гильбертовом пространстве. Пусть Р = n(pi),Q = Tr(p2),R = я"(рз) тогда C (P,Q,R) изоморфна А и потому не является точной. Теорема 1.2.13 Для каждого п 6 существует отрезок 1п, целиком содержащийся в Е„, такой что для любой точки А из этого отрезка алгебра Vn,\ lie точна. При п 10, /„ Э [5;п — 5]. Доказательство. Рассмотрим такие точки А Є Е„, которые могут быть представлены в виде А = Ai+З, где Аі Є E„_g. Множество Е„П(Е„_6+3) всех таких точек обозначим, для краткости, через Еп. Легко проверить, что /?„_б + 3 /?„ при п 5, поэтому Еп содержит интервал /„ = [а„_е + 3; (Зп-о + 3]. Так как [2;п — 2] С [an; Аг], то /„ Э [5,п — 5], если п 10. Пусть Аі Є Е„_о и 7Г — произвольное представление С -алгебры Тп-&м- Определим представление 7г С -алгебры Vn,\, где А = Аі + З Є Еп, следующим образом. Пусть НРк) = л(рк) для 1 к п - б, где P,Q,R — такие 3 проектора, что C (P,Q,R) не точна (они существуют, в силу Леммы 1.2.12). Будучи подалгеброй образа алгебры Vn,\ в представлении яг, С (Р, Q, R) изоморфна подалгебре фактор-алгебры Тп,\/Кегтт. Следовательно Vn,\ не точна, по скольку фактор-алгебра точной С -алгебры но любому идеалу является точной и любая подалгебра точной С -алгебры является точной ([10]). Замечание 1.2.14 Так как [а„;/?„] С [1;п — 1], а интервал 1п содержит интервал [5;п — 5], то ясно, что, при больших п, 1п содержит "почти весь" основной интервал. Таким образом, для "подавляющего большинства" точек А Є „, алгебра Vn,\ не точна. Теперь докажем, что множество точек, для которых алгебра Vn,\ не является ядерной, существенно шире, чем отрезок 1п. Обозначим через / отображение отрезка (а„; /?„) на себя, определенное формулой /(А) = п — 1 — 1/(А - 1). Пусть S(/) — группа (по композиции), порожденная /, то есть группа всех (положительных и отрицательных) степеней отображения /. Теорема 1.2.15 Пусть п 6. Алгебра Vn \ не является ядерной при всех А Є (ап ,0п), траектория которых под действием группы S(f) пересекает 1п. Доказательство. В [29) доказано, что если Xi = /(А2), то категории представлений алгебр Vn,\i и VnM эквивалентны в следующем смысле. Существует биекция 7Г — 7г между множествами представлений этих алгебр, и, для любых представлений 7Гі,7Г2 первой из них, линейная биекция F„l Ki пространства сплетающих операторов \V(ir\,n2) на TV(7Ti,7). При этом отображение FTli 2 непрерывно вместе с обратным в слабой операторной топологии. Кроме того, как и для всякого функтора, имеет место мультипликативность на морфизмах: если Г Є \У{ЇЇІ,ІГ2), Т Є И я Яз), то FitUir3{ST) = F1t2i„3(S)FJtu„2{T). Отсюда следует, что если одна из алгебр Тпх, і = 1,2, ядерна, то ядерна и вторая. В самом деле, если Тпм ие является ядерной, то существует ее представление 7Г, замыкание образа которого в слабой операторной топологии (WOT) — не гиперфинитный фактор. По теореме Конна [13], коммутант я(Тп,\іУ этого образа также не гинерфинитен. Но, в силу сказанного выше, 7г(Рп,Аі) = \У(тг, п) изоморфен, как \У -алгебра, \У -алгебре n(Vn,\2) = \У(тт,ж). Следовательно, последняя также не ги-перфинитна. Снова применяя теорему Конна, получим, что алгебра Vn,\2 также не является ядерной, поскольку имеет представление, WOT-замыкание образа которого не является гиперфинитным. Теперь ясно, что ядерность или не ядерность алгебры Vn,\ имеет место одновре менно для всех А из траектории относительно группы 5(/). Поскольку для точек из /„ соответствующие алгебры не ядерны, наше утверждение доказано. D Начнем с вопроса о простоте С -алгебр Vn,x- Заметим, что для Vn,\, как и для всех унитальных банаховых алгебр, простота в алгебраическом смысле (отсутствие нетривиальных идеалов) равносильна топологической простоте, то есть, отсутствию нетривиальных замкнутых идеалов. Теорема 1.2.16 (І)Пусть А Є Л . Тогда алгебра Vn%\ является простой. (2) Пусть А Є Л. Тогда алгебра Vn,x ие является простой. (3) Пусть А Є Е„_і р)Е„. Тогда алгебра Vn,x не является простой. (4) Пусть А Є [ап,/?„] рационально. Тогда алгебра Vn,\ не является простой. Доказательство. Утверждения (1) и (2) следуют из Теоремы 4 работы [8]. Докажем (3). Определим гомоморфизм 7Г : Тп,х — Тп-і,х следующим образом. Пусть рі,...,рп — образующие алгебры Тщ\, Яі,---,Яп-і — образующие алгебры Vn-i,x- Положимn{pi) = qi, і = 1,...,n-1, n(pn) = 0. Тогда YH=IпІРі) = - - Следовательно, элементы 7i,.., qn-i,0 алгебры Vn-\,\ определяют представление соотношения (1.1) в Vn-i,x- По определению универсальной алгебры, существует гомоморфизм 7Г, продолжающий это представление. Так как рп Є Кет , то Кет — нетривиальный идеал в Vn,x Докажем (4). Пусть А Є [а„,/?п] рационально. Согласно Теореме С работы [29], алгебра Тп,х имеет конечномерное представление ж. Поскольку (Т д) = Vn,x/Kem, то либо Кет ф 0, и тогда Vn,\ не проста, либо Vn,\ конечномерна. Второй случай невозможен, так как Vn,x не типа I ([29]). П Таким образом, вопрос о простоте алгебры Vn,\ остается открытым для иррациональных чисел А Є [а„,/?п]\[ап_і,/3„_і]. Зададимся теперь вопросом о том, какие из алгебр Vn \ изоморфны. Теорема 1.2.17 Среди алгебр Vn,x имеется континуум попарно неизоморфных. Доказательство. Разобьем множество всех алгебр Vn \ на классы попарно изоморфных. Пусть {КІ : і Є 1} — совокупность всех этих классов. Для всех алгебр А из одного класса множество Т,п(А) одно и то же, так что его можно обозначать через ВД) Так как А Є T,n(V,h\), то Uj6/En(/ ) = „ имеет мощность континуума. Так как каждое из множеств Е„(/С,) не более чем счетно (Следствие 1.2.7), то / имеет мощность континуума. D В заключение, рассмотрим вопрос об устойчивости соотношений (1.8), определяющих алгебры Vn,x Пусть 6 0. Набор операторов Т\,...,Тп называется -представлением соотношения (1.1), если Соотношение (1.1) называется устойчивым в том случае, когда для любого є 0 найдется такое 5 0, что если Ti,...,Tn - -представление этого соотношения, то существует его представление Si, ...,Sn в том же пространстве, удовлетворяющее условию \\ТІ - Si є. Теорема 1.2.18 Для любого иррационального числа А Є Е„ соотношение (1.8) не является устойчивым. Доказательство. Достаточно показать, что для любого 5 найдется -представление соотношения (1.8) в пространстве, в котором это соотношение не представимо. Пусть А Є Е„ — рациональное число, такое что А — А 5. Тогда существуют проекторы Pi,..., Рп в конечномерном пространстве Я, удовлетворяющие условию Yll=i ft = 1- Ясно, что они определяют -представление соотношения (1.8). Так как это соотношение (для рационального А) не имеет конечномерных представлений, то наше утверждение доказано.
Геометрические свойства асимптотической эквивалентности между qC0K и СО(К2)0К
Примером является любое отображение вида Т ь-» ф(Т), где ф — функция на /. Исследование возможности функциональной реализации произвольного унитарно-ковариантного отображения и аналитических характеристик таких отображений является основной задачей данной главы.
Помимо унитарно-ковариантных отображений в алгебре операторов, будут рассматриваться н аналогичные отображения в произвольной С -алгебре. Кроме того, в последнем разделе этой главы рассматриваются отображения, ковариантные относительно общего сопряжения (подобия).
В этом разделе мы рассматриваем случай, когда пространство Я конечномерно: dim(H) = п. Для дальнейшего удобно рассматривать спектр оператора как точку п-мерного пространства, т.е. как упорядоченный набор чисел. Чтобы сделать это независимо от выбора упорядочивания, мы рассмотрим все такие наборы. Более точно, пусть Т Є С]{Н) и а(Т) = {Аі,...,Ал} — его спектр (кратные собственные значения повторяются). Обозначим через а(Т) множество всех точек А Є Rn, соответствующих всем возможным упорядочениям множества о-(Т). Как обычно, символом /" мы обозначаем декартову степень интервала /. Обозначим через Т = Т{1) пространство всех вещественно-значных функций на 7". Пусть Sn — симметрическая группа, и (т, Л) н- г(А) — ее стандартное действие перестановками на Rn. Тогда естественно определяется действие Sn на Т\ для / Є Т{І),т Є Sn,\ Є Іп положим /Т(А) = Дт(А)). Мы будем писать /(,) вместо /ru, где ту означает транспозицию, которая меняет местами j и і и сохраняет остальные символы. Пусть S — подгруппа 5„, состоящая из всех перестановок, сохраняющих 1, и пусть 7х = {/ Є Т : /г = / для всех т Є S }. Говоря нестрого, .F1 — это пространство всех функций от п неременных, симметричных по всем переменным , кроме первой (такие функции мы называем, для краткости, почти симметричными). Для любой функции / Є Т1, мы определим отображение Ff : (#) — CS{H) следующим образом. Пусть Т Є С]{Н). Фиксируем А Є а(Т) и набор собственных векторов е = (еі,...,еп) такой, что Те, = А;ег-. Тогда, но определению, F/(T) — это оператор 5 Є С8(Н), удовлетворяющий условиям: Set = /(О(А)ЄІ, І — 1,...,п. Проверим, что определение корректно, т.е. не зависит от выбора А Є а(Т) и базиса е. Пусть, сначала, точка А фиксирована, и пусть g = ( ?i,..., дп) — другой собственный базис. Пусть S — такой оператор, что S gi = /(o(A) ?j. Мы должны доказать, что S = S. Если все ХІ различны, то gt = 7ІЄІ, где т» — некоторые числа. Поэтому Пусть теперь Afc = Afc+i = ... = \m — группа совпадающих собственных значений. Тогда $ == Y j=k 4eh для любого і = к,...,гп, где 7ij — некоторые числа. Далее, Tij(ty — Для всех , j m) а поскольку функция / симметрична но всем переменным, кроме первой, то /у)(А) = (/(j))ry(A) = /(i)(A). Значит, Предположим теперь, что мы выбрали другой упорядоченный набор, А Є 5{Т), собственных значений, и пусть S — оператор, соответствующий Т при этом упорядочении (на выбор базиса мы уже можем не ссылаться). Тогда существует перестановка г, переводящая А в А . Выберем в определении оператора 5 , в качестве собственного базиса, 7; = ет , тогда S gi = /i(A )& = /r(i)(A)eT(j) = SeT(i) = %. Как известно (см. например [С]), если В — алгебра функций на множестве М С С, то функциональным исчислением функций из В от оператора Т Є В(Н) называется гомоморфизм /х: В — С(Н), такой что /x(x) = Т, где х — тождественная функция. Заметим, что отображение / н- Ff{A) из алгебры Fl(I) а алгебру С](Н) является гомоморфизмом для любого А Є {Н), а так как алгебра Fl{I) содержит функцию x\, xi(Ai,..., A„) = Ai и FXl (A) = А для любого оператора А Є ;(#), то, тем самым, соответствие / і-» Fj является обобщением функционального исчисления. Проверим теперь, что для каждой функции / отображение F/ является унитарно-ковариантным. Пусть U Є U(H), Т Є ;(#), (ЄІ) — собственный базис для Г, соответствующий собственным значениям А . Тогда ( &) = (С/ е») — собственный базис для U TU, соответствующий тем же собственным значениям. Следовательно, В классе функций, симметричных но всем переменным, кроме первой, естественно выделяются два "противоположных" класса: функции, симметричные полностью (т.е. но всем неременным) и функции, зависящие только от первой переменной. При этом, функциям, симметричным по всем переменным, соответствуют отображения в скалярные (кратные единичному) операторы: F/(T) = /(Ai,...,A„)l, где А — собственные числа оператора Т, а функциям зависящим от Аі, соответсвуют отображения, задаваемые функциональным исчислением: если /(А) = ф(\\), то Fj{T) = ф(Т). Следующий результат показывает, что отображениями вида F/ исчерпывается весь класс унитарно-инвариантных отображений. Теорема 3.1.1 Каждое И(Н)-ковариангпное отобраокение на С]{Н) совпадает с Fj, для некоторой функции / Є - (-0 Доказательство мы разобьем на несколько шагов. Доказательство. Представим Y в виде А + гВ, где А = А , В = В . Ясно, что [У ,Х] = 0 (так как X = X ), откуда [А,Х] = [В, X] = 0. Поэтому достаточно доказать наше утверждение для случая Y = Y . Умножая, если потребуется, на число, мы считаем У 1. Тогда операторы Z = (1 — У2)1/2 и U = Y + iZ также коммутируют с X. Так как U — унитарный оператор, то Очевидно, что U также коммутирует с F(X). Отсюда следует, что [У, F(X)] = О, поскольку Y = {U + U )/2. Следствие 3.1.3 Оператор F(X) диагоналей в том оке базисе, в котором диагоналей X. Доказательство. По лемме 3.1.2, F(X) принадлежит бикоммутанту оператора X, который, как хорошо известно, совпадает с алгеброй, порожденной X. Следствие 3.1.4 Для каждого ортоиормироваппого базиса существуют п функций /i,...,/n от п вещественных переменных, такие, что если X имеет а этом базисе диагональный вид с диагональными элементами Ai,..., А„ (мы будем это записывать в виде X = diag{\)), то F{X) тоже имеет диагональный вид в этом базисе и F(X) = diag(p), где Ці = /t(Ai, , A,J. Лемма 3.1.5 Функции fa не зависят от выбора базиса. Доказательство. Пусть {;}, {Vi} ортонормированные базисы и {/ }, {gi) — со ответствующие семейства функций. Существует унитарный оператор U, такой, что U& = Т]І. Для каждого набора вещественных чисел {Ai,...,An}, мы рассмотрим опе раторы X,Y, которые имеют диагональный вид diag(\i,...,Xn) в базисах {&} и (} соответственно. Тогда F(X) = diag(ni,...,n„), F(Y) = diag(ui,...,un) в этих же ба зисах, где ЦІ = fi(Xu..., А„), Vi = ft(Ai,..., An) . С другой стороны, Y = UXU , откуда / = І, /j(Ai,..., А„) = /І(АІ, ..., A„), и доказательство завершено. П Таким образом, каждое ковариантное отображение F определяет семейство функций {/J. Мы докажем, что эти функции связаны между собой некоторыми условиями симметрии. Как и выше, гд., для любых j, к — это отображение Rn —+ Rn, которое меняет местами j-ую и А ую координаты вектора.
Непрерывные унитарно-ковариантные отображения и симметрические многочлены
Для і j обозначим через фц вложениеЖкі вШкз, такое что ФІ (Х) = (х,х,...,х), х Є Rfci (в правой части х повторяется kj/ki раз). Тем самым, определяется (алгебраический) индуктивный предел Efc пространств Rk}. Его можно отождествить с пространством последовательностей, периодических с периодом kj, где j может быть любым. Будем, для краткости, называть такие последовательности -периодическими.
Определим теперь пространство Tf. функций на Rfc как обратный предел пространств $(Rkj) функций на Rfcj. относительно отображений Ф : !F(Rkj) - 5( ) определенных формулой 4\j(/)() = /(фі (х)). Его элементами являются последовательности / = {fi)i i, fi Є F(Rki), согласованные в смысле отображений Фг , однако всякой такой последовательности / естественно сопоставляется конкретное значение /() в каждой точке х Є Rk, так что Тт., действительно, можно считать состоящим из функций на Жк.
По набору функций / = {/і, /г,...} Є Тг определим отображение FT : Аа — А, полагая Fyuf2i_}(a) = Ffn(an) при а Є (Ап)а. Из условия согласованности легко следует, что такое определение корректно. Мы покажем, что любое ковариаитное отображение алгебры А совпадает на А0 с одним из отображений FT.
Нам понадобится вспомогательный результат, который может представлять и независимый интерес. Пусть А — С -алгебра, В ее подмножество. Коммутантом множества В в А называется множество всех элементов а Є А, таких что ab = Ьа для всех Ь Є В. Коммутант (в А) коммутанта В в А называется бикоммутантом В а А. Везде в дальнейшем коммутант (бикоммутант) подмножества В С А в алгебре А будет обозначаться через В (соответственно В"), или В л, Вд, в том случае, если выбор А не очевиден. Через С (а) мы будем обозначать С -подалгебру в А, порожденную элементом а. Если алгебра А унитальна, то через С (а, 1) мы будем обозначать С -иодалгебру в А, порожденную элементами а и 1. Лемма 3.4.1 Пусть /С — С -алгебра, С — ее конечномерная -подалгебра. Пусть а Є /С; определим отображение da : /С — К. формулой da{x) = [а,і]. Гогс?а dist(a,C) \\da\c\\ 2dist{a,C). Доказательство. Докажем первое неравенство. Для любого и Є /(), IKUI = suft-e,M i[a,z] [а,и] = и аи-а. (3.5) Так как алгебра L конечномерна, то на унитарной группе U(C) есть мера Хаара du. Докажем, что JV,C) u audu Є С. Поскольку любой элемент х Є С есть линейная комбинация элементов из U(C) (см., например, лемму 3.1.2), достаточно показать, что [/ u audu,x] = 0 для всех х Є U(). Действительно, ( / u audu)x — х I u audu = / u auxdu — xl u audu = x I (ux) a{ux)d(ux) — x / u audu = 0. (3.6) Взяв интеграл от обеих частей неравенства (3.5), получаем, что 4,с \\Ju audu— а\\, откуда \\da\c\\ dist(a, С). Докажем второе неравенство. Ясно, что [а,х] = [а — у,х]\\ 2\\а — у\\ для любого х Є С, \\х\\ 1 и любого у Є С. Взяв в левой части супремум по х, а в правой — инфимум но у, получаем, чтогівІ 2Л8 (а, ). Лемма 3.4.2 Пусть Л = IJ А, где {А} — возрастающая последовательность конечномерных подалгебр С -алгебры Л, причем центр Z(A) подалгебры ЛІ тривиален для любого г. Тогда, для любого самосопряженного элемента а Є (J ЛІ, имеет место равенство (а)" = С {а), если алгебра Л не униталъна, и (а)" = С (а, 1), если алгебра Л унитальна. Доказательство. Пусть а Є (J А- Тогда существует N, такое, что а Є Ла при всех п N. Пусть b Є (а)д. Существуют Ьп Є А, такие, что Ьп — b при п — оо. Положим \\Ьп - Ь\\ = е„, тогда е„ - 0. Так как [Ь,х] — О для любого х Є (а) л, то, тем более, [Ь,х] — 0 для любого х є (а)лПА, = (а) Ап. Значит [Ь„,х] = \\[Ьп - Ь,х]\\ 2е„ для всех х Є (а) Ап. Следовательно, с?ь„(а) . II 2бп. Применяя лемму 3.4.1 к С -алгебре Лп, ее подал-гебре (а)дп и элементу Ьп Є At, получаем, что 4п(а) dist(bn, (а)Лп). Так как центр алгебры Лп тривиален, то Лп изомо])фна полной матричной алгебре. Поскольку а Є А при п N, мы можем заключить, что {а)Лп = С (а) при п N (см. например [3]). Следовательно,
Теорема 3.4.3 Пусть А — UHF-алгебра. Тогда, для любого самосопряженного элемента а Є А, спектр которого конечен, (а)" = С {а, 1). Доказательство. Пусть а(а) = {Аі,...,А }. Тогда a = J2i iPi гДе Pi = /г (а -z) xdz - попарно ортогональные проекторы (здесь через Г обозначена окружность с центром в А;, такая, что остальные точки спектра находятся вне ее). Выберем число б 1. Поскольку А — UHF-алгебра, ее можно представить в виде А = [)Ап, где все Ап изоморфны полным матричным алгебрам. По теореме III.3.1 из [12], найдется номер п и попарно ортогональные проекторы ЦІ Є An, такие, что 7; — РІ\\ е. Значит Pi и # эквивалентны. Обозначим через щ частичную изометрию, такую, что и щ = Pi, щи = $, а через v - частичную изометрию, такую, что v v = 1 - 2Pi, vv = 1 — qt. Положим u = ]TUJ + v и докажем, что и унитарен. Согласно теореме Гельфанда-Наймарка, мы можем реализовать алгебру А как алгебру операторов в гильбертовом пространстве Я. Тогда щ — частичная изомет-рия с "начальным" подпространством РіН и "финальным" подпространством qiH. То есть щ : РІХ - qix,x Є Я и u ker = 0. Аналогично, v — частичная изомет-рия с "начальным" подпространством (фріЯ)1 и "финальным" подпространством (ффЯ)1. Тогда и — прямая сумма унитарных операторов щ\Рін и И(ФРІЯ)1 на и0" парно ортогональных подпространствах, в сумме дающих все пространство Я. Следовательно, и унитарен. Несложные вычисления показывают, что upiU = qi. Положим Вп = u AnU. Тогда, при каждом п, Вп С А — конечномерная подал гебра, A = \JBn и pi Є \JBn. Значит a — Yli iPi Є \JBn- Согласно лемме 3.4.2, (a)" = C (a,l). Утверждение теоремы становится неверным, если отбросить предположение Z(Ai) {Од}, даже если центр всей алгебры А тривиален. Мы сейчас построим AF-алгебру с тривиальным центром, в которой существует проектор р, такой что (р)" ф С (р, 1).
